Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły:

Prezentacja na temat: "Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły:"— Zapis prezentacji:

1

2 Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły:
Gimnazjum nr 2 im. Aleksandra Kamińskiego w Żarach ID grupy: 98/42_MF_G1 Kompetencja: Fizyka i matematyka Temat projektowy: Średnie liczb dodatnich Semestr/rok szkolny: V/2011/2012

3 Średnie liczb dodatnich

4 TEMATYKA: Średnie liczb to pojęcie, które towarzyszy nam praktycznie od dzieciństwa: średnia ocen, średnia temperatura, średnia opadów, średnia cena, średnia prędkość, średnia płaca, … i ciągle lubimy być powyżej średniej…

5 Cele projektu: Opracowanie zbioru średnich liczb dodatnich,
Opracowanie zestawu zależności i związków między średnimi, Poznanie różnorodnego zastosowania średnich, Rozwijanie ciekawości poznawczej i umiejętności badawczych, Kształtowanie i rozwijanie umiejętności współpracy w zespole i podejmowania decyzji grupowych.

6 Występujące pojęcia: Średnia arytmetyczna Średnia geometryczna
Średnia harmoniczna Średnia kwadratowa Średnia ważona

7 Zakres i podział zadań Strona techniczna wykonania projektu: Paweł Bujakowski, Karol Dziduszko, Mateusz Dróżdż, Michał Izdebski, Michał Muszka Wybór zdjęć: Pamela Krasowska, Ania Pawłowska, Klaudia Wołoskowska, Arek Bondarenko, Krzysztof Bastian - Brzeziński Estetyka projektu i poprawność językowa: Pamela Krasowska, Anna Pawłowska

8 Opracowanie poszczególnych zagadnień:
Średnia arytmetyczna – Klaudia Wołoskowska, Krzysztof Bastian- Brzeziński Średnia geometryczna - Karol Dziduszko, Arkadiusz Bondarenko Średnia harmoniczna - Michał Izdebski, Michał Muszka Średnia kwadratowa - Pamela Krasowska, Ania Pawłowska Średnia ważona – Mateusz Dróżdż, Paweł Bujakowski Związki między średnimi - Michał Izdebski, Karol Dziduszko

9 Średnia arytmetyczna Średnia arytmetyczna n liczb rzeczywistych a1, …, an – liczba określona wzorem ENCYKLOPEDIA DLA WSZYSTKICH Matematyka; Wydawnictwa Naukowo-Techniczne; Warszawa 2000; str.300

10 Średnia geometryczna Średnia geometryczna n liczb rzeczywistych nieujemnych a1, …, an – liczba określona wzorem ENCYKLOPEDIA DLA WSZYSTKICH Matematyka; Wydawnictwa Naukowo-Techniczne; Warszawa 2000; str.301

11 Średnia harmoniczna Średnia harmonicza n liczb rzeczywistych dodatnich a1, …, an – liczba określona wzorem ENCYKLOPEDIA DLA WSZYSTKICH Matematyka; Wydawnictwa Naukowo-Techniczne; Warszawa 2000; str.301

12 Średnia kwadratowa Średnia kwadratowa n liczb rzeczywistych dodatnich a1, …, an jest to pierwiastek ze średniej arytmetycznej kwadratów tych liczb

13 Średnia kwadratowA W matematyce średnia kwadratowa jest to przykład miary statystycznej pozwalającej oszacować rząd wielkości serii danych liczbowych lub funkcji ciągłej, użyteczny zwłaszcza w przypadku, gdy wielkości różnią się znakiem.

