Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

nierówności Rozwiązywanie w których po jednej stronie jest iloczyn a po drugiej zero. lub iloraz funkcji liniowych, Postaraj się przewidzieć co pojawi.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "nierówności Rozwiązywanie w których po jednej stronie jest iloczyn a po drugiej zero. lub iloraz funkcji liniowych, Postaraj się przewidzieć co pojawi."— Zapis prezentacji:

1

2 nierówności Rozwiązywanie w których po jednej stronie jest iloczyn a po drugiej zero. lub iloraz funkcji liniowych, Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

3 Czy nierówność Wszyscy uczniowie zgodnym chórem odpowiedzą : uczeń VI-tej klasy szkoły podstawowej ? może rozwiązać nie. Wszyscy licealiści z poczuciem wyższości stwierdzą, dopiero w 2-giej klacie liceum. Niestety, często uczniowie ze szkoły podstawowej zwracając się słyszą, umiem rozwiązać to zadanie, ale nie na twoim poziomie. Niestety, starsi nie umieją, albo zapomnieli prostych, Pokazując rozwiązanie będą konstruować tabelkę, lub kreślić jakąś krzywą. Na pytanie, dlaczego buduje taką tabelkę, czy co ta krzywa prezentuje, bądź usłyszymy, bo tak się uczyłem. do starszych o pomoc przy rozwiązaniu zadania, odpowiedzi najczęściej brak, arytmetycznych sposobów rozwiązywania wielu zadań. W szkole uczymy się na ogół sztuczek potrzebnych do rozwiązywania zadań. Hokus, pokus i wyciągamy królika z kapelusza. Nic dziwnego, że na tych którzy umieją matematykę, większość społeczeństwa patrzy jak na iluzjonistów. tą nierówność rozwiążesz

4 Często brakuje nam wiary w siebie, wiary, że nasze umiejętności Uczniowie nie potrafią wykorzystać swojej wiedzy, bo Fakt, że nie potrafię, nie oznacza, że nie mam wiedzy, aby problem rozwiązać. wykonania zadania. nie są tego uczeni. Jest to wynikiem nieskutecznego sposobu nauczania matematyki Warto zwrócić uwagę na pytanie, które brzmi: czy może rozwiązać ?, a nie czy potrafi rozwiązać ? Prawidłowa odpowiedź brzmi : może, a bardzo dobry uczeń na dwa sposoby. Zatem, czy nierówność uczeń VI-tej klasy szkoły podstawowej ? może rozwiązać powinien rozwiązać tą nierówność i to i wiedza wystarczą do i nie tylko matematyki, ale obecnego systemu nauczania i wychowania. Aby rozwiązać nierówność wystarczy wiedzieć : 1. kiedy iloczyn jest ujemny ? 2. jak określić znaki czynników ? możliwości,

5 iloczyn jest ujemny, gdy Korzystając z tego twierdzenia wnosimy, że nasz iloczyn, 1. kiedy iloczyn jest ujemny ? nie od razu dają odpowiedź : Czynniki dodatnie nie wpływają …… i żaden nie jest zerem. Wniosek : na znak iloczynu. Stąd nasza nierówność lub wszystkie trzy czynniki są ujemne. Aby wszystko było jasne i zrozumiałe, należy precyzyjnie Choć odpowiedź jest prosta dla uczniów kl. VI-tej, licealiści, ujemnych jest ujemny, gdy ma dokładnie jeden czynnik ujemny ( pozostałe dodatnie), jest równoważna alternatywie rozumieć znaczenie spójników logicznych i, lub. Spójniki te, wtedy będziemy poprawnie stosować, i równocześnie lub --- zachodzi ( spełniony jest ) przynajmniej jeden warunek. gdy będziemy kojarzyć je z następującymi słowami : ma nieparzystą ilość czynników układów nierówności.

