Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Matematyczne techniki zarządzania - 61 ESTYMACJA WARIANCJI DLA POPULACJI Praktyczne znaczenie wariancji (mała wariancja = wysoka jakość) Mała próbka Jeśli.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Matematyczne techniki zarządzania - 61 ESTYMACJA WARIANCJI DLA POPULACJI Praktyczne znaczenie wariancji (mała wariancja = wysoka jakość) Mała próbka Jeśli."— Zapis prezentacji:

1

2 Matematyczne techniki zarządzania - 61 ESTYMACJA WARIANCJI DLA POPULACJI Praktyczne znaczenie wariancji (mała wariancja = wysoka jakość) Mała próbka Jeśli z populacji o rozkładzie normalnym pobierzemy bardzo wiele próbek, to estymator wariancji będzie miał rozkład zwany chi kwadrat Rozkład 2 : jest zależny od liczby stopni swobody jest asymetryczny: ogony nie są jednakowe przy >30 zbliżony do normalnego (ale nie z) E( 2 ) = V( 2 )= 2 f( 2 ) 0 2 =1 = 4 = 15 przedział ufności może być dwu- stronny lub jednostronny tablica rozkładu 2 (SKRYPT s.158, tabl.IV) nie pokazuje ani funkcji gęstości, ani funkcji dystrybuanty pokazuje wartości 2 odpowiadające założonemu poziomowi istotności dla danych stopni swobody DF=DEGREE OF FREEDOM=ST.SWOBODY

3 Matematyczne techniki zarządzania - 62 f( 2 ) / /2 2 /2 Tablica podaje wartość 2 dla pola odpowiadającego dopełnieniu do dystrybuanty Przedział ufności dla nieznanej wariancji populacji (niesymetryczny) Duża próbka Przedział ufności dla nieznanego odchylenia standardowego populacji

4 Matematyczne techniki zarządzania - 63 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna to każde przypuszczenie dotyczące populacji generalnej wysnute na podstawie próbki statystycznej: że wzrost studentów ma rozkład normalny że nowe lekarstwo jest lepsze od dotychczasowych że wariancja czasu bezawaryjnej pracy zmywarki wynosi 15 (lat) 2 że biznesmen X jest złodziejem Hipotezy statystyczne dzielimy na: parametryczne nieparametryczne Ponieważ przy posługiwaniu się próbką nigdy nie ma pewności, stawia się dwie wykluczające się hipotezy: hipotezę zerową H 0 hipotezę alternatywną H 1 (H a ) Weryfikacja: polega na sprawdzeniu, która z nich jest prawdziwa, a która fałszywa posługujemy się testami statystycznymi (z, t, 2, F, R i inne) Aby postawić hipotezę, trzeba mieć próbkę

5 Matematyczne techniki zarządzania - 64 Kolejność czynności przy weryfikacji hipotez: 1. Sformułowanie H 0 i H 1 (H 0 : =3,5 H 1 : 3,5; >3,5; <3,5) 2. Przyjęcie poziomu istotności ( = 0,05) 3. Dobranie testu (statystyki) w zależności od rodzaju hipotezy 4. Obliczenie wartości statystyki na podstawie próbki: T obl, T emp, T pr 5. Odczytanie wartości statystyki z tablic dla : T tabl, T kr, T 6. Porównanie dwu statystyk i podjęcie decyzji o przyjęciu hipotezy 7. Interpretacja podjętej decyzji Prawidłowość podejmowanych decyzji H 0 na pewno prawdziwa H 0 na pewno nieprawdziwa Granica błędu Zakres przyjęcia H 0 Zakres odrzucenia H 0 =poziom istotności, 1 = poziom ufności, 1 = moc testu

6 Matematyczne techniki zarządzania - 65 Hipotezy nieparametryczne Dotyczą rozkładów populacji lub cech niemierzalnych Do ich weryfikacji stosuje się następujące testy: test 2 test Kołmogorowa-Smirnowa testy serii (długości i liczności serii) test znaków Przykład hipotezy nieparametrycznej: H 0 : rozkład populacji nie różni się istotnie od rozkładu normalnego H 1 : rozkład populacji różni się istotnie od rozkładu normalnego Testowanie przy użyciu testu 2 n e, Z liczebność empiryczna n o, E liczebność teoretyczna k liczba przedziałów (klas)

