Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Własności działań na zbiorach. Relacje między zbiorami. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Własności działań na zbiorach. Relacje między zbiorami. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym."— Zapis prezentacji:

1

2 Własności działań na zbiorach. Relacje między zbiorami. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

3 Mamy dany zbiór A = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ……. } Czy zapis zbioru A jest zgodny z naszymi dotychczasowymi ustaleniami, umowami ? Nie. Czy wymieniliśmy wszystkie elementy zbioru A ? Czy zbiór A, określiliśmy podając funkcję zdaniową, której ten zbiór jest zbiorem spełniania ? Nie. W tym momencie, prawie wszyscy pomyślą, o co mu chodzi, przecież wszyscy wiedzą, że tych liczb ( czy ja wiem jakich ?) i nie da się ich wymienić. Odpowiem ( niektórzy powiedzą złośliwie ): po pierwsze, nie umawialiśmy się na temat zapisu, po drugie, wydawało mi się, że przestaliście wypisywać, bo bez sensu byłoby wymienianie np. nawet do tysiąca. Inaczej mówiąc, nie wiem, czy to wyliczanie ma się skończyć, czy nie. Umówmy się zatem, że zapis A = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ……. } oznacza zbiór liczb, które wiemy jak otrzymywać wymieniając w nieskończoność ( ? ), { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, …, } a zapis od 5, do tysiąca ( włącznie, w/g wcześniejszej umowy ). ( tu np. ciągle dodając 5 ) takie liczby jest nieskończenie wiele

4 i funkcje zdaniowe : zbiór naturalnych wielokrotności liczby 5, zbiór naturalnych, których cyfra jedności jest równa 0 lub 5. zbiór naturalnych podzielnych przez 5. Wyznaczmy zbiory spełniania tych funkcji zdaniowych. Mamy dany zbiór A = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ……. } Najprawdopodobniej, wszyscy natychmiast odpowiedzą, zbiorami spełniania jest ten sam zbiór A. Niektórzy przewidują moja reakcje na taką odpowiedź. Ucząc matematyki, choć jestem stary, jestem jak pięciolatek, który ku utrapieniu uczniów i nauczycieli ciągle pyta, dlaczego ? Skąd mam wiedzieć, kiedy dwa zbiory są równe. Pytanie, czy równa się 1,1, to pestka, wobec pytania o równość zbiorów. Choć mam nadzieję ( chyba zbyt często to powtarzam ), że Ci, którzy z uwagą śledzili moją poprzednia prezentację mają gotową odpowiedź. Geometria, nauka Pojęcie równości zbiorów uznamy za aksjomat teorii zbiorów.

5 Wydaje się, że znaleźliśmy proste rozwiązanie problemu. Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, Ten aksjomat został sformułowany przez E. Zermelo w 1908 r. gdy mają te same elementy. Jak wykazać, że zbiory spełniania funkcji zdaniowych : jest równa 0 lub 5. zbiór naturalnych podzielnych przez 5. zbiór naturalnych wielokrotności liczby 5, są równe ? Nadal nie wiemy. Aksjomat nic nie pomógł. Gdyby te zbiory miały skończoną ilość elementów, to dałoby się pojedynczo sprawdzać należenie do zbioru, ale jest ich niekończenie wiele ( a my jesteśmy śmiertelni ). Trzeba ten problem jakoś rozwiązać. Powrócimy do niego za chwilę. Rozpatrzmy dwa zbiory : A : zbiór uczniów Twojej szkoły, B : zbiór uczniów Twojej klasy.

6 A : zbiór uczniów Twojej szkoły, B : zbiór uczniów Twojej klasy. Co ciekawego powiemy o tych zbiorach ? Aby snuć rozważania o własnościach odnoszących się Aby tą zależność między zbiorami uznać w matematyce, do dowolnych zbiorów,przedstawmy te zbiory graficznie. A B Czy ta ilustracja odzwierciedla dane o zbiorach ? Najprawdopodobniej wszyscy odpowiedzą, że nie. Ja odpowiem, ten rysunek może się przydać, ale o tym za chwilę. Oczywiście, warto te zbiory narysować tak A B Jak potocznie nazwiemy te zbiory ze względu na ich położenie ? Chyba nikt nie ma oporów, by określić, zbiór A zawiera się w zbiorze B. musimy ją zdefiniować. Definicja jest krótka i węzłowata : gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B. zbiór A zawiera się w zbiorze B, wtedy i tylko wtedy,

7 Po tak sformułowanej definicji jej zapis symboliczny, słów na symbole. Autorzy podręczników nie zauważają, że uczniowie i studenci maja prawo pytać, skąd się to wzięło ? Spróbujmy poznaną definicję Wprawdzie definicja jest krótka i węzłowata, gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B.B. Zbiór A zawiera się w zbiorze B, Nawiasem mówiąc dopiero teraz zastanawiałem się, dlaczego węzłowata. Chyba dlatego, że w tej wypowiedzi jest węzeł, który trzeba rozwikłać. Gdzie węzeł, o co chodzi. ale na ogół krótka wypowiedź, jest mało precyzyjna. wtedy i tylko wtedy, zapisać symbolicznie. Odwołajmy się do logiki i podstaw gramatyki. W powyższym określeniu nie widać ( nie słychać ) struktury logicznej wypowiedzi. najczęściej pojawia się który nie jest formalnym tłumaczeniem

