Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

10 listopada 2000 Konstrukcje geometryczne. K onstrukcje g eometryczne na p łaszczyźnie.MENU Cele pracy Opis pracy O konstrukcjach geometrycznych Konstrukcje.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "10 listopada 2000 Konstrukcje geometryczne. K onstrukcje g eometryczne na p łaszczyźnie.MENU Cele pracy Opis pracy O konstrukcjach geometrycznych Konstrukcje."— Zapis prezentacji:

1 10 listopada 2000 Konstrukcje geometryczne

2 K onstrukcje g eometryczne na p łaszczyźnie.MENU Cele pracy Opis pracy O konstrukcjach geometrycznych Konstrukcje elementarne Wielokąty foremne Zdania konstrukcyjne Okrąg wpisany i opisany na wielokącie Jednokładność, tw. Talesa, tw. Pitagorasa cele w. for. k. el. k. g. okręgi zad. k. zast. KONIEC

3 C ELE PRACY Problemy matematyczne towarzyszą ludziom od czasów antycznych po dzień dzisiejszy. Matematyka jest bowiem obecna w wielu dziedzinach działalności człowieka, niezbędna w wykonywaniu wielu zawodów, służy rozwijaniu kwalifikacji i kompetencji intelektualnych. Wielu uczniów boryka się z problemami w przyswajaniu wiedzy matematycznej. Lekcje matematyki wydają się im niezrozumiałe i nudne. Z myślą o nich stworzyłam tę prezentację, która, mam nadzieję, uatrakcyjni zajęcia lekcyjne. Głównym celem prezentacji jest stworzenie pomocy dydaktycznej z zakresu treści dotyczących konstrukcji geometrycznych na płaszczyźnie.

4 Poszczególne slajdy zamierzam wykorzystać na zajęciach, na których uczniowie: uczą się rozwiązywać zadania konstrukcyjne z uwzględnieniem wszystkich etapów rozwiązania (patrz Zadania) wykonują typowe konstrukcje geometryczne (patrz Konstrukcje elementarne) poznają wielokąty foremne i ich własności stosują tw. Pitagorasa, tw. Talesa i własności jednokładności w wykonywaniu konstrukcji konstruują okręgi: wpisany w wielokąt i opisany na wielokącie MENU

5 K ONSTRUKCJE G EOMETRYCZNE Wykonanie konstrukcji polega na narysowaniu figury geometrycznej spełniającej podane warunki, przy pomocy określonych przyrządów konstrukcyjnych. Historycznie ujmując, najstarszymi konstrukcjami geometrycznymi są konstrukcje za pomocą cyrkla i linijki, zw. również konstrukcjami klasycznymi lub konstrukcjami platońskimi. Takie konstrukcje umożliwiają poprowadzenie prostej przez dane dwa punkty, konstrukcję okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów przecięcia wykreślonych prostych i okręgów oraz wybór dowolnego punktu na skonstruowanej linii (prostej lub okręgu). Konstrukcjami klasycznymi są np. KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA KONSTRUKCJA SYMETRALNEJ ODCINKA KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA KONSTRUKCJA DWUSIECZNEJ KĄTA MENU

6 Nie wszystkie zadania konstrukcyjne dają się wykonać metodą cyrkla i linijki [konstrukcje niewykonalne]; niektóre zadania konstrukcyjne można wykonać przy jeszcze większym ograniczeniu środków niż w metodzie cyrkla i linijki [konstrukcje Mohra-Mascheroniego].[konstrukcje niewykonalne][konstrukcje Mohra-Mascheroniego] Analogiczna do metody cyrkla i linijki na płaszczyźnie metoda k.g. w przestrzeni pozwala: poprowadzić płaszczyznę przez trzy dane niewspółliniowe punkty, skonstruować sferę o danym środku i o danym promieniu, znaleźć linię przecięcia dwóch skonstruowanych powierzchni (płaszczyzn i sfer), wybrać dowolny punkt na skonstruowanej powierzchni, poprowadzić prostą przez dane dwa punkty oraz wykonać dowolną konstrukcję geometryczną metodą cyrkla i linijki na utworzonej powierzchni. MENU

