Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

ESTYMACJA WARIANCJI DLA POPULACJI

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "ESTYMACJA WARIANCJI DLA POPULACJI"— Zapis prezentacji:

1 ESTYMACJA WARIANCJI DLA POPULACJI
Matematyczne techniki zarządzania - 61 ESTYMACJA WARIANCJI DLA POPULACJI Praktyczne znaczenie wariancji (mała wariancja = wysoka jakość) Mała próbka Jeśli z populacji o rozkładzie normalnym pobierzemy bardzo wiele próbek, to estymator wariancji będzie miał rozkład zwany chi kwadrat Rozkład 2: jest zależny od liczby stopni swobody  jest asymetryczny: ogony nie są jednakowe przy  >30 zbliżony do normalnego (ale nie z) E(2) =  V(2)= 2  =1 f(2) przedział ufności może być dwu-stronny lub jednostronny tablica rozkładu 2 (SKRYPT s.158, tabl.IV) nie pokazuje ani funkcji gęstości, ani funkcji dystrybuanty pokazuje wartości 2 odpowiadające założonemu poziomowi istotności dla danych stopni swobody  = 4  = 15 2 DF=DEGREE OF FREEDOM=ST.SWOBODY

2 Matematyczne techniki zarządzania - 62
f(2)  /2 1—  /2 Tablica podaje wartość 2 dla pola odpowiadającego dopełnieniu do dystrybuanty 2 21-  / 2  /2 Przedział ufności dla nieznanej wariancji populacji (niesymetryczny) Duża próbka Przedział ufności dla nieznanego odchylenia standardowego populacji

3 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Matematyczne techniki zarządzania WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipoteza statystyczna to każde przypuszczenie dotyczące populacji generalnej wysnute na podstawie próbki statystycznej: że wzrost studentów ma rozkład normalny że nowe lekarstwo jest lepsze od dotychczasowych że wariancja czasu bezawaryjnej pracy zmywarki wynosi 15 (lat)2 że biznesmen X jest złodziejem Hipotezy statystyczne dzielimy na: parametryczne nieparametryczne Ponieważ przy posługiwaniu się próbką nigdy nie ma pewności, stawia się dwie wykluczające się hipotezy: hipotezę zerową H0 hipotezę alternatywną H1 (Ha) Weryfikacja: polega na sprawdzeniu, która z nich jest prawdziwa, a która fałszywa posługujemy się testami statystycznymi (z, t, 2, F, R i inne) Aby postawić hipotezę, trzeba mieć próbkę

4 Matematyczne techniki zarządzania - 64
Kolejność czynności przy weryfikacji hipotez: 1. Sformułowanie H0 i H1 (H0: =3,5 H1: 3,5; >3,5; <3,5) 2. Przyjęcie poziomu istotności  ( = 0,05) 3. Dobranie testu (statystyki) w zależności od rodzaju hipotezy 4. Obliczenie wartości statystyki na podstawie próbki: Tobl, Temp, Tpr 5. Odczytanie wartości statystyki z tablic dla : Ttabl, Tkr, T 6. Porównanie dwu statystyk i podjęcie decyzji o przyjęciu hipotezy 7. Interpretacja podjętej decyzji Prawidłowość podejmowanych decyzji H0 na pewno prawdziwa Zakres przyjęcia H0 Granica błędu Zakres odrzucenia H0 H0 na pewno nieprawdziwa  =poziom istotności, 1 = poziom ufności, 1 = moc testu

5 Hipotezy nieparametryczne
Matematyczne techniki zarządzania Hipotezy nieparametryczne Dotyczą rozkładów populacji lub cech niemierzalnych Do ich weryfikacji stosuje się następujące testy: test 2 test Kołmogorowa-Smirnowa testy serii (długości i liczności serii) test znaków Przykład hipotezy nieparametrycznej: H0: rozkład populacji nie różni się istotnie od rozkładu normalnego H1: rozkład populacji różni się istotnie od rozkładu normalnego Testowanie przy użyciu testu 2 ne, Z — liczebność empiryczna no, E — liczebność teoretyczna k — liczba przedziałów (klas)

