Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Met.Numer. wykład 1 METODY NUMERYCZNE dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH, Katedra Elektroniki, AGH

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Met.Numer. wykład 1 METODY NUMERYCZNE dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH, Katedra Elektroniki, AGH"— Zapis prezentacji:

1 Met.Numer. wykład 1 METODY NUMERYCZNE dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH, Katedra Elektroniki, AGH Wykład 7 Równania ró ż niczkowe - przegl ą d

2 Met.Numer. wykład 2 Równania różniczkowe - wprowadzenie Równania różniczkowe są popularnie spotykane we wszystkich dziedzinach nauk ścisłych i przyrodniczych a szczególnie w: Fizyce (np. równania Maxwella) Mechanice (np. równania ruchu harmonicznego) Elektronice (np. stany nieustalone w obwodach elektrycznych) Automatyce (np. warunki sterowalności układu) i wielu innych dziedzinach nauki i techniki

3 Met.Numer. wykład 3 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne – jest to równanie w którym występują stałe oraz funkcje niewiadome i pochodne funkcji niewiadomych zależne od jednej zmiennej niezależnej. Przykład: M

4 Met.Numer. wykład 4 Cząstkowe równania różniczkowe Cząstkowe równanie różniczkowe – jest to równanie zawierające funkcję niewiadomą dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych. Jednym z najprostszych równań różniczkowych cząstkowych jest równanie transportu:

5 Met.Numer. wykład 5 Cząstkowe równania różniczkowe Zauważamy, że pochodna kierunkowa funkcji u w kierunku wektora v=(1,b) є R n+1 znika. Zatem ustalając dowolny punkt (t,x) є R + x R n i kładąc dla s є R dostajemy: Zatem z(s) jest funkcją stałą. Ustalając wartość rozwiązania na każdej prostej równoległej do wektora (1,b) dostajemy rozwiązanie zadania.

6 Met.Numer. wykład 6 Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia początkowe Zagadnienia początkowe, zakładamy, że w chwili t=0 zadana jest wartość funkcji u(0,x). Wówczas zagadnienie początkowe: ma rozwiązanie: Jeśli funkcja g jest klasy C 1 to rozwiązanie równania jest rozwiązaniem klasycznym oraz jest ono jednoznaczne

7 Met.Numer. wykład 6 7 Rozwiązywanie zagadnień początkowych Wprowadzimy teraz kilka oznaczeń, niech: Y(x) – oznacza dokładne rozwiązanie y(x) – oznacza rozwiązanie przybliżone są punktami, w których wyznaczamy przybliżone rozwiązania

8 Met.Numer. wykład 6 8 Błąd metody Wielkość T n nazywamy błędem metody powstałym przy przejściu od x n do x n+1 h – krok całkowania Błąd metody możemy wyrazić jako funkcję zmiennej h i przedstawić w postaci: Gdzie stała, to liczbę p będziemy nazywać rzędem metody przybliżonej

9 Met.Numer. wykład 9 Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodne W celu rozwiązania zagadnienia niejednorodnego: podstawmy: wówczas:

10 Met.Numer. wykład 10 Cząstkowe równania różniczkowe – zagadnienia niejednorodne Zatem: Rozwiązaniem zagadnienia jest więc:

11 Met.Numer. wykład 11 Całka zupełna dla równań rzędu 1 Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci: gdzie:

12 Met.Numer. wykład 12 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe rzędu 1 można zapisać w postaci, spróbujemy rozwiązać warunki brzegowe (zagadnienie Cauchyego) Zakładamy, że funkcje F i g oraz powierzchnia Г są dostatecznie gładkie.

13 Met.Numer. wykład 13 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Staramy się połączyć punkt xє Ω z pewnym punktem x 0 єГ pewną krzywą ɣ w taki sposób, aby można było policzyć wartości rozwiązania u wzdłuż tej krzywej: Chcemy dobrać krzywą x(s) tak, aby można było policzyć z(s) i p(s). W tym celu policzymy dp(s)/d(s):

14 Met.Numer. wykład 14 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Z drugiej strony różniczkując równanie ogólne względem x i : Zakładamy, że:

15 Met.Numer. wykład 15 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Otrzymujemy wtedy: Ostatecznie otrzymujemy:

16 Met.Numer. wykład 16 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe Stosując zapis wektorowy otrzymujemy układ (2n+1) równań różniczkowych zwyczajnych zwany układem charakterystyk całki zupełnej.

17 Met.Numer. wykład 17 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykład Rozpatrzmy układ: Wówczas równania charakterystyk mają postać:

18 Met.Numer. wykład 18 Całka zupełna dla równań rzędu 1 – zagadnienia brzegowe - przykład Rozwiązując ten układ równań z uwzględnieniem warunku brzegowego dostajemy Ostatecznie rugując parametr s dostajemy rozwiązanie:

19 Met.Numer. wykład 19 Równanie liniowe rzędu 2 Ogólne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu 2 określone w obszarze Ω R n ma postać: Ogólne równanie cząstkowe drugiego rzędu dwóch zmiennych niezależnych liniowe możemy zapisać: A,B,C są określone w pewnym obszarze Ω R 2 a F jest określona na Ω R 3

20 Met.Numer. wykład 20 Transformacja Laplacea Przy czym o funkcji f(t) zakładamy że jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej t określoną dla każdej wartości t > 0 i przedziałami ciągłą. Ponieważ całka jest całką niewłaściwą to nie dla wszystkich funkcji f(t) spełniających podane warunki jest ona zbieżna. Całką Laplacea funkcji f nazywamy całkę niewłaściwą postaci:

21 Met.Numer. wykład 21 Transformacja Laplacea c.d. Funkcję f(t) dla których istnieje całka Laplacea nazywamy oryginałami natomiast odpowiadające i funkcje F(s) nazywamy transformatami Laplacea. Samą transformację Laplacea zwaną także przekształceniem Laplacea w środowisku inżynierskim często zapisujemy jako:

22 Met.Numer. wykład 22 Transformacja odwrotna Laplacea Transformacja odwrotna Laplacea dla klasy funkcji spełniających podane założenia wyraża się wzorem:

23 Met.Numer. wykład 23 Transformacja Laplacea – przykładowe funkcje Transformata pochodnej: Transformata całki:

24 Met.Numer. wykład 24 Linowość: Własności transformacji Laplacea Przesunięcie w dziedzinie zmiennej zespolonej: gdzie a, b, c to współczynniki Zmiana skali Jeślito Jeślito

25 Met.Numer. wykład 25 Transformacja Laplacea - przykład Rozwiązywanie równania różniczkowego przy pomocy transformacji Laplacea: Krok 1: Transformacja obydwu stron równania różniczkowego Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 5 otrzymujemy:

26 Met.Numer. wykład 26 Transformacja Laplacea – przykład c.d. Krok 2: Wyrażanie Y(s) jako funkcji s Zapisanie Y(s) w postaci ułamków prostych

27 Met.Numer. wykład 27 Transformacja Laplacea – przykład c.d. Krok 3: Odwrotna transformacja obydwu stron równania Uwzględniając że: Rozwiązanie równania wynosi:

28 Met.Numer. wykład 28 Równanie Poissona Równaniem Poissona nazywamy niejednorodne równanie Laplacea

29 Met.Numer. wykład 29 Równanie Poissona Równanie Poissona możemy podać explicite dla przestrzeni 2 i 3 wymiarowej:

30 Met.Numer. wykład 30 Równanie Poissona Rozwiązanie równania Poissona wyrażamy za pomocą funkcji Greena:

31 Met.Numer. wykład 31 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera Metoda Eulera pozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego postaci: Przykłady:

32 Met.Numer. wykład 32 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera Dla x = 0 wartość y = y 0 przyjmując że x = x 0 = 0 y Φ krok h x wartość prawdziwa y 1, wartość przewidywana Znając f(x, y) i mając dane wartości x 0 i y 0 z warunku początkowego y(x 0 ) = y 0 można obliczyć nachylenie funkcji f(x, y) do osi X w punkcie (x 0, y 0 )

33 Met.Numer. wykład 33 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera Po przekształceniu otrzymujemy: Oznaczając x 1 -x 0 jako krok h otrzymujemy: Wykorzystując obliczaną wartość y 1 można obliczyć wartość y 2 dla x 2 jako:

34 Met.Numer. wykład 34 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Eulera Można zatem wyprowadzić wzór rekurencyjny: Φ krok h wartość prawdziwa y i+1, wartość przewidywana yiyi x y xixi x i+1

35 Met.Numer. wykład 35 Metoda Eulera - Przykład Kula nagrzana do temperatury 1200 K schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania?