7 Konstrukcje niewykonalne to tradycyjne określenie zadań konstrukcyjnych, których nie można wykonać za pomocą cyrkla i linijki. Przykładami konstrukcji niewykonalnych są trzy sławne zadania konstrukcyjne sformułowane w starożytnej Grecji: Podwojenie sześcianu Podwojenie sześcianu Trysekcja kąta Trysekcja kąta Kwadratura koła Kwadratura koła Zadania te zostały przez starożytnych Greków rozwiązane. Wątpliwości wzbudził sposób przeprowadzenia tych konstrukcji (użyte przyrządy konstrukcyjne). Wybitny filozof grecki Platon (IV w p.n.e.), który w założonej przez siebie Akademii zajmował się również konstrukcjami geometrycznymi, ustalił, że konstrukcje można wykonywać, posługując się wyłącznie cyrklem i linijką (bez podziałki). Autorytet Platona był tak wielki, że podane przez niego ograniczenia przyjęły się powszechnie. Wówczas okazało się, że rozwiązania trzech powyższych zadań stały się nieaktualne. Przez kolejne wieki próbowano te zadania rozwiązać posługując się cyrklem i linijką. Dopiero w XIX w. Udowodniono, że takich konstrukcji wykonać nie można. Termin kwadratura koła wszedł nawet do języka potocznego na określenie sprawy, której nie sposób rozwiązać. K ONSTRUKCJE N IEWYKONALNE MENU

8 Zbudować sześcian o objętości dwa razy większej niż objętość danego sześcianu. Nazwa problem delijski, jak głosi legenda, wiąże się z problemem, który mieli rozstrzygnąć mieszkańcy wyspy Delos (obecnie Dilos). Aby uchronić wyspę przed nieszczęściami i przebłagać bogów, musieli oni zbudować ołtarz dwa razy większy od ołtarza znajdującego się w świątyni Apollina. Architekci, nie mogąc rozwiązać tego problemu zwrócili się do matematyków, którzy sprowadzili go do podwojenia sześcianu. Zadanie podwojenia sześcianu polega na konstrukcji odcinka o długości a, gdzie a jest długością odcinka danego. Konstrukcja ta jest konstrukcją niewykonalną za pomocą cyrkla i linijki, ponieważ liczba nie jest liczbą konstruowalną. Uczony grecki Eratostenes z Cyreny zbudował przyrząd – mezolabium. mezolabium P ODWOJENIE S ZEŚCIANU ( problem delijski ) MENU

9 MEZOLABIUM Mezolabium składa się z trzech jednakowych prostokątnych ramek umieszczonych w większej ramce w sposób umożliwiający ich przesuwanie. Nasuwając ramki na siebie otrzymujemy odcinki o długościach x, y takie, że Jeżeli a=2b, to y = Czyli za pomocą mezolabium można dokonać podwojenia sześcianu. a b x y MENU

10 Zadanie konstrukcyjne postawione przez matematyków starożytnej Grecji. Podzielić kąt na trzy równe części Trysekcja kąta jest konstrukcją niewykonalną dla nieskończenie wielu kątów. W każdym przedziale (a; b), 0 < a < b < / 2 istnieje taka liczba c, że trysekcja kąta o mierze równej c jest niewykonalna za pomocą cyrkla i linijki. Można wykonać trysekcję kąta o mierze równej k / n, gdzie k jest dowolną liczbą naturalną, natomiast n i 3 są liczbami względnie pierwszymi [tzn. NWD(n,3)=1]. Konsekwencją niewykonalności trysekcji kąta o mierze / 3 jest np. niewykonalność konstrukcji dziewięciokąta foremnego. T RYSEKCJA K ĄTA MENU

