Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Przegląd postulatów Mechaniki Kwantowej, uwagi o jej matematycznym języku. Każdy dział fizyki ma swój specyficzny język matematyczny. Często się zdarza,

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Przegląd postulatów Mechaniki Kwantowej, uwagi o jej matematycznym języku. Każdy dział fizyki ma swój specyficzny język matematyczny. Często się zdarza,"— Zapis prezentacji:

1

2

3 Przegląd postulatów Mechaniki Kwantowej, uwagi o jej matematycznym języku. Każdy dział fizyki ma swój specyficzny język matematyczny. Często się zdarza, że zapotrzebowania fizyczne stymulują różne działy matematyki. Mechanika Newtona Rachunek różniczkowy i całkowy, Elektrodynamika klasyczna Rachunek tensorowy, równania różniczkowe cząstkowe, MECHANIKA KWANTOWA -- Przestrzenie liniowe, operatory liniowe, grupy i ich reprezentacje. Pełny matematyczny formalizm Mechaniki Kwantowej został podany przez J. von Neumana w 1932 roku „Mathematical Foundation of Quantum Mechanics” Springer, Berlin, 1932

4 Postulaty Mechaniki Kwantowej UKŁAD FIZYCZNY Klasycznie: Obrazem matematycznym układu fizycznego jest przestrzeń fazowa (Przestrzeń fazowa z więzami) {x 1, x 2, x 3, p 1, p 2, p 3 ;.....} Kwantowo: Obrazem matematycznym układu fizycznego jest zbiór stanów mikroskopowego układu kwantowego tworzących przestrzeń Hilberta stanów kwantowych H Elementy przestrzeni będziemy oznaczać:

5 Definicja Algebry Definicja Przestrzeni liniowej Definicja Przestrzeni unitarnej Definicja Przestrzeni Hilberta

6 Przestrzeń liniowa Φ nad ciałem K: ciało Rozdzielczość mnożenia względem dodawania Łączność K -- ciało liczb zespolonych

7 Notacja wektorów wprowadzona przez Diraca Sprzężenie Hermitowskie Wektor „Ket ” Wektor „Bra” Iloczyn skalarny Bracket (nawias)

8 Przestrzeń unitarna Metryka generowana przez iloczyn skalarny: Zbieżność w sensie Cauchy’ego jest zbieżny w sensie Cauchy’ego, gdy dla każdego istnieje takie N, że, gdy

9 Przestrzeń Hilberta H Liniową i unitarną przestrzeń H nazywamy przestrzenią HILBERTA, gdy każdy ciąg elementów H zbieżny w sensie Cauchy’ego ma element graniczny, który też należy do przestrzeni H. Liniowa zależność, linowa niezależność Baza, gdy Przestrzenie skończenie i nieskończenie wymiarowe Przestrzeń Hilberta H jest izomorficzna z C n gdy jest skończenie wymiarowa lub z L 2 gdy jest nieskończenie wymiarowa. Tak więc badanie nieskończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta sprowadza się do badania przestrzeni L 2.

10 Przestrzeń C n to zbiór wektorów, którego elementami są liczby zespolone: Przestrzeń X =L 2 (Ω) to przestrzeń funkcji na zbiorze o wartościach rzeczywistych lub zespolonych takich, że

11 Omówienie formalizmu Diraca Przestrzeń sprzężona Iloczyn skalarny = „bra-c-ket”

12 ALGEBRA operatorów Zbiór operatorów {A} tworzy ALGEBRĘ, gdy a)Każde A jest operatorem liniowym. b)Dla A i B określony jest ich iloczyn AB = C o własnościach: c)Istnieje operator jednostkowy I taki, że:

13 Postulat I : Stan układu fizycznego w danej chwili Klasycznie: Stan układu fizycznego fizycznego (punkt materialny, układ punktów materialnych) w każdej chwili czasu opisuje punkt w przestrzeni fazowej a więc zarówno położenia jak i pęd każdej cząstki: ( x i (t), p i (t) ); i = 1,2, ……n Kwantowo: Kantowy stan układu fizycznego (dokładniej kwantowy stan czysty) opisany jest przez wektor w przestrzeni Hilberta H Później będziemy mówić także o tzw. stanach mieszanych.

