Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły:

Prezentacja na temat: "Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły:"— Zapis prezentacji:

1

2 Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły:
Gimnazjum im. Królowej Jadwigi w Zagórowie Zespół Szkół nr 5 w Poznaniu Gimnazjum nr 40 ID grupy: 98/74_mf_g2 98/13_mf_g1 Opiekun: mgr Agnieszka Ławniczak mgr Ewa Mika Krolik Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: ,,W świecie liczb” Semestr 2 rok szkolny: 2010/2011

3 Fascynująca Historia odkrycia liczb

4 Historia liczb Człowiek pierwotny
Człowiek potrafił liczyć już w epoce pierwotnej. Nie znał jeszcze cyfr. Wyniki swych obliczeń zapisywał na kościach, nacinając na nich kreski. Za najstarszy zapis liczby uważa się 55 nacięć na kości wilka sprzed 30 tysięcy lat. Kość tę znaleziono w Czechach w 1937r. i jest na niej widocznych 55 karbów, zgrupowanych po 5, stąd domyślamy się, że chodzi tu o liczbę.

5 MEZOPOTAMIA - pismo klinowe
Pierwsze cyfry wymyślili Sumerowie (mieszkańcy Mezopotamii) około 3300 r. p.n.e. Zapisywali je stawiając znaki - kliny na glinianych tabliczkach. Najpierw wymyślili sposób zapisywania liczb, a dopiero potem sposób zapisu słów. Znaków cyfrowych było niewiele. Liczby babilońskie są właściwie kombinacjami trzech znaków: jedynki, dziesiątki i setki. Np.:

6 EGIPT - hieroglify Prawie tak samo stare są cyfry egipskie. Egipcjanie do pisania używali znaków, które nazywamy hieroglifami. Wśród nich istniały specjalne znaki dla cyfr:

7 GRECJA Grecy i Rzymianie (o nich później) do zapisu liczb użyli liter swoich alfabetów. Grecy stosowali dwa sposoby zapisywania liczb: joński i ateński. 1 Ateńczycy do pisania liczb używali początkowych liter słów - liczebników (rys. obok) Sposobem jońskim liczby wyrażano literami alfabetu, pisząc nad nimi kreskę,np. alfa - 1, beta - 2, ... 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 50000

8 Liczba znaków dziesiętnych ustalonych
Rok Nazwisko Liczba znaków  dziesiętnych  ustalonych 250 p.n.e Archimedes Regiomontanus astronomowie hinduscy J. Rhaeticus Piotr Metius Viète Ludolf Van Ceulen Adrian Romanus Ludolf Van Ceulen Snellius Abr. Sharp Machin De Lagny Vega Rutheford Dahse Clausen Shanks Rutheford Shanks Shanks Richter Richter Richter Shanks

9 CYFRY RZYMSKIE System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali. Używano go powszechnie jeszcze w XV w. Obecnie cyfry rzymskie stosuje się rzadko. Służą one głównie do zapisu dat, oznaczania numerów pięter, rzędów w kinie, rozdziałów w książkach, itp. i ok roku p.n.e.

10 W systemie rzymskim używa się następujących cyfr:
Pozostałe liczby uzyskujemy jako układ tych znaków.

11 PRZYKŁADY

12 CIEKAWOSTKA Systemu rzymskiego nie stosuje się już w obliczeniach. System ten nie jest systemem pozycyjnym i nie można w nim stosować działań pisemnych. Konserwatywna Europa długo jednak upierała się przy stosowaniu niewygodnych cyfr rzymskich, odrzucając „diabelskie znaki Arabów - dług szatana”. Samego Sylwestra II - papieża, który wcześniej, w X wieku, jako mnich Gerbert, wprowadził do kultury europejskiej cyfry arabskie, oskarżano o zaprzedanie duszy diabłu. Doszło nawet do tego, że w 1648 r. ówczesny papież uznał za konieczne otwarcie grobu Sylwestra II, aby sprawdzić czy nie mieszkają tam diabły.

13 CYFRY ARABSKIE Cyfry, którymi posługujemy się obecnie, pochodzą od Hindusów. Na teren Europy przenieśli je Arabowie, dlatego nazywamy je cyframi arabskimi. Pierwszy podał je sławny matematyk włoski Leonardo Fibonacci z Pizy w 1202 r. w „Księdze abaku”. Pierwsze słowa tej księgi brzmiały: „Jest dziesięć znaków hinduskich. Oto one: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Za pomocą tych znaków i znaku 0, który po arabsku zwie się „sifr”, można zapisać jaką kto chce liczbę”.

14 Polska była jednym z pierwszych krajów, które wprowadziły u siebie cyfry hinduskie. Było to w XIV w. Oczywiście hindusko - arabskie cyfry nie od razu przybrały swą obecną postać Zapis cyfr różnił się od współczesnego jeszcze w XV w. CYFRY HINDUSKIE, III w. p.n.e. CYFRY HINDUSKIE, IX w. CYFRY HINDUSKIE, XI w. CYFRY HINDUSKIE, XVI w. EUROPA, XV w. EUROPA, XVI w.

15 PRZYKŁADY CYFR UŻYWANYCH WSPÓŁCZEŚNIE
CYFRY ARABSKIE Europa CYFRY ARABSKIE Kraje Bliskiego Wschodu CYFRY CHIŃSKIE CYFRY W JĘZYKU TAMILSKIM (Płd. Indie, Indochiny) CYFRY W PIŚMIE BRAILLE’A

16 Ciekawe matematyczne zadania

17 CIEKAWE ZADANIA Z MATEMATYKI
Jeśli zagadka, którą rozwiązaliście przed zagadką obecną, była trudniejsza niż ta, którą rozwiązaliście po tej, którą rozwiązaliście przed obecną, to czy zagadka, którą rozwiązaliście przed zagadką obecną była od niej trudniejsza? Rozwiązywanie zagadek rozwija umiejętność kojarzenia opisu słownego z rzeczywistością oraz wyciągania wniosków. Zagadki bawią, budzą zaciekawienie i dają satysfakcję po trafnym ich rozwiązaniu.

18 Niech x oznacza stado pasterza.
STADO OWIEC Pasterz prowadził stado owiec liczące 70 owiec i spotkał wędrowca, który go zapytał: -Ile owiec z twego stada prowadzisz teraz na pastwisko? Pasterz odpowiedział: -Prowadzę dwie trzecie od jednej trzeciej części swego stada. Ile ów pasterz ma wszystkich owiec? Rozwiązanie: Niech x oznacza stado pasterza. 2/3 :1/3x=70 2/9x=70 x = 315

19 Zadanie mnicha Alkuina
Wieśniak musi przewieźć przez rzekę wilka, kozę i kapustę. Łódka jednak jest za mała i może się w niej zmieścić tylko jedno z trojga. Wilk, jeśli się go zostawi razem z kozą, to ją pożre, jeśli zostawi się kozę i kapustę na jednym brzegu, to koza zje kapustę. Jak poradzi sobie wieśniak z transportem? Rozwiązanie: Należy oczywiście zacząć od kozy. Wieśniak przewozi kozę, następnie wraca po wilka, a przeprawiwszy go na drugą stronę rzeki zabiera kozę z powrotem, zostawia ją na brzegu, odwozi kapustę i wreszcie wraca po kozę. W ten sposób przeprawa kończy się pomyślnie.

20 Zadanie Newtona Na łące rośnie trawa. 60 krów mogłoby paść się na tej łące przez 14 dni, a 50 krów przez 28 dni. Ile krów mogłoby paść się na tej łące stale, dzięki ciągle odrastającej trawie?

