Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 2 12.03.2008 r. Krzywe stożkowe. Elipsa Równanie biegunowe P F2F2 F1F1 F 2 leży w punkcie początkowym układu (biegunie), a duża.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 2 12.03.2008 r. Krzywe stożkowe. Elipsa Równanie biegunowe P F2F2 F1F1 F 2 leży w punkcie początkowym układu (biegunie), a duża."— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA NIEBA WYKŁAD r

2 Krzywe stożkowe. Elipsa Równanie biegunowe P F2F2 F1F1 F 2 leży w punkcie początkowym układu (biegunie), a duża półoś pokrywa się z linią początkową (osią biegunową, θ=0 o ) θ nie jest tym samym kątem co wprowadzony wcześniej ν ! Korzystając z definicji elipsy: można otrzymać: lewa strona to wprowadzony wcześniej parametr elipsy p. Ostatecznie r-nie biegunowe elipsy przyjmuje postać:

3 Krzywe stożkowe. Elipsa Równanie biegunowe Jeśli wielka półoś jest nachylona pod kątem ω do linii początkowej (osi biegunowej) to: czyli: Różnica między θ oraz ν jest oczywista

4 Krzywe stożkowe. Parabola Parabola jest krzywą jaką zakreśla punkt poruszający się tak, że jego odległość od tworzącej (NP) jest równa odległości od ogniska (PF). Jeśli N=(-q,0), F(q,0) to z definicji paraboli otrzymamy: Po kilku przekształceniach dostajemy r-nie paraboli: p

5 Krzywe stożkowe. Parabola Linia równoległa do tworzącej i przechodząca przez ognisko to parametr paraboli p. Przecina on parabolę w dwóch punktach: Stąd możemy otrzymać równania parametryczne paraboli: Wniosek: Ciało, które porusza się ze stałą prędkością w jednym kierunku i ze stałym przyspieszeniem w drugim kierunku – porusza się po paraboli. p

6 Krzywe stożkowe. Parabola Styczne do paraboli Postępujemy podobnie jak w przypadku elipsy. Wychodząc od równania na punkty wspólne prostej i paraboli, szukamy przypadku z jednym rozwiązaniem (punkt styczności). Styczna (przy zadanym współczynniku kierunkowym, m) do paraboli :

7 Krzywe stożkowe. Parabola Styczne do paraboli Styczną w punkcie znajdujemy także analogicznie jak w przypadku elipsy. Wybieramy dwa dowolne punkty: Wyznaczając prostą między nimi i przechodząc do granicy t 2 -t 1 ->0 otrzymujemy:

8 Krzywe stożkowe. Parabola Równanie biegunowe Z definicji: FP=PN=r a także FO=OM=q FM=2q=p oraz rcosθ+r=2q=p ostatecznie:

9 Krzywe stożkowe. Hiperbola Hiperbola to linia, po której porusza się punkt tak, że różnica jego odległości od ognisk jest stała: Odległość między ogniskami: gdzie e jest mimośrodem hiperboli. Z definicji hiperboli:

10 Krzywe stożkowe. Hiperbola otrzymujemy: po uwzględnieniu: dostajemy ostatecznie: b a

11 asymptoty: co można zapisać jako: Krzywe stożkowe. Hiperbola hiperbola sprzężona: b a

12 Krzywe stożkowe. Hiperbola Parametr zderzenia Poruszająca się szybko cząstka pod wpływem siły ~ 1/r 2 zakreśla hiperbolę. Odległość K 2 F 2 w jakiej cząstka minęłaby F 2 w przypadku braku siły jest nazywana parametrem zderzenia. Parametr zderzenia jest równy b (z r-nia hiperboli).

13 Krzywe stożkowe. Hiperbola Styczne do hiperboli Wyznaczamy je identycznie jak w przypadku elipsy (ćwiczenia): dla stycznej o zadanym współczynniku kierunkowym oraz: dla stycznej w punkcie (x 1,y 1 ):

14 Krzywe stożkowe. Hiperbola Równanie biegunowe r s Postępujemy podobnie jak w przypadku elipsy. Z definicji: Stosując wzór cosinusów do trójkąta F 1 F 2 P i łącząc z powyższym dostajemy: gdzie: jest parametrem hiperboli θ Dla drugiej hiperboli postępujemy podobnie i otrzymujemy:

15 Krzywe stożkowe. Równanie biegunowe Można zauważyć, że krzywa każdego typu ma podobne równanie biegunowe: Odpowiednie krzywe różnią się tylko wartością mimośrodu, e: elipsae<1 parabolae=1 hiperbolae>1 P F2F2 F1F1

16 Równanie: przedstawia elipsę, której wielka półoś leży na osi 0X, a środek znajduje się w początku układu współrzędnych Krzywe stożkowe. Ogólna postać Co się stanie w przypadku odsunięcia elipsy od początku układu współrzędnych i skręcenia wielkiej półosi względem osi układu?