7 Matematyczne techniki zarządzania - 66 Reguła decyzyjna: jeżeli 2 obl > 2 tabl, odrzucamy H 0 na korzyść H 1 jeżeli 2 obl < 2 tabl, nie ma podstaw do odrzucenia H 0 Przykład 16. Przeprowadzamy badanie w celu określenia który system płac wolą robotnicy akordowy czy premiowy. Wylosowano 60 osób, z których 42 opowiedziały się za akordowym a 18 za premiowym. Czy można stwier- dzić, że cała załoga też woli system akordowy? Wnioskowanie niestatystyczne: oczywiście! Wnioskowanie statystyczne: nie wiadomo zawsze jest możliwość, że te osoby zostały wylosowane pechowo! Wykonujemy kolejne czynności 1. H 0 : nie ma istotnej różnicy pomiędzy liczbą zwolenników obu systemów H 1 : istnieje istotna różnica pomiędzy liczbą zwolenników obu systemów 2. Przyjmujemy poziom istotności = 0, Wybieramy test 2 jako jeden z testów nieparametrycznych. 4. Obliczamy 2 obl : Wnioski?

8 Matematyczne techniki zarządzania - 67 n e1 = 42; n e2 = 18; n o1 = 30; n o2 = 30; k = 2 5. Odczytujemy z tablicy IV dla = kr1 = 1 stopni swobody (r liczba szacowanych parametrów rozkładu, w tym przypadku r=0) i po- ziomu istotności = 0,01: 6. Porównujemy: 2 obl > 2 tabl, a zatem odrzucamy H o na korzyść H 1 z prawdopodobieństwem popełnienia błędu I rodzaju nie większym niż 0,01 (1%). 7. Załoga rzeczywiście preferuje system akordowy, co stwierdzamy z pewnością równą co najmniej 99%. Przykład 17. Sprawdzić, czy rozkład wydajności robotników w przedsię- biorstwie jest rozkładem normalnym. Przyjmij = 0,01. Pełny tekst zadania znajduje się w książce Krzysztofiaka i Urbanek Metody statystyczne (str.259). Patrz też plansze Do próbki wylosowano 101 robotników, na podstawie danych obliczono średnią i odchylenie standardowe x = 103,6 s = 3,95

9 Matematyczne techniki zarządzania - 68 brak danych nieprzetworzonych wartości x oraz s obliczono z rozkładu wartości z i obliczono przez standary- zację wartości f(z i ) odczytano z tablicy fun- kcji gęstości liczebności teoretyczne poli- czono według wzoru d = szerokość przedziału (d=2) n = liczebność próbki (n=101)

10 Matematyczne techniki zarządzania - 69 połączono dwa pierwsze i dwa ostatnie przedziały odczytujemy 2 tabl = 18,48 dla = 0,01 i = 7 (k = 10 po połączeniu, r = 2) stwierdzamy, że 2 obl > 2 tabl odrzucamy hipotezę, że rozkład populacji jest rozkładem normalnym (decyzja ta jest obarczona błędem nie większym niż 0,01) stwierdzamy, że rozkład wydajności robotników różni się istotnie od rozkładu normalnego

11 Matematyczne techniki zarządzania - 70 Różnica pomiędzy dwoma rozkładami jest zbyt du- ża, aby mogła powstać tylko w wyniku losowego charakteru próbki. Testowanie przy użyciu testu Kołmogorowa-Smirnowa dane dzieli się na przedziały (klasy) do sprawdzenia, czy dana próbka może pochodzić z populacji o założonym rozkładzie, używa się dwu dystrybuant empirycznej i teoretycznej dla każdej klasy określa się wartość obu dystrybuant i określa bezwzględną wartość różnicy pomiędzy nimi znajduje się największą różnicę D i wylicza empiryczną wartość statystyki według wzoru

