Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Region bezwzględnej stabilności dla ogólnej niejawnej metody RK u’= u, z=  t dla metod niejawnych: nie można obciąć rozwinięcia Taylora, bo A pełna współczynnik.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Region bezwzględnej stabilności dla ogólnej niejawnej metody RK u’= u, z=  t dla metod niejawnych: nie można obciąć rozwinięcia Taylora, bo A pełna współczynnik."— Zapis prezentacji:

1 region bezwzględnej stabilności dla ogólnej niejawnej metody RK u’= u, z=  t dla metod niejawnych: nie można obciąć rozwinięcia Taylora, bo A pełna współczynnik wzmocnienia nie jest wielomianem, okazuje się, że jest funkcją wymierną |R(z)|  1 może być nieograniczony niejawna 1 stopniowa

2 region bezwzględnej stabilności dla ogólnej niejawnej metody RK wsp wzmocnienia niejawnego RK metoda rzędu p ma współczynnik wzmocnienia, który do O(z p+1 ) zgadza się z eksponentą przybliżenie Padé (j,k) funkcji exp(z) [funkcja wymierna będącą przybliżeniem exp(z) maksymalnego rzędu] P k Q j nie mają wspólnych czynników (nie można uprościć ułamka) Warunek normalizacji: q 0 =1 Do wyznaczenia k+j+1 wartości. Rząd dokładności do uzyskania: k+j (bo od wykładnika 0 zaczynamy uzgadniać). R jk (z)=exp(z)+O(z k+j+1 ) Współczynniki wzmocnienia jawnych RK – wielomany, niejawnych – funkcje wymierne

3 przykład: wyznaczyć przybliżenie Padé (j,k)=(2,0) funkcji exp(z) p 0 =1 q 1 +1=0 q 1 +1/2+q 2 /2=0 (p 0 =1, q 1 =-1, q 2 =1/2) exp R 20 R 20 pozostaje skończone dla rzeczywistego z, w przeciwieństwie do obciętego rozw. Taylora +O(z 3 )

4 przybliżenia Padé R jk funkcji exp(z): dla s odsłon metoda rzędu 2s jest tylko jedna, a jej błąd wzmocnienia jest przybliżeniem Padé eksponenty R ss Metody, które prowadzą do diagonali oraz dwóch pierwszych poddiagonali tabeli Padé są A-stabilne (bezwzględnie stabilne dla Re(z)  0) na diagonali R ss : |q s | = | p s | więc |R(z)|  1 gdy |z|  poniżej diagonali - dla (1,0),(1,2)(2,1) : |R(z)|  gdy |z|  RK2 (jawna) jawny RK1 (Euler) niejawny jednostopniowy RK niejawny dwustopniowy RK RK Legendre’a 2stopniowy współczynniki wzmocnienia metod RK niejawny Euler RK Radaua s=1 RK Radaua rzędu 2

5 definicja: metoda jest L-stabilna jeśli jest A-stabilna oraz |R(z)|  0 gdy |z|  L-stabilne A-stabilne najwyższego rzędu dokładności (czyli nie L-stabilne) przydatne, gdy rozwiązanie szybko oscyluje, czyli Re( )  0, ale |Im( )|>>1 metody L-stabilne przydatne w problemach sztywnych gdy Re( )<<0 wtedy okazuje się być opłacalne zrezygnować z wysokiej dokładności na rzecz stabilności

6 Punkty kolokacji wybrane wg zer wielomianu Legendre’a : maksymalny rząd 2s, metody A-stabilne, nie L-stabilne : ze współczynnikami wzmocnienia z diagonali tabeli Pade Osobna klasa to metody RK pochodzące od wielomianów Radaua (2s-1) definiowanych na podstawie wielomianu Legendre’a P jedno z zer wielomianu: na prawym końcu przedziału Tabela Butchera dla RK Radaua s=2: RK Radaua: odpowiadają poddiagonali w tabeli Pade : są L-stabilne (lepsze od RK Legendre’a w problemach sztywnych) R s =P s  P s-1