14 Postulat II: Wielkość fizyczna Klasycznie: Każda wielkość fizyczna F jest pewną funkcją położeń i pędów cząstek: F = F(x i (t), p i (t)), np. Energia punktu materialnego to: Kwantowo: Każdej wielkości fizycznej przypisany jest operator hermitowski posiadający zupełny układ wektorów własnych. Takie operatory nazywać będziemy OBSERWABLAMI A + = A;

15 Postulat (II) 1 : Konstrukcja wielkości fizycznej Klasycznie (tak jak poprzednio): Każda wielkość fizyczna F jest pewną funkcją położeń i pędów cząstek: F = F(x i (t), p i (t)), np. Energia punktu materialnego to: Kwantowo: Dla układu posiadającego analogię klasyczną: na które nakładamy relacje komutacji: wtedy: Dla układów nie posiadających analogii klasycznej, obserwable i ich relacje komutacji są proponowane.

16 Izomorfizm dwóch przestrzeni Φ oraz Φ ’ z iloczynem skalarnym Oraz ; Operatory liniowe: Operator sprzężony A + : Operator samosprzężony: A + = A Operator hermitowski: A + = A oraz D(A + ) = D(A) jest gęsta

17 Operatory odwrotne: Operatory unitarne: Komutacja operatorów:

18 Wektory i wartości własne operatorów: Dla operatorów hermitowskich: 1) Wartości własne są rzeczywiste: 2) Wektory własne należące do różnych wartości własnych są ortogonalne Zdegenerowana wartość własna: Zupełny układ wektorów własnych: Widmo operatora = zbiór jego wartości własnych : parametr degeneracji Macierzowa reprezentacja operatorów. Operatory zupełne.

19 Postulat III: Wykonanie pomiaru Klasycznie: Klasycznie możemy zmierzyć położenie i pęd każdej cząstki w dowolnej chwili czasu t. Mając x i (t) oraz p i (t) wyznaczamy dowolną wielkość fizyczną F = F( x i (t), p i (t) ) z dowolną dokładnością. Kwantowo: Wynikiem pomiaru wielkości fizycznej A jest zawsze jakąś jej wartość własną a : Mierząc A w stanie zawsze otrzymamy wartość własną a i, Mierząc A w stanie otrzymamy różne wyniki a i, z góry nie wiemy jaki będzie wynik pomiaru. Mechanika Kwantowe daje tylko możliwość obliczenia prawdopodobieństwa tego wyniku pomiaru a i.

20 Dlaczego A musi być operatora hermitowskiego? Dlaczego A musi być operatorem zupełnym?

21 Postulat IV: Różne wyniki pomiaru Klasycznie: Każdą wielkość możemy wyznaczyć bez ograniczeń. Dokonanie pomiaru jednej wielkości nie wpływa na posiadaną wiedzę o dowolnej poprzednio zmierzonej wielkości fizycznej. Pomiar jest tylko rejestracją tego co jest, wynik i tak jest zakodowany w układzie. Pomiar nie wpływa na zachowanie się układu fizycznego, nie zmienia go. Kwantowo: Mierząc dowolną wielkość fizyczną A w stanie wynik nie jest znany. Jeżeli układ jest w stanie to prawdopodobieństwo (p a ) otrzymania w wyniku pomiaru wartości własnej a jest równe wartości średniej operatora rzutowego na podprzestrzeń degeneracji wartości własnej a

22  Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wielkości fizycznej A w stanie wartości własnej a i gdy wartość ta jest zdegenerowana?  Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru kilku wartości własnych?  Operatory rzutowe na podprzestrzeń degeneracji wartości własnej:  Własności operatorów rzutowych