21 Rozwiązanie: Niech początkowy zapas trawy wynosi t
Rozwiązanie: Niech początkowy zapas trawy wynosi t. W ciągu jednego dnia odrasta x trawy, zaś jedna krowa zjada w ciągu jednego dnia y trawy. t + 14x = 60 · 14y oraz t +28x = 50 · 28y. Odejmując pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy: 14x = (50 · · 14)y = 10 · 14 · y(10 - 6) = 40 · 14y, a stąd x = 40y . Mamy więc: t = 60 · 14y - 14 · 40y = 14 · 20y = 7 · 40y = 7x. Z powyższych obliczeń wynika, że 40 krów mogłoby paść się na tej łące.

22 Suma każdej pary tych liczb jest również kwadratem:
Zadanie Diofantosa Znajdź trzy takie liczby, których suma, a także suma każdej pary tych liczb jest kwadratem innej liczby. Rozwiązanie: Liczby te to: 80, 320, 41. = 441 = 212 Suma każdej pary tych liczb jest również kwadratem: = 400 = 202 = 361 = 192 = 121 = 112

23 Leonardo Fibonacci Podróżnik i kupiec z Pizy, autor: „Liber Abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej r., jemu przypisuje się odkrycie ciągu liczb znanego dziś jako Ciąg Fibonacciego.

24 Liczby Fibonacciego w przyrodzie
Liczby Fibonacciego opisują różne wielkości przyrodnicze: liczba płatków stokrotki (34, 55 lub 89), liczba pędów roślin w kolejnych fazach wzrostu, liczba spiral w różnych konstrukcjach spiralnych (prawoskrętne i lewoskrętne) – np. słonecznik, szyszki, owoc ananasa.

25 Ciąg Fibonacciego Liczby zdefiniowane są w sposób następujący:
F(n) = F(n – 1) + F(n - 2) Każdy kolejny wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Początkowe wartości ciągu: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,277,610,… 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 8=5+3, 13=8+5, itd…

26 Króliki w Liber Abacci Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeżeli: każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca? para staje się płodna po miesiącu? króliki nie zdychają? W każdym miesiącu pary dorosłe, pary młode i całkowita liczba par tworzą liczby Fibonacciego.

27 Złota Liczba Złoty podział:
Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, fizyków, botaników i artystów Złotym podziałem nazywamy podział odcinka na takie dwie części, że stosunek dłuższej części do krótszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do dłuższej części Złota liczba φ(fi)≈1,61803 a + b a b a b a + b

28 Wzory i zależności złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania:
dokładna wartość: przybliżona wartość: kwadrat złotej liczby: odwrotność złotej liczby: dokładna wartość: przybliżona wartość:

29 Złoty prostokąt

30 Złoty prostokąt a liczby Fibonacciego
3 2 8 1 1 5

31 Spirala równokątna Spiralę można związać prostokątem o złotym stosunku boków. Występuje ona np. we wzorze łusek na szyszkach.

32 Układ liści Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia.

33 Partenon na Akropolu fronton świątyni mieści się w złotym prostokącie
plan świątyni jest złotym prostokątem

34 Apollo Belwederski Twórcą rzeźby był Leochares (IV wiek pne.)
Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji, linia E wskazuje złotą proporcję między głową a górną częścią tułowia, linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia.

35 Liczby olbrzymy

36 Liczby olbrzymy Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.

37 Liczby olbrzymy W zależności od n liczby noszą różne nazwy w oparciu o nazwy łacińskie. Z łaciny: bi- oznacza dwu- (stąd bilion) tri- oznacza trój- (stąd trylion) quadri- oznacza czwór- (stąd kwadrylion) quintus oznacza piąty (stąd kwintylion) sextus oznacza szósty (stąd sekstylion) septimus oznacza siódmy (stąd septylion) octavus oznacza ósmy (stąd oktylion) nonus oznacza dziewiąty (stąd nonilion lub nonylion) deimus oznacza dziesiąty (stąd decylion) undecimus oznacza jedenasty (stąd undecylion) duodecimus oznacza dwunasty (stąd duodecylion) centum oznacza sto, lub centesimus - setny (stąd centylion) Poniższa tabela przedstawia nazwy liczb, ich zapis w postaci dziesiętnej oraz zapis w postaci potęgi liczby 10 (dla systemu  stosowanego w Polsce). Liczby, które nie są pogrubione, są jednostkami pośrednimi (wzrastają o trzy zera). Poniższa tabela przedstawia nazwy liczb, ich zapis w postaci dziesiętnej oraz zapis w postaci potęgi liczby 10 (dla systemu  stosowanego w Polsce).