12 Matematyczne techniki zarządzania - 71 F(X) 1 klasy wielkości X dystrybuanta empiryczna dystrybuanta teoretyczna największa różnica D z tablicy VI (SKRYPT, s. 161) odczytuje się wartość tabl dla wybranego poziomu ufności decyzję o przyjęciu lub odrzuceniu H 0 podejmuje się jak poprzednio Ponieważ test ten wykorzystuje tylko jedną wartość z zebranych danych, jest on mniej dokładny od testu 2 i może dać inny wynik Testowanie przy użyciu testów serii test liczby serii test długości (najdłuższej) serii Serię tworzą elementy ułożone w kolejności rosnącej wartości, pochodzące z dwu różnych populacji: kobiety i mężczyźni (wzrost), ludzie z dwu krajów (spożycie), pracownicy dwu firm (wydajność). H 0 populacje nie różnią się od siebie istotnie H0H0

13 Matematyczne techniki zarządzania - 72 Przykład serii: A B B A A B B B A B liczba elementów: 10 (n 1 =4, n 2 =6) liczba serii: k = 6 długość najdłuższej serii: l = 3 Przypadki krańcowe (mało prawdo- podobne, jeśli H 0 jest prawdziwa): AAAABBBBBB k = 2; l = 6 BABABABABB k = 9; l = 2 k k1k1 k2k2 TABLICE TESTU SERII PODAJĄ WARTOŚCI k 1 I k 2 W FUNKCJI ORAZ n 1 I n 2 Hipotezy parametryczne dotyczą one parametrów populacji generalnej, które oznaczymy ogólnym symbolem hipoteza zerowa polega na przyjęciu, że nieznane jest równe jest jakiemuś 0 weryfikacja prawdziwości tej hipotezy polega na sprawdzeniu, czy wartość 0 znajduje się w przedziale ufności parametru nie będziemy wprawdzie dokładnie tak liczyć, ale będziemy to robić poś- rednio BUDOWA PRZEDZIAŁU UFNOŚCI I WERYFIKACJA H 0 TO JEST TO SAMO!

14 Matematyczne techniki zarządzania - 73 Aby postawić hipotezę, trzeba mieć próbkę (z obl ) Trzy sytuacje przy weryfikacji hipotez /2 z z/2 z/2 Przedział przyjęcia H 0 : z/2 z/2 z 1 1 z Przedział przyjęcia H 0 : z obl < z Przedział odrzucenia H 0 : z obl > z

15 Matematyczne techniki zarządzania - 74 z 1 Przedział przyjęcia H 0 : z obl >z Przedział odrzucenia H 0 : z obl 5,5, <5,5 dostawca udowadnia, że precyzyjnie spełnia wymogi kontraktu (bezuczuciowy) dostawca udowadnia, że albo spełnia wymogi, albo dostarcza lepsze melony niż przewiduje kontrakt (hochsztapler) dostawca udowadnia, że albo spełnia albo nie spełnia wymogi kontraktu (uczciwy) z

16 Matematyczne techniki zarządzania - 75 Rzeczywisty poziom istotności Sig Level P poziom istotności założony = 0,05 z tabl = 1,645 P poziom istotności rzeczywisty z obl = 2,02 P = 0,0217 HIPOTEZY O ŚREDNIEJ DLA POPULACJI założenia i rodzaje statystyki jak na planszy 60 sprawdzamy niejawnie, czy 0 znajduje się w przedziale ufności I. Duża próbka stosujemy statystykę z Pobieramy próbkę i liczymy lub H 0 : = 0

17 Matematyczne techniki zarządzania - 76 H 0 : = 0 H 0 : = 0 H 0 : = 0 H 1 : 0 H 1 : > 0 H 1 : < 0 Reguła decyzyjna Odrzucamy H 0, jeżeli... |z obl |>z/2 z obl >z z obl 0. II. Mała próbka stosujemy statystykę t Pobieramy próbkę i liczymy H 0 : = 0 H 0 : = 0 H 0 : = 0 H 1 : 0 H 1 : > 0 H 1 : < 0 Reguła decyzyjna Odrzucamy H 0, jeżeli... |t obl |>t/2(n-1) t obl >t(n-1) t obl