6 Matematyczne techniki zarządzania - 66
Reguła decyzyjna: jeżeli 2obl> 2tabl, odrzucamy H0 na korzyść H1 jeżeli 2obl< 2tabl, nie ma podstaw do odrzucenia H0 Wnioski? Przykład 16. Przeprowadzamy badanie w celu określenia który system płac wolą robotnicy — akordowy czy premiowy. Wylosowano 60 osób, z których 42 opowiedziały się za akordowym a 18 za premiowym. Czy można stwier- dzić, że cała załoga też woli system akordowy? Wnioskowanie niestatystyczne: oczywiście! Wnioskowanie statystyczne: nie wiadomo — zawsze jest możliwość, że te osoby zostały wylosowane „pechowo”! Wykonujemy kolejne czynności 1. H0: nie ma istotnej różnicy pomiędzy liczbą zwolenników obu systemów H1: istnieje istotna różnica pomiędzy liczbą zwolenników obu systemów 2. Przyjmujemy poziom istotności  = 0,01. 3. Wybieramy test 2 jako jeden z testów nieparametrycznych. 4. Obliczamy 2obl:

7 Matematyczne techniki zarządzania - 67
ne1= 42; ne2 = 18; no1 = 30; no2 = 30; k = 2 5. Odczytujemy z tablicy IV dla  = k—r—1 = 1 stopni swobody (r — liczba szacowanych parametrów rozkładu, w tym przypadku r=0) i po- ziomu istotności  = 0,01: 6. Porównujemy: 2obl> 2tabl, a zatem odrzucamy Ho na korzyść H1 z prawdopodobieństwem popełnienia błędu I rodzaju nie większym niż 0,01 (1%). 7. Załoga rzeczywiście preferuje system akordowy, co stwierdzamy z pewnością równą co najmniej 99%. Przykład 17. Sprawdzić, czy rozkład wydajności robotników w przedsię- biorstwie jest rozkładem normalnym. Przyjmij  = 0,01. Pełny tekst zadania znajduje się w książce Krzysztofiaka i Urbanek Metody statystyczne (str.259). Patrz też plansze Do próbki wylosowano 101 robotników, na podstawie danych obliczono średnią i odchylenie standardowe x = 103,6 s = 3,95

8 Matematyczne techniki zarządzania - 68
brak danych nieprzetworzonych wartości x oraz s obliczono z rozkładu wartości zi obliczono przez standary- zację wartości f(zi) odczytano z tablicy fun- kcji gęstości liczebności teoretyczne poli- czono według wzoru d = szerokość przedziału (d=2) n = liczebność próbki (n=101)

9 Matematyczne techniki zarządzania - 69
połączono dwa pierwsze i dwa ostatnie przedziały odczytujemy 2tabl = 18,48 dla  = 0,01 i  = 7 (k = 10 po połączeniu, r = 2) stwierdzamy, że 2obl> 2tabl odrzucamy hipotezę, że rozkład populacji jest rozkładem normalnym (decyzja ta jest obarczona błędem nie większym niż 0,01) stwierdzamy, że rozkład wydajności robotników różni się istotnie od rozkładu normalnego

10 Matematyczne techniki zarządzania - 70
Różnica pomiędzy dwoma rozkładami jest zbyt du-ża, aby mogła powstać tylko w wyniku losowego charakteru próbki. Testowanie przy użyciu testu Kołmogorowa-Smirnowa dane dzieli się na przedziały (klasy) do sprawdzenia, czy dana próbka może pochodzić z populacji o założonym rozkładzie, używa się dwu dystrybuant — empirycznej i teoretycznej dla każdej klasy określa się wartość obu dystrybuant i określa bezwzględną wartość różnicy pomiędzy nimi znajduje się największą różnicę D i wylicza empiryczną wartość statystyki  według wzoru

11 Matematyczne techniki zarządzania - 71
F(X) 1 dystrybuanta empiryczna dystrybuanta teoretyczna największa różnica D Ponieważ test ten wykorzystuje tylko jedną wartość z zebranych danych, jest on mniej dokładny od testu 2 i może dać inny wynik klasy wielkości X z tablicy VI (SKRYPT, s. 161) odczytuje się wartość tabl dla wybranego poziomu ufności decyzję o przyjęciu lub odrzuceniu H0 podejmuje się jak poprzednio H0 Testowanie przy użyciu testów serii test liczby serii test długości (najdłuższej) serii Serię tworzą elementy ułożone w kolejności rosnącej wartości, pochodzące z dwu różnych populacji: kobiety i mężczyźni (wzrost), ludzie z dwu krajów (spożycie), pracownicy dwu firm (wydajność). H0 — populacje nie różnią się od siebie istotnie