38

39 Historia nieskończoności
Nieskończoność rozważana była już od czasów starożytności. Przez długi czas podchodzono do niej bardzo nieufnie - szybko zorientowano się, że pojęcie to prowadzi do wielu paradoksów (z których najbardziej znane to paradoksy Zenona z Elei). Zauważano także takie absurdy, jak fakt, że liczb naturalnych i kwadratów liczb naturalnych jest tyle samo, co przeczyło intuicji, która mówiła, że część musi być mniejsza od całości. Badania pojęcia nieskończoności ograniczano jedynie do przypadku tak zwanej nieskończoności potencjalnej - zbiór jest nieskończony potencjalnie, jeżeli dla dowolnej liczby naturalnej n zawiera więcej niż n elementów. Z takim rozumieniem nieskończoności mamy do czynienia na przykład w analizie matematycznej, kiedy mówimy o granicy. Mówiąc, że ciąg (an) dąży do granicy g, gdy n dąży do nieskończoności, mamy na myśli fakt, że wyrazy (an) są dowolnie bliskie g dla odpowiednio dużych n. Nie zakładamy tu wcale istnienia żadnego nieskończonego bytu, a jedynie nieustającą możliwość powiększania (i analogicznie: nieustającą możliwość pomniejszania). Proklos Diadochus w V wieku naszej ery wyrażał to w taki sposób: wielkości są wprawdzie dzielone w nieskończoność, ale nie na nieskończenie wiele części. To ostatnie powodowałoby, że aktualnie byłoby nieskończenie wiele części, tamto pierwsze, że tylko potencjalnie; to ostatnie daje nieskończoności istnienie substancjalne, tamto przyznaje jej tylko stawanie się. Gottfried Wilhelm Leibniz w XVII wieku pisał: nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei liczby aktualnie nieskończonej. „Człowiek jest syntezą nieskończoności i skończoności, doczesności i wieczności, wolności i konieczności, jednym słowem, syntezą.”-Søren Kierkegaard

40 Pojęcie nieskończoności
W XIX wieku niemiecki matematyk Georg Cantor poważnie potraktował ideę aktualnej nieskończoności, a więc nieskończoności istniejącej jako samodzielny i konkretny byt. W tym rozumieniu nieskończoność jest pewnym obiektem, na którym możemy dokonywać operacji i który możemy porównywać z innymi obiektami. W istocie Cantora skłoniło do tych rozważań właśnie odkrycie, że jeżeli w pewien sposób zdefiniuje się dla zbiorów pojęcie równej liczby elementów, to niektóre zbiory nieskończone są liczniejsze niż inne.

41 LICZBA PI I JEJ WŁASNOŚCI

42 Pi – najsłynniejsza liczba niewymierna
Liczba pi (∏) jest liczbą określającą stosunek długości okręgu do jego średnicy . ∏≈3,141592

43 O liczbie pi W 1706 roku Wiliam Jones, angielskie matematyk po raz pierwszy użył symbolu ∏. Liczba pi często jest nazywana „ludolfiną” od imienia holenderskiego matematyka Ludolfa von Ceulena (w roku obliczył on wartość pi z dokładnością do 35 cyfr po przecinku). Liczba pi jest niewymierna, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Liczba pi jest liczbą przestępną, co oznacza, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pi jest pierwiastkiem. Nie jest możliwe zapisanie pi za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

