Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Symulacje komputerowe Mechanika kwantowa Fizyka w modelowaniu i symulacjach komputerowych Jacek Matulewski (

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Symulacje komputerowe Mechanika kwantowa Fizyka w modelowaniu i symulacjach komputerowych Jacek Matulewski ("— Zapis prezentacji:

1 Symulacje komputerowe Mechanika kwantowa Fizyka w modelowaniu i symulacjach komputerowych Jacek Matulewski ( Wersja: 20 kwietnia 2010

2 Plan 1.Tło i powstanie fizyki kwantowej 2.Podstawowe pojęcia i opis stanu w fizyce kwantowej 3.Czasowe i bezczasowe równanie Schrödingera (dynamika stanu i szukanie stanów własnych) 4.Inne podobne równania różniczkowe cząstkowe 5.Metody num. 1D: Crank-Nicholsona i FFT+Czebyszew 6.Metody num. 2D i 3D: ADI i FFT+Czebyszew

3 Podręczniki I. Birula-Białynicki, M. Cieplak, J. Kamiński, Teoria kwantów, 1991 L. Schiff, Mechanika kwantowa, 1977 L. D. Landau, E. M. Lifszic, Mechanika kwantowa, 1979 H. Haken, H. C. Wolf, Atomy i kwanty, 1997 R. Shankar, Mechanika kwantowa, 2006 Skrypt prof. Andrzeja Raczyńskiego

4 Stara teoria kwantów Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – promieniowanie ciała doskonale czarnego Planck założył kwantyzację energii (1900 r.) – prawo Wiena

5 Stara teoria kwantów Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne Einstein wyjaśnił je zakładając kwantyzację energii fali elektromagnetycznej (fotony) (1904 r.) prędkość fotoelektronów zależy tylko od częstości fali ilość fotoelektronów zależy od natężenia światła (ilości fotonów)

6 Stara teoria kwantów Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – linie emisyjne i absorpcyjne widm atomowych kwantyzacja energii atomu (momentu pędu), zmiana energii (stanu) atomu tylko przy emisji lub absorpcji fotonu model atomu Bohra (1911 r.) Widmo termiczne (np. Słońce) Widmo emisyjne azotu

7 Stara teoria kwantów Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – linie emisyjne i absorpcyjne widm atomowych model atomu wodoru Bohra (1911 r.)

8 Stara teoria kwantów Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – ciepło właściwe ciał stałych (Einstein 1907 r., Debye 1914 r.) – doświadczenie Francka-Hertza (1918 r.) – efekt Comptona (1923 r.) – hipoteza de Brogliea (1923 r.) - dualizm cząsteczkowo-falowy – doświadczenie Sterna-Gerlacha (1922 r.) - spin (wewn. m. pędu)

9 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 1.Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową wielkość zespolona, zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości mamy teraz tylko jedną Interpretacja probabilistyczna prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze V pewność znalezienia cząstki; funkcja falowa jest unormowana

10 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 1.Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową wielkość zespolona, zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości mamy teraz tylko jedną x

11 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 1.Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową wielkość zespolona, zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości mamy teraz tylko jedną Zbiór funkcji falowych tworzy przestrzeń wektorową (dodawanie i mnożenie przez liczby zespolone) superpozycja (zasada superpozycji) iloczyn skalarny funkcji falowych

12 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 1.Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową wielkość zespolona, zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości mamy teraz tylko jedną Zbiór funkcji falowych tworzy przestrzeń wektorową (dodawanie i mnożenie przez liczby zespolone) Można skonstruować bazę ortonormalną funkcji falowych widmo dyskretne widmo ciągłe

13 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 2.Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) analog wartości oczekiwanej w rachunku prawdopodobieństwa

14 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 2.Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Operator położenia cząstki: analog wartości oczekiwanej w rachunku prawdopodobieństwa

15 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 2.Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Operator pędu cząstki:

16 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 2.Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Operator energii całkowitej (hamiltonian):

17 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 2.Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Operator energii całkowitej (hamiltonian):

18 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 2.Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Operator energii całkowitej (hamiltonian):

19 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 2.Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Twierdzenie Ehrenfesta: Wartość oczekiwane operatorów położenia i pędu zmieniają się w sposób analogiczny, jak w układzie nieskwantowanym (klasycznym) Ale w mechanice kwantowej wynik pomiaru np. położenia nie musi być równy wartości oczekiwanej – to nie musi być nawet najbardziej prawdopodobne położenie

20 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 2.Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) x najbardziej prawdopodobne położenie wartość oczekiwana położenia możliwy wynik pomiaru położenia

