Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

DYNAMIKA PŁYNÓW RZECZYWISTYCH Marcin Szadyko Łukasz Sroka Gr.4 Semestr 6 Rok akademicki 2005/2006 Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Mechaniczny Technologiczny.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "DYNAMIKA PŁYNÓW RZECZYWISTYCH Marcin Szadyko Łukasz Sroka Gr.4 Semestr 6 Rok akademicki 2005/2006 Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Mechaniczny Technologiczny."— Zapis prezentacji:

1 DYNAMIKA PŁYNÓW RZECZYWISTYCH Marcin Szadyko Łukasz Sroka Gr.4 Semestr 6 Rok akademicki 2005/2006 Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Mechaniczny Technologiczny Kierunek Mechanika i Budowa Maszyn

2 Płynem rzeczywistym nazywamy płyn lepki i ściśliwy, podczas przepływu, którego występują straty energii związane z tarciem wewnętrznym pomiędzy przemieszczającymi się warstwami. Prędkość teoretyczna przepływu w płynie doskonałym jest zawsze większa od prędkości rzeczywistej, a różnicę nazywa się stratą prędkości. Stosunek średniej prędkości rzeczywistej do prędkości teoretycznej jest nazywany współczynnikiem prędkości α 0. Straty prędkości są spowodowane lepkością cieczy i są mniejsze ze wzrostem liczby Reynoldsa, czyli dla przepływów turbulentnych. Drugie charakterystyczne zjawisko towarzyszące przepływowi płynu rzeczywistego jest kontrakcją strumienia, polegającą na tym, że przekrój strumienia w pewnej odległości od przekroju wylotowego jest mniejszy od pola powierzchni tego przekroju. Iloraz obydwu pól nazywa się współczynnikiem kontrakcji. Przykładowo dla przekroju kołowego współczynnik kontrakcji posiada wartość:

3 Iloczyn β 0 = κ 0 α 0 nazywa się współczynnikiem wydatku i przyjmuje wartość β 0 = 0,60 dla przekrojów kołowych. Przepływy rzeczywiste płynu są na ogół przepływami niestacjonarnymi, o stałych amplitudach zaburzeń oraz przepływami turbulentnymi, przy utracie stateczności przepływu. Zjawiska te zostały potwierdzone doświadczalnie w 1883 r. przez Reynoldsa. Stateczne przepływy płynu rzeczywistego nazywają się przepływami laminarnymi i występują dla liczb Reynoldsa < 2300.

4 Równanie Bernoulliego dla płynu newtonowskiego Równanie Daniela Bernoulliego dla rzeczywistego płynu (newtonowskiego) przy uwzględnieniu strat przepływu wzdłuż linii prądu ma postać: (1.1) gdzie h i,str jest stratą przepływu, wyróżniając straty liniowe i lokalne. Energia kinetyczna przepływu zwana wysokością rozporządzalną jest określona zależnością: gdzie α jest współczynnikiem Coriolisa, określonym wzorem: (1.2) (1.3)

5 Wartość współczynnika Coriolisa dla przepływu laminarnego Poiseuille’a wynosi α = 2, natomiast dla przepływu turbulentnego =1,1 – 1,2. Różniczkując względem elementu dl długości linii prądu wysokość rozporządzalną wyznaczono spadek hydrauliczny: (1.4) Przykładowo dla przepływu płynu przez przewód o długości l nachylony do poziomu pod kątem α spadek hydrauliczny wynosi: (1.5)

6 , Równanie ciągłości przepływu dla płynu ściśliwego ma postać: (1.6) a jego przedstawienie rozwinięte: (1.7) Straty przepływu rzeczywistego. Liczba Reynoldsa W przewodzie rurowym występują straty przepływu zwane tarciem hydraulicznym lub stratami ciągłymi oraz straty w połączeniach przewodów. Straty energii dla rur o przekroju kołowym dla laminarnego przepływu w rurze są opisane wzorem Darcy’ego: (1.8)