44 Historia liczby pi Babilończycy ok. 2000 rok p.n.e. ∏≈3
Egipcjanie ok rok p.n.e. ∏≈(16/9)² Archimedes III wiek p.n.e. ∏≈²²/₇≈3,14 Liczba ∏ przechodziła wiele przemian od starożytności do rozwinięcia dziesiętnego z 707 cyframi po przecinku obliczonego przez Schanksa w 1873 roku. Jego wynik został jednak podważony w 1944 przez angielskiego matemtyka Fergusona, który wykazał, że na 528 miejscu po przecinku Schanks pomylił się i dalsze cyfry są błędne. Ferguson w roku podał wartość liczby do 620 miejsca po przecinku. Postęp w obliczeniach kolejnych cyfr rozwinięcia następował poprzez maszyny liczące.

45 Zastosowania liczby pi
Liczba pi znalazła zastosowanie we wzorach na obwód i pole koła, a także na pola objętości brył obrotowych (kula, walec, stożek). Występuj również w analizie matematycznej, trygonometrii, teorii liczb i rachunku prawdopodobieństwa.

46

47 Liczba pi – ciekawostki
W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416.

48 Tworzone są wierszyki i opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym pi.

49 Piosenkarka Kate Bush śpiewa piosenkę, w której recytuje liczbę pi do 137 miejsca po przecinku.
W filmie pt. „Kontakt” twórcy wszechświata zostawiają przesłanie dla ludzkości w tym nieskończonym ciągu cyfr. W Księdze Guinessa zapisanych jest kilka rekordów w zapamiętywaniu rozwinięcia liczby pi. W 2006 roku Japończyk Akira Haraguchi wyrecytował z pamięci 100 tys. cyfr (przez 16,5 h). Liczba pi ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni dzień pi 14 marca (amerykański zapis daty 3.14) oraz dzień aproksymacji 22 lipca (europejski zapis daty 22/7≈3,1428).

50 Liczby pierwsze

51 Liczby pierwsze Liczba pierwsza – liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, itp. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznacza się symbolem . Liczby naturalne większe od 1, które nie są pierwsze, nazywa się liczbami złożonymi. Z podanych definicji wynika, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.

52 Zastosowanie Liczby pierwsze są stosowane w niektórych znanych algorytmach kryptograficznych. Jednym z takich jest RSA. Rozwój tych algorytmów zapewnia rozwój projektów wyszukiwania ogromnych liczb pierwszych, takich jak GIMPS.

53 Liczby pierwsze o ciekawej budowie
Kryptografia z kluczem publicznym Wobec zwiększającego się dostępu do środków łączności oraz potrzeby przesyłania różnych informacji powstała potrzeba opracowania metod szyfrowania, które zabezpieczałyby te informacje. Początkowo przesyłane szyfrowane informacje udawało się przeczytać łamiąc szyfr, który utrzymywany był w tajemnicy. W kryptografii nastąpił wielki postęp, gdy zaczęto używać systemów szyfrujących z kluczem publicznym. System taki cechuje prostota i jest niezwykle trudny do złamnania. Pomysł podali w 1976 roku W. Diffie i M.E. Hellman, a zaimplementowany efektywnie został w 1978 r. przez Ronalda Rivesta, Adi Shamira i Leonarda Adlemana, stąd system ten nazywa się systemem RSA.

54 Liczby pierwsze o ciekawej budowie
Każdej literze lub innemu znakowi, włączając spację, jest przyporządkowana liczba trzycfrowa, w tzw. kodzie ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Każdą literę lub znak w tekście zastępuje się odpowiadającą mu liczbą 3-cyfrową i w ten sposób powstaje liczba, która odpowiada temu tekstowi. Przesyłaną wiadomość można traktować więc jako pewną liczbę naturalną otrzymaną z ciągu liczb trzycyfrowych odpowiadających kolejnym literom i znakom w tej wiadomości. Każdy użytkownik tego systemu kryptograficznego podaje do publicznej wiadomości swój klucz, który jest parą liczb naturalnych (n, k). Pierwsza z liczb jest iloczynem dwóch dowolnych liczb pierwszych p, q, (n = pq), które zachowuje się w tajemnicy. Ponadto liczba k musi być liczbą względnie pierwszą z p-1 i q-1.

