Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

OPCJE OPCJE Ograniczenia na cenę opcji Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Amerykańskie instrumenty pochodne Opcje amerykańskie.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "OPCJE OPCJE Ograniczenia na cenę opcji Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Amerykańskie instrumenty pochodne Opcje amerykańskie."— Zapis prezentacji:

1 OPCJE OPCJE Ograniczenia na cenę opcji Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Amerykańskie instrumenty pochodne Opcje amerykańskie

2 Notacja  K - cena jednostkowa dostawy w kontrakcie forward  T - okres (w latach) pozostający do dostawy  S – cena instrumentu bazowego, będącego przedmiotem kontraktu  F – cena terminowa kontraktu forward  f – wartość długiej pozycji w kontrakcie forward  r – wolna od ryzyka roczna stopa procentowa (przy ciągłej kapitalizacji) dla inwestycji kończącej się w dniu dostawy Litery S, F, f mogą wystąpić ze wskaźnikami wyznaczającymi punkt na osi czasu z przedziału [0; T] np. S 0, S t, S T, (F 0 = K) (F 0 = K)

3 Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Call-put parity Rozważmy portfel o składzie: 1. europejska opcja sprzedaży waloru o aktualnej cenie S 0 z ceną realizacji K i terminem realizacji T, 2. kontrakt terminowy kupna tego samego waloru z tą sami ceną realizacji i z tym samym terminem realizacji co opcja sprzedaży. Rozpatrzmy dwa przypadki: a) a)w chwili T: S T < K kontrakt terminowy przyniesie stratę K – S T opcja sprzedaży przyniesie wypłatę K - S T zatem (nie uwzględniając kosztów transakcji) przepływy finansowe w chwili T mają bilans zerowy b) w chwili T: S T > K kontrakt terminowy przyniesie zysk równy S T - K opcja sprzedaży będzie bezwartościowa i nie zostanie wykonana Zatem w chwili T wypłata portfela będzie równa S T - K

4 Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Wniosek 1. Rozważany portfel ma w chwili T funkcję wypłaty opcji kupna. Wniosek 2. Skoro wartość portfela w chwili T jest wartością opcji kupna, zatem wartość portfela w chwili początkowej musi być także równy wartości opcji, czyli C 0 = P 0 + f gdzie C 0, P 0 ceny odpowiednio opcji kupna, opcji sprzedaży, f - wartość kontraktu terminowego kupna w chwili t = 0, czyli C 0 = P 0 + (S 0 - e -rT K)

5 Parytet cen opcji kupna i sprzedaży   Prawdziwe jest stwierdzenie: Jeżeli w chwili końcowej wartość dwóch portfeli jest jednakowa (P T ), to również w chwili początkowej ich wartości musiały być równe Przypuśćmy przeciwnie; w chwili początkowej wartość portfela pierwszego P 1 była mniejsza niż drugiego P 2 Wtedy byłaby możliwa następująca strategia arbitrażowa:   Krótka sprzedaż portfela P 2, zakup portfela P 1   Ulokowanie kwoty (P 2 - P 1 ) na oprocentowanym koncie W chwili końcowej   Rozliczenie krótkiej sprzedaży (oddanie kwoty P T uzyskanej z portfela pierwszego)   Uzyskanie arbitrażowego zysku (P 2 - P 1 ) e rT

6 Ograniczenia na cenę opcji kupna oraz opcji sprzedaży   C e cena europejskiej opcji kupna   P e cena europejskiej opcji sprzedaży   C a cena amerykańskiej opcji kupna   P a cena amerykańskiej opcji sprzedaży   rstopa procentowa bez ryzyka   S o cena akcji w chwili początkowej   Ttermin realizacji opcji   K cena wykonania opcji

7 Ograniczenia na cenę opcji kupna Ceny opcji kupna spełniają następujące nierówności S o ≥ C a ≥ C e ≥ max( S o – K e -rT, 0 ) Uzasadnienie Ze względu na większe uprawnienia właściciela opcji amerykańskiej jej cena nie może być mniejsza od ceny opcji europejskiej, czyli C a ≥ C e cena opcji amerykańskiej nie może być wyższa niż cena rynkowa akcji gdyż w przeciwnym przypadku taniej byłoby kupić akcję bezpośrednio, zatem S o ≥ C a z parytetu kupna-sprzedaży (C e – P e = S o – K e -rT ) C e = S o – K e -rT + P e wartość opcji nie może spaść poniżej zera (mamy P e ≥ 0,) zatem C e ≥ S o – K e -rT Stąd i nierówności C e ≥ 0 otrzymujemy C e ≥ max( S o – K e -rT, 0 )

8 Ograniczenia na cenę opcji sprzedaży Ceny opcji sprzedaży spełniają następujące nierówności K ≥ P a ≥ P e ≥ max(Ke -rT –S 0,0) Uzasadnienie Gdyby K < P a, to wystawiając opcję z cena wykonania K uzyskujemy – w najgorszym przypadku P a - K (zysk arbitrażowy) Gdyby P e e rT – K > 0 to oznaczało by to możliwość arbitrażu (inwestor uzyskałby w chwili T przynajmniej P e e rT – K ). Zatem musi być: K – P e e rT ≥ 0 czyli K e -rT ≥ P e z parytetu ceny opcji otrzymujemy P e = C e - S o + K e -rT oraz C e ≥0, zatem P e ≥ Ke -rT -S o, ponieważ P e ≥ 0, więc P e ≥ max(Ke -rT –S 0,0)

