Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wstęp do metod numerycznych Wykład 8 Różniczkowanie numeryczne 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wstęp do metod numerycznych Wykład 8 Różniczkowanie numeryczne 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki"— Zapis prezentacji:

1 Wstęp do metod numerycznych Wykład 8 Różniczkowanie numeryczne 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki

2 Pochodna funkcji - przypomnienie 2 Załóżmy, że mamy daną funkcję f(x) oraz argument x 0 w otoczeniu którego funkcja f(x) jest określona. Wówczas pochodną funkcji f(x) w punkcie x 0 oznaczamy symbolem: Inne spotykane oznaczenia dla funkcji danej wzorem y=f(x) Oznaczenie Leibnitza Oznaczenie Lagrange’a Oznaczenie Cauchy’ego i definiujemy jako następującą granicę: (1a) Wzór równoważny(1b)

3 Pochodna - przykład 3 Oblicz pochodną funkcji f(x)=x2 w punkcie x 0 =2. Liczymy wartość pochodnej w punkcie x 0 korzystając z definicji: Możemy również wyprowadzić ogólny wzór dla tej funkcji Praktycznie zawsze opłaca się najpierw policzyć pochodną funkcji (zwłaszcza, że mamy do dyspozycji gotowe wzory na liczenie pochodnych), a dopiero potem wyznaczyć jej wartość w konkretnym punkcie.

4 Pochodne – gotowe wzory 4 Działania na pochodnychPrzykłady

5 Zadanie różniczkowania numerycznego 5 Na podstawie znajomości wartości y i funkcji f(x) w punktach x i (narzuconych lub wybieranych) wyznaczyć wartość D pochodnej funkcji w punkcie a, czyli nachylenie stycznej do funkcji w punkcie a Motywacja Przykłady zastosowania różniczkowego w technice Czułość przyrządu, nachylenie charakterystyki przetwarzania, wrażliwość układu Prędkość i przyspieszenie wyznaczane na podstawie sygnału położenia Nachylenie (gradient) w metodach poszukiwania minimum funkcji Wyznaczanie przybliżone tych wartości np. przez lokalną linearyzację. W obliczeniach małej precyzji wystarczają proste metody dwupunktowych ilorazów różnicowych. 1. Postać analityczna funkcji jest zbyt skomplikowana. 2. Wartość funkcji znana jest tylko w niektórych punktach. (2)

6 Podejścia do rozwiązania problemu 6 Metoda różnic skończonych Metoda polegająca na przybliżeniu pochodnej funkcji poprzez skończone różnice, w zdyskretyzowanej przestrzeni. Można ją wyprowadzić wprost z ilorazu różnicowego, bądź z rozwinięcia w szereg Taylora. W przypadku silnie zaszumionych danych różniczkowanie metodą różnic skończonych może dać fatalny efekt. Wówczas przybliżamy daną funkcję wielomianem interpolacyjnym, a następnie wielomian ten łatwo różniczkujemy.

7 Metody ilorazu różnicowego 7 Pochodną funkcji przybliżamy ilorazem różnicowym Inny zapis Typy ilorazów różnicowych Iloraz zwykły: f(x) zastępujemy prostą y = a x + b poprowadzoną przez x i x + h Iloraz wsteczny f(x) zastępujemy prostą y = a x + b poprowadzoną przez x-h i x (3a)(3b) (4) (5)

8 Typy ilorazów różnicowych 8 Iloraz centralny: f(x) zastępujemy prostą y = a x + b poprowadzoną przez x-h i x+h. Iloraz centralny z wykorzystaniem paraboli: f(x) zastępujemy parabolą y=ax 2 +bx+c poprowadzoną przez punkty x-h, x, x+h Wzór: patrz – metody rozwiązywania równań nieliniowych (6)

9 Brook TAYLOR ( ) 9 Matematyk brytyjski, uczęszczał do szkoły St.John’s College w Cambridge. Od 1712 członek Towarzystwa Królewskiego (Royal Society) w Londynie. W 1715 opublikował pracę „Methodus Incrementorum Directa et Inversa” (Metoda przyrostów), na temat rachunku różnic skończonych, dając podstawy teorii rachunku różniczkowego oraz teorii interpolacji. W 1708 ułożył równanie drgań harmonicznych (opublikowane w 1714), sformułował równanie struny, prowadził prace w zakresie balistyki i teorii perspektywy w malarstwie. W 1719 zrezygnował ze stanowiska w Towarzystwie Królewskim i porzucił studiowanie matematyki. Zajmował się również mechaniką, a pod koniec życia filozofią.

10 Metoda różnic skończonych – wzór Taylora 10 Wartość każdej funkcji f(x) można wyrazić w otoczeniu tego punktu x za pomocą tzw szeregu Taylora Zdefiniujemy operator różniczkowania Zdefiniujemy operatory dla różnicy zwykłej  i wstecznej  (7) (8) (9) (10a) (10b) (10c)

11 Wzór Taylora 11 Z porównania zależności otrzymujemy wzór na równość operatorów Logarytmujemy obie strony równania Oraz podnosimy do potęgi k. Ponieważ To (11)

12 Wzór Taylora 12 Możemy zatem łatwo wyprowadzić wzory na pochodne każdej funkcji za pomocą różnic zwykłych Dokładność liczenia pochodnej zależy od tego ile mamy punktów funkcji

13 Wzór Taylora – różnice wsteczne 13 Zauważmy, że Zatem mamy Wstawiając tę zależność do wzoru otrzymujemy

14 Wzór Taylora – różnice wsteczne 14 Możemy zatem wyprowadzić wzory na dowolne pochodne funkcji f(x) wyrażone za pomocą różnic wstecznych: Ponieważ to (12)

15 Różnice centralne 15 Wyprowadzone wcześniej wzory różniczkowania numerycznego funkcji f(x) w punkcie x = x 0 mają tę wadę, że wykorzystuje się w nich jedynie wartości funkcji f(x) dla argumentów leżących z jednej strony x 0. Zdefiniujmy operator różnicy centralnej (13) Wady tej nie posiadają wzory wykorzystujące wartości funkcji f(x) po prawej i po lewej stronie punktu x = x 0. Są to wzory symetryczne, oparte na różnicach centralnych (korzystamy z wzoru (7)).

16 Różnice centralne 16 Korzystając z (13) mamy Następnie obliczamy Rozwijając D w szereg Taylora mamy: (14) Możemy teraz zapisać wzór na iloraz centralny (np. dla jednego punktu wstecz i do przodu) (15)

17 Przybliżanie wielomianem interpolacyjnym 17 Wzory na pochodną z wykorzystaniem ilorazu różnicowego są możliwe do zastosowania wyłącznie wtedy, gdy węzły próbkowania funkcji są równoodległe. W przeciwnym wypadku należy skorzystać z wielomianów interpolacyjnych w postaci: Klasycznej Newtona Lagrange’a Funkcję przybliżamy wielomianem, a następnie obliczamy pochodną wielomianu. Dla wielomianu w postaci Pochodna jest łatwa do obliczenia i wynosi Stopień wielomianu zależy od tego, ile węzłów funkcji w otoczeniu punktu x 0 chcemy użyć do obliczenia pochodnej.

18 Pochodna z użyciem wielomianu Newtona 18 Przybliżając funkcję f(x) wielomianem interpolacyjnym P(x) w punktach x 1 … x N Możemy przybliżyć pochodną funkcji poprzez pochodną wielomianu, która wynosi Podstawiając za x węzeł o poszukiwanej pochodnej (zeruje się większość składników) uzyskujemy formułę różnicową (w przód, wstecz lub centralną), przy czym węzły interpolacji nie muszą być równoodległe.

19 Pochodna z użyciem wielomianu Newtona - przykład 19 Przybliż pochodną funkcji wielomianem interpolującym opartym na trzech punktach. Zastosuj różnice zwykłe – w przód. Szybko obliczamy współczynniki: Pochodna w dowolnym punkcie przedziału interpolacji jest następująca

20 Pochodna z użyciem wielomianu Newtona - przykład 20 Sprawdźmy wzór dla węzłów równoodległych, gdzie x 2 =x 1 +h, x 3 =x 1 +2h Również możemy policzyć wartości pochodnej w węzłach x=x 1, x=x 2, x=x 3

21 Pochodna z użyciem wielomianu Lagrange’a 21 Podobnie, jak w poprzednim przykładzie weźmiemy pod uwagę trzy sąsiednie węzły funkcji, np. x 0, x 1, x 2.

22 Pochodna z użyciem wielomianu Lagrange’a 22 Sprawdźmy zależność dla węzłów równoodległych, x 1 =x 0 +h, x 2 =x 0 +2h. Np. dla x=x 1 mamy: Np. dla x=x 0 mamy:

23 Literatura: Jakub Grzegorczyk 2. Michał Budzyński, MATEMAKS, 3. Agata i Piotr Fronczak, Agatka&Piotr Online,


Pobierz ppt "Wstęp do metod numerycznych Wykład 8 Różniczkowanie numeryczne 1 dr inż. Wojciech Bieniecki Instytut Matematyki i Informatyki"

Podobne prezentacje


Reklamy Google