12 Hipotezy parametryczne
Matematyczne techniki zarządzania - 72 Przykład serii: A B B A A B B B A B liczba elementów: 10 (n1=4, n2=6) liczba serii: k = 6 długość najdłuższej serii: l = 3 Przypadki krańcowe (mało prawdo- podobne, jeśli H0 jest prawdziwa): AAAABBBBBB — k = 2; l = 6 BABABABABB — k = 9; l = 2 k1 k2 k TABLICE TESTU SERII PODAJĄ WARTOŚCI k1 I k2 W FUNKCJI  ORAZ n1 I n2 Hipotezy parametryczne dotyczą one parametrów populacji generalnej, które oznaczymy ogólnym symbolem  hipoteza zerowa polega na przyjęciu, że nieznane  jest równe jest jakiemuś 0 weryfikacja prawdziwości tej hipotezy polega na sprawdzeniu, czy wartość 0 znajduje się w przedziale ufności parametru  nie będziemy wprawdzie dokładnie tak liczyć, ale będziemy to robić poś-rednio BUDOWA PRZEDZIAŁU UFNOŚCI I WERYFIKACJA H0 TO JEST TO SAMO!

13 Trzy sytuacje przy weryfikacji hipotez
Aby postawić hipotezę, trzeba mieć próbkę (zobl) Matematyczne techniki zarządzania - 73 Trzy sytuacje przy weryfikacji hipotez  /2 /2 1 z —z/ z/2 Przedział przyjęcia H0: —z/2<zobl< z/2 Przedziały odrzucenia H0: zobl< —z/2 oraz zobl> z/2 czyli |zobl|> z/2  1 z z Przedział przyjęcia H0: zobl< z Przedział odrzucenia H0: zobl> z

14 Matematyczne techniki zarządzania - 74
Przedział przyjęcia H0: zobl>—z Przedział odrzucenia H0: zobl<—z 1 z —z Przykład 18. Kontrakt przewiduje, że średnia masa melonów dostarczo-nych dużemu klientowi musi wynosić 5,5 kg. Który z trzech przypadków należy zastosować przy badaniu próbki melonów? H0: =5,5 H1: 5,5, >5,5, <5,5  dostawca udowadnia, że precyzyjnie spełnia wymogi kontraktu (bezuczuciowy)  dostawca udowadnia, że albo spełnia wymogi, albo dostarcza lepsze melony niż przewiduje kontrakt (hochsztapler)  dostawca udowadnia, że albo spełnia albo nie spełnia wymogi kontraktu (uczciwy)

15 Rzeczywisty poziom istotności HIPOTEZY O ŚREDNIEJ DLA POPULACJI
Sig Level Matematyczne techniki zarządzania - 75 Rzeczywisty poziom istotności  — poziom istotności założony  = 0,05  ztabl = 1,645 P — poziom istotności rzeczywisty zobl = 2,02  P = 0,0217 P HIPOTEZY O ŚREDNIEJ DLA POPULACJI założenia i rodzaje statystyki jak na planszy 60 sprawdzamy niejawnie, czy 0 znajduje się w przedziale ufności I. Duża próbka — stosujemy statystykę z Pobieramy próbkę i liczymy lub H0: =0

16       Matematyczne techniki zarządzania - 76
H0:  =  H0:  =  H0:  = 0 H1:    H1:  >  H1:  < 0 Reguła decyzyjna Odrzucamy H0, jeżeli... |zobl|>z/ zobl>z zobl<—z Przykład 19. Czy biznesmen jest złodziejem? Milicja miała próbkę x taką, że nie można było udowodnić, że  > 0. II. Mała próbka — stosujemy statystykę t Pobieramy próbkę i liczymy H0:  =  H0:  =  H0:  = 0 H1:    H1:  >  H1:  < 0 Reguła decyzyjna Odrzucamy H0, jeżeli... |tobl|>t/2(n-1) tobl>t(n-1) tobl<t(n-1)