55 Liczby pierwsze o ciekawej budowie
Zaczynamy od dwóch dużych, losowo wybranych, rożnych liczb pierwszych p i q. Obliczamy ich iloczyn n = pq. Liczba n nie jest liczbą pierwszą, wiec nie zachodzi równość, xn-1 ≡ 1 (mod n) dla 0 < x < p. Aby użyć RSA musimy znaleźć taki wykładnik t, aby xt ≡ 1 (mod n) dla (prawie) wszystkich x. Jeżeli zachodzi xt ≡ 1 (mod n), to zachodzi również xt ≡ 1 (mod p) oraz xt ≡ 1 (mod q).

56 Liczby pierwsze o ciekawej budowie
Liczby p i q są pierwsze więc równanie xt ≡ 1 (mod n) będzie zachodzić tylko wtedy gdy p-1 będzie dzielnikiem oraz q-1 będzie dzielnikiem t. Zatem najmniejsza liczba o takiej właściwości to NWW(p-1, q-1). Mamy zatem t = NWW(p-1, q-1), wartość t możemy obliczyć również z funkcji Eulera. Funkcja ta dla liczby n = pq, gdzie p i q są pierwsze wynosi Φ(n) = (p - 1)(q - 1) i jest wielokrotnością liczby t. Użycie jej zamiast t również daje dobry rezultat.

57 Liczby pierwsze o ciekawej budowie
Mając p, q, n oraz t, potrzebujemy teraz dwóch różnych wykładników k oraz l. Muszą one spełniać warunek kl ≡ 1 (mod t). Znając wykładnik k, obliczamy l jako odwrotność k modulo t. Aby zaszyfrować wiadomość w, nadawca oblicza tekst zaszyfrowany c = wk (mod n). Aby odszyfrować tekst c wystarczy obliczyć cl (mod n) co jest równe oryginalnej wiadomości w. Klucz publiczny stanowi para (n, k), kluczem tajnym są liczby (p, q, t, l)

58 Liczby pierwsze o ciekawej budowie
Należy zwrócić uwagę jeszcze na to, że jeżeli liczba k będzie miała wspólny czynnik z t, to nie będzie istniał element odwrotny do k modulo t, dlatego k i t muszą być względnie pierwsze. Dla wybranej wartości k liczby należy sprawdzić czy p-1 oraz q-1 nie mają wspólnych czynników z wybranym k. Na podstawie klucza publicznego nie da się łatwo odgadnąć liczb w kluczu prywatnym. Można by tego dokonać rozkładając n na czynniki by poznać p i q, jednak nie jest znany wydajny algorytm rozkładu liczb na czynniki liczb złożonych. Jeśli chcemy zapewnić odpowiednie bezpieczeństwo, to nasza liczba n powinna mieć kilka tysięcy bitów długości

59 Sito erastotenesa Sito Eratostenesa to algorytm wyznaczania liczb pierwszych z zadanego przedziału . Ze zbioru liczb naturalnych z przedziału , tj. wybieramy najmniejszą, czyli 2 i wykreślamy wszystkie jej wielokrotności większe od niej samej, to jest

60 Sito erastotenesa

61 Ciągi liczb

62 Ciąg liczb Ciąg liczb - to pojęcie matematyczne, intuicyjnie zbiór ponumerowanych obiektów. Gdy zbiór jest skończony, to ciąg również nazywamy skończonym, w przeciwnym wypadku zaś nazywa się go nieskończonym.