7 gdzie λ jest współczynnikiem strat ciągłych zależnym od liczby Reynoldsa R e i od chropowatości wewnętrznych ścian przewodu. Liczbę Reynoldsa dla przewodu o przekroju kołowym wyznacza się ze wzoru: (1.9) gdzie v jest lepkością kinematyczną płynu, gdzie μ lepkość dynamiczna Współczynnik strat λ określa się ogólnym wzorem: (1.10) W przypadku przepływu laminarnego płynu w rurze przyjmuje się  1 = 64 b 1 = 1,  2 =  3 = … =  n = 0. Wtedy zależność (1.8) jest postacią:

8 (1.11) gdzie Liczna Reynoldsa dla przepływu laminarnego jest rzędu R e < W przypadku przepływu turbulentnego współczynnik strat λ określa się na podstawie wzoru Blasiusa: (1.12) Wzór (1.12) daje wartości zgodne z doświadczalnymi dla przepływu turbulentnego w zakresie liczb Reynoldsa 2300 ≤ R e ≤ Dla przewodów o przekrojach dowolnych liczbę Reynoldsa oblicza się ze wzoru: (1.13)

9 gdzie r n jest promieniem hydraulicznym o wartości: (1.14) natomiast S z jest przekrojem strumienia cieczy, L z jest obwodem zwilżonym. Straty lokalne w przewodzie, a dokładniej w przekroju stanowiącym jego połączenia w rozszerzeniu z drugim przewodem, określimy na podstawie straty energii przepływu według równania Bernoulliego: (1.15) skąd obliczono: (1.16), Na podstawie prawa zachowania pędu (1.17)

10 ,, obliczono zmianę ciśnienia: (1.18) W przypadku rozszerzenia przewodu założono S 2 > S 1. Podstawiając (1.18) do zależności (1.16) wyznaczono współczynnik strat lokalnych: (1.19) Uwzględniając prawo ciągłości przepływu: S 2 > S 1, (1.20) współczynnik strat lokalnych przyjmie postać: (1.21) (1.22)

11 gdzie: Wzór (1.22) jest potwierdzony doświadczalnie dla przepływów turbulentnych przy kątach rozwarcia δ < 14 o. W przypadku nagłego zwężenia się rurociągu (rys.1 ) współczynnik strat lokalnych określa zależność: (1.23) Rys.1 Zwężenia przewodu

12 Współczynnik strat przy nagłym rozszerzeniu rurociągu wynosi: (1.24) gdzie: S 2 > S 1,  > 1 Współczynnik strat przy nagłym zwężeniu rurociągu (1.25) Zadanie 1 Ciecz o ciężarze właściwym γ przepływa przez przewód o średnicy d, znajdujący się na dole otwartego zbiornika o wysokości h napełnienia cieczą. W przewodzie w przekroju B podczas przepływu cieczy powstała kontrakcja i nagłe zwężenie przewodu o średnicy d 0 < d (rys.2). Obliczyć prędkość przepływu płynu przez przewód przy uwzględnieniu straty lokalnej oraz ciśnienie p 0 w przekroju B.

13 Rozwiązanie: Ze wzoru Torricelliego Natomiast z równania ciągłości przepływu mamy: gdzie: Rys.2

14 Z prawa Bernoulliego przy uwzględnieniu kontrakcji: Uwzględniając, że  0 > 1 Obliczono ciśnienie w przewężeniu: gdzie: Określono zatem ciśnienie w przewężeniu:

15 Przepływ płynu rzeczywistego przez rurociąg. Prawo Hagena – Poiseuille’a Profil prędkości przepływu laminarnego płynu w rurce o przekroju kołowym posiada kształt paraboliczny (rys.3a) w zakresie liczb Reynoldsa do wartości R e ≤ Założono stałą lepkość v oraz gęstość ρ płynu i pominięto pole sił masowych (pole wywołane polem grawitacji). Różniczkowe równania ruchu cząstki płynu przez rurociąg mają postać : (2.1) gdzie C charakteryzuje szorstkość ścianki rurki kołowej, v x = v x (r). Równanie (2.1) są rozwiązywane przy warunkach brzegowych r = R, v x (R) = 0, dla r = 0. Oznacza to, że w środku rurki prędkość

