Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 Równania funkcyjne

3 Nazwa szkoły: Informacyjne Liceum Ogólnokształcące,,Computer College ID Grupy: 97_12_MF_G1 Opiekun : Maria Felchner Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Równania funkcyjne Semestr V rok szkolny 2011/2012

4 Nazwa szkoły: III LO Ostrów Wielkopolski ID grupy: 97/27_MF_G1 Opiekun: Krystyna Chmielewska Kompetencja: matematyczno – fizyczna Temat projektowy: Równania funkcyjne Semestr V rok szkolny 2011/2012

5 Równania funkcyjne I.Wprowadzenie do tematu. II.Przykładowe zadania wraz z rozwiązaniami Spis Treści

6 Podstawowe pojęcia: Funkcja addytywna - funkcja f, której wartość dla sumy argumentów równa się sumie jej wartości dla poszczególnych argumentów: f(x+y) = f(x)+f(y). Funkcje parzyste i nieparzyste – funkcje cechujące się pewną symetrią przy zmianie znaku argumentu. Prowadzi to również do symetrii ich wykresów. Funkcja jest: parzysta, jeżeli spełnia równanie f(x)=f(-x) (symetria względem zmiany znaku argumentu); nieparzysta, jeżeli spełnia równanie f(-x)=-f(x) (symetria względem jednoczesnej zmiany znaku argumentu i wartości funkcji).

7 Równanie Równanie- równość dwóch wyrażeń, np. algebraicznych, zawierających symbole literowe zwane niewiadomymi. Np. 2x+8=0 jest to równanie z jedną niewiadomą x, x 2 +y 2 =9 jest to równanie z dwoma niewiadomymi x i y itp. Równanie może stanowić przedmiot zagadnienia, które polega na wyznaczeniu rozwiązań tego równania, tzn. takich np. liczb, które po podstawieniu w miejsce niewiadomej spełniają dane równanie. Rozwiązać równanie znaczy to znaleźć wszystkie jego rozwiązania.

8 Przykładowe rozwiązania równań 2x+6=0 posiada jedno rozwiązanie x=3, X 2 +5x+4=0 dwa rozwiązania: x 1 =-4, x 2 =-1 X+y=1 posiada nieskończenie wiele rozwiązań: x można przyjmować dowolnie, zaś y=1-x. X 2 +y 2 =9 ma także nieskończenie wiele rozwiązań: x można przyjmować dowolnie w przedziale -3x3,

9 Równanie funkcjne Jest to równanie, którego niewiadomą jest funkcja. Przykładami mogą być : Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe. Równanie f(x + y) = f(x) + f(y) spełniają funkcje addytywne. Równania f(x) = f( x) oraz f(x) = f( x) spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste. Znajdźmy wszystkie funkcje dla których f(x + y) 2 = f(x) 2 + f(y) 2. Podstawiając x = y = 0 otrzymujemy f(0) 2 = 2f(0) 2, czyli f(0) = 0. Niech y = x, wówczas 0 = f(0) 2 = f(x x) 2 = f(x) 2 + f( x) 2 Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość f(x) = 0 jest spełniona dla każdego x. Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest f(x) = 0. Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki a 1 = 1, a n + 1 = (n + 1)a n Jest ciąg a n = n!.

10 Równanie Cauchyego- zadanie 1.Wyznaczyć ogólną postać funkcji ciągłej f : R->R, spełniającej tzw. Równanie funkcyjne Cauchyego f (x+y)= f (x)+ f (y) dla x,y R Odp. Załóżmy, że f jest funkcją spełniającą równanie Cauchyego. Oznaczamy a = f (1) i zauważmy, że funkcja f jest funkcją nieparzystą. Rzeczywiście po podstawieniu do równania y = -x mamy: 0 = f (0) = f (x-x) = f (x)+ f (-x), skąd f (-x)= - f (x), zauważmy dalej, że f (n) = f (n*1)= n f (1)=na, dla dowolnego n N. Dalej, dla dowolnych m,n N mamy f (m)= f (n*m/n) = n f (m/n), skąd f (m/n)= 1/n f (m)=m/n*a. Stąd i z nieparzystości funkcji f wnioskujemy, że dla dowolnej liczby wymiernej r zachodzi f (r) = ra. Zauważmy, że do tej pory nie korzystaliśmy z ciągłości funkcji f. Ustalmy teraz dowolnie liczbę rzeczywistą x oraz weźmy ciąg {r n } liczb wymiernych zbieżny do x. Wtedy (ciągłość f ) mamy: f (x) = f (lim n-> r n )= lim n-> f (r n )= lim n-> r n a = ax. Zatem każda funkcja ciągła spełniająca równanie Cauchyego jest funkcją postaci f (x)=ax.