11 Kwadratura figury geometrycznej to zadanie konstrukcyjne polegające na konstrukcji metodą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym polu danej figury geometrycznej. Kwadratura dowolnego wielokąta jest wykonalna. Aby ją przeprowadzić, wystarczy zauważyć, że: każdy wielokąt można przedstawić jako sumę skończonej liczby trójkątów o rozłącznych wnętrzach można przeprowadzić kwadraturę dowolnego trójkąta [zob. kwadratura trójkąta] można skonstruować kwadrat o polu równym sumie dwóch kwadratów Kwadratura koła jest konstrukcją niewykonalną, ponieważ liczba jest liczbą przestępną. Możliwe są jedynie konstrukcje kwadratów o polach bliskich polu danego koła. K WADRATURA K OŁA MENU

12 Kwadratura trójkąta a b c h h ½ a d d - bok kwadratu o polu równym polu trójkąta o bokach długości a,b, c. MENU

13 K ONSTRUKCJE Mohra-Mascheroniego Konstrukcje geometryczne wykonane za pomocą cyrkla (bez użycia linijki), tj. metodą umożliwiającą konstrukcję okręgu o danym środku i danym promieniu, znalezienie punktów przecięcia dwóch skonstruowanych okręgów i wybór dowolnego punktu na skonstruowanym okręgu. Uważa się przy tym, że prosta jest dana, jeżeli dane są jej dwa różne punkty. Matematyk wł. L. Mascheroni oraz wcześniej matematyk duń. G. Mohr udowodnili, że zadania konstrukcyjne polegające na wyznaczeniu punktu przecięcia dwóch prostych przechodzących przez dane punkty oraz na wyznaczeniu punktów przecięcia danego okręgu z prostą przechodzącą przez dane punkty można rozwiązać tylko za pomocą cyrkla. Tym samym każdą konstrukcję wykonalną przy użyciu cyrkla i linijki można przeprowadzić korzystając tylko z cyrkla. W praktyce okazuje się jednak, że dla większości konstrukcji jest to zadanie bardzo długie i żmudne. PRZYKŁAD PRZYKŁAD konstrukcji Mohra-Mascheroniego PRZYKŁAD MENU

14 trójkąta równobocznego wpisanego w dany okrąg o środku A Opis konstrukcji Dany jest okrąg o środku A i promieniu r. Z wybranego punktu B okręgu zakreślamy okrąg o promieniu r. Otrzymujemy punkty przecięcia C i D tego okręgu z okręgiem danym. Zakreślamy okręgi o promieniu r i środkach C i D. Otrzymujemy punkty E i F (różne od B) przecięcia tych okręgów z okręgiem danym. Punkty B, E i F są wierzchołkami trójkąta równobocznego. A r C D E B FSzukany trójkąt Konstrukcja Mohra-Mascheroniego MENU

15 Przykłady Symetralna odcinka Dwusieczna kąta Prosta prostopadła do danej prostej przechodząca przez dany punkt Prosta prostopadła do danej prostej przechodząca przez dany punkt Prosta równoległa do danej prostej w danej odległości od tej prostej Prosta równoległa do danej prostej w danej odległości od tej prostej Styczna do danego okręgu przechodząca przez dany punkt leżący na zewnątrz okręgu Styczna do danego okręgu przechodząca przez dany punkt leżący na zewnątrz okręgu Konstrukcje elementarne Aby rozwiązania zadań konstrukcyjnych były czytelne, a opisy konstrukcji niezbyt długie, często posługujemy się konstrukcjami elementarnymi. Należą do nich m.in. MENU

16 Dany jest odcinek AB Wybieramy r > 1 / 2 |AB| Rysujemy o(A,r) Rysujemy o(B,r ) Otrzymujemy punkty C i D przecięcia tych okręgów Rysujemy prostą CD AB Symetralna odcinka AB r r C D OPISKONSTRUKCJI Konstrukcja symetralnej odcinka MENU

17 Dany jest kąt BAC Zakreślamy okrąg o środku A i dowolnym promieniu Otrzymujemy punkty B i C przecięcia tego okręgu z ramionami kąta Konstruujemy symetralną odcinka BC Część wspólna tej symetralnej i kąta BAC jest poszukiwaną dwusieczną A B C B C OPISKONSTRUKCJI Konstrukcja dwusiecznej kąta Dwusieczna kąta BAC MENU