17 HIPOTEZY O WARIANCJI POPULACJI
Matematyczne techniki zarządzania - 77 Przykład 20. W celu sprawdzenia, czy nowy lek jest lepszy od dotych-czasowego, zbadano jego skuteczność na 6 chorych mierząc współczyn-nik odbudowy czerwonych ciałek krwi: 6,3; 7,8; 8,1; 8,3; 8,7 i 9,4. Lek używany dotychczas daje 8,3. Sprawdź hipotezę przy poziomie istotnoś-ci 0,01. Zakładamy rozkład normalny współczynnika i wybieramy test t. Parametry próbki: n = 6, x = 8,1, s = 1,04 Hipotezy: H0:  = 8,3; H1:  > 8,3 Statystyki t: t0,01(5)= 3,365 Porównanie: tobl < ttabl Wniosek: nowy lek z pewnością nie jest lepszy od dotychczasowego HIPOTEZY O WARIANCJI POPULACJI wariancja jest miarą jakości wyrobów; dla klienta jest ważniejsza niż średnia te wyroby psują opinię firmie A stosujemy xxxxxxxxxxxxxxxxXxxxxxxxxxxxxxxx produkt firmy A xxxxxxxxxXxxxxxxxxx produkt firmy B

18 H1: 2  20 H1: 2 > 20 H1: 2 < 20
Matematyczne techniki zarządzania - 78 zakładamy rozkład normalny populacji pobieramy próbkę, znamy jej n oraz s2 i liczymy H0: 2= 02 H0: 2 =  H0: 2 =  H0: 2 = 20 H1: 2   H1: 2 >  H1: 2 < 20 Reguła decyzyjna Odrzucamy H0, jeżeli... 2obl>2/ 2obl>2 2obl<21-  lub 2obl<21-/2 Przykład 21. Dla sprawdzenia hipotezy, że 2 = 125 użyto 81-elementową próbkę losową o wariancji równej 114,06. Przyjmij  =0,10 do zweryfiko-wania tej hipotezy przy założeniu, że populacja ma rozkład normalny. H0: 2 =  /2 = 0,05 H1: 2  — /2 = 0,95 NIE MA PODSTAW DO ODRZUCENIA H0 WARIANCJA POPULACJI MOŻE BYĆ 125

19 WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Z DWU PRÓBEK
Matematyczne techniki zarządzania - 79 WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Z DWU PRÓBEK Prawdziwy eksperyment statystyczny polega na pobraniu dwu próbek: badawczej, którą poddaje się działaniu danego czynnika kontrolnej, która nie podlega działaniu i służy do porównania Estymacja różnicy pomiędzy średnimi dwu populacji mamy dwie populacje o rozkładzie normalnym lub pobieramy próbki > 30 populacje te mają średnie 1 i 2 oraz wariancje 21 i 22 pobieramy z nich próbki o liczebności n1 i n2, średniejx1 i x2, oraz wariancji s21 i s22 interesuje nas nieznana różnica pomiędzy średnimi: 1—2 mamy do czynienia z estymatorem x1 —x2, którego błąd oszacowania Granice przedziału ufności dla 1—2: dolna górna

20 JAK ZINTERPRETOWAĆ FAKT, ŻE NIE MA W NIM ZERA?
Matematyczne techniki zarządzania - 80 Jeżeli nie znamy wariancji obu populacji 21 i 22, zastępujemy je warian-cjami próbek s21 i s22 (jeśli rozkłady normalne a próbki >30, lub jeśli próbki >50) — wszystkie wzory ulegną odpowiedniej zmianie. Przykład 22. Porównujemy dwie metody sprzedaży pewnego towaru, reali-zowane w dwu grupach sklepów. Zmienną losową X jest tygodniowa sprze-daż wyrażona w sztukach. Wyznacz 95-procentowy przedział ufności dla rzeczywistej różnicy wielkości sprzedaży dwoma metodami. Próbka jest duża I metoda n1 = II metoda n2 = 54 x1 = 26,5 x2 = 22,4 s1 = 9, s2 = 6,7 wartość oszacowana różnicy x1—x2 = 4,1 błąd oszacowania różnicy wartość statystyki z0,025 = 1,96 dolna granica przedziału ufności 4,1—(1,96)(1,567) = 1,0 górna granica przedziału ufności 4,1+(1,96)(1,567) = 7,2 Przedział ufności JAK ZINTERPRETOWAĆ FAKT, ŻE NIE MA W NIM ZERA?