6 Znak którego z czynników określimy natychmiast ? Oczywiście, o ile wiemy kiedy różnica jest ujemna. O ile odpowiedź w tym konkretnym przypadku to odpowiedź w przypadku ogólnym, choć, wiedzieli o tym w szkole podstawowej. Jaką usłyszymy odpowiedź od pierwszoklasisty, gdy damy mu do wykonania odejmowanie Nie da się od mniejszej liczby odjąć większą. Czy jest ono poprawne ? Często można usłyszeć narzucającą się określenie 2. jak określić znaki czynników ? kiedy nie sprawia kłopotu, przysparza trudności licealistom, Skorzystajmy z okazji i przypomnijmy kilka pojęć z arytmetyki. Odpowiedź w klasach początkowych jest poprawna. Ale na wyższym etapie edukacji matematycznej, należy zapytać : co oznacza, że a jest mniejsze od b ? Nie i to z dwu powodów. Po pierwsze, mniejszość wyjaśniamy za pomocą mniejszośc i, ( przysłowiowe masło maślane ).

7 Po drugie, czy jest to wyjaśnienie, skoro uczeń początkowych klas podstawowej, nie zna liczb ujemnych. Trzeba wrócić do naturalnej interpretacji mniejszości, istnieje liczba dodatnia c, taka, że ( mniejsze, to trzeba dołożyć ). Warto by teraz dowieść znane własności nierówności. Do rozwiązania naszej nierówności, przypomnijmy jeszcze własność odejmowania : aby odjąć można dodać liczbę przeciwną. Wróćmy do rozwiązywania nierówności przez ucznia szkoły podstawowej. Dla wygodnego określania znaków czynników, napiszmy je w postaci różnic Teraz widać kiedy czynniki są ujemne, i łatwo wyznaczyć znak iloczynu dla liczby np.

8 Gdy do iloczynu za podstawimy to pierwszy czynnik jest dodatni, bo drugi czynnik też dodatni, bo i trzeci ujemny, bo i liczba spełnia nierówność, czyli jest rozwiązaniem nierówności. Jak znaleźć wszystkie rozwiązania ? Oczywiście, nie będziemy postępować jak wyżej. Od czego zależą znaki czynników Od tego, czy są mniejsze, czy większe od Aby widzieć jakie liczby rozpatrywać, zaznaczmy liczby na osi liczbowej. x Teraz każdy powie, że należy rozważyć liczby z czterech wyróżnionych przedziałów. Zatem iloczyn jest ujemny

9 o znakach czynników ( różnic ) Jak bez gadaniny, bez długiego zapisu słownego, krótko zaznaczyć symbolicznie nasze spostrzeżenie, w poszczególnych przedziałach. Ustalmy znaki różnic dla zielonych liczb ( mniejszych od 5 ) Należy bacznie uważać, czy odejmujemy mniejszą liczbę od większej, czy odwrotnie. I mamy rozwiązanie nierówności Rozwiązaniem jest każda liczba z Jak widać do rozwiązania tej nierówności wystarczyła wiedza z arytmetyki na poziomie szkoły podstawowej. Czy ten proces można by uprościć ? Kiedy to rozwiązanie sprawiało trochę kłopotu ? Przy ustalaniu znaków czynników. x _ + + _ _ _ + pierwszy czynnik drugi czynnik trzeci czynnik Iloczyn ujemny

10 Jak ustalać znaki iloczynu mechanicznie, bez zbytniego zastanawiania się. W przypadku którego czynnika mogły być zawahania ? Oczywiście, chodzi o wyrażenie Jak go zatem przedstawić ? Teraz ustalanie znaków czynników jest zupełnie proste. Pierwszy czynnik, zwany współczynnikiem liczbowym jest ujemny. Znaki pozostałych łatwo wyznaczamy. I jeszcze jedno usprawnienie, Dobrze by było gdyby czynniki były w takiej kolejności jak ich miejsca zerowe. Widać regułę w określaniu znaków czynników. Proste ? Mamy odpowiedź : Rozwiązaniem jest każda liczba z x _ _ _ _ __ + + Iloczyn łącznie z -1 ujemny