18 Dana jest prosta k i punkt A Kreślimy okrąg o środku A tak, aby miał on z prostą k dwa punkty wspólne Otrzymujemy odcinek BC Kreślimy symetralną odcinka BC OPISKONSTRUKCJI k A BC Jest to szukana prosta Konstrukcja prostej prostopadłej do danej prostej przechodzącej przez dany punkt MENU

19 a a Dana jest prosta k i odcinek a Na prostej k wybieramy dowolnie punkt A Kreślimy prostą l prostopadłą do k, przechodzącą przez punkt A Kreślimy okrąg o(A, a), który przecina prostą l w punktach B 1 i B 2 Kreślimy proste prostopadłe do prostej l przechodzące przez punkty B 1 i B 2 OPISKONSTRUKCJI A a k l Są to szukane proste (2 rozwiązania) B1B1 B2B2 Konstrukcja prostej równoległej do danej prostej k w odległości a od tej prostej MENU

20 A Dany jest okrąg o(O,r) oraz punkt A leżący na zewnątrz okręgu Kreślimy odcinek OA Kreślimy symetralną odcinka OA, która przecina go w punkcie O 1 Kreślimy okrąg o(O 1, O 1 O ), który przecina dany okrąg w punktach B 1 i B 2 Kreślimy proste B 1 A i B 2 A. OPISKONSTRUKCJI Konstrukcja stycznej do danego okręgu przechodzącej przez dany punkt leżący na zewnątrz okręgu O O1O1 B1B1 B2B2 Są to szukane styczne (2 rozwiązania) MENU

21 Przykłady: Wielokąty foremne Wielokąt foremny Jest to wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty równe. Własności: 1.Jest wielokątem wypukłym. 2.Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg. W każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg. Okręgi te są współśrodkowe. 3.Symetralna boku jest jego osią symetrii. 4.Dwusieczna kąta zawiera się w jego osi symetrii. Trójkąt równoboczny Kwadrat Pięciokąt foremny Sześciokąt foremny konstrukcja MENU

22 Rysujemy okrąg o(B,a) a AB C aa Dany jest odcinek o długości a. Rysujemy okrąg o(A,a). Otrzymujemy punkt C przecięcia tych okręgów. Punkt C jest trzecim wierzchołkiem trójkąta. OPISKONSTRUKCJI ABC jest szukanym trójkątem równobocznym Trójkąt równoboczny o danym boku a MENU

23 Rysujemy okrąg o(A,a). Dany jest odcinek AB o długości a. Kreślimy prostą prostopadłą do AB przez punkt A. Otrzymujemy punkt C przecięcia tego okręgu z prostą prostopadłą do AB. Otrzymujemy punkt D przecięcia tych okręgów, który jest czwartym wierzchołkiem kwadratu. Rysujemy okręgi o(C,a) oraz o(B,a). D C BA a a a a ABCD szukany kwadrat OPISKONSTRUKCJI Kwadrat o danym boku a MENU

24 Kreślimy okręgi o(A,a) oraz o(B,a). Otrzymujemy punkt P oraz symetralną odcinka AB. Dany jest odcinek AB o długości a. Kreślimy okrąg o(P,a). Otrzymujemy punkty R, S i T przecięcia odpowiednio z okręgami o(A,a), o(B,a) oraz z symetralną odcinka AB. Kreślimy proste RT i ST. Otrzymujemy punkty C i E przecięcia tych prostych z o(A,a) i o(B,a). Z punktów C i E zakreślamy łuki okręgu o promieniu a. Przecinają się one w punkcie D należącym do symetralnej odcinka AB. Łączymy kolejno punkty A,B,C,D,E. OPISKONSTRUKCJI AB P R S T CE D a Pięciokąt foremny o danym boku a MENU ABCDE szukany pięciokąt a a a a