18 Matematyczne techniki zarządzania - 77 Przykład 20. W celu sprawdzenia, czy nowy lek jest lepszy od dotych- czasowego, zbadano jego skuteczność na 6 chorych mierząc współczyn- nik odbudowy czerwonych ciałek krwi: 6,3; 7,8; 8,1; 8,3; 8,7 i 9,4. Lek używany dotychczas daje 8,3. Sprawdź hipotezę przy poziomie istotnoś- ci 0,01. Zakładamy rozkład normalny współczynnika i wybieramy test t. Parametry próbki: n = 6, x = 8,1, s = 1,04 Hipotezy: H 0 : = 8,3; H 1 : > 8,3 Statystyki t: t 0,01(5) = 3,365 Porównanie: t obl < t tabl Wniosek: nowy lek z pewnością nie jest lepszy od dotychczasowego HIPOTEZY O WARIANCJI POPULACJI wariancja jest miarą jakości wyrobów; dla klienta jest ważniejsza niż średnia xxxxxxxxxxxxxxxxXxxxxxxxxxxxxxxx produkt firmy A xxxxxxxxxXxxxxxxxxx produkt firmy B te wyroby psują opinię firmie A stosujemy

19 Matematyczne techniki zarządzania - 78 H 0 : 2 = 0 2 zakładamy rozkład normalny populacji pobieramy próbkę, znamy jej n oraz s 2 i liczymy H 0 : 2 = 2 0 H 0 : 2 = 2 0 H 0 : 2 = 2 0 H 1 : H 1 : 2 > 2 0 H 1 : 2 < 2 0 Reguła decyzyjna Odrzucamy H 0, jeżeli... 2 obl > 2/2 2 obl > 2 2 obl < 2 1- lub 2 obl < 2 1-/2 Przykład 21. Dla sprawdzenia hipotezy, że 2 = 125 użyto 81-elementową próbkę losową o wariancji równej 114,06. Przyjmij =0,10 do zweryfiko- wania tej hipotezy przy założeniu, że populacja ma rozkład normalny. H 0 : 2 = 125 /2 = 0,05 H 1 : /2 = 0,95 NIE MA PODSTAW DO ODRZUCENIA H 0 WARIANCJA POPULACJI MOŻE BYĆ 125

20 Matematyczne techniki zarządzania - 79 WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Z DWU PRÓBEK Prawdziwy eksperyment statystyczny polega na pobraniu dwu próbek: badawczej, którą poddaje się działaniu danego czynnika kontrolnej, która nie podlega działaniu i służy do porównania Estymacja różnicy pomiędzy średnimi dwu populacji mamy dwie populacje o rozkładzie normalnym lub pobieramy próbki > 30 populacje te mają średnie 1 i 2 oraz wariancje 2 1 i 2 2 pobieramy z nich próbki o liczebności n 1 i n 2, średniejx 1 i x 2, oraz wariancji s 2 1 i s 2 2 interesuje nas nieznana różnica pomiędzy średnimi: 1 2 mamy do czynienia z estymatorem x 1x 2, którego błąd oszacowania Granice przedziału ufności dla 1 2 : dolna górna

21 Matematyczne techniki zarządzania - 80 Jeżeli nie znamy wariancji obu populacji 2 1 i 2 2, zastępujemy je warian- cjami próbek s 2 1 i s 2 2 (jeśli rozkłady normalne a próbki >30, lub jeśli próbki >50) wszystkie wzory ulegną odpowiedniej zmianie. Przykład 22. Porównujemy dwie metody sprzedaży pewnego towaru, reali- zowane w dwu grupach sklepów. Zmienną losową X jest tygodniowa sprze- daż wyrażona w sztukach. Wyznacz 95-procentowy przedział ufności dla rzeczywistej różnicy wielkości sprzedaży dwoma metodami. Próbka jest duża I metoda n 1 = 51 II metoda n 2 = 54 x 1 = 26,5x 2 = 22,4 s 1 = 9,1 s 2 = 6,7 wartość oszacowana różnicy x 1x 2 = 4,1 błąd oszacowania różnicy wartość statystyki z 0,025 = 1,96 dolna granica przedziału ufności4,1(1,96)(1,567) = 1,0 górna granica przedziału ufności4,1+(1,96)(1,567) = 7,2 Przedział ufności JAK ZINTERPRETOWAĆ FAKT, ŻE NIE MA W NIM ZERA?