36 Met.Numer. wykład 36 Metoda Eulera – Przykład c.d. Wzór rekurencyjny metody Eulera: Dla i = 0, t 0 = 0, Θ 0 = 1200: Zakładamy krok h = 240

37 Met.Numer. wykład 37 Metoda Eulera – Przykład c.d. Dla i = 1, t 1 = 240, Θ 0 = : Po wykonaniu dwóch iteracji metody Eulera otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie K Czy to prawda?

38 Met.Numer. wykład 38 Metoda Eulera – Przykład c.d. czas t(s) dokładne rozwiązanie temperatura Θ(K) Porównanie rozwiązania dokładnego z rozwiązaniem otrzymanym przy użyciu metody Eulera.

39 Met.Numer. wykład 39 Metoda Eulera – Przykład c.d. Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Eulera rozmiar kroku h czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie

40 Met.Numer. wykład 40 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Metoda Rungego-Kutty pozwala na numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu postaci: Korzystając z rozwinięcie w szereg Taylora: Widać że metoda Eulera jest metodą Rngego-Kutty pierwszego rzędu

41 Met.Numer. wykład 41 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Wzór dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu będzie wyglądał następująco: dla metody czwartego rzędu: Jak wyznaczyć pochodne f metody stopnia drugiego i f, f, f dla metody stopnia czwartego?

42 Met.Numer. wykład 42 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Dla metody Rungego-Kutty drugiego rzędu wzór: można zapisać jako: gdzie: aby wyznaczyć współczynniki a 1, a 2, p 1, q 11 należy rozwiązać kład równań: zazwyczaj wartość a 2 wybiera się aby rozwiązać pozostałe

43 Met.Numer. wykład 43 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Zazwyczaj a 2 przyjmuje jedną z trzech wartości: ½, 1, 2/3 Metoda HeunaMetoda midpointMetoda Raltsona

44 Met.Numer. wykład 44 Metoda Rungego - Kutty - Przykład Kula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania?

45 Met.Numer. wykład 45 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dla metody Heuna: Dla i = 0, t 0 = 0, Θ 0 = Θ(0) = 1200:

46 Met.Numer. wykład 46 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dla i = 1, t 1 = t 0 + h= 240, Θ 1 = 655,16: K Po wykonaniu dwóch iteracji metody Heuna otrzymujemy że temperatura kuli po 480 s wyniesie K

47 Met.Numer. wykład 47 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. rozmiar kroku h czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Heuna

48 Met.Numer. wykład 48 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Rozmiar kroku h Θ(480) EulerHeunMidpointRalston czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie Porównanie dotychczas przedstawionych metod: Dokładna wartość rozwiązania obliczona analitycznie wynosi:

49 Met.Numer. wykład 49 Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych – metoda Rungego - Kutty Dla metody Rungego-Kutty czwartego rzędu wzór: można zapisać jako: gdzie najczęściej przyjmuje się że:

50 Met.Numer. wykład 50 Metoda Rungego - Kutty - Przykład Kula nagrzana do temperatury 1200 K i schładza się do temperatury 300K. Zakładając że w procesie schładzania ciepło jest oddawane do otoczenia jedynie przez radiację to temperatura kuli opisana jest równaniem: Jaka jest temperatura kuli po 480 sekundach jej schładzania?