16 przepływu osiąga maksymalną wartość, natomiast na jej ściance prędkość przyjmuje wartość zerową. Rys.3 Przepływ Poiseuille’a Przyjmując oznaczenie, drugie równanie układu (2.1) jest postacią: (2.2)

17 Rozwiązaniem równania jest funkcja: a po powtórnym scałkowaniu przy założonych warunkach brzegowych: (2.3) stałą C równą szorstkości ściany określono na podstawie pierwszego równania (2.1): (2.4) gdzie, l jest długością przewodu. Podstawiając (2.4) do równania (2.1) określono ostatecznie pole prędkości przepływu płynu przez rurociąg, zwane przepływem Poiseuille’a: (2.5)

18 gdzie (2.6) jest maksymalną wartością prędkości przepływu w środku rury dla r = 0. Natężenie przepływu płynu przez rurę obliczono na podstawie wzoru całkowego: (2.7) Wzór (2.7) stanowi treść prawa Hagena – Poiseuille’a dla przepływu laminarnego płynu przez rurociąg: „Natężenie przepływu płynu lepkiego przez rurę o stałej średnicy jest proporcjonalne do długości przewodu”. Wyznaczymy następnie średnią wartość prędkości przepływu płynu przez rurkę:

19 Uwzględniając zależności (2.4), (2.5) wartość średnia prędkości wynosi: (2.8) Ze wzoru (4.34) obliczono przyrost ciśnienia w rurce: (2.9) Wartość straty energii: (2.10) Wprowadzając liczbę Reynoldsaokreślono wysokość strat przepływu (2.11)

20 Natomiast wartość strat ciśnienia w rurce wyniesie: (2.12) Dla przepływów turbulentnych kształt profilu prędkości jest bardziej równomierny wzdłuż średnicy rury, co ilustruje rys.3.b. Średnia wartość prędkości przepływu przez rurę jest równa w przybliżeniu prędkości maksymalnej v śr = v max. Natomiast liczbę Reynoldsa określa wzór: (2.13) gdzie r n jest promieniem hydraulicznym o wartości:S z jest polem

21 przekroju zwilżenia cieczy, L z jest obwodem zwilżenia. Przykładowo dla rurki o przekroju kołowym wypełnionej do połowy cieczą promień hydrauliczny posiada wartość: Współczynnik strat λ przy przepływach turbulentnych w zakresie liczb Reynoldsa dochodzących do R e = szacuje się wg wzoru Schillera i Hermanna: (2.14) Doświadczalną zależność pomiędzy liczbą strat λ oraz liczbą Reynoldsa R e sformułował Mises.

22 Zadanie 2 Obliczyć średnią wartość prędkości przepływu płynu przez przewód o średnicy d i długości l, nachylony do poziomu pod kątem α. Płyn tłoczony jest z pompy pod ciśnieniem p. Należy uwzględnić ciągłe straty przepływu wg wzoru Darcy’ego. Rozwiązanie Maksymalną wartość prędkości określa wzór: gdzie (1)

23 (2) Z równości (1) obliczono wartość maksymalnej oraz średniej prędkości przy uwzględnieniu strat ciągłych. (3) gdzieΔp > γh (4) Współczynnik strat

24 Równanie Naviera – Stokesa Dla płynów rzeczywistych, przy uwzględnieniu lepkości dynamicznej o współczynniku μ wektora, postać równania zachowania pędu może być zapisana w formie: (3.1) gdzie δ – jest tensorem jednostkowym, T d – jest tensorem deformacji. Dla uproszczenia założono stałą lepkość płynu, μ = const. Równanie (3.1) można również przedstawić w postaci: (3.2)

25 Pierwszy składnik równania (3.2) określa składowe wektora deformacji odkształcenia postaciowego i można je wyrazić wzorami: (3.3) gdzie (3.4) jest laplasjanem (operator Laplace’a).

