Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Ćwiczenie I. Podstawowe pojęcia matematyczne; dlaczego przyroda kocha logarytmy Strona internetowa ćwiczeń: Inne.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Ćwiczenie I. Podstawowe pojęcia matematyczne; dlaczego przyroda kocha logarytmy Strona internetowa ćwiczeń: Inne."— Zapis prezentacji:

1 Ćwiczenie I. Podstawowe pojęcia matematyczne; dlaczego przyroda kocha logarytmy Strona internetowa ćwiczeń: Inne pomoce naukowe: - skrypt i wykłady: - podręczniki + notatki ze szkoły średniej (przypomnienie podstawowych pojęć, definicji i wzorów); - dobre tablice matematyczne; - Śliwiński M., 2011: Matematyka. Math.edu.pl. Copyright © 2011 Mariusz Śliwiński. (25 września 2011).http://www.math.edu.pl - I. Białynicki-Birula, I. Białynicka Birula, Modelowanie rzeczywistości. Wyd. Prószyński i S-ka; - J. Weiner, Życie i ewolucja biosfery.Wyd.Naukowe PWN

2 Podstawowe pojęcia i symbole matematyczne Matematyka – liczenie: liczby naturalne (całkowite i dodatnie); l. całkowite (mogą być ujemne); liczby wymierne (całkowite, + i - oraz ułamki – dające się zapisać w formie ułamka zwykłego lub dziesiętnego ze skończoną liczbą miejsc po przecinku); liczby niewymierne (uł. dziesięt. z -ną liczbą miejsc, np.:,, e), liczby rzeczywiste (wszystkie ww.). Wśród l. naturalnych – obok parzystych i nieparzystych wyróżniamy l. pierwsze (podzielne tylko przez 1 i samą siebie) i l. złożone (wszystkie nie I-sze). Matematyka – zawiera zdania w języku formalnym, które są jej najbardziej fundamentalnymi założeniami i są przyjmowane bez dowodu. Są to aksjomaty (przykł.: skrypt, str. 5, od: 1. 0 jest liczbą naturalną). Aksjomaty muszą być spójne (niesprzeczne), wzajemnie niezależne i muszą definiować najbardziej podstawowe obiekty i zależności między nimi. W matematyce – z aksjomatów można wyprowadzać twierdzenia, które wymagają dowodów. Wyprowadzanie twierdzeń i ich udowad- nianie opiera się o specjalne zasady (np. indukcji; str.5-6 w skrypcie). Matematyka jest nauką o strukturach – obiekty, operatory (zdef. przez aksjomaty), sformułowania (terms). Wyjaśnienie skompl.zjaw. => modele (drivers). Zdolność wyjaśniania zjawisk jest zarazem zdolnością do ich modelowania (dodatkowo – prognozowania).

3 Podstawowe symbole i stałe matematyczne (alfabet grecki i symbole – str. 4 skryptu); tu – uzupełnienia:, - wtedy i tylko wtedy, gdy... (exactly if... then) (równoważność); - i (koniunkcja); - lub (alternatywa); - suma zbiorów; - iloczyn zbiorów (część wspólna); - dla każdego x (kwantyfikator ogólny); - istnieje takie x, że... (kwantyfikator szczegółowy); - średnica, ale w rachunku zbiorów – zbiór pusty; - trójkąt, wyróżnik trójmianu kwadratowego lub laplasjan (operator różniczkowania); - pochodna cząstkowa;, ~ - proporcjonalny do.... = x 1 + x 2 + x x i - suma serii x po i do k (rachunek ciągów i statystyka);

4 = x 1. x 2. x x n iloczyn serii x po i do n (ciągi geometr.); przykład iloczynu serii: n! – silnia, np.: 5! = = 120 n! = 3, stała matem. pi (stosunek długości okręgu do dł. jego średnicy); o e 2, liczba Nepera, stała matem., która jest granicą ciągu liczbowego: (1 + 1/n) n, czyli: asymptota Stała e jest podstawą logarytmów naturalnych (ln)

5 Logarytmy Logarytm jest to wykładnik potęgi (c) do jakiej należy podnieść podstawę (a), aby otrzymać liczbę logarytmowaną (b): log a b=c i a c = b. log =2, bo 10 2 =100; colog = kologarytm, antylogarytm (wynik działania odwrotnego w stosunku do logarytmowania): colog 10 2=100, bo 10 2 =100.Uproszczony zapis logarytmów: log 10 = log; log natur. (log e ) = ln; w innych przypadkach zawsze podajemy podstawę log. Ogólnie: x = a log a (x). Działania z wykładnikami: a x+y = a x a y ; (ab) x = a x b x ; a 0 = 1; a –x = 1/a x ; a (xy) = (a x ) y ; x a = a 1/x, ale: a (x^y) (a x ) y. Działania na logarytmach: x * y = a log a (x) * a log a (y) = a log a (x) + log a (y). Dlatego: log (x * y) = log (x) + log (y) oraz log (x / y) = log (x) – log (y) i log(x y ) = ylog(x). Zamiana podstawy logarytmów: x = a log a (x) = b log b (a)*log a (x) = b log b (x), stąd: log b (x) = log b (a) * log a (x)

6 Funkcja logarytmiczna lim x 0 ln(x) = - lim x ln(x) = ; 1 nie może być podstawą x > 0 ln (log, log a ) (1) = 0; x > 0 Dlaczego przyroda kocha logarytmy? y = ax b [funkcja potęgowa: zależność masy ciała (y) od długości ciała (x), 2 < b < 3] Logarytmowanie obu stron równania log (y) = b * log(x) + a....bo wszystko prostują!!!!!

7 Obok wielu zastosowań biologicznych, w ekologii przydaje się do opisu zależności pomiędzy liczbą gatunków a zajmowaną przez nie powierzchnią. Jeżeli za N0 przyjmiemy tzw. liczebność całkowitą, czyli sumaryczną liczbę osobników wszystkich gatunków występujących na danej powierzchni, a za Ni liczebność i-tego gatunku, to iloraz N i /N 0 staje się względną liczebnością gatunku i. Przyjmując i za kolejny numer gatunku w szeregu ich liczebności (malejącej), a a – za współczynnik proporcjonalności, to: ln(N i /N 0 ) = – a(i). Zależność ta nazywana jest szeregiem logarytmicznym (log-series). Jeżeli przyjmiemy A i za 1, to liczbę osobników gatunku przypadającą na jednostkę powierzchni opisuje równanie: S 0 = ln(A 0 )/a. Dlatego zależność pomiędzy liczbą gatunków (S), a zasiedlaną przez nie powierzchnią (A) opisuje równanie funkcji logarytmicznej: S=ln(A)/a+ S 0 (na wykresie – zlinearyzowane). O ile względne częstości występowania gatunków w zbiorowiskach, zgodne są z szeregami logarytmicznymi (zw. też sz. geometrycznymi), tak zależność pomiędzy liczbą gatunków, a zajmowaną przez nie powierzchnią modeluje funkcja logarytmiczna.

8 Dlaczego przyroda kocha logarytmy? …bo wszystko prostują I nie tylko… Obustronne logarytmowanie tak równania funkcji wykładniczej, jak I potęgowej daje funkcję liniową. Uzasadnienie / podsumowanie twierdzącej odpowiedzi na pytanie: czy przyroda kocha logarytmy? a) ważne dla przyrodników funkcje: wykładniczą i potęgową można przekształcić w drodze logarytmowania w łatwe do interpretacji funkcje liniowe; b) sama funkcja logarytmiczna może modelować ważne zjawiska biologiczne (np. zależność liczby gatunków od zajmowanej przez nie powierzchni); c) transformacja danych surowych zgodnie z funkcją logarytmiczną może poprawiać przydatność i użyteczność tych danych do parametrycznych analiz statystycznych; log

9 d) skala wielu ważnych dla przyrodników zmiennych (np. wykładnik stężenia jonów wodorowych pH; skala intensywności trzęsień Ziemi Richtera) to skala logarytmiczna; e) w fizjologii: percepcja bodźca jest wprost proporcjonalna do logarytmu jego intensywności (prawo Webera-Flechnera). Błądzenie przypadkowe (random walk) Błądzenie przypadkowe jest to proces, którego wyniku końcowego nie można przewidzieć w oparciu o zjawiska poprzedzające (skr.12?) Błądzeniem przypadkowym nazywamy ruch punktu na prostej, na płaszczyźnie, czy nawet w przestrzeni o dowolnej liczbie wymiarów, będący złożeniem kroków o tej samej długości wykonywanych w przypadkowo wybranych kierunkach (Białynicki-Birula & c., 2002). Błądzenie przypadkowe w przestrzeni stanowi matematyczny model zjawisk dyfuzji i ruchów Browna – rozprzestrzeniania się cząsteczek substancji w jakimś środowisku. Odległość przebyta w błądzeniu przypadkowym jest wprost proporcjonalna nie do czasu (t), ale do t.