51 Met.Numer. wykład 51 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dla metody Rungego - Kutty czwartego rzędu: Dla i = 0, t 0 = 0, Θ 0 = 1200:

52 Met.Numer. wykład 52 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d.

53 Met.Numer. wykład 53 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. Dla i = 1, t 1 = 240, Θ 1 = 675,65:

54 Met.Numer. wykład 54 Metoda Rungego - Kutty – Przykład c.d. rozmiar kroku h czas t(s) temperatura Θ(K) dokładne rozwiązanie Dobór odpowiedniego kroku h jest kluczowy dla odpowiedniej dokładności rozwiązania stosując metodę Rungego - Kutty czwartego rzędu.

55 Met.Numer. wykład 55 Metoda Rungego – Kutty dla równań różniczkowych wyższych rzędów Dla równania różniczkowego zwyczajnego wyższego rzędu albo dla równania cząstkowego można dokonać podstawienia:

56 Met.Numer. wykład 56 Metoda Rungego – Kutty dla równań różniczkowych wyższych rzędów Otrzymane równania tworzą w efekcie układ n równań: Każde z n równań może być rozwiązane z użyciem opisanych wcześniej metod rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych stopnia pierwszego

57 Met.Numer. wykład 57 Przykład Rozwiąż równanie: Podstawiając: Po podstawieniu równanie przybiera postać: oraz oblicz y(0.75)

58 Met.Numer. wykład 58 Przykład c.d. W efekcie należy rozwiązać następujący układ równań: Stosując metodę Eulera:

59 Met.Numer. wykład 59 Przykład c.d. Krok 1:

60 Met.Numer. wykład 60 Przykład c.d. Krok 2:

61 Met.Numer. wykład 61 Przykład c.d. Krok 3:

62 Met.Numer. wykład 62 Przykład c.d. Otrzymane rozwiązanie to: Wartość dokładna to: Błąd względny otrzymanego rozwiązania wynosi:

63 Met.Numer. wykład 63 Warunki początkowe i brzegowe q υ L x q υ L x Zależność przemieszczenia v belki od długości x oraz obciążenia q: Aby rozwiązać równanie potrzebne są dwa warunki początkowe w punkcie x = 0 Aby rozwiązać równanie potrzebne są dwa warunki brzegowe punkach x = 0 oraz x = L

64 Met.Numer. wykład 64 Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Zastosowanie tej metody zostanie omówione na przykładzie równań różniczkowych drugiego rzędu które mają narzucone warunki brzegowe. Warunki brzegowe:

65 Met.Numer. wykład 65 Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Odkształcenie belki wzdłuż osi Y opisuje równanie: Oblicz wartość odkształcenia belki w punkcie x = 50:

66 Met.Numer. wykład 66 Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Aproksymujemy w punkcie i:

67 Met.Numer. wykład 67 Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Po podstawieniu wartości: Ponieważ Δx = 25 będą rozpatrywane 4 węzły:

68 Met.Numer. wykład 68 Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Węzeł pierwszy (i = 1): Węzeł drugi (i = 2):

69 Met.Numer. wykład 69 Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Węzeł trzeci (i = 3): Węzeł czwarty (i = 4):

70 Met.Numer. wykład 70 Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Otrzymane równania dla wszystkich 4 węzłów można zapisać jako: Rozwiązanie powyższego kładu równań daje:

71 Met.Numer. wykład 71 Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych równań różniczkowych zwyczajnych. Ostatecznie wartość przemieszczenia y w punkcie x = 50 wynosi: Rozwiązanie analityczne daje: Błąd rozwiązania wyznaczonego metodą różnicową:

72 Mikro- i nanobelki w sensorach Met.Numer. wykład 72

73 Met.Numer. wykład 73 Zagadnienie problemowe – równanie przewodnictwa cieplnego Równanie przewodnictwa cieplnego zwane jest także jako równanie dyfuzji. W celu wyprowadzenia tego równania rozważamy podobszar V obszaru Ω, o gładkim brzegu V. Niech F oznacza gęstość strumienia przepływu w obszarze Ω, wówczas tempo w jakim zmienia się ilość substancji wypełniającej V jest równe całkowitemu przepływowi substancji przez brzeg V: η – wektor normalny do V, dS - miara na powierzchni V