26 Równanie (3.2) przy uwzględnieniu wyrażeń (3.3) przyjmuje postać skalarną: (3.5) Równania (3.5) nazywamy równaniem Naviera – Stokesa w ortokartezjańskim układzie współrzędnych (0, x, y, z). Do równania (3.5) dołącza się równanie ciągłości przepływu: (3.6)

27 Rozwinięte skalarowi postacie równań (3.5) są dość złożone. Pochodne składowych wektora prędkości przepływu v x, v y, v z posiadają składnik substancjalny i rotacyjny, opisany operatorem Stokesa : (3.7) gdzie macierz diady operatora Stokesa przyjmuje postać: (3.8)

28 gdzie są operatorem nabla i diagonalnym operatorem różniczkowym nabla o wymiarze 3. Wykonując działania operatorowe zgodnie z równaniem (3.7) otrzymamy szczegółową postać skalarną operatora Stokesa

29 Szczegółowe postacie równań (3.5), po uwzględnieniu wzorów (3.7), (3.8), są następujące: (3.9)

30 gdzie: (3.10) są pochodnymi absolutnymi składowych wektora prędkości względem zmiennych (x, y, z, t). Wielkości F x, F y, F z oznaczają składowe wektora sił masowych. Równania Naviera – Stokesa we współrzędnych walcowych Równania Naviera – Stokesa we współrzędnych walcowych (r, φ, z) przy założeniu stałej lepkości płynu nieściśliwego przyjmują postać :

31 (4.1) (4.2) gdzie:

32 są składowymi wektora przyspieszenia płynu. Bardziej złożona postać równania Naviera – Stokesa dotyczy opisu ruchu płynu rzeczywistego o zmiennej lepkości μ i jest przytoczona w literaturze. Zadanie 3 W poziomym przewodzie o średnicy D znajduje się pręt o średnicy d, przemieszczający się w kierunku osi x z prędkością u. Wnętrze rury pomiędzy ścianą przewodu a prętem wypełnione jest cieczą o lepkości kinematycznej  i gęstości ρ. Wyznaczyć prędkość przepływu płynu w kierunku osi x w funkcji promienia r (odległość dowolnej cząstki cieczy od osi x)

33 Rozwiązanie Ruch płynu jest ustalony, prostoliniowy, czyli Warunki brzegowe są: co wynika z równania ciągłości przepływu. Równania Naviera - Stokesa redukują się w przypadku jednego równania w kierunku osi x: ( 1 ) gdzie p = p(r) jest ciśnieniem punktu w odległości r od osi X. Z zasady zachowania pędu wynika równanie: ( 2 )

34 Całkując równanie (2) dwukrotnie wyznaczono: ( 3.1 ) ( 3.2 ) Uwzględniając warunki brzegowe uzyskano układ równań ze względu na stałe C 1, C 2 : ( 4 ) Rozwiązując układ równań (4) obliczono wartości stałych: ( 5 )

35 Podstawiając stałe C 1 C 2 do równości (3.2) wyznaczono prędkość przepływu w kierunku osi X w funkcji promienia r: Założono liniową zmianę ciśnienia p w funkcji promienia r : ( 6 ) ( 7 ) Podstawiając do równania (6) wartość pochodnej ciśnienia ( 8 ) Maksymalna wartość prędkości występuje w punktach położonych w odległości r śr do osi X: ( 9 )

36 Straty hydrodynamiczne przepływu Podczas ruchu ciała w płynie lepkim (oraz przepływu płynu w przewodzie) działa siła oporu, która w ogólności zależy od gęstości, lepkości oraz prędkości V: Dla płynów rzeczywistych zależność f(R e ) wyznacza się na ogół doświadczalnie, gdzie jest liczbą Reynoldsa. Przy opływie ciała przez ciecz wartość siły oporu jest proporcjonalna do różnicy ciśnień statycznych p-p ∞ na powierzchni ciała w warstwie przyściennej i wynosi: (5.1) (5.2)

