Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 4 26.03.2008 r. Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg O – centrum grawitacji P – element masy dm Potencjał.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 4 26.03.2008 r. Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg O – centrum grawitacji P – element masy dm Potencjał."— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA NIEBA WYKŁAD r

2 Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg O – centrum grawitacji P – element masy dm Potencjał w punkcie Q: Niech PO=r, QO=R wtedy: i wyrażenie na potencjał przyjmuje postać: z y x 0 P dm θ Q

3 Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg Ponieważ R>>r więc możemy wyrażenie podcałkowe rozwinąć wykorzystując uogólnienie dwumianu Newtona: gdzie: z y x 0 P dm θ Q

4 Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg czyli: z y x 0 P dm θ Q

5 Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg które po przekształceniu i uporządkowaniu ze względu na kolejne potęgi r/R daje: gdzie P n (cosθ) są wielomianami Legendre’a z y x 0 P dm θ Q

6 Pole grawitacyjne i potencjał Wielomiany Legendre’a Wielomiany Legendre’a stanowią zbiór funkcji ortogonalnych na odcinku (-1,1). Są zdefiniowane za pomocą tzw. wzoru Rodriguesa: Jak było pokazane wcześniej w. Legendre’a mają funkcję tworzącą postaci:

7 Pole grawitacyjne i potencjał Wielomiany Legendre’a kilka początkowych wielomianów:

8 Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg z y x 0 P dm θ Q Wyznaczmy kilka kolejnych wyrazów rozwinięcia potencjału: Pierwszy czynnik daje potencjał masy punktowej:

9 Pole grawitacyjne i potencjał Środek masy z y x 0 (x i,y i,z i ) riri rcrc (x c,y c,z c )

10 Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg z y x 0 P dm θ Q (x 0,y 0,z 0 ) (x,y,z) Drugi czynnik: Iloczyn skalarny wektorów PO i PQ daje: wtedy: Ponieważ początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem masy, więc wszystkie trzy całki są równe 0.

11 Pole grawitacyjne i potencjał Tensor momentu bezwładności Tensor momentu bezwładności wiąże moment pędu ciała z jego prędkością kątową: pozwala liczyć moment bezwładności ciała w przypadku obrotu wokół dowolnej osi. momenty główne: momenty dewiacyjne:

12 Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg Trzeci wyraz: Pamiętając, że: są momentami bezwładności względem osi układu współrzędnych.

13 Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg oraz momenty odśrodkowe względem par płaszczyzn xy i zx, xy i yz oraz xz i zy: są równe 0 w przypadku gdy osie układu pokrywają się z osiami bezwładności, możemy napisać:

14 Pole grawitacyjne i potencjał Przypadek rzeczywisty: 4769 Castalia Werner, R., Scheeres, D. 1997, CeMDA 65, 313 CeMDA – Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy

15 Pole grawitacyjne i potencjał 4769 Castalia Rozmiary planetoidy: r max 800 m r min 300 m r śr 543 m gęstość2.1 g/cm 3 masa1.4x10 12 kg Model planetoidy składa się z 3300 elementów powierzchni tworzących wielościan. Oznacza to, że dokładność odtworzenia powierzchni (rozdzielczość przestrzenna) sięga około 60m

16 Pole grawitacyjne i potencjał 4769 Castalia: model potencjału Korzystając z prawa Gaussa można wyznaczyć natężenie pola grawitacyjnego przez powierzchnię planetoidy przy założeniu stałej gęstości.

17 Pole grawitacyjne i potencjał Prawo Gaussa Strumień natężenia pola g przez powierzchnię zamkniętą równy jest całkowitej masie zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez -4πG

18 Pole grawitacyjne i potencjał 4769 Castalia: model potencjału Potencjały związane z miejscami „zszycia” wielokątów są liczone tak jak w przypadku pręta.

19 Pole grawitacyjne i potencjał 4769 Castalia: model potencjału

20 Pole grawitacyjne i potencjał 4769 Castalia: natężenie pola grawitacyjnego Już w odległości rzędu 200 m od powierzchni dobrym przybliżeniem potencjału jest potencjał pręta (powierzchnie ekwipotencjalne są elipsami)

21 Pole grawitacyjne i potencjał 4769 Castalia: porównanie z metodą szeregów potencjał natężenie pola grawitacyjnego

22 Pole grawitacyjne i potencjał Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos Bartczak, P., Breiter, S. 2003, CeMDA 86, 131

23 Pole grawitacyjne i potencjał Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos Potencjał od dwóch prostopadłych prętów: gdzie: oraz:

24 Pole grawitacyjne i potencjał Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos Potencjał elipsoidy postaci: porównywany był z trzema modelami: P2 – rozwinięcie potencjału w szereg DR – przybliżenie pojedynczym prętem BB – dwa prostopadłe pręty

25 Pole grawitacyjne i potencjał Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos Ida Fobos

26 Zagadnienie dwóch ciał

27 Równania ruchu z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) Dwa punkty o masach m 1 i m 2 odległe o r Działają na siebie siłą o wartości: Równania ruchu tych punktów: Otrzymujemy układ sześciu równań różniczkowych drugiego rzędu (czyli układ dwunastego rzędu).

28 Zagadnienie dwóch ciał Równania ruchu z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) Na początek dodajemy stronami oba równania: a następnie całkujemy dwukrotnie: i otrzymujemy pierwszych sześć całek i sześć stałych całkowania.

29 Zagadnienie dwóch ciał Równania ruchu z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) Z def. środka masy: zastosowanego dla układu dwóch punktów mamy: Oznaczmy M=m 1 +m 2, wtedy:

30 Zagadnienie dwóch ciał Równania ruchu z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) Wtedy równanie: przyjmuje postać: To równanie określa nam zachowanie środka masy (barycentrum). Dla t=0 znajduje się ono w punkcie B/M. Po zróżniczkowaniu tego równania otrzymujemy, że barycentrum porusza się ze stałą prędkością równą A/M

31 Zagadnienie dwóch ciał Równania ruchu względnego z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) wprowadźmy: czyli:

32 Zagadnienie dwóch ciał Równania ruchu względnego z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) oznaczmy: wtedy r-nie ruchu względnego przyjmuje ostatecznie postać: W ten sposób układ sześciu równań drugiego rzędu został zredukowany do układu trzech równań drugiego rzędu. Jego rozwiązanie polega na znalezieniu sześciu stałych.

33 Zagadnienie dwóch ciał Całki pól z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) Mnożymy obustronnie przez (wektorowo) i otrzymujemy: po całkowaniu: - moment pędu na jednostkę masy, (stała ruchu)

34 Rozpatrzmy dwa przypadki: 1. Ponieważ r musi być prostopadłe do c więc ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do c. Zagadnienie dwóch ciał Całki pól z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) 2. Ponieważ: więc mamy: co oznacza, że ruch odbywa się po prostej przechodzącej przez centrum grawitacji

35 Zagadnienie dwóch ciał II prawo Keplera z y x m 2 (x 2,y 2,z 2 ) m 1 (x 1,y 1,z 1 ) Ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do wektora momentu pędu. Jeśli wybierzemy płaszczyznę xy jako pokrywającą się z płaszczyzną ruchu i wprowadzimy współrzędne biegunowe to: wtedy:

36 Zagadnienie dwóch ciał II prawo Keplera m1m1 m2m2 t=0 t=δt r+δr r δθ δAδA Powierzchnia zakreślona przez wektor wodzący: stąd: Pamiętając, że: otrzymujemy: czyli drugie prawo Keplera

37 Zagadnienie dwóch ciał I prawo Keplera mnożymy je obustronnie przez (skalarnie) i otrzymujemy: Rozpatrzmy cząstkę o masie m poddanej działaniu siły centralnej f(r). Siła jest skierowana od cząstki do początku układu współrzędnych. Równanie ruchu cząstki: W przypadku oddziaływania grawitacyjnego mamy: Całkujemy:

38 Zagadnienie dwóch ciał I prawo Keplera Ostatecznie otrzymujemy tzw. całkę sił żywych: która wyraża zachowanie energii w układzie. h jest energią całkowitą. Przechodząc do współrzędnych biegunowych otrzymujemy: czynnik związany z działaniem siły odśrodkowej energia potencjalna

39 Zagadnienie dwóch ciał I prawo Keplera Wprowadźmy tzw. potencjał efektywny: E r Potencjał efektywny w łatwy sposób tłumaczy kształty orbit: kołowa – minimum energii planety eliptyczna – planeta zmienia odległość między dwoma skrajnymi wartościami paraboliczna – zerowa energia (ciało nadlatuje z nieskończonosci) hiperboliczna– energia większa od 0


Pobierz ppt "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 4 26.03.2008 r. Pole grawitacyjne i potencjał Rozwinięcie potencjału w szereg O – centrum grawitacji P – element masy dm Potencjał."

Podobne prezentacje


Reklamy Google