Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Matematyka Ekonomia, sem I i II. I. Algebra liniowa 1.Rachunek macierzowy 1.Pojęcia podstawowe 2.Działania na macierzach 3.Wyznaczniki 4.Macierz odwrotna.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Matematyka Ekonomia, sem I i II. I. Algebra liniowa 1.Rachunek macierzowy 1.Pojęcia podstawowe 2.Działania na macierzach 3.Wyznaczniki 4.Macierz odwrotna."— Zapis prezentacji:

1 Matematyka Ekonomia, sem I i II

2 I. Algebra liniowa 1.Rachunek macierzowy 1.Pojęcia podstawowe 2.Działania na macierzach 3.Wyznaczniki 4.Macierz odwrotna 5.Operacje elementarne na macierzach 6.Postać kanoniczna macierzy 2.Układy równań liniowych 1.Pojęcia wstępne 2.Przypadek szczególny – metoda Cramera 3.Rozwiązywanie układu równań w przypadku ogólnym

3 I.1. Rachunek macierzowy I.1.1 Pojęcia podstawowe Def. 1 (macierzy) Macierzą nazywamy ciąg mn wyrażeń (np. liczb) a ik, i=1, 2,..., n; k=1, 2,..., m które zapisujemy w postaci prostokątnej tablicy m x n – wymiar macierzy Jeżeli m=n – macierz kwadratowa stopnia n

4 Przykłady

5 Def. 2 (równości macierzy) Jeżeli macierze A i B mają te same wymiary, to A=B  a ik = b ik, i=1, 2,..., n; k=1, 2,..., m Def. 3 (macierzy zerowej) Macierz A=0  a ik = 0, i=1, 2,..., n; k=1, 2,..., m Def. 4 (sumy macierzy) Jeżeli macierze A i B mają te same wymiary, to A+B=C  c ik =a ik + b ik, i=1, 2,..., n; k=1, 2,..., m czyli [a ik ]+[b ik ]=[a ik + b ik ] Tw. 1 (przemienność dodawania macierzy) A+B=B+A tzn. dodawanie macierzy jest przemienne Tw. 2 (element zerowy dodawania macierzy) A+0=A Tw. 3 (łączność dodawania macierzy) (A+B)+C=A+(B+C) tzn. dodawanie macierzy jest łączne Zatem przy dodawaniu można opuszczać nawiasy i pisać po prostu A+B+C I.1.2 Działania na macierzach

6 Def. 5 (skalara) Macierz stopnia 1 [a 11 ]= a 11 nazywamy skalarem i identyfikujemy z liczbą (wyrażeniem) a 11 Def. 6 (macierzy symetrycznej) Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeżeli a ik = a ki Tw. 4 (macierz przeciwna) Dla każdej macierzy A istnieje macierz przeciwna –A taka, że A+(–A)=0 –A=[–a ik ] Def. 7 (macierzy antysymetrycznej albo skośnie symetrycznej) Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną (skośnie symetryczną), jeżeli a ik = –a ki Wniosek: a ii =0 Przykład:

7 Tw. 5 (o rozkładzie macierzy kwadratowej) Każdą macierz kwadratową A można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej S i macierzy antysymetrycznej R A=S+R Dowód: a ik =s ik +r ik a ki =s ki +r ki ale s ki =s ik i r ki = –r ik, zatem a ik =s ik +r ik a ki =s ik –r ik Dodając ostatnie dwa wzory stronami dostajemy a ki + a ik =2s ik a stąd s ik = s ki =½ (a ik + a ki ) Podobnie odejmując stronami otrzymamy r ik = –r ki =½ (a ik – a ki ) Def. 8 (wektora) Macierz o jednej kolumnie nazywamy wektorem kolumnowym, a o jednym wierszu – wektorem wierszowym Wektor kolumnowy Wektor wierszowy

8 Def. 9 (podmacierzy) Jeżeli z macierzy usuniemy wiersz albo kolumnę albo kilka wierszy albo kilka kolumn, to pozostała macierz o mniejszych wymiarach nazywana jest podmacierzą macierzy wyjściowej Def. 10 (macierzy diagonalnej) Macierz kwadratową nazywamy diagonalną (przekątniową), jeżeli poza przekątną główną ma same zera czyli gdy a ik =0 dla i≠ k np. Def. 11 (symbolu Kroneckera) Def. 12 (macierzy jednostkowej) Macierz jednostkowa 1 (albo U lub E) 1=[δ ik ] np.

9 Def. 13 (macierzy transponowanej) Macierz transponowana A T do macierzy A a T ik = a ki np. Def. 15 (mnożenia macierzy) Niech A – macierz o wymiarach m x n niech B – macierz o wymiarach n x p AB=C gdzie C – macierz o wymiarach m x p c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + a i3 b 3k a in b nk albo w skrócie Def. 14 (mnożenia macierzy przez liczbę) cA=c[a ik ]=[c a ik ] np. Tw. 6 (rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę) (m+n)A=mA+nA n(A+B)=nA+nB


Pobierz ppt "Matematyka Ekonomia, sem I i II. I. Algebra liniowa 1.Rachunek macierzowy 1.Pojęcia podstawowe 2.Działania na macierzach 3.Wyznaczniki 4.Macierz odwrotna."

Podobne prezentacje


Reklamy Google