25 ABCDEF jest sześciokątem foremnym o boku a Dany jest odcinek o długości a. Rysujemy okrąg o promieniu a. Wybieramy dowolny punkt A na okręgu. Z punktu A zakreślamy kolejno łuki o promieniu a Otrzymujemy punkty B, C, D, E, F przecięcia tych łuków z okręgiem. OPISKONSTRUKCJI BC D E F A a a a a a a a Sześciokąt foremny o danym boku a MENU

26 Okrąg wpisany w wielokąt i opisany na wielokącie. pokaż Okrąg wpisany Okrąg opisany r r MENU

27 W dowolny trójkąt można wpisać okrąg. Okrąg można wpisać w czworokąt wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe. Twierdzenie : Wielokąt można opisać na okręgu (okrąg można wpisać w wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne kątów wewnętrznych tego wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem okręgu wpisanego w wielokąt. Okrąg wpisany w wielokąt. Definicja Definicja : Jeżeli każdy bok wielokąta jest styczny do okręgu, to wielokąt jest opisany na okręgu, a okrąg nazywa się okręgiem wpisanym w wielokąt. konstrukcja MENU

28 Na dowolnym trójkącie można opisać okrąg. Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów czworokąta są równe (i wynoszą 180°). Okrąg opisany na wielokącie. Definicja Definicja: Wielokąt, którego wszystkie wierzchołki należą do pewnego okręgu, nazywa się wielokątem wpisanym w okrąg, okrąg zaś- okręgiem opisanym na wielokącie. Twierdzenie : Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można opisać na wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne boków tego wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem okręgu opisanego na wielokącie. konstrukcja MENU

29 Dany jest trójkąt ABC. Kreślimy dwusieczną kąta BAC. Kreślimy dwusieczną kąta ABC. Otrzymujemy punkt przecięcia S. Kreślimy okrąg o środku S i promieniu r= SD. OPISKONSTRUKCJI OPISKONSTRUKCJI AB C S D r Prowadzimy odcinek SD AB. Okrąg wpisany w trójkąt Okrąg o(S,r) jest szukanym okręgiem wpisanym w trójkąt ABC MENU

30 OPISKONSTRUKCJI OPISKONSTRUKCJI Dany jest romb ABCD. Kreślimy przekątne AC i BD. Otrzymujemy punkt przecięcia S. Kreślimy okrąg o środku S i promieniu r= SE. Prowadzimy odcinek SE AB. A D C B S r E Okrąg o(S,r) jest okręgiem wpisanym w romb ABCD Okrąg wpisany w romb MENU

31 OPISKONSTRUKCJI OPISKONSTRUKCJI AB C Dany jest trójkąt ABC. Kreślimy symetralne boków AB i BC. Otrzymujemy punkt przecięcia S. Otrzymujemy równe odcinki SA, SB i SC. S Kreślimy okrąg o środku S i promieniu R = SA = SB = SC R R R Okrąg o(S,R) jest okręgiem opisanym na trójkącie ABC. Okrąg opisany na trójkącie. MENU

32 Okrąg opisany na trójkącie r r Środkiem okręgu jest środek przeciwprostokątnej (bo kąt wpisany w okrąg oparty na półokręgu jest kątem prostym) r r r r r r r Środek okręgu jest punktem leżącym wewnątrz trójkąta. Środek okręgu jest punktem leżącym na zewnątrz trójkąta. Trójkąt ostrokątny Trójkąt prostokątny Trójkąt rozwartokątny MENU

33 A A A A OPISKONSTRUKCJI OPISKONSTRUKCJI Dany jest prostokąt ABCD. Kreślimy przekątne AC i BD. Otrzymujemy punkt przecięcia S. Z własności prostokąta SA = SB = SC = SD, czyli S jest środkiem okręgu opisanego na ABCD. Kreślimy okrąg o środku o(S,r), gdzie r = SA. Okrąg o(S,r) jest okręgiem opisanym na prostokącie ABCD. Okrąg opisany na prostokącie. AB CD S r MENU

34 Tw. Pitagorasa, Talesa i jednokładność – zastosowanie w wykonywaniu konstrukcji. Twierdzenie Pitagorasa Twierdzenie Pitagorasa Twierdzenie Pitagorasa Twierdzenie Pitagorasa Twierdzenie Talesa Twierdzenie Talesa Twierdzenie Talesa Twierdzenie Talesa Jednokładność i jej własności Jednokładność i jej własności Jednokładność i jej własności Jednokładność i jej własności MENU

35 Twierdzenie Pitagorasa: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. a b c a, b – długości przyprostokątnych c – długość przeciwprostokątnej T EZA: a 2 + b 2 = c 2 Zastosowanie Z AŁ. MENU

36 1 Konstrukcje odcinków o długościach, itd Z tw. Pitagorasa =( ) itd... MENU

37 Twierdzenie Talesa: A B O A1A1 A2A2 B1B1 B2B2 ZAŁ ZAŁ. A 1 B 1 A 2 B 2 TEZA: Zastosowanie Jeżeli ramiona kąta AOB przetniemy dwiema prostymi równoległymi A 1 B 1 oraz A 2 B 2, to stosunek długości odcinków wyznaczonych przez te proste na ramieniu OA jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na ramieniu OB. MENU

38 y E1E1 Podział odcinka na 5 równych części x x x x x BA y D1D1 D2D2 D3D3 D4D4 D5D5 y E2E2 y E3E3 y E4E4 Dany jest odcinek AB Z jego końca np. A rysujemy drugie ramię kąta. Odkładamy na nim z punktu A kolejno 5 równych odcinków. Otrzymujemy punkty D 1, D 2, D 3, D 4, D 5. Kreślimy prostą D 5 B. Przez punkty D 1, D 2, D 3, D 4 kreślimy proste równoległe do prostej D 5 B. Otrzymujemy 5 równych odcinków y= AE 1 = E 1 E 2 = E 2 E 3 = E 3 E 4 = E 4 B = 1 / 5 AB OPISKONSTRUKCJIOPISKONSTRUKCJI Poprawność konstrukcji wynika z tw. Talesa MENU

39 JednokładnośćDefinicja: Jednokładnością o środku O i skali s 0 nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, które każdemu punktowi X płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt X, że OX = s OX s OX O X X MENU Własności...

40 Zastosowanie Własności jednokładności: Jednokładność o skali s=1 jest przekształceniem tożsamościowym. Złożeniem jednokładności o środku O i skalach s 1 i s 2 jest jednokładność o środku O i skali s 1 s 2. Przekształceniem odwrotnym do jednokładności o środku O i skali s jest jednokładność o środku O i skali 1 / s. Obrazem prostej (odcinka) jest prosta (odcinek) do niej równoległa. MENU

41 Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Kreślimy kwadrat DEFG taki, że punkty D, E AB, G AC Otrzymujemy punkt M przecięcia z bokiem BC, który jest obrazem F w jednokł. o środku A i skali s=AM:AF. Przez M kreślimy prostą równoległą do AB. Otrzymujemy punkt N. Przez punkty M i N kreślimy proste prostopadłe do AB. Otrzymujemy punkty K i L przecięcia z AB. Kreślimy półprostą AF. Kwadrat wpisany w dany trójkąt ostrokątny M A B C KL N KLMN Szukany kwadrat DE FG MENU

42 1)Etapy rozwiązania zadania konstrukcyjnego. Etapy rozwiązania zadania konstrukcyjnego.Etapy rozwiązania zadania konstrukcyjnego. 2)Jak rozwiązywać zadania konstrukcyjne ? (przykłady) Jak rozwiązywać zadania konstrukcyjne ? (przykłady)Jak rozwiązywać zadania konstrukcyjne ? (przykłady) Z ADANIE K ONSTRUKCYJNE MENU