23 Prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wartości własnej a: Gdy wartość własna a jest niezdegenerowana:

24 Dokonujemy wielokrotnie pomiaru wielkości fizycznej A, otrzymujemy w wyniku tych pomiarów różne wartości własne. Możemy obliczyć wartość średnią ( ) :

25 Wykonujemy wiele pomiarów, wartość średnia wyników określona przednio nie charakteryzuje rozkładu wyników. Wielkością charakteryzującą rozrzut wyników pomiarów jest: Dyspersja i Średnie odchylenie standardowe Określamy Dyspersje rozkładu wyników pomiarów: Oraz Średnie odchylenie standardowe rozkładu: Na ćwiczeniach udowodnimy nierówność Schwarza:

26 Uwaga: udowadniamy nierówność Schwarza obliczając iloczyn skalarny wektora i podstawiam y: Dla dwóch obserwabli, które nie komutują : można wyprowadzić relację pomiędzy średnimi odchyleniami standardowymi rozkładów wyników pomiarów obserwabli A oraz B w tym samym stanie Zasada nieoznaczoności Heisenberga

27 Dowód: 1) Określamy: 2) Łatwo sprawdzić, że 3) Wtedy otrzymamy: 4) Korzystamy z własności liczb zespolonych: 5) Wstawiając i wykorzystując nierówność Schwarza, otrzymamy:

28 6) Wykorzystując związki otrzymujemy Relacja nieoznaczoności Heisenberga

29 Postulat V: Stan układu po pomiarze Klasycznie: Pomiar tylko rejestruje, ale nie zmienia układu fizycznego. Jeżeli więc w chwili pomiaru układ miał położenie x i (t) oraz pęd p i (t) to dokładnie te same wartości położenia i pędu układ będzie posiadać po dokonaniu pomiaru dowolnej wielkości fizycznej. Kwantowo: Pomiar dowolnej wielkości fizycznej zmienia na ogół stan układu kwantowego. Jeśli układ był w stanie i dokonaliśmy pomiaru wielkości fizycznej A w wyniku czego otrzymaliśmy niezdegenerowaną wartość własną a, to stan układu po pomiarze będzie opisany wektorem stanu: Przypadek zdegenerowany omówimy później.

30 Postulat V 1 : Przygotowanie układu fizycznego do pomiaru Klasycznie: W pewnej chwili t 0 dokonujemy pomiaru położenia i pędu cząstki (cząstek): (x i (t 0 ), p i (t 0 )) Istnieją też sposoby bezpośredniego pomiaru innych wielkości fizycznych. Kwantowo: Przygotowując układ do pomiaru mierzymy jedną lub więcej wielkości fizycznych, których obserwable komutują. Gdy w wyniku pomiaru wielkości fizycznej A otrzymaliśmy wartości własne a 1, a 2,, a 3,....., z prawdopodobieństwami w 1, w 2, w 3,..., to taki zbiór układów opisany jest operatorem statystycznym. Omówimy później gdy poznamy stan mieszany!!

31 Zbadać funkcjonowanie postulatu gdy: 1) nie wykonujemy pomiaru (wykonujemy ∞ liczbę pomiarów i nie rejestrujemy wyników), 2) jak wygląda stan układu gdy w wyniku pomiaru otrzymujemy wartość własna a i, która jest zdegenerowana, 3) gdy przygotowaliśmy układ w stanie własnym mierzonej następnie obserwabli. Uwaga: ρ jest stanem własnym obserwabli A gdy (ΔA) ρ =0 gdzie