8 W części wyjaśniającej pojęcie występują dwa zdania : każdy element zbioru A, należy do zbioru B. Nie tylko na lekcji matematyki, ale także języka polskiego uczyliśmy się, że aby ze zdań prostych zbudować zdanie złożone, należy połączyć je spójnikiem. Po pierwsze w wypowiedzi spójnika nie widać ani nie słychać, po drugie, spójników w logice jest mniej niż w języku polskim i są dosyć dziwne, np. wtedy i tylko wtedy, jeżeli ……. to ….. gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B. Zbiór A zawiera się w zbiorze B, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A należy do zbioru A. Zbiór A zawiera się w zbiorze B, Jakim spójnikiem połączyć zdania zaznaczone kolorami ? wtedy i tylko wtedy, Prawie zawsze pada propozycja połączyć spójnikiem i. Ale wtedy wszyscy przyznają, te zbiory Ponieważ spójnika lub nikt nie zaproponuje, więc metodą prób i błędów dojdziemy do wniosku, iż zdania te należy połączyć spójnikiem logicznym jeżeli …., to ….. są równe.

9 gdy każdy element zbioru A należy do zbioru A. Zbiór A zawiera się w zbiorze B, wtedy i tylko wtedy, Kolorowe części zdania mamy połączyć spójnikiem jeżeli … to.... Czy to już koniec naszych kłopotów ? Niestety, nie. Gdzie wstawić te słowa ? Z logiki wiemy, że termin każdy to duży kwantyfikator, i jest istotne do jakiej części wypowiedzi odnosi się. Po analizie różnych propozycji dojdziemy chyba do wniosku, że kwantyfikator powinien odnosić się do całej części wyjaśniającej pojęcie zawierania zbioru. Po tych niebanalnych dywagacjach napiszmy nowa wersję definicji : gdy każdy element Zbiór A zawiera się w zbiorze B, wtedy i tylko wtedy, to należy do zbioru B. jeżeli jest elementem zbioru A Ta wersja istotnie różni się od początkowej. Widać i słychać strukturę logiczną definicji i nie ma problemu z jej zapisem symbolicznym. zawiera się w

10 Sądzę, że wszyscy potwierdzą, że opłacił się trud wnikliwego analizowania definicji, by bez problemu zapisać ją symbolicznie. Jeżeli każdy element jest jednocześnie elementem B, którą można zobaczyć na portalu internetowym to zbiór A nazywa się podzbiorem zbioru B. jest jak poprzednie krótka, lapidarna i poprawna. Jej zapis symboliczny jest prawie zapisem powyższego tekstu tyle, że taki zapis jest skrótowy i mało już stosowany, a natępny warunek błędny. W powyższej definicji pojawił się inny symbol zawierania Fakt, że zbiór A zawiera się w zbiorze B zapisujemy zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B. a zbiór B nazywamy nadzbiorem zbioru A. Jeszcze uwaga o definicji, Jak wiemy, jest to sprawa umowy autora, który najprawdopodobniej aby podkreślić zależność, że ( analogicznie do ).

11 Z definicji zawierania się zbioru w zbiorze wynika, że: zbiór pusty jest podzbiorem każdego innego zbioru, zbiór A jest podzbiorem samego siebie. Powróćmy do schematów zbiorów. A B Cztery slajdy wcześniej, napisałem ze ten rysunek może być ilustracją przypadku, gdy Jak tego dokonać ?W bardzo prosty sposób. Wystarczy wykorzystać symbol zbioru pustego. Tu nic nie ma, A B Czy rysunek może może dotyczyć przypadku, gdy są rozłączne ? Proszę bardzo. A B Czy rysunek może być ilustracja, że Oczywiście. Przy okazji rozwiązaliśmy problem, zbadania kiedy dwa zbiory są równe. Twierdzenie : więc

12 Powyższe twierdzenie jest ważne, gdyż pozwala praktycznie wykazać równość zbiorów. Omówiliśmy dwie relacje ( zależności, stosunki ) między zbiorami : równości i zawierania ( zwany inkluzją ). Relacje równości zbiorów oraz zawierania się zbiorów mają własności : relacja jest zwrotnaprzechodnia Ta własność widoczna jest na schematach ABC Powyższe własności relacji są analogiczne do własności relacji między liczbami. Chodzi o równość liczb oraz nierówność ( jaką ? )

13 Odpowiednią relacją i zależność między liczbami do wydaje się być relacja ( podobieństwo znaków ) bo zachodzi Ale inkluzja ( zawierania się zbiorów ) ma własność zwaną antysymetrią A relacja takiej własności nie ma. Sądzę, że wszyscy zauważą, że relacja zwana czasem słabą mniejszością, spełnia taką zależność Idźmy krok dalej. Znamy inkluzję zbiorów i jej odpowiednik między liczbami, słabą mniejszość, znamy dodawanie i mnożenie zbiorów, o dodawaniu i mnożeniu liczb nie wspominając. Czym zająć się teraz ? Już w szkole podstawowej poznaliście związki między nierównościami a dodawaniem i mnożeniem liczb.