43 Analiza zadania – szkicujemy rysunek tak, jakby zadanie było rozwiązane, zaznaczamy elementy dane i szukane; określamy, jak od danych przejść do szukanych. Konstrukcja i jej opis – konstruujemy szukaną figurę (używając jedynie cyrkla i linijki) i opisujemy czynności, które wykonujemy. Dowód poprawności konstrukcji – wykazujemy, że uzyskane przez nas rozwiązanie spełnia warunki zadania. Dyskusja istnienia i liczby rozwiązań – ustalamy warunki zadania, dla których istnieje rozwiązanie oraz stwierdzamy, czy istnieje jedno rozwiązanie, czy też może być ich więcej. Etapy rozwiązania: MENU

44 ZADANIE 1: ZADANIE 1: Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę boków AB + BC, kąt ABC i wysokość CD; ZADANIE 2: ZADANIE 2: Dany jest okrąg o(A, R) i prosta k. Skonstruuj okrąg o danym promieniu r styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do prostej k; P RZYKŁADY Z ADAŃ MENU

45 konstrukcjakonstrukcja opis dowód ilość rozwiązańopisdowódilość rozwiązań A DB C E R OZWIĄZANIE: Analiza Szkicujemy trójkąt ABC i zaznaczamy wszystkie dane elementy. Ponieważ dana jest suma boków AB i BC, więc rysujemy półprostą AB i zaznaczamy odcinek AE taki, że AE = AB BC. Wówczas trójkąt CBE jest równoramienny. Ponadto CBE ABC (bo CBE jest przyległy do ABC). Stąd BCE = BEC Skonstruuj trójkąt ABC mając dane: sumę boków AB BC ABC i wysokość CD. Możemy więc narysować trójkąt AEC, gdyż znamy jego bok AE, AEC i wysokość CD. Aby wyznaczyć punkt B prowadzimy symetralną boku CE. Z ADANIE 1. MENU

46 analizaanaliza opis dowód ilość rozwiązańopisdowódilość rozwiązań h= CD a ABC = AB+BC A E F h k Dane a B Konstrukcja (zad.1) C Z ADANIE 1. ABC szukany trójkąt MENU

47 analiza konstrukcja dowód ilość rozwiązań analizakonstrukcjadowódilość rozwiązań Rysujemy prostą, wybieramy na niej dowolny punkt A i odkładamy odcinek AE =a Konstruujemy kąt o mierze i odkładamy go tak, aby jego wierzchołkiem był punkt E i jedno ramię zawierało się w półprostej EA. Drugie ramię oznaczamy EF Prowadzimy prostą k równoległą do prostej AE w odległości h od tej prostej. Przecina ona półprostą EF w punkcie C. Konstruujemy symetralną odcinka EC, która przecina odcinek AE w punkcie B. ABC jest szukanym trójkątem. Opis konstrukcji (zad. 1). MENU

48 Punkt B należy do symetralnej odcinka CE, zatem BC BE i AB + BC AB + BE =a. Trójkąt BEC jest równoramienny i z konstrukcji wynika, że CEB =. Stąd CBE = Kąty CBE i CBA są przyległe, więc CBA = (180 - ) = = ABC. Ponadto z konstrukcji wynika, że punkt C leży na prostej równoległej do prostej AE, odległej o h od prostej AE, więc wysokość CD ma daną długość h. analiza konstrukcja opis ilość rozwiązań analizakonstrukcjaopisilość rozwiązań Dowód poprawności konstrukcji (zad. 1). MENU

49 analiza konstrukcja opis dowód analizakonstrukcjaopisdowód Warunkiem dostatecznym istnienia rozwiązania jest, aby 0 < ABC < 180 oraz by symetralna odcinka CE przecięła bok AE. W takim przypadku jest jedno rozwiązanie zadania; w przeciwnym wypadku – brak rozwiązań. 1 lub 0 Istnienie i liczba rozwiązań (zad. 1). MENU