7 predyktor= układ równań nieliniowych korektor (podstawienie po rozwiązaniu równań predyktora na U1, U2) NJRK 2, sposób rozwiązywania równań

8 Niejawne metody RK = sposób rozwiązywania F(x)=0 F(x n +  x)=F(x n )+  x F’(x n ) -F(x n )=  x F’(x n ) jawne RK = stosuje się kolejne podstawienia = łatwo niejawne RK = metoda Newtona predyktor: układ s równań nieliniowych do rozwiązania korektor = tylko podstawienie m. Newtona jedno równanie macierz Jakobiego M. Newtona dla układu 2 równań

9 Niejawne metody RK – rozwiązywanie równań predyktora układ s : równań nieliniowych układ równań rozwiązywany w jednej iteracji na przesunięcia  U i było:

10 Niejawne metody RK – rozwiązywanie równań predyktora układ s : równań nieliniowych układ równań rozwiązywany w jednej iteracji na przesunięcia  U i w każdej iteracji musimy wyliczyć s pochodnych f po u (w s chwilach czasowych)

11 niejawne RK dla układu 2 równań (laboratorium) predyktor dla pojedynczego równania:

12 niejawne RK dla układu 2 równań (laboratorium) predyktor dla pojedynczego równania: predyktor dla dwóch równań numer szukanej funkcji nr chwili

13 niejawne RK dla układu 2 równań (laboratorium) predyktor dla pojedynczego równania: predyktor dla dwóch równań numer szukanej funkcji nr chwili w zapisie wektorowym: wracamy do formy dla pojedynczego równania U 1 =[U 1 1,U 1 2 ] T na laboratorium - f liniowe więc układ równań liniowych

14 Układ m równań różniczkowych rozwiązywany niejawną metodą RK niejawny schemat RK: (wzory jak dla pojedynczego równania, ale z arytmetyką wektorową) s równań predyktora to układ nieliniowy do rozwiązania gdy już mamy U korektor ma formę podstawienia [jak w jawnych RK] u, f, U i wektory o m zmiennych predyktor zapisany w formie układu s równań nieliniowych: tyle równań nieliniowych ile etapów w RK (s) każde przybliżenie U i ma m składowych s wektorów o m składowych łącznie ms niewiadomych macierz m na m

15 z oznaczeniem: macierz Jakobianu policzona w l-tej odsłonie (macierz m na m) dla układów wielu (setek-tysięcy) układów równań wyliczenie (oszacowanie) Jakobianu w s odsłonach - nowych w każdej iteracji - może być kosztowne, wtedy rezygnujemy z liczenia J w każdej odsłonie Układ równań różniczkowych rozwiązywany niejawną metodą RK z iteracją Newtona to jest przepis na jeden krok iteracyjny, a iteracji może być wiele

16 pomysł: zastosować Jakobiany wyliczone w chwili początkowej u n-1 i nie zmieniać ich w czasie iteracji wtedy: odpadają indeksy przy J i mamy przybliżony Jakobian nie zmienia rozwiązania gdy osiągniemy zbieżność może ją spowolnić albo uniemożliwić, ale przy dużych macierzach zazwyczaj się opłaca J policzymy tylko raz, ale wykonamy więcej iteracji często opłaca się raczej dłużej iterować niż w każdej iteracji wyliczać s macierzy Jakobiego

17 Metody RK produkuje się na zamówienie ze względu na 1)dokładność 2)A/L-stabilność 3)łatwość iterowania równań predyktora  SDIRK

18 DIRK: macierz A jest dolnoprzekątniowa (diagonally implicit RK) SDIRK:wszystkie wyrazy na diagonali są identyczne (singly diagonally implicit...) metody DIRK: iteracja Newtona (układ równań) rozwiązywany blokowo metody SDIRK: dodatkowo pojedyncza faktoryzacja macierzy m na m (nie sm na sm) [dokładność najwyżej s+1 [zamiast maksymalnej (2s)] ale tania iteracja Newtona] wtedy macierz układu równań pojedynczej iteracji Newtona: ma postać