37 gdzie V ∞ jest prędkością przepływu niezakłóconego, S p jest polem powierzchni przekroju czołowego ciała. Wartość współczynnika C p zależy od kształtu (profilu) ciała przy opływie, kąta natarcia a i liczby R e. Składowa pozioma R xt siły oporu R nazywa się siłą tarcia opływu lub oporem powierzchniowym i posiada wartość: gdzie S t jest polem powierzchni opływanego ciała. Składowa pionowa R y nazywa się siłą nośną i posiada wartość: Rys. 4 (5.3)

38 gdzie S jest polem płata poziomego o największej wartości, zwanym płatem lotniczym, C y jest współczynnikiem siły nośnej. Każdy profil posiada krytyczny kąt natarcia α kr dla którego siła R y osiąga wartość maksymalną. Podczas przepływu turbulentnego płynu w przewodzie kołowym występuje opór przepływu zależny od profilu prędkości. Naprężenia styczne r zwane naprężeniami newtonowskimi określa wzór: których największe wartości występują na powierzchni wewnętrznej przewodu dla r=R; n oznacza wektor jednostkowy normalny, η jest współczynnikiem lepkości dynamicznej. Siłę tarcia stycznego przy opływie elementu walcowego o długości l i promieniu R obliczamy jako: (5.4) (5.5) (5.6)

39 Przez C oznaczono współczynnik oporu hydrodynamicznego o wartości: W przypadku przepływu PoiseuiIle'a uwzględniając wzór na prędkość przepływu: i obliczając pochodną : wyznaczono wartość siły tarcia w funkcji promienia r : Maksymalna wartość siły tarcia przy przepływie Poiseuille'a występuje na ściance wewnętrznej przewodu dla r=R i wynosi: T max =bV śr gdzie V śr =V max /2 jest prędkością średnią. (5.7) (5.8) (5.9) (5.10)

40 Opływy ciał i wiry Karmana Rozpatrujemy opływ ciała sztywnego zanurzonego w przemieszczającym się płynie, stanowiącego nieruchomą przeszkodę o określonej geometrii, np. w formie walca, kuli elipsoidy lub tzw. dysku. Zjawisko opływu jest związane z natarciem strumienia płynu z prędkością v na powierzchnię (zwykle z jednej strony) ciała i zniekształceniem linii prądu (np. równoległych linii strugi po napotkaniu przeszkody). Z drugiej strony opływanego ciała, w pobliżu jego powierzchni powstaje „martwa" strefa przepływu (tzw. cień hydrodynamiczny), w którym panuje podciśnienie, co może spowodować osobliwy przepływ przedostających się tam cząstek płynu w pobliżu wirów (linii wiru). Wiry nazwano od nazwiska badacza tego zjawiska wirami Karmana. Ilustrację wirów Karmana przy opływie walca zanurzonego w strumieniu płynu stanowi rys.5 Z kolei dla ciała bardziej spłaszczonego w formie dysku zawirowania powstają jedynie tuż przy powierzchni ciała po jego drugiej stronie, zaś linie prądu przy opływie ciała ulegają zniekształceniu rys 6.

41 Rys.5 Rys.6

42 Prędkość opływu płynu przy powierzchni walca wynosi: Rozkład ciśnień na powierzchni walca można obliczyć przy zastosowaniu prawa Bernoulliego względem linii prądu. Z drugiej strony prędkość względna opływu v t2 daje się obliczyć za pomocą cyrkulacji płynu r po powierzchni walca: Suma obydwu prędkości daje prędkość całkowitą o wartości: Stosując równanie Bernoulliego można obliczyć ciśnienie p w punkcie P na powierzchni walca: gdzie p o jest ciśnieniem na zewnątrz walca, w dalszej od niego odległości. (6.3) (6.2) (6.1)