50 konstrukcjakonstrukcja opis dowód ilość rozwiązańopisdowódilość rozwiązań A B R r k Analiza Aby narysować szukany okrąg, należy wyznaczyć punkt B, który jest jego środkiem. Ponieważ okrąg dany i szukany mają być styczne zewnętrznie, więc odległość ich środków ma być równa sumie ich promieni ( AB =R+r). Punkt B jest więc punktem okręgu o(A, R+r). Z drugiej strony szukany okrąg ma być styczny do prostej k, więc jego środek (punkt B) leży w odległości r od prostej k tzn. d(B, k)=r. R OZWIĄZANIE: Dany jest okrąg o(A,R) i prosta k. Skonstruuj okrąg o danym promieniu r styczny zewnętrznie do okręgu o(A, R) i styczny do prostej k. Z ADANIE 2. MENU

51 analizaanaliza opis dowód ilość rozwiązańopisdowódilość rozwiązań Z ADANIE 2. Dane r R r Konstrukcja (zad.2) k A R r r r r l1l1 l2l2 R+r Szukane okręgi R B2B2 B1B1 MENU

52 konstrukcjaanalizadowódilość rozwiązań Budujemy odcinek o długości R+r. Zakreślamy okrąg o(A, R+r). Kreślimy proste l 1, l 2 równoległe do prostej k w odległości r od tej prostej. Otrzymujemy punkty B 1 i B 2 przecięcia tych prostych z okręgiem o (A, R+r). Kreślimy okręgi o(B 1, r) i o(B 2, r). Okręgi o(B 1, r) i o(B 2, r) spełniają warunki zadania. Opis konstrukcji (zad. 2). MENU

53 KonstrukcjaKonstrukcja opis analiza ilość rozwiązańopisanalizailość rozwiązań Z konstrukcji wynika, że odległość punktów B 1 i B 2 od punktu A jest równa R+r, zatem okręgi o(B 1,r) i o(B 2,r) są styczne zewnętrznie z okręgiem o(A,r). Punkty B 1 i B 2 leżą na prostej l 1 takiej, że d(l 1,k) = r, więc zbudowane okręgi są styczne do prostej k. Dowód poprawności konstrukcji (zad. 2). MENU

54 konstrukcjaopisdowódanaliza Zadanie ma tyle rozwiązań, ile jest punktów wspólnych sumy prostych l 1 i l 2 z okręgiem o(A, R+r). Oprócz otrzymanych dwóch rozwiązań mamy jeszcze następujące przypadki: Brak rozwiązań Brak rozwiązań Jedno rozwiązanie Jedno rozwiązanie Trzy rozwiązania Trzy rozwiązania Cztery rozwiązania Cztery rozwiązania 0,1,2,3,4 Istnienie i liczba rozwiązań (zad. 2). MENU

55 konstrukcjakonstrukcja opis dowód analizaopisdowódanaliza k A R R+r r r l1l1 l2l2 Brak rozwiązań Suma prostych l 1 i l 2 nie ma punktów wspólnych z okręgiem o(A, R+r) 0 MENU

56 k r r l1l1 l2l2 A R R+r 1 Jedno rozwiązanie Suma prostych l 1 i l 2 ma 1 punkt wspólny z okręgiem o(A, R+r) konstrukcjakonstrukcja opis dowód analizaopisdowódanaliza MENU Szukany okrąg

57 R A R+r k r r l1l1 l2l2 Szukane okręgi 3Trzy rozwiązania rozwiązania Suma prostych l 1 i l 2 ma 3 punkty wspólne z okręgiem o(A, R+r) konstrukcjakonstrukcja opis dowód analizaopisdowódanaliza MENU

58 4 k r r l1l1 l2l2 R R+r A Szukane okręgiCztery rozwiązania rozwiązania Suma prostych l 1 i l 2 ma 4 punkty wspólne z okręgiem o(A, R+r) konstrukcjakonstrukcja opis dowód analizaopisdowódanaliza MENU KONIEC


Pobierz ppt "10 listopada 2000 Konstrukcje geometryczne. K onstrukcje g eometryczne na p łaszczyźnie.MENU Cele pracy Opis pracy O konstrukcjach geometrycznych Konstrukcje."

Podobne prezentacje


Reklamy Google