KALEJDOSKOP PROBABILISTYCZNY

Prezentacja na temat: "KALEJDOSKOP PROBABILISTYCZNY"— Zapis prezentacji:

1 KALEJDOSKOP PROBABILISTYCZNY
Ryszard Szekli

2 Niezależność: P(AB)=P(A)P(B)
Gra: jeden z grających losowo wybiera jedną z liczb a<b i pokazuje ją drugiemu graczowi, który ma zgadnąć, czy jest to większa z liczb, czy też mniejsza. Jaką ma szansę zgadujący gracz na trafną odpowiedź? Czy niezależny eksperyment może pomóc w odgadywaniu? Odpowiedź brzmi : TAK Losując niezależnie wielkość o rozkładzie normalnym, Traktując wynik jakby była to liczba ukryta, Szansa prawdziwej odpowiedzi wynosi (1/2)(1-F(a))+(1/2)F(b)=(1/2)(1+F(b)-F(a))>1/2 Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

3 FRAKTALE Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003
Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

4 Kalejdoskop Probabilistyczny
Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

5 Kalejdoskop Probabilistyczny
Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

6 Kalejdoskop Probabilistyczny
Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

7 Kalejdoskop Probabilistyczny
Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

8 Kalejdoskop Probabilistyczny
Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

9 Kalejdoskop Probabilistyczny
Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

10 Roztwór HyHEL-5:Lysozyme
Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

11 Błądzenie losowe 16 cząstek-symulacja
Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

12 Kalejdoskop Probabilistyczny
Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

13 Kalejdoskop Probabilistyczny
Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

14 Kalejdoskop Probabilistyczny
Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

15 Kurs DAX Dane roczne 6-miesięcy 3-Miesiące Dzień 24.4.2002
Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

16 Zmienne losowe X, Y, Z o identycznych rozkładach (jednostajnych) i korelacjach r(X,Y) = r(X,Z) = 7/15, łączny rozkład zupełnie inny Zakładając, że U,V są niezależne: Przy warunku U + V < 1 definiujemy: X = 1  2U + U2 Y = 2V  V2 Z = 1 + b  X  1[0,b)(X) przy b = 1/2 + 1/30 5 b Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

17 dla funkcji C zwanej Copula (tutaj Fi(xi) = P(Xi £ xi))
Niech X1,...,Xm będą wielkościami szkód o dystrybuantach F1,...,Fm Wtedy można napisać, iż: P(X1 £ x1,..., Xm £ xm) =C(F1(x1),...,Fm(xm)) dla funkcji C zwanej Copula (tutaj Fi(xi) = P(Xi £ xi)) Gdzie: C(x1,..., xm) = P(F1(X1) £ x1,..., Fm(Xm) £ xm) Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

18 Copula Archimedesa: Dana jest wzorem:
Gdzie tak zwanym generatorem jest  , dla której  -1 jest absolutnie monotoniczna, tzn. Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

19 Przykład Copuli Archimedesa
Gumbel-McFadden-Copula : Generator: Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

20 xxxxxxxxxxxxx. Zagęszczanie Rozrzedzanie
Symulacja rozkładu Gumbel-McFaddena dla m=2, l = 2 Zagęszczanie Rozrzedzanie Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

21 Hüsler-Reiss-Copula :
Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

22 Kalejdoskop Probabilistyczny
Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

23 Kalejdoskop Probabilistyczny
Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

24 Kalejdoskop Probabilistyczny
Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

25 Szkody po burzach i powodziach w centralnej Europie w
Milionach € Lata o najwyższych szkodach obu typów burza powódź rok rok Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

26 Oszacowanie na podstawie danych
powódź Hüsler-Reiss- model Oszacowanie na podstawie danych Gęstość dwuwymiarowa burza Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

27 Gumbel-McFadden-Model
powódź Gumbel-McFadden-Model Oszacowanie z danych Dwuwymiarowa gestość burza Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

28 burza 124 symulowane pary w modelu Gumbela-McFaddena Dane oryginalne
symulacja 125 Mio € 250 Mio € burza Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli 47. Tagung der Deutschen ASTIN-Gruppe , Hamburg Uniwersytet Wrocławski Dietmar Pfeifer

29 P(X > x, Y > x) Strukturalna zależność Gumbel-McFadden-Model
X = burza Y = powódź P(X > x, Y > x) Gumbel-McFadden-Model Przy zależności 6,6 % 3 % Przy założeniu niezależności 100 Mio € Mio € Mio € 50 Mio € Szanse przekroczenia ustalonej wartości x przez obie szkody Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli 47. Tagung der Deutschen ASTIN-Gruppe , Hamburg Uniwersytet Wrocławski Dietmar Pfeifer

30 Proces rezerwy R(t)=u+ct-S(t), gdzie S(t)=X_1+...+X_N(t)
Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

31 Przykład z Matematyki Finansowej Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt
“Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

32 Reakcje na zmieniające się kursy:
spekulacja (w nadziei na szybkie zyski) konserwatyzm Instrumenty finansowe: Pochodne: na przykład Futures Opcje Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

33 W ustalonym przedziale czasowym (amerykańska opcja) lub
Prawo, by pewne ustalone dobro, po z góry ustalonej cenie, w ustalonej ilości W ustalonym przedziale czasowym (amerykańska opcja) lub W ustalonej chwili (europejska opcja) kupić (Call-Option) lub sprzedać (Put-Option). Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

34 St: wartość kursu w chwili t
Opis symboli: T: czas wykonania X: cena wykupu St: wartość kursu w chwili t Strategie: Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

35 Cel: Wyznaczenie „właściwej” ceny opcji
W chwili realizcji (t=T): Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

36 CT+=20 CT-=0 Przykład: Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt
“Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

37 C0 = h(S0-vTST-)=E*[v·CT] = v·p*·(ST+-X) dla
Własność takiej wyceny: Możliwość tak zwanego arbitrażu. Cena (uczciwa)-nie pozwalająca na zysk bez wkładu kapitału- nie zależy jedynie od p. “Klasyczna wartość oczekiwana” nie jest dobrą wyceną Stosuje się poprawioną „wartość oczekiwaną”: C0 = h(S0-vTST-)=E*[v·CT] = v·p*·(ST+-X) dla Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

38 Model Coxa-Rossa-Rubinsteina (n kroków):
założenia: przykład: n=3 1. Stałe warunki zmiany kursu: ST+/S0=S2T++/ST+=...= 1+k+>1 ST-/S0 = S2T--/ST- =...= 1+k-<1 2. Stochastycznie niezależne zmiany kursu: SnT=(1+k+)N(1+k-)n-N S0 mit N=liczba wzrostów kursu Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

39 Ogólny wzór przy n okresach:
oraz iT=(1+i)T-1 (stopa procentowa w czasie T) Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

40 Uproszczenie: z Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt
“Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

41 Wzór Blacka - Scholes’a :
Cena opcji Call: Używając przybliżenia rozkładem normalnym: Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

42 Cena opcji kupna w zależności od n
Wartość graniczna: Cena opcji kupna w zależności od n C0=9.52 C0as=7.78 Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski