Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Geometria Obrazu Wykład 1 Trochę algebry liniowej. 1. Przekształcenia liniowe. 2. Macierze. 3. Układ współrzędnych. 4. Przekształcenia liniowe. 5. Norma.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Geometria Obrazu Wykład 1 Trochę algebry liniowej. 1. Przekształcenia liniowe. 2. Macierze. 3. Układ współrzędnych. 4. Przekształcenia liniowe. 5. Norma."— Zapis prezentacji:

1 Geometria Obrazu Wykład 1 Trochę algebry liniowej. 1. Przekształcenia liniowe. 2. Macierze. 3. Układ współrzędnych. 4. Przekształcenia liniowe. 5. Norma i iloczyn skalarny. 6. Wyznacznik. 7. Przestrzeń afiniczna. 8. Przekształcenia afiniczne.

2 Obiekty, które można pomnożyć przez elementy pewnego ciała (zazwyczaj ciała liczb rzeczywistych), tzn. skalary, i dodawać nazywamy wektorami. Dowolny zbiór wektorów nazywamy przestrzenią liniową, jeśli jest zamknięty na operacje mnożenia przez skalary i dodawanie, zawiera wyróżniony wektor zerowy oraz dla dowolnych wektorów x, y, z i skalarów a, b spełnione są warunki: x+(y+z) = (x+y)+z, x+y = y+x, x+0 = x,0x = 0, a(bx) = (ab)x,1x = x, a(x+y) = ax+by,(a+b)x =ax+bx.

3 Dla dowolnych wektorów x 1,..., x n i skalarów a 1,..., a n można określić kombinację liniową x = a 1 x a n x n. Zbiór wektorów {x 1,..., x n }w danej przestrzeni nazywamy liniowo niezależnym, jeśli z równości a 1 x a n x n = 0 wynika a 1,..., a n = 0. W przeciwnym razie zbiór jest zależny. Liniowo niezależny zbiór wektorów taki, że każdy wektor danej przestrzeni liniowej jest kombinacją liniową elementów tego zbioru, nazywamy bazą przestrzeni. Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne a liczbę wektorów je tworzących nazywamy wymiarem przestrzeni. Wymiar przestrzeni liniowej V oznaczamy dim V.

4 Macierzą o m wierszach i n kolumnach nazywamy prostokątną tablicę rozmiaru mxn. Dane wpisane w macierz nazywa się jej elementami lub współczynnikami. Każdy element można jednoznacznie zidentyfikować podając jego wskaźniki lub indeksy − zwykle w kolejności: wiersza i kolumna macierzy, w której stoi. Para złożona z liczby wierszy i kolumn nazywana jest typem macierzy. Jeśli n jest liczbą kolumn macierzy A i liczbą wierszy macierzy B oraz współczynniki tych macierzy można mnożyć, to macierz C nazywamy iloczynem tych macierzy, gdy c ij = a ik b kj. Mnożenie macierzy jest łączne, ale zwykle nieprzemienne. Rzędem macierzy nazywamy maksymalną liczbę niezależnych liniowo wierszy lub kolumn. Macierz, której wszystkie wiersze i kolumny są liniowo niezależne nazywamy macierzą pełnego rzędu.

5 Macierz kwadratowa to macierz, której liczba kolumn jest równa liczbie wierszy. Macierz kwadratową pełnego rzędu nazywamy macierzą nieosobliwą. Macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki a ii = 1 a pozostałe są zerowe nazywamy macierzą jednostkową. Oznaczamy ją przez I. Macierz transponowana to macierz, której wiersze i kolumny zostały zamienione rolami. Oznacza się ją A T. Macierz odwrotna macierzy kwadratowej A, to taka macierz A -1, że AA -1 = A -1 A = I.

6 Jeśli zbiór E={e 1, …, e n } jest bazą przestrzeni liniowej V, a v dowolnym wektorem tej przestrzeni, to liczby v 1, …, v n takie, że v = v k e k, nazywamy współrzędnymi wektora v w bazie E. Przyporządkowanie każdemu wektorowi jego ciągu współrzędnych nazywamy układem współrzędnych, a bazę, względem której określamy układ współrzędnych nazywamy układem odniesienia. Przekształcenie  : V 1  V 2 nazywamy przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych wektorów x,y  V i skalarów a, b zachodzi równość  (ax+by) = a  (x) + b  (y). Zbiór wszystkich wektorów x  V takich, że  (x) = 0  V 2 nazywamy jądrem przekształcenia  i oznaczamy ker . Zbiór wszystkich wektorów y  V 2, które są wartościami  nazywamy obrazem przekształcenia  i oznaczamy im . dim ker  + dim im  = dim V 1

7 Gdy zapiszemy wektory x  V 1 i y =  (x)  V 2 w postaci jednowymia- rowych macierzy związanych z bazami współrzędnych X = {x 1, …, x n } i Y = {y 1, …, y n } odpowiednio przestrzeni V 1 i V 2, to każdemu przekształceniu liniowemu odpowiada macierz A taka, że y = Ax. Obrazem wektora x i przy przekształceniu  jest kombinacja liniowa wektorów z bazy Y:  (x i ) = a ik y i. Różnowartościowe przekształcenie liniowe przestrzeni V 1, którego obrazem jest cała przestrzeń V 2, nazywamy izomorfizmem przestrzeni liniowych V 1 i V 2. Jeśli izomorfizmowi  odpowiada macierz A, to przekształceniu odwrotnemu  -1 odpowiada macierz A -1.

8 Dowolną funkcję ||  ||: V  R spełniającą dla dowolnych wektorów x i y oraz liczby a warunki ||x||  0 oraz ||x|| = 0  x = 0 (dodatniość), ||ax|| = |a|||x|| (półliniowość), ||x+y||  ||x|| + ||y|| (nierówność trójkąta) nazywamy normą, a przestrzeń liniową, w której jest określona – przestrzenią unormowaną. Przekształcenie : VxV  R nazywamy iloczynem skalarnym, jeśli dla dowolnych wektorów x, y i z oraz liczb rzeczywistych a, b spełnione są następujące warunki = (symetria),  0 oraz = 0  x = 0 (dodatnia określoność), = a + b (liniowość). Przestrzeń liniowa z określonym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzenią euklidesową.

9 W dowolnej przestrzeni liniowej o wymiarze n, dla ustalonego układu współrzędnych związanego z bazą X = {x 1, …, x n }, iloczyn skalarny można obliczać stosując wzór = y T Ax, gdzie A jest pewną symetryczną, dodatnio określoną macierzą o wymiarach nxn. Wektory x i y są prostopadłe (ortogonalne), gdy = 0. Jeśli = y T x (tzn. A = I), to bazę związana z układem współrzędnych nazywamy ortonormalną. Współrzędne dowolnego wektora v w bazie ortonormalnej {x 1, …, x n } wynoszą, …,. Każdą bazę można zortonormalizować z pomocą algorytmu ortogonalizacji Grama-Schmidta. Dla danego zbioru wektorów v 1, …, v n macierzą Grama nazywamy macierz G(v 1, …, v n ), w której g ij =.

10 W przestrzeni euklidesowej określamy normę ||x|| 2 = 1/2. Długość wektora oznacza wartość tej normy. Możemy określić też miarę kąta między wektorami v 1 i v 2 jako, gdzie  [0,  ].

11 Przekształcenie liniowe f: V  R nazywamy funkcjonałem liniowym. Wyznacznikiem stopnia n nazywamy funkcję det n określona na przestrzeni macierzy kwadratowych nxn o wartościach rzeczywistych, spełniającą następujące warunki: -funkcja det n jest funkcjonałem liniowym ze względu na każdą kolumnę macierzy (przy ustalonych pozostałych), - zamiana miejscami dwóch kolumn powoduje zmianę znaku wyznacznika (przy ustalonych pozostałych), - wyznacznik macierzy jednostkowej wynosi 1. Powyższe warunki jednoznacznie definiują wyznacznik. Fakt. det A = det A T, det A = 0, gdy macierz jest osobliwa.

12 Dla danego zbioru n+1 liniowo niezależnych punktów p 0, …, p n w prze- strzeni n wymiarowej definiujemy wektory v 1 = p 1 – p 0, …, v n = p n – p 0. Niech macierz G będzie macierzą Grama układu wektorów v 1, …, v n. Wtedy objętość sympleksu S wyznaczanego przez punkty p 0, …, p n wynosi:  n (S) = (det n G) 1/2 /n!.

13 Niech h będzie hiperpłaszczyną, a g jej przekształceniem, któremu odpowiada macierz A. Dowolny wektor n  0 prostopadły do wszystkich wektorów będących elementami hiperpłaszczyzny h nazywamy jej wektorem normalnym. Rozważmy wektor n będzie postaci [(-1) n+1 detA, …, (-1) n+n det A] T, gdzie macierze A 1, …, A n o wymiarach (n-1)x(n-1) powstają w wyniku skreślenia kolejnych wierszy macierzy A=[x 1, …, x n-1 ]. Wektor n nazywamy iloczynem wektorowym wektorów {x 1, …, x n-1 }. wyznaczających hiperpłaszczyznę. W przypadku powierzchni zadanej parametrycznie przez funkcje x(t 1,t 2 ), y(t 1,t 2 ) i z(t 1,t 2 ) wektor normalny w punkcie (x,y,z) określony jest przez iloczyn wektorowy wektorów i.

14 Niech P oznacza zbiór, którego elementy nazwiemy punktami, a V będzie przestrzenia liniową. Zbióe P z działaniem odejmowania punktów p-q  V nazywamy przestrzenia afiniczną, gdy spełnione są następujące warunki: -dla każdego p  P i v  V istnieje dokładnie jeden punkt q  P taki, że v = q – p, - dla każdych trzech punktów p, q, r  P zachodzi równość trójkata (q - p) + (r - q) = r – p. Przestrzeń V nazywamy przestrzenią wektorów swobodnych przestrzeni P. Wymiar przestrzeni afinicznej jest równy wymiarowi przestrzeni wektorów swobodnych. Niech p, q, r będą punktami w przestrzeni dwuwymiarowej wzbogaconymi o trzecią współrzędną równą 1. Wtedy znak wyznacznika det 3 [pqr] położenie punktu r względem wektora q-p (r znajduje się po lewej stronie, gdy wyznacznik jest dodatni).

15 Niech p 0, …, p n będą punktami n-wymiarowej przestrzeni afinicznej P takimi, że wektory v 1 = p 1 – p 0, …, v n = p n – p 0 są liniowo niezależne, to dla dowolnego punktu p  P istnieją jednoznacznie określone liczby a 1, …, a n takie, że p = p 0 + a k v k. Liczby te nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi punktu p w układzie odniesienia określonym przez punkt p 0 (początek układu) i wektory v 1, …, v n (wektory wyznaczające osie układu). Układ współrzędnych, w którym każde dwa wektory jego układu odniesienia są do siebie prostopadłe nazywamy układem prostokątnym. W przeciwnym razie mówimy o układzie skośnym.

16 Rozważmy przestrzenie afiniczne P 1 i P 2 o wymiarach odpowiednio n i m. Przekształcenie afiniczne jest odwzorowaniem f: P 1  P 2, dla którego dowolny układ punktów p 1, …, p n i liczb a 1, …, a n takich, że a 1 + … +a n = 1, spełnia równanie f( a k p k ) = a k f(p k ). Korzystając ze współrzędnych kartezjańskich, dowolne przekształcenie afiniczne można zapisać w postaci f(p) = Lp + t, gdzie L jest macierzą o wymiarach mxn opisującą liniową część przekształcenia a t wektorem określającym przesuniecie. Macierze obrotu o kąt  wokół odpowiedniej osi w przestrzeni trójwymiarowej mają postać R x,  =, R y,  =, R z,  =, gdzie s = sin  i c = cos .

17 Macierz przesunięcia o wektor t = [x,y,z] T ma postać T t =. Macierz skalowania ma postać S a,b,c =. Obrazem wektora [x,y,z] T jest wektor [ax,by,cz] T. Rzut prostopadły wzdłuż osi układu współrzędnych jest skalowaniem, w którym współczynniki przyjmują wartość 0 lub 1. Symetryczne odbicie punktu p względem płaszczyzny prostopadłej do wektora v zadane jest wzorem p-2v. Macierz symetrii względem prostej o kierunku v ma postać 2vv T -I. Symetryczne odbicie względem punktu jest równoważne skalowaniu ze współczynnikami -1,-1,-1.

18 Dziękuję za uwagę.


Pobierz ppt "Geometria Obrazu Wykład 1 Trochę algebry liniowej. 1. Przekształcenia liniowe. 2. Macierze. 3. Układ współrzędnych. 4. Przekształcenia liniowe. 5. Norma."

Podobne prezentacje


Reklamy Google