11 Czy tą nierówność można inaczej rozwiązać ? Pomysłów może być kilka. Oto techniczny zapis, ciut inny od poprzedniego rozwiązania : Rozwiązaniem jest każda liczba z Widzimy rozwiązanie nierówności za pomocą tabelki. Inny techniczny pomysł oparty na obu rozwiązaniach, a raczej na ostatnim fragmencie, ostatniej linijce rozwiązania. To oś i ostatnia zmodyfikowana linijka tabelki, którą można ja nazywam krzywą znaków. Jak ją kreślić bez tabelki omówimy w Równania, nierówności x _ _ _ _ + _ _ + + _ + _ + Ustalajmy znaki w kolejnych przedziałach Iloczyn wraz ze współczynnikiem liczbowym x ++ __

12 Zanim przejdziemy do rozwiązania nierówności przez gimnazjalistów, zaproponuję rozwiązać nierówność Licealiści zdziwią się, że i z tą nierównością poradzą sobie nawet uczniowie szkoły podstawowej. W szóstej klasie wszyscy wiedzą, że kwadrat liczby jest liczbą Rozwiązując jakiekolwiek nowe zadanie, zastanawiamy się, czy z takim lub podobnym mieliśmy już do czynienia. Na ogół udaje się nowe zadanie sprowadzić do znanego, Właśnie o to chodzi, czy nierówność można sprowadzić do nierówności lub podobnej. Macie pomysł ? dodatnią - fałsz, bzdura ! lub równy zeru ( nieujemną ), że czynnik dodatni oraz, że nie wpływa na znak iloczynu, Czyli źle, błąd ! Wyrzucony czynnik może być równy zero. Dalej już wiadomo co robić. Okazało się, że potrafimy rozwiązywać nierówności postaci Opuściliśmy kwadraty które już rozwiązywaliśmy.

13 Nierówność ta jest równoważna alternatywie czterech układów nierówności : Odpowiedź : Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z suma przedziałów lublub Jak widać, do rozwiązania tej nierówności, nie była potrzebna Jak nierówność rozwiążą ci, którzy chcą tylko pisać, rozwiązywać nierówności ? Rozpiszą tą nierówność liniowych nierówności. za pomocą wiedza, nawet na poziomie gimnazjum.

14 Jak gimnazjaliści zaproponują rozwiązać nierówność Mają przewagę nad uczniami szkoły podstawowej, gdyż znają pojęcie funkcji liniowej, jej własności i wykres. Sądzę, że wszyscy już wiedzą, bo tak rozwiązywaliśmy równania i nierówności z wartościami bezwzględnymi. Szkicujemy wykresy funkcji liniowych, ustalamy znaki funkcji w odpowiednich przedziałach i …. mamy gotowe rozwiązanie. Rozwiązaniem jest każda liczba z Ten sposób rozwiązania jest ciekawy i wygodny do rozwiązania każdej nierówności postaci gdy znamy ich wykresy. x + + _ _ _ _ badamy znak iloczynu i

15 Warto zwrócić uwagę, że nie wykraczając poza program gimnazjum, potrafimy rozwiązać równania, którymi w szkole spotykamy się dopiero w drugiej klasie liceum. Umiemy rozwiązać równania postaci : Czy damy radę rozwiązać równanie Jak na razie odpowiedź jest jedna ; jeżeli doprowadzimy równanie do postaci : to rozwiążemy, jeżeli nie Kto pamięta i opanował rozkład sumy na czynniki sposobem grupowania, to zauważa, że jest szansa. i tak dalej …… to niestety, nie.

16 Rozwiązać nierówności : bo zawsze dodatnie Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba mniejsza od 2. * * Ponieważ umówiliśmy się równania i nierówności rozwiązywać metodą równań równoważnych musimy zadbać o ich dziedzinę. W poprzednich przykładach nie badaliśmy dziedzin, bo zawsze były one zbiorem liczb rzeczywistych ( na ogół taka umowa ). Tym razem jest inaczej. bo zawsze nieujemne źle. błąd bo zawsze dodatnie Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z

17 Rozwiązujemy nierówności coraz bardziej skomplikowane. Jakkolwiek rozwiązujemy nierówności, z których nie spotkaliśmy w gimnazjum, ale ciągle są to nierówności pewnych postaci. Pokażmy jeszcze, że i te nierówności : z którymi spotyka się licealista dopiero w drugiej klasie, a które potrafi rozwiązać gimnazjalista. Czym te nierówności różnią się od poprzednich ? Oprócz postaci ( poprzednio iloczyny, a tu ilorazy ), różnią się tylko dziedziną. Jeżeli uświadomimy sobie, że w klasie szóstej wiedzieliśmy, iż reguły ustalanie znaków iloczynu i ilorazu, są takie same, to Jak rozwiązywać te nierówności ? Tak jak poprzednio, trzeba wpierw tylko ustalić dziedzinę. W tym momencie warto zauważyć, że każdy licealista, powyższe ilorazy, zamieni na iloczyny.Po co ?Dlaczego ? Odpowiedzi na ogół brak, lub bo tak uczyliśmy się. jesteśmy w domu.

18 Gdzie matematyka ? Gdzie uzasadnienie swoich tez, które jest nieodłączną metodą postępowania w matematyce ? Przyrodnik akceptuje rzeczywistość, matematyk żąda dowodu. Pokażmy rozwiązanie dwu nierówności : * Trochę logiki ( prawa de Morgana ). Poziom gimnazjum : wykresy funkcji liniowych Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z Uwaga na dziedzinę ! x _ + _ _ + _ ++ + _ _ + Iloraz ujemny

19 * za pomocą krzywej znaków Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z Widać, że dla dużych x-sów ( większych od ) wartości ilorazu są dodatnie, dlatego krzywą znaków kreślimy od końca i od góry, na przemian przez miejsca zerowe. Rozwiążmy tą nierówność jeszcze raz, * bo zawsze dodatnie x x _ + _ _ _ _ _ D Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z Miejsca zerowe czynników widać Iloraz dodatni

20 * za pomocą krzywej znaków. Tak jak poprzednio, widać, że dla dużych x-sów ( większych od ) są dodatnie, dlatego krzywą znaków Rozwiążmy tą nierównośćjeszcze raz, wartości ilorazu kreślimy od końca i od góry, na przemian przez miejsca zerowe. Przy rozwiązywaniu dwu ostatnich nierówności z pomocą krzywej znaków, kreśliliśmy ją od końca i od góry, a w pierwszym ćwiczeniu ( slajd 10 ) od końca i z dołu. x D Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z Miejsca zerowe

21 Należy ustalić, od czego to zależy ( krótkie wyjaśnienie było), i czy krzywa zawsze będzie przechodzić na przemian przez kolejne miejsca zerowe. Odpowiedziami na te pytania zajmiemy się w Równania i nierówności Pomimo, że wykorzystywaliśmy podstawowe wiadomości o równaniach i nierównościach liniowych, potrafiliśmy Stąd przed nami zadanie, by znaleźć dalsze sposoby zamiany rozwiązywać nierówności o dosyć skomplikowanej postaci. Ale są to takie równania, które za pomocą znanych wzorów z gimnazjum, potrafiliśmy przekształcić do postaci Iloczynu lub ilorazu funkcji liniowych, bądź dzięki bystremu oku ( doświadczeniu ), zobaczyliśmy za które podstawiając proste równanie. sumy na iloczyn, zwany rozkładem sumy na czynniki. W tej prezentacji odwoływałem się do sposobu grupowania, omawianego w drugiej klasie liceum,choć znają go gimnazjaliści. nową niewiadomą otrzymaliśmy powtarzające się wyrażenie,

22 @ Równania, nierówności a rozwiązywane teraz nierówności, rozwiążemy jeszcze szybciej. Opr. WWW ęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji by po korekcie, Z góry dziękuję. można było ją uznać za poprawną. i przekazanie uwag, belferwww.one.pl Koniec prezentacji tel Zapraszam Przy okazji badania własności wielomianów, poznamy nowe wzory i nowe twierdzenia pozwalające na rozkład wyrażeń na czynniki. Na razie w następnej prezentacji wyznaczymy szybszą drogę rozwiązywani równań kwadratowych


Pobierz ppt "nierówności Rozwiązywanie w których po jednej stronie jest iloczyn a po drugiej zero. lub iloraz funkcji liniowych, Postaraj się przewidzieć co pojawi."

Podobne prezentacje


Reklamy Google