63 Ważniejsze typy ciągów liczb
Ciąg stały – funkcja stała o wartościach w zbiorze . Jeżeli warunek na „stałość” funkcji można zapisać tak: dla dowolnego . Ciąg monotoniczny - (rosnący, malejący, niemalejący, nierosnący) – funkcja monotoniczna o wartościach w zbiorze z pewnym porządkiem liniowym (np. zbiór liczb rzeczywistych). Dla ciągów warunek na monotoniczność można zapisać prościej. Np. dla ciągu rosnącego ma on postać (jeżeli ): dla dowolnego . Ciąg ograniczony – funkcja ograniczona o wartościach w zbiorze z pewnym porządkiem liniowym (np. zbiór liczb rzeczywistych). Ciąg zbieżny – ciąg mający granicę (właściwą). Jest funkcją o wartościach w dowolnych przestrzeniach metrycznych a nawet w przestrzeniach topologicznych. Ciągi, które nie są zbieżne, nazywa się ciągami rozbieżnymi. Ciąg Cauchy'ego – ciąg spełniający warunek Cauchy'ego. Jest funkcją o wartościach w dowolnych przestrzeniach metrycznych, a nawet w dowolnych przestrzeniach liniowo-topologicznych. Ciąg zstępujący – ciąg podzbiorów pewnego zbioru, które spełniają warunek zawierania każdego wyrazu w wyrazie go poprzedzającym.

64 Terminologia i symbolika
Argumenty funkcji nazywa się indeksami ciągu, dlatego też zbiór nazywa się czasami zbiorem indeksów ciągu. Wartości tej funkcji określa się mianem wyrazów ciągu. Jeżeli dla ciągu zachodzi potrzeba zaakcentowania informacji o zbiorze indeksów, to stosuje się oznaczenia Jeśli wyrazy ciągu są liczbami ( jest ciałem liczbowym), to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym. Jeśli istnieje potrzeba sprecyzowania zbioru liczb, np. całkowitych, rzeczywistych lub zespolonych, to ciąg nazywa się wówczas odpowiednio: całkowitoliczbowym, rzeczywistym lub zespolonym. Jeśli wyrazami ciągu są funkcje, to mamy do czynienia z ciągami funkcyjnymi.

65 Proste przykłady ciąg skończony: 10, 11, 12. ciąg o wartościach 0 i 1 na przemian: 0, 1, 0, 1, 0, 1 … ciąg kolejnych nieujemnych liczb parzystych: 0, 2, 4, ciąg kolejnych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11 … Definicja ciągu nie wyklucza, że jego elementy mogą się powtarzać. W ciągu z drugiego przykładu dwie jego wartości powtarzają się nieskończenie wiele razy.

66 Sposoby definiowania ciągów
Jeśli reguła wiążąca kolejny indeks z wartością jest szczególnie prosta, definicja sprowadza się do wypisania kilku początkowych wyrazów: 1, 4, 9, 16, 25 W każdym z powyższych ciągów na podstawie poprzednich wyrazów można odgadnąć kolejny. Jeżeli ciąg jest skończony, to czasem warto wypisać wszystkie wyrazy, a czasem kilka początkowych i końcowy, np. 1, 3, 5, … , 99 Trzy końcowe kropki w takim zapisie oznaczają, że ciąg jest nieskończony; w przypadku skończonego ciągu koniecznie trzeba napisać końcowy wyraz.

67 Wzór na wyraz ogólny W tym przypadku związek między indeksem n i wartością an daje się wyrazić w postaci pewnej funkcji an = f(n). Na przykład: an = n − 2 bn = 3n

68 W ramach współpracy Międzyszkolnych Grup Projektowych pracę wykonali:
Autorzy: W ramach współpracy Międzyszkolnych Grup Projektowych pracę wykonali: Gimnazjum im. Królowej Jadwigi w Zagórowie Zespół Szkół nr 5 w Poznaniu Gimnazjum nr 40

69 Bibliografia http://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_(matematyka)
matematyczny.pl/static/st_liczby_trojkatne_i_kwadrato we.php

70