17 Krzywe stożkowe. Ogólna postać Przesunięcie środka do punktu (p,q) powoduje zmianę współrzędnych do (x-p,y-q). Nachylenie osi wielkiej pod kątem θ do osi 0X powoduje, że: x -> xcosθ +ysinθ y -> -xsinθ +ycosθ Uwzględniając to w równaniu elipsy otrzymamy równanie zawierające czynniki x 2,y 2,xy,x,y oraz stałą. Podobnie będzie w przypadku hiperboli i paraboli. W takim razie, każdą krzywą stożkową można przedstawić za pomocą równania:

18 Czy takie równanie zawsze przedstawia parabolę, hiperbolę lub elipsę? Krzywe stożkowe. Ogólna postać Otóż, nie zawsze. Np.: Jest spełnione tylko przez jeden punkt. Potrzebny jest niezmiennik ogólnego równania, który pozwoli określić postać rozwiązań

19 Krzywe stożkowe. Ogólna postać Niezmiennikiem tego równania jest wyznacznik: gdzie:

20 Krzywe stożkowe. Ogólna postać Współrzędne środka dowolnej krzywej stożkowej: a kąt jaki tworzy wielka półoś z osią 0X: Wartości współczynników równania i niezmienników pozwalają jednoznacznie określić z jakim przypadkiem mamy do czynienia:

21 punkt dwie nierównoległe linie proste prosta dwie proste równoległe dwie proste prostopadłe dwie proste nieprostopadłe i nierównoległe Krzywe stożkowe. Ogólna postać tu zaczynamy następna strona

22 Krzywe stożkowe. Ogólna postać parabola nic okrąg elipsaw pozostałych i hiperbola prostokątna hiperbola (nieprostokątna)

23 Weźmy równanie: pięć punktów potrzeba i wystarcza, aby jednoznacznie dopasować do nich krzywą stożkową. Jeżeli przynajmniej trzy z nich leżą na jednej prostej to dostajemy krzywą stożkową niewłaściwą Najprostszy sposób polega na podstawieniu do niego współrzędnych kolejnych punktów i rozwiązanie otrzymanego układu równań w celu uzyskania współczynników. Krzywe stożkowe. Ogólna postać A(1,8), B(4,9), C(5,2), D(7,6), E(8,4)

24 Krzywe stożkowe. Ogólna postać Można to zrobić nieco inaczej (w prostszy sposób?) Piszemy równania prostych α=0, β=0, γ=0 i δ=0: Wtedy r-nie αβ=0 opisuje proste AB i CD, natomiast γδ=0 zawiera pozostałe dwie proste:

25 Otrzymujemy λ=76/13 i ostatecznie szukane równanie krzywej stożkowej przechodzącej przez zadane pięć punktów: Mając współczynniki równania możemy określić (z tabeli krzywych stożkowych), że otrzymaliśmy elipsę, której środek znajduje się w punkcie (4.619, 5.425) nachylonej do osi OX po kątem 128 o 51 Krzywe stożkowe. Ogólna postać Ostatecznie, równanie opisujące całą rodzinę krzywych stożkowych przechodzących przez A, B, C, D przyjmuje postać αβ+λγδ =0 (gdzie λ jest stałą): Podstawiając x=8, y=4 wyznaczamy takie λ, dla którego dana krzywa stożkowa przechodzi przez punkt E.

26 Pole grawitacyjne i potencjał Prawo powszechnego ciążenia Każda cząstka we Wszechświecie działa na każdą inną cząstkę z siłą, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych cząstek i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich odległości: gdzie G jest uniwersalną (obowiązuje wszędzie(?) we Wszechświecie) stałą (niezmienną w czasie) grawitacji równą:

27 Natężenie pola grawitacyjnego pochodzącego od masy M: czyli iloraz siły grawitacyjnej działającej na ciało próbne m i jego masy. Pole grawitacyjne i potencjał Natężenie pola grawitacyjnego M m

28 Pole grawitacyjne i potencjał Dwa punkty materialne z y x 0 P(x 0,y 0,z 0 ) Q(x 1,y 1,z 1 ) Dane są dwa punkty P i Q o masach równych m 0 i m 1 odległych o r: Załóżmy, że P jest przyciągany przez Q, wtedy składowe siły:

29 Pole grawitacyjne i potencjał Dwa punkty materialne z y x 0 P(x 0,y 0,z 0 ) Q(x 1,y 1,z 1 ) Odpowiednie cosinusy kierunkowe są równe: a więc:

30 Siła przyciągania punktu P przez dowolny punkt Q i : dodając odpowiednie składowe do siebie otrzymamy składowe całkowitej siły działającej na P: Pole grawitacyjne i potencjał n punktów z y x 0 P(x 0,y 0,z 0 ) Q i (x i,y i,z i )

31 Ostatecznie: Pole grawitacyjne i potencjał n punktów z y x 0 P(x 0,y 0,z 0 ) Q i (x i,y i,z i )

32 W mechanice nieba zazwyczaj mamy do czynienia z ciałami o symetrycznym rozkładzie masy co pozwala uprościć problem wyznaczania siły działającej od układu punktów. Pole grawitacyjne i potencjał n punktów copyright: copyright: Hubble Heritage Team W obiektach nieregularnych, odległości (zwykle) między poszczególnymi centrami grawitacji są na tyle duże, że można zaniedbać wpływ innych obiektów niż najbliższe.

33 Pole grawitacyjne i potencjał Pole na osi pierścienia δγrδγr δγoδγo δγδγ Wkład od elementu masy δM do całego natężenia: który można rozłożyć na składowe:

34 Pole grawitacyjne i potencjał Pole na osi pierścienia δγrδγr δγoδγo δγδγ Całkując po wszystkich przyczynkach otrzymujemy: natężenie skierowane do środka pierścienia. Powyższa funkcja zeruje się w środku pierścienia i w nieskończoności osiągając po drodze maksimum (ćwiczenia).

35 Pole grawitacyjne i potencjał Pole na osi jednorodnego dysku Punkt P leży na osi dysku o gęstości powierzchniowej σ, w odległości z od środka. Masa elementarnego pierścienia: jego wkład do całkowitego natężenia:

36 Sumaryczne natężenie znajdujemy licząc całkę: Pole grawitacyjne i potencjał Pole na osi jednorodnego dysku Możemy wyrazić tę zależność w funkcji kąta α:

37 Jeśli masa całego dysku wynosi: to: Pole grawitacyjne i potencjał Pole na osi jednorodnego dysku W ogólnym przypadku gęstość zależy od r i wtedy natężenie pola grawitacyjnego:

38 Pole grawitacyjne i potencjał Pole na osi dowolnego dysku Zakładając różne postaci rozkładu gęstości można przybliżać natężenia pola grawitacyjnego pochodzącego od rzeczywistych obiektów (ćwiczenia)

39 Pole grawitacyjne i potencjał Pole na zewnątrz sfery copyright: Resnick, Halliday rcosθ xcosα Zał.: - sfera ma masę M rozłożoną równomiernie na całej powierzchni - grubość t jest mała w porównaniu z promieniem r Rozpatrujemy cienki pasek o szerokości rdθ: objętość masa Wykorzystując uzyskane wcześniej wyrażenie dla pierścienia możemy zapisać:

40 Pole grawitacyjne i potencjał Pole na zewnątrz sfery copyright: Resnick, Halliday rcosθ xcosα Po uwzględnieniu wyrażenia na dM: z rys.: oraz z tw. cosinusów: Łącząc te trzy czynniki dostajemy:

41 Pole grawitacyjne i potencjał Pole na zewnątrz sfery copyright: Resnick, Halliday rcosθ xcosα Siłę pochodzącą od całej sfery wyznaczamy licząc całkę: To oznacza, że pole grawitacyjne na zewnątrz sfery jest takie jakby cała masa była skupiona w punkcie. Identyczny wynik otrzymujemy dla kuli (całkujemy cienkie sfery od 0 do R)

42 Pole grawitacyjne i potencjał Pole wewnątrz sfery copyright: Resnick, Halliday Podobnie postępujemy w przypadku gdy punkt materialny umieścimy wewnątrz kuli. Wyrażenie na dF jest identyczne. Zmianie ulegają granice całkowania. W wyniku otrzymujemy, że: Oczywiście to jest prawda tylko w przypadku gdy nie ma innych mas (sfera nie tworzy ekranu grawitacyjnego!)


Pobierz ppt "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 2 12.03.2008 r. Krzywe stożkowe. Elipsa Równanie biegunowe P F2F2 F1F1 F 2 leży w punkcie początkowym układu (biegunie), a duża."

Podobne prezentacje


Reklamy Google