11 Aczel Janos Aczel Janos- jest matematykiem, uczniem Leopolda Fejera zaliczanego obecnie do klasyków matematyki. Jest twórcą teorii równań i nierówności funkcyjnych i jej niekwestionowanym liderem światowym. Urodzony w 1924 roku na Węgrzech, ukończył studia matematyczne na Uniwersytecie w Budapeszcie, gdzie uzyskał także doktorat i habilitację.

12 Marek Kuczma Uznawany za ojca polskiej szkoły równań funkcyjnych. Marek Kuczma – polski matematyk; profesor. W roku 1968 ukazała się drukiem fundamentalna monografia Functional equations in a single variable autorstwa Marka Kuczmy. Stworzyła ona podwaliny systematycznej teorii równań funkcyjnych o jednej zmiennej. Sam Marek Kuczma rolę swego dzieła postrzegał tak: Głównym moim osiągnięciem naukowym jest stworzenie i rozwinięcie (częściowo wespół z moimi uczniami) systematycznej teorii równań funkcyjnych o jednej zmiennej. Teoria ta została przedstawiona w mojej monografii...Jest to jedyna w świecie monografia poświęcona temu przedmiotowi i jest stale cytowana przez wszystkich autorów piszących na ten temat.

13 Zadania

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26 ZADANIA O ZRÓŻNICOWANYM POZIOMIE TRUDNOŚCI

27 Uzasadnij, że dla dowolnej liczby n i dla każdej funkcji liniowej f, prawdziwa jest równość f(2n+1)+(f(2n-1)=2f(2n). f(n)=an+b f(2n+1)=(2n+1)a+b=2an+a+b f(2n-1)=(2n-1)a+b=2an-a+b 2f(2n)=2(2an+b)=4an+2b Po podstawieniu: 2an+a+b+2an-a+b=4an+2b 4an+2b=4an+2b L=P c.n.u.

28 Funkcja f jest określona wzorem Dla wszystkich liczb rzeczywistych x1. Rozwiąż nierówność f(x) < f(2-x)

29 Podstawiamy dane do równania Skracamy i upraszczamy równanie Sprowadzamy do wspólnego mianownika i odejmujemy ROZWIĄZANIE: Skracamy nawiasy 2 jest zawsze dodatnia, więc sprawdzamy mianownik Z tego otrzymujemy rozwiązanie:

30 Zadanie Funkcja f: R R, spełnia dla każdej liczy rzeczywistej x, zależność: f(x)=f(f(x))+x Udowodnij, że funkcja f, ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

31 Rozwiązanie Podstawmy pod x liczbę 0: x=0 Dzięki czemu otrzymujemy: f(0)=f(f(0) Następnie podstawmy: x=f(0) otrzymujemy: f(f(0))=f(f(f(0))) + f(0) Co po uwzględnieniu poprzedniej równości daje nam: f(0)=f(0)+f(0) czyli, f(0)=0 0 jest miejscem zerowym funkcji

32 Sprawdzenie Teraz kiedy wiemy już, że 0 jest miejscem zerowym funkcji musimy sprawdzić, czy są inne miejsca zerowe. Załóżmy, że d jest miejscem zerowym funkcji f, czyli, że f(d)=0. Teraz podstawmy x=d. Wniosek: d=0 i co za tym idzie, nie ma więcej miejsc zerowych.

33 Zadania z Olimpiad Matematycznych

34

35

36 Computer College: 1.Magdalena Ćwik 2.Anita Dudek 3.Jagoda Glegoła 4.Adriana Jaworska 5.Daniela Karasińska 6.Paulina Kilianek 7.Milena Korgiel 8.Paweł Lesiak Projekt przygotowali: III LO Ostrów Wielkopolski: 1.Szymon Andrzejak 2.Łukasz Bartsch 3.Michał Biegański 4.Przemek Cieluch 5.Mateusz Cierpka 6.Mateusz Gierz 7.Marcin Leja 8.Kasia Pałat 9.Karolina Pławucka 10.Alicja Sobczak 11.Robert Śledzik 12.Mikołaj Tomczak 13.Michał Walkowiak

37 kuczma/kuczma.html, Wykłady z analizy matematycznej II Walter Rusin Warszawa 2004, Matematyka próbne arkusze maturalne Oficyna edukacyjna, Krzysztof Pazdro, Matematyka Matura 2012 zakres rozszerzony Operon, Marzena Orlińska, Matematyka podręcznik dla klas trzecich, Nowa Era W. Babiański, L Chańko, J. Czarnowska, J. Wesołowska, Zbiór zadań i testów maturalnych do obowiązkowej matury z matematyki Aksjomat, D. Masłowska, T. Masłowski, A. Makowski, P. Nodzyński, E. Słomińska, A. Strzelczyk, Korczyc Tadeusz, Matematyka Zbiór tematów z egzaminów wstępnych na wyższe uczelnie, Warszawa, Wydawnictwo szkolne i pedagogiczne. BIBLIOGRAFIA:

38 D z i ę k u j e m y


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google