74 Met.Numer. wykład 74 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe Równanie ciepła ma bardziej skomplikowaną strukturę do równania Laplacea – poszukiwanie rozwiązań w postaci tzw. funkcji samopodobnej tzn.: Podstawiając do równania cieplnego otrzymujemy:

75 Met.Numer. wykład 75 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe Jeżeli β=1/2 nasze równanie ulega uproszczeniu: Stosując kolejne uproszczenie i operator Laplacea:

76 Met.Numer. wykład 76 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe Jeżeli przyjmiemy, że: α=n/2 to otrzymamy równanie: Stosując pewne techniki mnożenia i dzielenia r n-1 otrzymujemy:

77 Met.Numer. wykład 77 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe I ostatecznie uwzględniając wszystkie założenia: Otrzymujemy funkcję, która jest rozwiązaniem równania ciepła:

78 Met.Numer. wykład 78 Równanie przewodnictwa cieplnego – rozwiązanie podstawowe Rozwiązaniem podstawowym operatora przewodnictwa cieplnego nazywamy funkcję:

79 Rozkład temperatury w czujnikach Met.Numer. wykład 79

80 Met.Numer. wykład 80 Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór dAlamberta Badanie równania falowego zaczniemy od przypadku jednowymiarowego czyli od tzw. Równania struny. Skoncentrujemy się na równaniu struny nieograniczonej. Naszym celem jest rozwiązanie zagadnienia:

81 Met.Numer. wykład 81 Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór dAlamberta Rozwiązanie ogólne równania wyraża się wzorem: Gdzie F i G są funkcjami klasy C 2 (R). Korzystając z warunków początkowym dostajemy:

82 Met.Numer. wykład 82 Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór dAlamberta Całkując drugie równanie mamy: Zatem rozwiązaniem powyższego układu równań jest para funkcji:

83 Met.Numer. wykład 83 Zagadnienie początkowe dla równania struny. Wzór dAlamberta Stąd rozwiązanie problemu struny wyraża się wzorem dAlamberta: Jeśli gєC 2 (R), hєC 1 (R), to rozwiązanie zagadnienia struny wyraża się wzorem dAlamberta Zadanie domowe: wymuszone drgania struny

84 Rezonans struny Met.Numer. wykład 84

85 Met.Numer. wykład 85 Określenie stabilności wg Łapunowa Rozważmy układ macierzowy równań różniczkowych w postaci: Pytanie: Jaki punkt jest stabilny dla układu liniowego?

86 Met.Numer. wykład 86 Określenie stabilności wg Łapunowa Rozważmy: λ – wartości własne macierzy

87 Met.Numer. wykład 87 Określenie stabilności wg Łapunowa Otrzymujemy: x – jest to punkt asymptotycznie stabilny

88 Met.Numer. wykład 88 Określenie stabilności wg Łapunowa Jeżeli wartości własne macierzy A są mniejsze od zera wówczas możemy powiedzieć, że: x – jest to punktem stabilnym wg Łapunowa i asymptotycznie stabilnym

89 Met.Numer. wykład 89 Określenie stabilności wg Łapunowa Punkt nazywamy stabilnym wg Łapunowa jeżeli spełnione są warunki (3):

90 Met.Numer. wykład 90 Określenie stabilności wg Łapunowa Sens definicji Łapunowa ilustruje rysunek:

91 Met.Numer. wykład 91 Określenie stabilności wg Łapunowa Lokalna asymptotyczna stabilność wg Łapanowa

92 Met.Numer. wykład 92 Stabilność rozwiązań równań różniczkowych Punkt x 0 nazywamy punktem stacjonarnym (położeniem równowagi) równania: Stabilność w sensie Łapunowa – jeśli startując z warunku początkowego x 0 blisko rozwiązania stacjonarnego, pozostajemy w pobliżu tego rozwiązania wraz z upływem czasu. Asymptotycznie stabilne – jeśli jest stabilne i dla warunku początkowego x 0 dostatecznie blisko x=const., rozwiązanie x(t) z tym warunkiem początkowym zbiega do x przy t->. Niestabilne r.r. – jeśli znajdzie się taki punkt początkowy dowolnie blisko x=const., dla którego rozwiązanie ucieka wraz z upływem czasu.

