Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Model ciągły wyceny opcji Blacka – Scholesa - Mertona Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Model ciągły wyceny opcji Blacka – Scholesa - Mertona Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej."— Zapis prezentacji:

1 Model ciągły wyceny opcji Blacka – Scholesa - Mertona Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.

2 Model Blacka – Scholesa- Mertona Przełomowe prace z zakresu wyceny opcji: Fischer Black, Myron Scholes ”The pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy (Mai/Juni 1973)   Robert C. Merton „Theory of Rational Option Pricing” Bell Journal of Economics and Management Science (1973) Modele które do chwili obecnej są centralnym obiektem matematyki finansowej i przyczyniły się do gwałtownego rozwoju inżynierii finansowej opartej na instrumentach pochodnych W 1997, Robert Merton i Myron Scholes otrzymali nagrodę Nobla w ekonomii (Fischer Black zmarł w 1995)

3 Uogólnienie definicji wyceny opcji   Wzór na wycenę opcji w modelu dwumianowym wieloetapowym można było interpretować jako zdyskontowaną, oczekiwaną wartość funkcji wypłaty opcji, przy tzw. prawdopodobieństwie neutralnym wobec ryzyka (risk free probability), przy którym oczekiwana stopa zwrotu z akcji jest równa stopie wolnej od ryzyka.   Uwzględniając to podejście i zakładając ciągłą kapitalizację odsetek można przyjąć ogólną definicję wyceny opcji kupna na T lat przed datą wygaśnięcia opcji jako zdyskontowaną, oczekiwaną wartość funkcji wypłaty C = e - r T E [max(S(T) – K, 0)] r – roczna stopa wolna od ryzyka przy ciągłej kapitalizacji S(T) – cena instrumentu bazowego w dniu wygaśnięcia opcji K – cena realizacji opcji

4 Uogólnienie definicji wyceny opcji sprzedaży Wprowadźmy oznaczenie: (S(T) – K) + := max(S(T) – K,0), zatem C = e - r T E[(S(T) – K) + ] Podobnie dla opcji sprzedaży, jej wartość określimy jako zdyskontowaną, oczekiwaną wartość funkcji wypłaty w chwili T P = e -rT E [max(K– S(T), 0)] lub krócej P = e -rT E [(K– S(T)) + ]

5 Warunki wyceny   Ceny akcji podlegają błądzeniu przypadkowemu   Oczekiwana stopa zwrotu z akcji w krótkim okresie czasu jest równa krótkoterminowej wolnej od ryzyka stopie procentowej (tzw. warunek powszechnej obojętności względem ryzyka)   wolna od ryzyka stopa procentowa oraz współczynnik zmienności akcji są stałe w rozpatrywanym okresie   W okresie ważności opcji akcje bazowe nie przynoszą dywidendy   Nie istnieją możliwości arbitrażu   Papiery wartościowe są nieskończenie podzielne, koszty transakcyjne – zerowe   Pożyczki i lokaty podlegają tej samej wolnej od ryzyka stopie procentowej   Obrót papierami wartościowymi jest ciągły

6 Zmienność ceny akcji   Współczynnik rocznej zmienności akcji  definiujemy jako   odchylenie standardowe rocznych logarytmicznych stóp zwrotu akcji  i = ln (S i / S i-1 ),    i - logarytmiczna stopa zwrotu w i-tym roku, S i –cena akcji w i-tym roku)   Współczynnik zmienności  często obliczana jest w oparciu o miesięczne logarytmiczne stopy zwrotu. Ponieważ zakłada się niezależność logarytmicznych stóp zwrotu, wiec roczna wariancja jest iloczynem miesięcznej wariancji i liczby 12. Zatem roczne odchylenie std. jest równe miesięcznemu pomnożonemu przez pierwiastek z 12. Analogicznie można wyliczać roczną zmienność ze zmienności tygodniowej, dziennej, itd.

7 Ciągły model zmienności cen akcji   UWAGA Tzw. model ciągły zmienności akcji jest wynikiem przejścia granicznego, czyli zastosowania odpowiedniej wersji centralnego twierdzenia granicznego dla dyskretnego modelu zmienności ceny akcji.   Wykażemy, że   S(T) = S(0) e X(T)   gdzie X(T) jest pewną zmienną losową o rozkładzie normalnym   S(T) - zmienna losowa określająca cenę akcji w chwili T

8 Założenia konstrukcji ciągu zmiennych losowych S n (T) przybliżających zachowanie się cen akcji w chwili T (i) Zmienne losowe ln[S n (T)/S(0)] mają jednakową wariancję dla każdego n, wynoszącą Tσ 2. (ii) Ceny akcji zmieniają się jak w modelu multiplikatywnym (iii) Wartość oczekiwana współczynnika zmiany ceny akcji w jednym etapie jest równa współczynnikowi wzrostu dla inwestycji wolnej od ryzyka.

9 Pojęcia i oznaczenia   n – liczba etapów w okresie czasu o długości T, (T – wyrażone w latach)   T/n - długość etapu   (1)   R n jest współczynnikiem wzrostu dla inwestycji wolnej od ryzyka w jednym etapie, przy ciągłej kapitalizacji odsetek, r – stopa roczna przy kapitalizacji ciągłej

10 Konstrukcja modelu multiplikatywnego zmienności akcji Fluktuacje z modelu multiplikatywnego stanowią ciąg niezależnych zmiennych losowych η n (i), o jednakowych rozkładach zdefiniowanych wzorem   (2) dla każdego i = 1,2,…,n. Litera i jest numerem etapu, u n i d n to współczynniki zmiany ceny akcji. Zakładamy, że u n > d n. Zakładamy, że każda z tych dwóch wartości przyjmowana jest z prawdopodobieństwem równym 0,5.

11 Konstrukcja modelu multiplikatywnego zmienności akcji   Z założenia (iii) (wartość oczekiwana współczynnika zmiany ceny akcji w jednym etapie jest równa współczynnikowi wzrostu dla inwestycji wolnej od ryzyka) wynika, że (3) R n = 0,5 (u n + d n ) Z przyjęcia modelu multiplikatywnego - cena w momencie T wynosi

12 Konstrukcja modelu multiplikatywnego zmienności akcji

13

14

15

16 Z równania (6b) oraz (6) otrzymujemy wyrażenie na u n d n :

17

18

19 Konstrukcja modelu multiplikatywnego zmienności akcji

20

21 Logarytmiczno-normalny rozkład ceny końcowej akcji

22 WNIOSEK 3. Zmienną S(T) można przedstawić w postaci S(T) = S 0 exp[(r-  2 /2)T+  (T)]   gdzie zmienna losowa  (T) ma rozkład normalny o parametrach ( 0,  T ).   Rzeczywiście, wtedy suma   [(r-  2 /2)T+  (T)]   ma rozkład normalny o parametrach ((r-  2 /2)T,   T ), czyli taki jaki miała graniczna zmienna losowa X.

23 Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej

24

25

26

27

28

29

30 Literatura   Measure, Integral and Probability   M. Capiński, E. Kopp   Teoria inwestycji finansowych – D. Luenberger   Instrumenty pochodne – sympozjum matematyki finansowej. Kraków UJ 1997   Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie J. Hull Warszawa 1997


Pobierz ppt "Model ciągły wyceny opcji Blacka – Scholesa - Mertona Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej."

Podobne prezentacje


Reklamy Google