21 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 2.Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Doświadczenie Younga na pojedynczych fotonach

22 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 2.Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Niepewność – wariancja: wartość oczekiwana wariancja Niepewność niektórych wielkości (np. położenia i pędu) jest związana zasadą nieoznaczoności Heisenberga

23 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 2.Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Niepewność – wariancja: niepewność położenia Niepewność niektórych wielkości (np. położenia i pędu) jest związana zasadą nieoznaczoności Heisenberga niepewność pędu Granica dokładności pomiaru stanu cząstki (powód fizyczny, a nie technologiczny)

24 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 3.Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) operator położenia – dowolne wartości (zbiór liczb rzeczywistych) Wartość oczekiwana operatora może nie być wartością własną (problem pomiaru – redukcja pakietu falowego) energia całkowita (hamiltonian) – tylko wybrane wartości Mówimy, że energia jest skwantowana ale ma również część widma ciągłego

25 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 3.Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem)

26 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 3.Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) Jak znaleźć dozwolone wyniki pomiaru? Należy rozwiązać jego zagadnienie własne (por. algebra macierzy) Wówczas otrzymamy wartości własne operatora i odpowiadające im funkcje stanów własnych

27 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 3.Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) Jak znaleźć dozwolone wyniki pomiaru? Należy rozwiązać jego zagadnienie własne (por. algebra macierzy) Wówczas otrzymamy wartości własne operatora i odpowiadające im funkcje stanów własnych bezczasowe równanie Schrödingera

28 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 3.Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) Stany własne atomu wodoru (funkcje falowe) 1s2s, 3s

29 Mechanika kwantowa Postulaty mechaniki kwantowej: 4.Ewolucja układu kwantowego (cząstki), gdy nie dokonuje się pomiaru, jest opisana zależnym od czasu równaniem Schrödingera To jest fundament symulacji kwantowomechanicznych! Równanie różniczkowe cząstkowe (PDE) Odpowiednik równania Newtona

30 Opis stanu w mechanice kwantowej – nowa jakość – Opis probabilistyczny (możliwość interferencji) – Komplementarność (problem zupełnego opis stanu) – Kwantyzacja wielkości fizycznych – Nieklasyczne wielkości fizyczne (spin) – Nierozróżnialność identycznych cząstek Mechanika kwantowa Zasada korespondencji (Niels Bohr)

31 Jednowymiarowe równanie Schrödingera Implementacja na ćwiczeniach Pokaz typowych zjawisk Mechanika kwantowa C:\ProgramData\Microsoft\Windows\Start Menu\Programs\QDyn

32 Mechanika kwantowa w obrazach Rozszerzanie pakietu gaussowskiego (brak potencjału) Cząstka swobodna. Im węższy pakiet, tym szybciej się rozszerza. Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a Potencjał: brak potencjału Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 a = 1 a = 2 a = 4 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

33 Mechanika kwantowa w obrazach Rozpraszanie na progu potencjału Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1 Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) k = 0.5

34 Mechanika kwantowa w obrazach Rozpraszanie na progu potencjału Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1 Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) k = 1

35 Mechanika kwantowa w obrazach Rozpraszanie na progu potencjału Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1 Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) k = 1.5

36 Mechanika kwantowa w obrazach Rozpraszanie na progu potencjału Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1 Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) k = 2

37 Mechanika kwantowa w obrazach Zjawisko tunelowania k = 0.5 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) a = 1

38 Mechanika kwantowa w obrazach Zjawisko tunelowania k = 1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) a = 1

39 Mechanika kwantowa w obrazach Zjawisko tunelowania k = 1.5 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) a = 1

40 Mechanika kwantowa w obrazach Zjawisko tunelowania k = 3 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) a = 1

41 Mechanika kwantowa w obrazach Zjawisko tunelowania k = 1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) a = 0.5

42 Mechanika kwantowa w obrazach Zjawisko tunelowania k = 1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) a = 1

43 Mechanika kwantowa w obrazach Zjawisko tunelowania k = 1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) a = 1.5

44 Mechanika kwantowa w obrazach Zjawisko tunelowania Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100,100); sieć czasowa: 1000, krok 0.1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x) k = 1 a = 2.5

45 Inne równania falowe Równanie propagacji fali elektromagnetycznej (wyprowadzane z równań Maxwella) Równanie powierzchni cieczy Równanie dyfuzji Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Założenie: strumień proporcjonalny do gradientu stężenia


Pobierz ppt "Symulacje komputerowe Mechanika kwantowa Fizyka w modelowaniu i symulacjach komputerowych Jacek Matulewski ("

Podobne prezentacje


Reklamy Google