21 Matematyczne techniki zarządzania - 81
W przypadku małych próbek z populacji o rozkładzie normalnym o nieznanej wariancji rozróżniamy dwa przypadki: A — wariancje populacji są sobie równe B — wariancje populacji nie są sobie równe W przypadku A stosujemy statystykę t o (n1+n2—2) stopniach swobody, zaś przedział ufności dla różnicy średnich jest dany wzorem ! Przykład 23. Pewien koncern chemiczny bada zanieczyszczenie powietrza w dwu różnych miejscowościach: Próbka jest mała I miasto n1 = II miasto n2 = 11 x1 = 0,23 ppm x2 = 0,32 ppm s1 = 0,07 ppm s2 = 0,12 ppm wartość oszacowana różnicy x1—x2 = —0,09 ppm błąd oszacowania różnicy 0,04758

22 Testowanie hipotez o różnicy pomiędzy średnimi dwu populacji
Matematyczne techniki zarządzania - 82 wartość statystyki t0,025(17) = 2,11 dolna granica przedziału ufności (—0,09) —(2,11)(0,04758) = —0,19 ppm górna granica przedziału ufności (—0,09) + (2,11)(0,04758) = +0,01 ppm Przedział ufności JAK KONCERN WYBIERZE MIEJSCOWOŚĆ O CZYSTSZYM POWIETRZU? W przypadku B stosujemy statystykę t’ Fishera-Behrensa (pomijamy) Testowanie hipotez o różnicy pomiędzy średnimi dwu populacji Przykład 24. Przedsiębiorstwo rozważa, w której stacji telewizyjnej uloko-wać reklamę. Zbadano ceny wynegocjowane za 30-sekundowe spoty przez różnych klientów: Próbka jest mała I stacja n1 = II stacja n2 = 24 x1 = 883 zł x2 = 247 zł s1 = 213 zł s2 = 63 zł Szef firmy stwierdził, że decyzję podejmie w zależności od tego, czy I stacja jest średnio droższa od II tylko o 500 zł, czy o więcej. Sprawdź odpowiednie hipotezy przy poziomie istotności 0,05.

23 Wariancje dwu populacji
Matematyczne techniki zarządzania - 83 H0: 1—2 = 500 Jest to przypadek B— stosujemy statystykę t’ H0: 1—2 > 500 tobl = 2,33 t0,05(14) = 1,761 Odrzucamy H0 na korzyść H1: stacja I jest średnio droższa od stacji II o co najmniej 500 zł z prawdopodobieństwem poniżej 0,025 (rzeczywisty poziom istotności). Wariancje dwu populacji Wariancja jest wielokrotnie ważniejsza niż średnia ! xxxxxxxxxxxxxxxxXxxxxxxxxxxxxxxx produkt firmy A Problem marketingowy: czy wariancje (jakość) tych produktów naprawdę są różne? xxxxxxxxxXxxxxxxxxx produkt firmy B Aby to rozstrzygnąć, pobieramy 2 próbki: s21 i s22 Rozkład F F f(F) Statystyka Fishera, dana dwoma para-metrami: 1, 2 /2 /2 1 F 0 F1/ F/2 E(F)=2/(2-2) Może być też przedział jednostronny!

24 =0,05   Matematyczne techniki zarządzania - 84
Tablice rozkładu F  dla każdego  oddzielna tablica! =0,05 W skrypcie: tabl.V (s )— TYLKO PRAWY OGON!!! Próbki: n n2 s s2 H0: 1=  1= 2 H1: 1  1> 2 Reguła decyzyjna Odrzucamy H0, jeżeli... Fobl>F/2(1, 2) Fobl>F(1, 2) 1= n 2= n2-1 OBIE ZMIENNE MUSZĄ MIEĆ ROZKŁAD NORMALNY

25 Przedział ufności dla stosunku wariancji dwu populacji
Matematyczne techniki zarządzania - 85 Przykład 25. Dyrektor ma do rozstrzygnięcia, czy dwie linie produkcyjne pracują z jednakową regularnością. Zmienną losową jest czas wykony-wania zadania przez robotnika. Pobranie dwu próbek pracowników dało następujące wyniki. Rozstrzygnij problem przy poziomie 0,05. H0: 1=  I linia n1 = II linia n2 = 24 H1: 1  x1 = 4,11 min x2 = 3,35 min s1 = 1,85 min s2 = 1,17 min Fobl =(1,85)2/(1,17)2=2, Ftabl(0,025;24,23)=2,29 Odrzucamy hipotezę zerową. Wariancje populacji nie są sobie równe. Linia II pracuje z większą regularnością (decyzja z błędem do 0,05). Przedział ufności dla stosunku wariancji dwu populacji dolna granica górna granica W przykładzie 25: F0,025;24;23=2, F0,025;23;24=2,30 1,09<21/ 22<5,75