19 DIRK: macierz A jest dolnoprzekątniowa (diagonally implicit RK) SDIRK:wszystkie wyrazy na diagonali są identyczne (singly diagonally implicit...) metody DIRK: iteracja Newtona (układ równań) rozwiązywany blokowo metody SDIRK: dodatkowo pojedyncza faktoryzacja macierzy m na m (nie sm na sm) [dokładność najwyżej s+1 [zamiast maksymalnej (2s)] ale tania iteracja Newtona] wtedy macierz układu równań –F = M  U pojedynczej iteracji Newtona: zamiast faktoryzacji macierzy sm na sm (złożoność [sm] 3 ) : 1)faktoryzujemy tylko jedną macierze m na m : blok diagonalny [złożoność [m] 3 ] dla s=4: 64 x szybciej 2)rozwiązujemy równanie m na m na  U 1 z pierwszego „wiersza blokowego” i przechodzimy do drugiego gdzie  U 1 wykorzystana do złożenia prawej strony równania na  U 2 itd.. ma postać

20 skonstruujmy SDIRK dla s=2, max p=s+1 warunki konieczne na wsp RK: dla k  p niezależne dla k>2 ta z minusem : A-stabilna ta z plusem - nie lplp ½ 1-a1-2a

21

22 1)Równania różniczkowe zwyczajne jako szczególny przypadek problemów opisywanych przez eliptyczne równania cząstkowe 2)Problem brzegowy a problem początkowy (case study) 3)Metoda różnic skończonych (idea, rozwinięcie później) 4)Metoda Numerowa 5)Metoda strzałów Równania różniczkowe zwyczajne: problem brzegowy [1D] problem początkowy problem brzegowy:

23 mówiliśmy, o równaniach różniczkowych zwyczajnych opisujących wielkości dane funkcjami wyłącznie czasu, z warunkiem początkowym. Rozwiązaniem równań różniczkowych cząstkowych są zazwyczaj funkcje zarówno czasu i położenia (pole elektryczne, rozkładu temperatury, prędkości przepływu itp.) modelowe równania przy jednym wymiarze przestrzennym u(x,t): dyfuzji ciepła (paraboliczne) falowe (hiperboliczne) Poissona (eliptyczne)

24 eliptyczne niezależne od czasu: u =u(x) – wyłącznie funkcja położenia stany ustalone, równowagowe itp. równania elektrostatyki, ustalony transport ciepła, przepływy cieczy w stanie ustalonym, etc. warunki brzegowe w 1D: na początku (x=0) i końcu pudła obliczeniowego (x=L) 1)na wartość funkcji (Dirichleta) u(0)=a, u(L)=b 2)na pochodną funkcji (Neumanna) u’(0)=a, u’(L)=b 3)mieszane (Robina) u(0)+cu’(0)=a, u(L)+du’(L)=b +S(x) Problem brzegowy: równanie różniczkowe (na razie zwyczajne) + warunek na rozwiązanie na brzegu. Brzeg w 1D: 2 punkty

25 x z y układ jednorodny i rozległy w (y,z) + warunki brzegowe niezależne od y i z [płaski kondensator] interesuje nas rozkład potencjału w środku układu opis jednowymiarowy problemów wielowymiarowych Przykład nr 1) równanie Poissona (jednostki atomowe), gęstość ładunku zależna tylko od x albo rozkład temperatury w jednorodnej sztabce ze źródłami ciepła w kąpieli cieplnej warunki brzegowe: Dirichleta: wartość potencjału (temperatury) : Neumana: wartość pola elektrycznego (strumienia ciepła)

26 P2: atom wodoru: obiekt sferyczny 3D jądro + elektron gęstość ładunku elektronowego zależy tylko od odległości od jądra: n(r)=- exp(-2r)/  problem o wysokiej sferycznej symetrii r-odległość od początku układu wsp. + - gęstość ładunku jądra: p(r)=+  3 (r) (jednostki atomowe) równanie jest liniowe zasada superpozycji:

27 „punktowy ładunek o nieskończonej gęstości w r=0” laplasjan we współrzędnych sferycznych  + =1/r r -n(r) 1/r  r  składowa od gęstości elektronowej n(r)=- exp(-2r)/ 

28 gdy n(r) nieznane w postaci analitycznej – pozostaje rachunek numeryczny n(r)=- exp(-2r)/  numeryczny rachunek  dla rozciągłej gęstości ładunku o symetrii sferycznej n: zdyskretyzować równanie – zamiast wartości dla ciągłych r – wartości dyskretne Zamiast pochodnych ilorazy różnicowe zamiast równania różniczkowego - algebraiczny układ równań r r=0 n(r)

29 gdy powierzchnia pudła obliczeniowego obejmuje cały ładunek – potencjał – jak dla punktowego ładunku duże R – całka potrójna dąży jedynki (z normalizacji n) duże R: E(R)=1/R 2,  = - 1/R gdy rozkład gęstości rozciągły: 2) potencjał skończony dla r=0 (zamiast osobliwości 1/r) 3) jego pochodna znika w r=0 [E=zero dla małego r – patrz drugie równanie (*)] potrzebne warunki brzegowe na potencjał  (dla r=0 oraz dla „dużego” r) - cała sztuka w rozwiązywaniu problemów brzegowych to dobór odpowiednich w.b. i skuteczne ich wprowadzenie do równania r -n(r) 1/r  r  tw. Gaussa r. Poissona WB: dla dużego r:  (r)=1/r (Dirichlet) dla małego r: d  (r)/dr=0 (Neumann) (*) jakobian

30 WB Neumanna – trudniejszy w zastosowaniu, chcemy go przekształcić w warunek Dirichleta f(0)=0 bo  (0) skończone, f (r=duże)= -1 bo  (r=duże) -1/r. warunki brzegowe na f

31 + f(0)=0, f(R)=-1, gdzie R promień pudła obliczeniowego| obejmujący całe n (1) plus (2) trójpunktowy iloraz drugiej pochodnej (1) (2) Iloraz różnicowy drugiej pochodnej r f 0 f 1 f 2 rr f 0 =0, f N =-1 do rozwiązania problem algebraiczny: spróbujmy ten problem rozwiązać numerycznie

32 f 0 =0, f N =-1 Układ równań liniowych rozwiązać i po sprawie. ale: dokładność rachunku ograniczona dokładnością ilorazu różnicowego drugiej pochodnej poznaliśmy świetne metody do rozwiązania problemu początkowego może je spróbować zastosować?

33 Powiedzmy, że znamy 1) f 0 [bo znamy] 2) f 1 [to powiedzmy] możemy wyliczyć f 2 i następne. następnie: sprawdzimy, czy f N spełni WB na prawym końcu. Jeśli tak – problem rozwiązany nasz problem początkowy - drugiego rzędu dla warunku początkowego: potrzebna funkcja+pochodna tzn. f 0 i f 1 ustawmy ten wzór jak dla problemu początkowego (jak liniową metodę wielokrokową): alternatywa:

34 znamy f 0 i f 1 wstawiamy analityczne, liczymy f 2 i następne r f analityczne 1-(r+1)exp(-2r) numeryczne  r = 0.1 Błąd okazuje się liniowy z r ! Krzyżyki = r r Katastrofa! (WB na prawym końcu nie spełniony: rachunek numeryczny łamie prawo Gaussa potencjał daleko od źródła nie będzie -1/r )

35 Błąd f jest linowy z r ! Jak to zrozumieć? Pod nieobecność ładunku: (równanie Laplace’a) W naszym wyniku: błąd polega na niezerowej wartości a. Skąd się ona bierze? Trójpunktowy schemat różnicowy drugiej pochodnej dokładnie różniczkuje nawet parabolę, więc dla funkcji typu ar+b się nie myli! wniosek: Z obszaru w którym n<>0 iteracja wychodzi z błędem. błąd pochodzi z całkowania n(r) g(r)=ar+b. g+f spełni równanie Poissona, ale warunki brzegowe – niekoniecznie rozwiązanie równania Laplace’a g (jednorodnego) możemy zawsze dodać do rozwiązania równania Poissona f W naszym problemie n istotnie znika dla dużych r, gdzie rozwiązanie powinno być postaci g(r)=-1 (czyli a=0,b=-1) Z drugiej strony:

36 rozwiązać jednak problem (URL) z narzuconymi warunkami brzegowymi z obydwu stron zagęścić siatkę scałkować równanie wstecz spróbować wykorzystać lepszą (dokładniejszą) metodę f 1 – zamiast analitycznego przyjąć taki, aby prawy warunek był spełniony (metoda strzałów)  r = 0.1 Cóż można poradzić żeby rozwiązanie numeryczne nie odklejało się od dokładnego dla dużych r ?

37  r = 0.1  r = 0.01 Zagęścić siatkę (metoda brutalnej siły) w f 1 wstawiona wartość analityczna przy drobnym kroku przestrzennym nie generuje widocznego błędu

38 widzieliśmy, że schemat wychodził poza zakres n(r)<>0 z błędem, pomysł: scałkować równanie wstecz Zamiast do przodu: f 0 = 1, f 1 =analityczne f N = 1, f N-1 =1 Tam gdzie pojawia się ładunek, tam pojawiają się również błędy, ale nie narastają.  r = 0.1 Całkowanie wstecz (od r=20) zoom do 2 kółka analityczne krzyżyki numeryczne  r = 0.1 Widzimy, że numeryczne jest nie gorzej liniowe od analitycznego r dla r=0 : f (numeryczne) =6  zamiast zera znamy potrzebne 2 wartości! scałkujemy wstecz:

39 tajemnica naszego sukcesu: Startowaliśmy w obszarze, gdzie n(r) znika czyli tam obowiązuje r. Laplace’a: Ustawiliśmy jego rozwiązanie na: a=0, b=-1. Dzięki temu: nie pozwoliliśmy domieszać się rozwiązaniu Laplace’a z innymi a i b błąd pojawia się tam gdzie ładunek, ale zbytnio nie rośnie g(r)=ar+b.

40 metoda różnic skończonych dla ustalonych WB f 0 =0, f N =-1  r = 0.1 rozwiązanie wstecz (gdzie właściwy WB w r=0 został odnaleziony) nie gorsze od relaksacji, gdzie spełnienie obydwu WB jest wymuszone. dlaczego błąd w rozwiązaniu do przodu jest tak wielki? r r układ równań rozwiązany iteracyjnie, (relaksacja)

41 f 0 = 0, f 1 = wyliczone z relaksacji zamiast wzoru analitycznego znowu całkowanie do przodu, ale tym razem: dla  r=0.1 „dokładne” rozwiązanie numeryczne jest nieco inne niż analityczne. (dokładne numeryczne: dokładne analityczne: ) Uwaga: to samo rozwiązanie uzyskujemy każdą z 3 metod. cały błąd leży teraz w ograniczonej dokładności ilorazu różnicowego. r wniosek: błąd pierwszego podejścia polegał na zastosowaniu analitycznego wyniku na f 1 !

42 Jeśli f 1 = analitycznie nie jest to najlepsze = odgadniemy: metoda strzałów Służy do rozwiązania problemu brzegowego przy pomocy podejścia dedykowanego dla problemu początkowego: wstrzelić należy się w (nieznany) parametr określający przebieg = u nas f 1. dla całkowania do przodu: f 0 =0, f 1 = dobieramy tak aby prawy wb był odtworzony f(r=daleko)=1, lub f’(r=daleko = 0) metoda strzałów:


Pobierz ppt "Region bezwzględnej stabilności dla ogólnej niejawnej metody RK u’= u, z=  t dla metod niejawnych: nie można obciąć rozwinięcia Taylora, bo A pełna współczynnik."

Podobne prezentacje


Reklamy Google