9 Równość cen opcji kupna C a = C e   Twierdzenie. Ceny europejskiej i amerykańskiej opcji kupna na akcje nie przynoszące dywidendy są równe (zakładamy tę samą cenę wykonania i dzień wygaśnięcia dla obu opcji)

10 Równość cen opcji kupna C a = C e   Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, ceny nie są równe. Ponieważ C a ≥ C e więc wtedy C a > C e. Wtedy t = 0   Wystawiamy opcję amerykańską   zajmujemy długą pozycję na europejskiej opcji   Różnicę C a - C e lokujemy przy stopie r dla t 0 Jeśli dla t < T opcja amerykańska nie jest realizowana, to zysk arbitrażowy wynosi (C a - C e )e rT

11 Amerykański instrument pochodny   Amerykański instrument pochodny może być zrealizowany w każdym momencie n   0  n  N z wypłatą f(S(n)).   Oczywiście, może być zrealizowany tylko raz.   Wartość instrumentu pochodnego w chwili n będziemy oznaczać D A (n)

12 Model dwustanowy dwuetapowy wyceny opcji kupna. Zmienność ceny akcji

13 Amerykańska opcja sprzedaży   W węzłach d, e, f wartość opcji jest równa wartości funkcji wypłaty z opcji, czyli max { K – S 2, 0 } oznaczmy ją przez f(S 2 ). Cena końcowa akcji S 2 przyjmuje jedną z trzech wartości: S 0 u 2, S 0 ud, S 0 d 2,   Ponieważ rozważamy amerykańską opcję, która może być zrealizowana przed dniem wygaśnięcia, zatem istotne jest wyznaczenie jej wartości we wszystkich węzłach grafu. Zakładamy, że opcja może być zrealizowana właśnie w chwilach odpowiadających węzłom grafu.

14 Amerykańska opcja sprzedaży   Jako wycenę opcji węzłach b, c przyjmuje się maksimum z :   wyceny przeprowadzonej jak w przypadku opcji europejskiej w modelu jednoetapowym,   wypłaty z opcji realizowanej w danym węźle, przy cenie akcji odpowiadającej rozpatrywanemu węzłowi Wycena opcji w węźle a przebiega podobnie tj. jest maksimum z dwóch liczb:   wyceny opcji europejskiej w modelu jednoetapowym uwzględniającej wycenę opcji amerykańskiej w węźle b i c   wypłaty z opcji realizowanej w węźle a.

15 Amerykańska opcja sprzedaży. Model dwuetapowy (1)

16 Amerykańska opcja sprzedaży   Uwaga. Wyceny w poszczególnych węzłach oznaczają wyceny w zależności od scenariusza zmian ceny akcji.   Jeżeli np. w t =1 w węźle c wypłata z opcji jest większa od wyceny w modelu jednostopniowym, to oznacza że w przypadku zaistnienia tego scenariusza należy wykonać tę opcję (nie czekać do wygaśnięcia)

17 Amerykańska opcja sprzedaży. Przykład

18 Wycena amerykańskiego instrumentu pochodnego o funkcji wypłaty f zależnej od ceny akcji, wygasający w t = 2   Przez amerykański instrument pochodny o funkcji wypłaty f wygasający w chwili t = 2 rozumiemy instrument zależny od instrumentu bazowego (np.. akcji), którego cena zmienia się jak w modelu dwumianowym. Instrument może być zrealizowany w chwilach: t=0, t=1, t=2. Wypłata z instrumentu zależy od ceny instrumentu bazowego.   Przykładami amerykańskich instrumentów pochodnych są amerykańskie opcje kupna oraz opcje sprzedaży   Algorytm wyceny tego instrumentu jest uogólnieniem postępowania przy wycenie amerykańskiej opcji sprzedaży

19 Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili t = 2 jako ciąg 3 zmiennych losowych   Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili t = 2 z funkcją wypłaty f można identyfikować z ciągiem 3 zmiennych losowych   D A (2), D A (1), D A (0)   zdefiniowanych w rekurencji wstecznej.

20 Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili t = 2 jako ciąg 3 zmiennych losowych

21 Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili t = N

22 Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili t = N jako ciąg N+1 zmiennych losowych   Amerykański instrument pochodny wygasający w chwili t = N z funkcją wypłaty f można identyfikować z ciągiem (N+1) zmiennych losowych   D A (N), D A (N-1),…, D A (1), D A (0)   zdefiniowanych w rekurencji wstecznej


Pobierz ppt "OPCJE OPCJE Ograniczenia na cenę opcji Parytet cen opcji kupna i sprzedaży Amerykańskie instrumenty pochodne Opcje amerykańskie."

Podobne prezentacje


Reklamy Google