10 Przykład: względna częstość występowania gatunków rzadko wystę- pujących w ekosystemach (wymieranie gatunków w toku ewolucji). p – prawdopodobieństwo wystąpienia danego gatunku Kolejne pokolenia p p*p p*p*p Częstość wystąpienia i-tego rzadkiego gatunku – S i : S i = S 0 p i S 0 – początkowa liczba gatunków. Definiując stałą: k = –ln(p), S i = S 0 e –ki (funkcja wykładnicza) Obustronne logarytmowanie - linearyzacja: ln(S i )=ln(S 0 ) – k*i Si= S0/2 – połowiczne wymarcie gatunku: S i / S 0 = e –ki = ½; i = ln(2)/k W analogiczny sposób modelowany jest proces radioaktywnego rozpadu, gdzie w równaniu zamiast i występuje czas (t).

11 Ponadto, zgodnie z modelem błądzenia przypadkowego, wystę- pują w przyrodzie zjawiska: - pojawianie się mutacji w populacji komórek (np. hodowli bakterii); - stężenie hormonów w organizmie. Są to procesy multiplikatywne (p p*p p*p*p), modelowane za pomocą funkcji wykładniczej: y = a*e bx, o przebiegu: lub Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. 1. Zadania 1, 2 – do wykonania samodzielnego. Wskazówki do zadania 3: a) zaznacz w arkuszu roboczym Excela kolumny A i B, jako kolumny danych, odpowiednio dla zmiennej x i y; b) wprowadź jako pierwsze dane liczbowe zmiennej x: 1 i 2

12 c) zaznacz wprowadzone liczby (klik lewym przyciskiem na początku bloku i przeciągnięcie do końca); d) skopiuj zaznaczone liczby, ustawiając kursor w prawym dolnym rogu ( czarny krzyżyk) i przeciągając go w dół)

13 e) przenieś kursor do komórki B2 (1), a następnie do pola wpisywania formuł (2) i wpisz formułę: =log(a2) (2) (1) f) wróć kursorem do komórki B2, ustaw go w prawym dolnym rogu komórki ( czarny krzyżyk) i przeciągnij w dół (kopiowanie formuły)

14 g) zaznacz wszystkie wartości zmiennych x i y (weź je do bloku); h) kliknij w ikonę kreatora rysunków:, a następnie wybierz najprostszy typ wykresu XY (same punkty) i kliknij w przycisk Dalej > (zrzut ekranu – na następnym przeźroczu);

15 i)kliknij w przycisk Dalej > po raz kolejny 2x, a następnie wpisz tytuł rysunku oraz opisy osi X i Y; j) kliknij w przycisk Zakończ. Powinien ukazać się rysunek, którego rozmiary można dostosować do potrzeb, przeciągając kursor ustawiony albo na czarnym kwadraciku na rogu (zmiana wielkości z zachowaniem proporcji albo na środku odpowiedniego boku (zmiana długości boku);

16 k) uzyskany wykres powinien wyglądać następująco: l) dane wraz z wykresem można zapisać na własnym nośniku USB, klikając w menu Plik i wybierając następnie komendę Zapisz jako. W oknie Zapisz jako, przekieruj w polu Zapisz w: zapis z folderu Moje dokumenty na dysk USB (kliknąć w strzałkę z prawej strony i z rozwiniętego menu wybrać napęd USB i kliknąć w przycisk Zapisz); nie wolno zapisywać własnych plików w folderze Moje dokumenty lub gdziekolwiek indziej na dysku twardym bez zgody prowadzącego.

17 Wskazówki do zadania 4 y 2 x 2 y=1 y 2 x 2 y=1 | : x 2 y 2 y=1/ x 2 log (y 2 y) = log (1/ x 2 ) log (y 2 y 0,5 ) = log (x -2 ) 2,5 log (y) = -2 log (x) | : 2,5 log (y) = -0,8 log (x) y = x -0,8 Wykres wykonujemy w taki sam sposób, jak w zadaniu poprzednim. Operatorem potęgowania jest ^ (6 + Shift); formuła dla funkcji y = x -0,8 w Excelu wygląda następująco: =(A2)^-0,8.

18 Wskazówki do zadania 5 Przeliczenie logarytmów dziesiętnych na naturalne: log 70 = 1,845 (czyli log = 1,845) Wzór na zamianę podstawy logarytmów: log b (x) = log b (a) * log a (x) Stąd: ln70 = ln10 * log70, czyli: ln70 2,3026 * 1,845 4,2483

19 Dziękuję za uwagę ;-)


Pobierz ppt "Ćwiczenie I. Podstawowe pojęcia matematyczne; dlaczego przyroda kocha logarytmy Strona internetowa ćwiczeń: Inne."

Podobne prezentacje


Reklamy Google