93 Met.Numer. wykład 93 Stabilność rozwiązań równań różniczkowych Twierdzenie Hartmana-Grobmana Jeżeli f(p)=0 i wśród wartości własnych Df(p) nie ma wartości własnych czysto urojonych to równanie nieliniowe x=f(x) i liniowe x=df(p) są topologicznie sprzężone w otoczeniu p. Tw. Łapunowa Asymptotycznie stabilny pkt. równowagi Stabilny punkt równowagi Niestabilny punkt

94 Met.Numer. wykład 94 Stabilność rozwiązań równań różniczkowych - przykład Rozważmy układ równań: Szukamy punktów równowagi:

95 Met.Numer. wykład 95 Stabilność rozwiązań równań różniczkowych - przykład Macierz linearyzacji: Obliczamy macierz linearyzacji w podanym punkcie (0,0): Wartości własne to: -1;1. Nie ma wartości czysto urojonych więc punkt (0,0) jest niestabilny.

96 Met.Numer. wykład 96 Metoda różnic skończonych Metoda różnic skończonych opiera się na zastąpieniu pochodnych cząstkowych w punktach (x i,y i ) ich przybliżeniami numerycznymi. Otrzymujemy odpowiednio dla zmiennej x i y:

97 Met.Numer. wykład 97 Metoda różnic skończonych dla równania Poissona Podstawienie FEM do równania Poissona otrzymujemy: Warunki brzegowe:

98 Met.Numer. wykład 98 Metoda różnic skończonych dla równania Poissona Pomijając reszty otrzymujemy układ (n-1) x (m-1) równań liniowych z niewiadomymi, które są przybliżeniami u(x i,y j ). Układ równań możemy rozwiązać metodami bezpośrednimi bądź iteracyjnymi. W celu wyznaczenia przybliżenia w punkcie (x i,y j ), potrzebne są wartości przybliżenia rozwiązania w czterech sąsiednich punktach:

99 Met.Numer. wykład 99 Metoda różnic skończonych przykład Wyznaczyć rozkład temperatury w stanie ustalonym dla cienkiej kwadratowej metalowej płytki o wymiarach 0,5m na 0,5m. Na brzegu płytki znajdują się źródła ciepła utrzymujące temperaturę na poziomie 0 o C dla boku dolnego i prawego, natomiast temperatura boku górnego i lewego zmienia się liniowo od 0 o C do 100 o C. Problem rozwiązać układając układ równań liniowych (postać macierzowa) dla wewnętrznych węzłów siatki 5 x 5 – układ równań rozwiązać metodą Gaussa-Siedla.

100 Met.Numer. wykład 100 Metoda różnic skończonych przykład

101 Met.Numer. wykład 101 Metoda różnic skończonych przykład Problem ten opisuje równanie Laplacea Z warunkami brzegowymi:

102 Met.Numer. wykład 102 Metoda różnic skończonych przykład Postać macierzowa układu: [zadanie domowe – obliczyć temperatury]

103 Met.Numer. wykład 103 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne Przypomnijmy równanie paraboliczne: Z warunkami brzegowymi i początkowymi:

104 Met.Numer. wykład 104 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne Dla danego m definiujemy krok h=(b-a)/m. Ustalamy wartość kroku czasowego k. Stąd węzły siatki (x i,t j ):

105 Met.Numer. wykład 105 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne Otrzymujemy: Po uwzględnieniu warunku brzegowego:

106 Met.Numer. wykład 106 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne Schemat jawny Warunek zbieżności schematu jawnego

107 Met.Numer. wykład 107 Metoda różnic skończonych – równania paraboliczne Schemat niejawny: Schemat niejawny jest zawsze zbieżny, niezależnie od wielkości kroku całkowania


Pobierz ppt "Met.Numer. wykład 1 METODY NUMERYCZNE dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.AGH, Katedra Elektroniki, AGH"

Podobne prezentacje


Reklamy Google