32 Postulat VI: Ewolucja w czasie układu kwantowego Klasycznie: Znając siły działające na układ fizyczny i warunki początkowe możemy wyznaczyć stan układy w dowolnej późniejszej chwili czasu. Służą do tego równania ruchu. Znamy kilka wersji r. ruchu: np. r. Newtona, r. Lagrange’a, r. Hamiltona albo r. Hamiltona – Jacobiego. Np. r. Hamiltona: Kwantowo: Mechanika kwantowa daje także możliwość wyznaczenia stanu w dowolnej późniejszej chwili czasu gdy znamy stan początkowy. Gdy nie wykonujemy pomiaru na układzie i znamy jego stan początkowy to istnieje taki operator H zwany operatorem Hamiltona (Hamiltonian), że (równanie Schrödingera)

33 Gdy układ jest odosobniony (izolowany, zachowawczy) to operator H jest operatorem energii układu. Dla układu nieizolowanego istnieje też odpowiedni operator H = h(t), który nie jest operatorem energii. Równanie Schrödingera opisuje stan czysty, dla stanu mieszanego będziemy mieć inne równanie (będzie określone później) Obrazy Schrödingera, Heisenberga ( i Diraca) Stany stacjonarne, stałe ruchu Równanie Heisenberga

34 Wprowadzamy operator ewolucji czasowej stanów : Własności operatora ewolucji w czasie.

35 Obraz Schrödingera Obraz Heisenberga A(t) spełnia równanie Heisenberga:

36 Równanie Heisenberga

37 Zasada nieoznaczoności czas - energia W zasadzie nieoznaczoności wstawiamy B=H i otrzymamy: Wykorzystamy równanie Heisenberga: Tak więc Określamy gdzie Zasada nieoznaczoności czas - energia

38 Postulat VII: Układy z wieloma stopniami swobody Klasycznie: Każdy następny stopień swobody opisany jest przez nową parę zmiennych kanonicznie sprzężonych. { q i (t), p i (t), i = 1,2,3,..... } Kwantowo: Każdy stopień swobody ma swoją własną hermitowską przestrzeń stanów. Przestrzeń stanów układu z wieloma stopniami swobody jest iloczynem prostym przestrzeni Stan czysty układu jest kombinacją iloczynów prostych stanów:

39 Stany niezależne, dowolne stany – stany splątane Definicja iloczynu prostego przestrzeni, definicja iloczynu skalarnego, baza Obserwable dla wielu stopni swobody Przykłady

40 Postulat VII 1 : Stopnie swobody związane z cząstkami identycznymi Klasycznie: Klasycznie nawet obiekty identyczne są rozróżnialne. Możemy śledzić ruch każdej cząstki nawet jeżeli jest ona identyczna z innymi Nie ma cząstek identycznych. Nie ma specjalnych konsekwencji identyczności cząstek Kwantowo: Nie mogę śledzić cząstek. Cząstki identyczne są nierozróżnialne. Nierozróżnialność ma poważne konsekwencje. Wynika z niej własność stanów kwantowych. Stany mogą być albo całkowicie symetryczne albo całkowicie antysymetryczne. Stany całkowicie symetryczne opisują cząstki o spinie całkowitym (BOZONY), stany antysymetryczne opisują cząstki o spinie połówkowym (FERMIONY).

41 Unormowane stany całkowicie symetryczne i antysymetryczne dla wielu identycznych cząstek Obserwable dla cząstek identycznych Zasada Pauliego

42 42 Dziękuję za uwagę

43 1. Claude Cohen-Tannoudii, Bernard Diu, Frank Laloë, Quantum Mechanics I, II, 1977, 2. Ramamurti Shankar, Mechanika Kwantowa, PWN, R. Eisenberg, R. Resnik, Fizyka Kwantowa atomów, cząsteczek, ciał stałych, jąder i cząstek elementarnych, 1983, J.I.Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Advanced Quantum Mechanics, 1967, 5. Leonard I.Schiff, Mechanika Kwantowa, 1977, 6. Albert Messiah, Quantum Mechanics, 1976.


Pobierz ppt "Przegląd postulatów Mechaniki Kwantowej, uwagi o jej matematycznym języku. Każdy dział fizyki ma swój specyficzny język matematyczny. Często się zdarza,"

Podobne prezentacje


Reklamy Google