43 Wyznaczamy następnie siłę nośną Żukowskiego działającą na walec przy opływie: Na podstawie równości (6.3) wyznaczono różnicę ciśnień: gdzie l jest długością walca. Działanie siły nośnej F na opływane ciało zwane jest efektem Magnusa, zaobserwowanym przez niego w roku Równanie (6.5) zostało po raz pierwszy wyprowadzone przez Kuttę - Jankowskiego i może być uogólnione również na przypadek opływu dowolnego ciała. Przyrównując do zera wyrażenie (6.5) określa się punkt zerowy prędkości opływu (6.4) (6.5)

44 gdzie Θ 0 jest kątem pomiędzy osią poziomą a promieniem r 0 do punktu zerowego P 0 na powierzchni walca. skąd obliczono wartość cyrkulacji Zauważmy, że dla kąta prędkość opływu ciała osiąga wartość maksymalną: (6.7) (6.6) (6.8) Walec pod działaniem opływu doznaje obrotu z prędkością kątową (6.9) dla linii prądu nachylonych pod kątem 60° do osi poziomej.

45 Opływ kuli o promieniu R zanurzonej w płynie badał z kolei Stokes. Całkowita siła nośna kuli przy opływie jest sumą siły wywołanej ciśnieniem oraz oporem opływu i wynosi: gdzie C 0 jest współczynnikiem opływu, S jest polem przekroju równikowego kuli, S =  R 2. Prawo opływu kuli sformułowane przez Stokesa przy uwzględnieniu siły oporu lepkiego wyraża się wzorem Dla opływu turbulentnego kuli wartość współczynnika opływu C 0 = 0,45. W przypadku przepływu laminarnego współczynnik ten oblicza się ze wzoru C 0 = 24/R e za pomocą liczby Reynoldsa. (6.10) (6.11) Dodajmy również, że badania przeprowadzone przez Taylora oraz Rayleigha pozwoliły sformułować zależność dla częstotliwości wzorów Karmana, powstających przy opływie walca:

46 Podobieństwo dynamiczne przepływów. Liczby kryterialne i analiza wymiarowa W technice występują grupy zjawisk, które można opisywać tymi samymi równaniami różniczkowymi, pomimo że ich zmienne opisowe, czyli współrzędne uogólnione są istotnie różne od siebie, np. elektryczne, mechaniczne, cieplne, przepływowe. Zjawiska takie, wykazujące podobieństwo modelowe, nazywamy zjawiskami analogicznymi względem siebie. Metodologia polegająca na porównywaniu wyników badań lub obliczeń na podstawie modelu analogicznego nazywa się modelowaniem analogowym lub analizą podobieństwa. Wyróżnia się następujące grupy podobieństw i analogii: -podobieństwo geometryczne, -podobieństwo fizyczne: statyczne, dynamiczne, cieplne, elektryczne itp. (6.12)

47 Liczby podobieństwa dynamicznego Podstawową liczbą kryterialną podobieństwa dynamicznego jest liczba Reynoldsa, opisująca iloraz sił bezwładności do sił lepkości: gdzie η kg/ms jest współczynnikiem lepkości dynamicznej, I jest długością drogi przepływu. Liczba Froude'a jest ilorazem siły bezwładności do siły grawitacji. Liczba Froude'a opisuje opory falowe na powierzchni płynu. Wszystkie podane liczby kryterialne są bezwymiarowe. Jako kryterium podobieństwa przyjmuje się równość odpowiednich parametrów oraz równań opisowych porównywalnych zjawisk. W układach hydrodynamicznych zachodzi podobieństwo różnych liczb kryterialnych, zwanych liczbami podobieństwa dynamicznego, opisujących siły bezwładności, lepkości, ciężkości oraz energie przepływu.


Pobierz ppt "DYNAMIKA PŁYNÓW RZECZYWISTYCH Marcin Szadyko Łukasz Sroka Gr.4 Semestr 6 Rok akademicki 2005/2006 Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Mechaniczny Technologiczny."

Podobne prezentacje


Reklamy Google