14 Własności te zwane były prawami monotonii dodawania i mnożenia : Czy są analogiczne własności dla zbiorów ? Dla trzeciej własności na pewno nie, ale dla dwu pierwszych … Zobaczmy na schematach. ABC Widać, ze zachodzą własności : A B Widać również inne proste zależności :

15 A B A C BD I tu widzimy analogiczne własności do własności nierówności i działań na liczbach. Przejdźmy wreszcie do własności działań na zbiorach. Przypomnijmy definicje działań. Element należy do sumy zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy należy przynajmniej do jednego ze zbiorów.

16 Element należy do iloczynu zbiorów wtedy i tylko wtedy, gdy należy równocześnie do obu zbiorów. Jest oczywiste, ze pytając o własności działań na zbiorach zapytamy o przemienność, łączność dodawania i mnożenia i dalsze znane własności działań na liczbach. Dla dowolnych zbiorów zawartych w przestrzeni zachodzi : Czy jest element neutralny dla dodawania zbiorów ? Czy jest element neutralny dla mnożenia zbiorów ? Czy jest element przeciwny ?Czy jest element odwrotny ? Nie ma. Nie ma. Powyższe własności są oczywiste, bo wynikają z definicji działań na zbiorach.

17 Ale dla zbiorów zachodzą inne dziwne a nawet sprzeczne z własnościami działań na liczbach ( arytmetycznymi ). I dowody tych własności wynikają wprost z odpowiednich definicji. Już w klasie 2-giej szkoły podstawowej poznaliśmy własność, która mówiła o związku miedzy dodawaniem a mnożeniem. Było to prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania. Nasuwa się naturalne pytanie, czy taka własność zachodzi dla zbiorów. Podejrzewamy, że zachodzi Uzasadnią Ci, którzy znają logikę, a dokładniej tautologię : ( dlaczego ? ).

18 A C B Zakreskujmy kolorowo kolejne zbiory A C B Figura zakratkowana Figura zakreskowana przynajmniej jednym kolorem są przystające Jak to udowodnić ? Popatrzmy, jak dowodziły tą własność dzieci. Skoro wykazaliśmy prawo rozdzielności mnożenia zbiorów względem dodawania zbiorów trzeba i należy zapytać o rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia. Wykażmy to graficznie.

19 A C B Zakreskujmy kolorowo kolejne zbiory A C B Figura zakratkowana Figura zakreskowana przynajmniej jednym kolorem są przystające Powyższą równość, dla której nie ma analogicznej w arytmetyce udowodniliśmy wykorzystując graficzne przedstawienie zbiorów. W klasie matematycznej, a tym bardziej na poziomie studiów, należałoby dowieść formalnie. Pokażmy taki dowód. tautologia

20 Wykazaliśmy, że Czyli Udowodnij prawa algebry zbiorów : Oprócz dodawania, odejmowania i mnożenia zbiorów poznaliśmy jeszcze jedną operacje, dopełnienie zbioru. Warto postawić pytanie, dopełnieniem sumy, iloczynu tych zbiorów. a dopełnieniami czy jest jakiś związek między

21 Jaka jest zależność miedzy a Czy mamy jakieś podejrzenia ? Gratuluję tym, którzy maja odpowiedzi. Tym, którzy nie mają pomysłu, proponuję popatrzeć. Nakreślmy zbiory A, B, przestrzeń X i ich dopełnienia. Zmodyfikujmy rysowanie zbiorów, by wygodniej je określać. AB X AB X Zaznaczmy Odpowiedź jest natychmiastowa. Czy ta równość nie przypomina wam czegoś ? To prawo de Morgana dla alternatywy. Warunki nazywamy prawami de Morgana dla zbiorów. Czemu są równe, kiedy ?

22 Udowodnijmy równość cbdu Dla ustalonej przestrzeni X i dowolnego A zawartego w X zachodzi kilka podstawowych własności : które wynikają wprost z definicji dopełnienia i własności działań na zbiorach. Wykazaliśmy, że Stąd

23 Opr. WWW ęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji by po korekcie, Z góry dziękuję. można było ją uznać za poprawną. i przekazanie uwag, belferwww.one.pl Koniec prezentacji tel Zapraszam W tej prezentacji omówilismy dwie postawowe relacje miedzy zbiorami : równośc i inkluzję ( zawieranie się ) zbiorów. Uzasadnilismy podstawowe własności działan na zbiorach. O związkach między działaniami na zbiorach a operacjami na funkcjach zdaniowych będziemy rozważać w prezentacji Działania na zbiorach a funkcje a ćwiczenia w działaniach na podstawowych zbiorach spotykanymi w nauce szkolnej odrobimy w prezentacji Ćwiczenia w działaniach na


Pobierz ppt "Własności działań na zbiorach. Relacje między zbiorami. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym."

Podobne prezentacje


Reklamy Google