14 Średnia kwadratowA Zastosowanie: W matematyce – odchylenie standardowe
W rachunku błędów W teorii kinetycznej gazów W teorii sygnałów

15 Średnia ważona Średnia ważona n liczb rzeczywistych a1, …, an z dodatnimi wagami odpowiednio p1 ,…, pn – liczba określona wzorem ENCYKLOPEDIA DLA WSZYSTKICH Matematyka; Wydawnictwa Naukowo-Techniczne; Warszawa 2000; str.301

16 Nierówność Cauchy’ego o Średnich
Jeżeli a1, a2, …, an są liczbami dodatnimi, to ciąg: średnia kwadratowa, średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna liczb a1, a2, …, an jest nierosnący:

17 Zadanie 1 Udowodnij związek Sk ≥ Sa dla liczb dodatnich a1, a2.

18 Dowód

19 Zadanie 2 Udowodnij związek Sa ≥ Sg dla liczb dodatnich a1, a2.

20 dowód

21 ZASTOSOWNIE ŚREDNICH

22 Średnia ocen Zadanie 3 Oblicz średnią ocen ucznia, który ma 2 szóstki, 12 piątek, 4 czwórki. Rozwiązanie

23 mediana Mediana- liczba, w danym szeregu uporządkowanym, która jest w połowie szeregu w wypadku nieparzystej liczby elementów. Dla parzystej liczby elementów – średnia arytmetyczna dwóch środkowych liczb. Przykład 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6

24 mediana Mediana znalazła szerokie zastosowanie w statystyce jako średnia znacznie bardziej odporna na elementy odstające niż średnia arytmetyczna. Używana jest także w grafice komputerowej i cyfrowym przetwarzaniu sygnałów w celu odszumiania - na obrazie zachowuje ona ostre krawędzie przy jednoczesnym usunięciu szumów.

25 Średni ważony koszt kapitału
Średni ważony koszt kapitału (WACC) - wskaźnik finansowy, informujący o przeciętnym koszcie względnym kapitału zaangażowanego w finansowanie inwestycji przez przedsiębiorstwo. Jest średnią ważoną kosztów składników kapitału finansującego inwestycję i dany jest wzorem: gdzie: Ki - koszt i-tego składnika kapitału, wi - udział i-tego składnika kapitału w źródłach finansowania, n - liczba składników kapitału.

26 Środek masy Środek masy ciała lub układu ciał – punkt, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. Pojęcie to jest wykorzystywane także w geometrii. Wzór na wektor wodzący środka masy:

27 Środek ciężkości Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała. Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy. W geometrii (w tym stereometrii) pojęcie środka ciężkości jest synonimem środka masy.

28 Środek ciężkości Środek ciężkości ciała wyraża się wzorem gdzie mk - masy elementów danego ciała (k = 1, 2, 3,…) rk – wektor, reprezentujący położenie ciała w obranym układzie współrzędnych g(rk) - wartość przyspieszenia grawitacyjnego działającego w punkcie rk.

29 Środek ciężkości Dwa ciała o jednakowych masach krążące wokół wspólnego barycentrum. Dwa ciała o zbliżonych masach krążące wokół wspólnego barycentrum (np. Pluton i Charon).

30 Środek ciężkości Dwa ciała o dużej różnicy mas, krążące wokół wspólnego barycentrum. Dwa ciała o bardzo dużej różnicy mas, krążące wokół wspólnego barycentrum (np. Ziemia i Księżyc).

31 Środek ciężkości Dwa ciała o jednakowych masach krążące po orbitach eliptycznych wokół wspólnego barycentrum (układ potencjalnie niestabilny).

32 Środek ciężkości Barycentrum Układu Słonecznego w latach 1945 - 1995

33 Podsumowanie projektu – wnioski
Rozwiązywanie zadań dotyczących średnich utrwaliło nasze wiadomości i umiejętności przed egzaminem gimnazjalnym, Poznaliśmy różnorodne zastosowanie średnich liczb, Umiemy zastosować poznaną wiedzę w praktyce, Realizacja projektu nauczyła nas pracować w zespole, a wspólna praca okazała się świetną zabawą.

34 Bibliografia ENCYKLOPEDIA DLA WSZYSTKICH Matematyka; Wydawnictwa Naukowo- Techniczne; Warszawa 2000

35 Prezentację wykonali:
Krzysztof Bastian – Brzeziński Arkadiusz Bondarenko Paweł Bujakowski Karol Dziduszko Mateusz Dróżdż Michał Izdebski Pamela Krasowska Michał Muszka Ania Pawłowska Klaudia Wołoskowska

36