26 Analiza wariancji jednoczynnikowa
Matematyczne techniki zarządzania - 86 ANALIZA WARIANCYJNA ANOVA (Analysis Of Variance) już nie podajemy wzorów, liczy komputer umożliwia porównywanie kilku populacji umożliwia badanie wpływu czynników niemierzalnych na zmienną X czynnikiem może być: metoda nauczania, rodzaj wyrobu, metoda marketingu itp. w czynniku wyróżniamy k poziomów (np. 4 metody sprzedaży) analiza jednoczynnikowa i dwuczynnikowa CO TO JEST ANALIZA? Analiza wariancji jednoczynnikowa Badaniu podlega wariancja zmiennej losowej X dana wzorem a w szczególności licznik tego wzoru zwany całkowitą sumą kwadratów lub zmiennością całkowitą termin angielski SSTO (Sum of Squares Total)

27 TO WSZYSTKO TO SĄ LICZBY OBLICZONE ZA POMOCĄ ODPOWIEDNICH WZORÓW!
Matematyczne techniki zarządzania - 87 TO WSZYSTKO TO SĄ LICZBY OBLICZONE ZA POMOCĄ ODPOWIEDNICH WZORÓW! SSE SSTR SSTO TABELKA ANOVY

28 Testowanie hipotezy o średnich dla wielu populacji
Matematyczne techniki zarządzania - 88 Przykład 26. Zmienną losową jest ilość metrów, po których następuje zatrzymanie samochodu rozpędzonego do pewnej prędkości. Zmienna ta ma rozkład normalny. Czynnikiem wpływającym jest gatunek opony (samochód i warunki te same). Gat. I Gat. II Gat. III Gat. IV n =12, k = 4 TABELKA ANOVY % Testowanie hipotezy o średnich dla wielu populacji Zakładamy, że mamy niezależne próbki losowe z k populacji o średnich 1, 2,..., k i że każda populacja jest normalna i ma wariancję 2. H0: 1 = 2 = .... = k H1: nie wszystkie i są równe Odrzucamy H0, jeżeli Fobl>F(k-1, n-k) Przykład 27. Dziekan bada efektywność trzech skryptów z tego samego przedmiotu. Grupa studencka, licząca 30 osób, została losowo podzielo-na na 3 równe podgrupy i każda z nich uczyła się z innego skryptu. Nas-tępnie wszyscy zdawali to samo kolokwium oceniane w skali H0: skrypty nie różnią się od siebie istotnie

29 Matematyczne techniki zarządzania - 89
F0,05(2;27)=3,35 % Odrzucamy hipotezę, że wszystkie skrypty są jednakowe. Wnioskujemy, że różnice w wynikach kolokwium nie wynikają z przypadku. Rzeczywisty po-ziom istotności znajduje się pomiędzy 0,025 i 0,01. Przykład 28. Analizujemy problem, czy prowadzący ćwiczenia z MTZ przygo-towują jednakowo studentów do egzaminu. Po zbadaniu wyników egzaminu 143 studentów stwierdzono, że średnie dla poszczególnych nauczycieli wy-noszą xA =3,09 xB = 3,02 xC = 3,44 xD = 3,29 Niebezpieczeństwo wyciągnięcia pochopnych wniosków!! Postawiono hipotezy H0: A = B = C = D H1: A  B  C  D Czynnik: osoba prowadząca ćwiczenia Poziom istotności: 0,05

30  % Matematyczne techniki zarządzania - 90 P = 0,2471
Pytania: - jaka część zmienności ocen wynika z osoby prowadzącej ćwiczenia? - którą hipotezę przyjąć i dlaczego? - czyż to nie jest przestroga przed wyciąganiem pochopnych wniosków? Przedziały ufności dla średnich z wielu populacji dla poszczególnych średnich i dla różnic pomiędzy dowolną parą średnich i— j PAMIĘTAJMY, ŻE TESTOWANIE HIPOTEZ I BUDOWA PRZEDZIAŁU UFNOŚCI TO W ZASADZIE TA SAMA CZYNNOŚĆ!


Pobierz ppt "ESTYMACJA WARIANCJI DLA POPULACJI"

Podobne prezentacje


Reklamy Google