22 ! Matematyczne techniki zarządzania - 81 W przypadku małych próbek z populacji o rozkładzie normalnym o nieznanej wariancji rozróżniamy dwa przypadki: A wariancje populacji są sobie równe B wariancje populacji nie są sobie równe W przypadku A stosujemy statystykę t o (n 1 +n 2 2) stopniach swobody, zaś przedział ufności dla różnicy średnich jest dany wzorem Przykład 23. Pewien koncern chemiczny bada zanieczyszczenie powietrza w dwu różnych miejscowościach: Próbka jest mała I miasto n 1 = 8 II miasto n 2 = 11 x 1 = 0,23 ppm x 2 = 0,32 ppm s 1 = 0,07 ppm s 2 = 0,12 ppm wartość oszacowana różnicy x 1x 2 = 0,09 ppm błąd oszacowania różnicy 0,04758

23 Matematyczne techniki zarządzania - 82 wartość statystyki t 0,025(17) = 2,11 dolna granica przedziału ufności (0,09) (2,11)(0,04758) = 0,19 ppm górna granica przedziału ufności (0,09) + (2,11)(0,04758) = +0,01 ppm W przypadku B stosujemy statystykę t Fishera-Behrensa (pomijamy) Testowanie hipotez o różnicy pomiędzy średnimi dwu populacji Przykład 24. Przedsiębiorstwo rozważa, w której stacji telewizyjnej uloko- wać reklamę. Zbadano ceny wynegocjowane za 30-sekundowe spoty przez różnych klientów: Przedział ufności JAK KONCERN WYBIERZE MIEJSCOWOŚĆ O CZYSTSZYM POWIETRZU? Próbka jest mała I stacja n 1 = 14 II stacja n 2 = 24 x 1 = 883 zł x 2 = 247 zł s 1 = 213 zł s 2 = 63 zł Szef firmy stwierdził, że decyzję podejmie w zależności od tego, czy I stacja jest średnio droższa od II tylko o 500 zł, czy o więcej. Sprawdź odpowiednie hipotezy przy poziomie istotności 0,05.

24 Matematyczne techniki zarządzania - 83 H 0 : 1 2 = 500Jest to przypadek B stosujemy statystykę t H 0 : 1 2 > 500t obl = 2,33t 0,05(14) = 1,761 Odrzucamy H 0 na korzyść H 1 : stacja I jest średnio droższa od stacji II o co najmniej 500 zł z prawdopodobieństwem poniżej 0,025 (rzeczywisty poziom istotności). Wariancje dwu populacji Wariancja jest wielokrotnie ważniejsza niż średnia xxxxxxxxxxxxxxxxXxxxxxxxxxxxxxxx produkt firmy A ! xxxxxxxxxXxxxxxxxxx produkt firmy B Problem marketingowy: czy wariancje (jakość) tych produktów naprawdę są różne? Aby to rozstrzygnąć, pobieramy 2 próbki: s 2 1 i s 2 2 F Statystyka Fishera, dana dwoma para- metrami: 1, 2 Rozkład F F f(F) /2 1 0 F 1/2 F/2 E(F)= 2 /( 2 -2) Może być też przedział jednostronny!

25 Matematyczne techniki zarządzania - 84 Tablice rozkładu F dla każdego oddzielna tablica! =0,05 W skrypcie: tabl.V (s ) TYLKO PRAWY OGON!!! H 0 : 1 = 2 1 = 2 H 1 : > 2 Reguła decyzyjna Odrzucamy H 0, jeżeli... F obl >F/2(1, 2) F obl >F(1, 2) Próbki: n 1 n 2 s 1 s 2 1 = n = n 2 -1 OBIE ZMIENNE MUSZĄ MIEĆ ROZKŁAD NORMALNY

26 Matematyczne techniki zarządzania - 85 Przykład 25. Dyrektor ma do rozstrzygnięcia, czy dwie linie produkcyjne pracują z jednakową regularnością. Zmienną losową jest czas wykony- wania zadania przez robotnika. Pobranie dwu próbek pracowników dało następujące wyniki. Rozstrzygnij problem przy poziomie 0,05. H 0 : 1 = 2 I linia n 1 = 25 II linia n 2 = 24 H 1 : 1 2 x 1 = 4,11 min x 2 = 3,35 min s 1 = 1,85 min s 2 = 1,17 min F obl =(1,85) 2 /(1,17) 2 =2,50 F tabl(0,025;24,23) =2,29 Odrzucamy hipotezę zerową. Wariancje populacji nie są sobie równe. Linia II pracuje z większą regularnością (decyzja z błędem do 0,05). Przedział ufności dla stosunku wariancji dwu populacji dolna granica górna granica W przykładzie 25: F 0,025;24;23 =2,29 F 0,025;23;24 =2,30 1,09< 2 1 / 2 2 <5,75

27 Matematyczne techniki zarządzania - 86 ANALIZA WARIANCYJNA ANOVA (Analysis Of Variance) już nie podajemy wzorów, liczy komputer umożliwia porównywanie kilku populacji umożliwia badanie wpływu czynników niemierzalnych na zmienną X czynnikiem może być: metoda nauczania, rodzaj wyrobu, metoda marketingu itp. w czynniku wyróżniamy k poziomów (np. 4 metody sprzedaży) analiza jednoczynnikowa i dwuczynnikowa Analiza wariancji jednoczynnikowa Badaniu podlega wariancja zmiennej losowej X dana wzorem CO TO JEST ANALIZA? a w szczególności licznik tego wzoru zwany całkowitą sumą kwadratów lub zmiennością całkowitą termin angielski SSTO (Sum of Squares Total)

28 Matematyczne techniki zarządzania - 87 TO WSZYSTKO TO SĄ LICZBY OBLICZONE ZA POMOCĄ ODPOWIEDNICH WZORÓW! SSTO SSTR SSE TABELKA ANOVY

29 Matematyczne techniki zarządzania - 88 Przykład 26. Zmienną losową jest ilość metrów, po których następuje zatrzymanie samochodu rozpędzonego do pewnej prędkości. Zmienna ta ma rozkład normalny. Czynnikiem wpływającym jest gatunek opony (samochód i warunki te same). Gat. I Gat. II Gat. III Gat. IV n =12, k = 4 TABELKA ANOVY Testowanie hipotezy o średnich dla wielu populacji Zakładamy, że mamy niezależne próbki losowe z k populacji o średnich 1, 2,..., k i że każda populacja jest normalna i ma wariancję 2. H 0 : 1 = 2 =.... = k H 1 : nie wszystkie i są równe Odrzucamy H 0, jeżeli F obl >F(k-1, n-k) Przykład 27. Dziekan bada efektywność trzech skryptów z tego samego przedmiotu. Grupa studencka, licząca 30 osób, została losowo podzielo- na na 3 równe podgrupy i każda z nich uczyła się z innego skryptu. Nas- tępnie wszyscy zdawali to samo kolokwium oceniane w skali H 0 : skrypty nie różnią się od siebie istotnie %

30 Matematyczne techniki zarządzania - 89 F 0,05(2;27) =3,35 Odrzucamy hipotezę, że wszystkie skrypty są jednakowe. Wnioskujemy, że różnice w wynikach kolokwium nie wynikają z przypadku. Rzeczywisty po- ziom istotności znajduje się pomiędzy 0,025 i 0,01. Przykład 28. Analizujemy problem, czy prowadzący ćwiczenia z MTZ przygo- towują jednakowo studentów do egzaminu. Po zbadaniu wyników egzaminu 143 studentów stwierdzono, że średnie dla poszczególnych nauczycieli wy- noszą x A =3,09 x B = 3,02x C = 3,44x D = 3,29 Niebezpieczeństwo wyciągnięcia pochopnych wniosków!! Postawiono hipotezy H 0 : A = B = C = D H 1 : A B C D Czynnik: osoba prowadząca ćwiczenia Poziom istotności: 0,05 %

31 Matematyczne techniki zarządzania - 90 P = 0,2471 Pytania: - jaka część zmienności ocen wynika z osoby prowadzącej ćwiczenia? - którą hipotezę przyjąć i dlaczego? - czyż to nie jest przestroga przed wyciąganiem pochopnych wniosków? Przedziały ufności dla średnich z wielu populacji dla poszczególnych średnich i dla różnic pomiędzy dowolną parą średnich i j PAMIĘTAJMY, ŻE TESTOWANIE HIPOTEZ I BUDOWA PRZEDZIAŁU UFNOŚCI TO W ZASADZIE TA SAMA CZYNNOŚĆ! %


Pobierz ppt "Matematyczne techniki zarządzania - 61 ESTYMACJA WARIANCJI DLA POPULACJI Praktyczne znaczenie wariancji (mała wariancja = wysoka jakość) Mała próbka Jeśli."

Podobne prezentacje


Reklamy Google