Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Miara Wienera, wzór Trottera i fizyka

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Miara Wienera, wzór Trottera i fizyka"— Zapis prezentacji:

1 Miara Wienera, wzór Trottera i fizyka
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

2 „W każdej nauce jest tyle prawdy co matematyki…” Kant
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

3 Fizyka teoretyczna jest jedną z najbardziej niesamowitych dziedzin nauki. Nieograniczona wyobraźnia badaczy kieruje ich w stronę tajemnic natury, które jeszcze długo pozostaną nieosiągalne dla eksperymentatorów. Jednym z głównych narzędzi teoretyków jest matematyka. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

4 I tu zaczynają się schody…
Fizyka teoretyczna jest jedną z najbardziej niesamowitych dziedzin nauki. Nieograniczona wyobraźnia badaczy kieruje ich w stronę tajemnic natury, które jeszcze długo pozostaną nieosiągalne dla eksperymentatorów. Jednym z głównych narzędzi teoretyków jest matematyka. I tu zaczynają się schody… Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

5 Jak dobrze wiemy instytut fizyki teoretycznej to miejsce gdzie wszystkie całki chętnie się zbiegają, operatory posłusznie są ograniczone, na równania wystarczy popatrzeć, a rozwiązanie od razu się do nas uśmiechnie. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

6 Jak dobrze wiemy instytut fizyki teoretycznej to miejsce gdzie wszystkie całki chętnie się zbiegają, operatory posłusznie są ograniczone, na równania wystarczy popatrzeć, a rozwiązanie od razu się do nas uśmiechnie. Któż to wie ilu matematyków umiera rocznie na zawał serca czytając prace fizyków… Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

7 Strażników królowej nauki bardzo ciężko przekonać, że nasza intuicja do praw przyrody podpowiada nam matematykę. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

8 Strażników królowej nauki bardzo ciężko przekonać, że nasza intuicja do praw przyrody podpowiada nam matematykę. Jakby tego było mało, po wnikliwych badaniach matematycznych dowiadujemy się, że istnieją warunki, przy których nasza fizyczna matematyka ma sens. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

9 Mam dzisiaj zaszczyt powiedzieć parę słów o matematyczności przyrody, czyli jak Królowa Nauk łaskawie pomaga swoim poddanym. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

10 Całka i miara Wienera Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

11 Norbert Wiener ( ) urodził się w mieście Columbia w stanie Missouri. Jego ojciec Leo Wiener, pochodził z Białegostoku i był wykładowcą literatury. Norbert był cudownym dzieckiem i już w wieku 3 lat potrafił czytać i pisać. Jego zdolności rozwijały się dzięki ostremu reżimowi wychowawczemu narzuconemu przez ojca, który zajął się nauczaniem syna. Mając 11 lat, Norbert Wiener wstąpił na Tufts University gdzie trzy lata później uzyskał dyplom ukończenia studiów matematycznych. W 1913 roku, przed ukończeniem 19 lat, uzyskał już doktorat na podstawie rozprawy z logiki matematycznej. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

12 Wiener miał bardzo słaby wzrok i był człowiekiem ogromnie roztargnionym. Stanisław Ulam wspominał okazję, kiedy z paroma innymi matematykami został zaproszony przez Wienera na obiad do chińskiej restauracji. Wiener utrzymywał, że zna chiński, toteż zaraz po wejściu zaczął mówić do kelnera w jakimś niezrozumiałym języku. Kelner najwidoczniej nie mógł zrozumieć ani słowa, więc Wiener przeszedł na angielski, dodając mało przekonująco: On najwidoczniej pochodzi z południa Chin i nie zna dialektu mandaryńskiego. Na dodatek okazało się, że zapomniał wziąć z sobą pieniądze, więc rachunek musieli zapłacić zaproszeni goście… Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

13 W ten sposób powstała całka Wienera, której konstrukcję przedstawiam:
Większość jego zainteresowań dotyczyła logiki i „cybernetyki”, której był ojcem. W swojej karierze dokonał również ogromnego postępu w analizie, którą wykorzystano w badaniu ruchów Browna. W ten sposób powstała całka Wienera, której konstrukcję przedstawiam: Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

14 Niech będzie dana rodzina zbiorów numerowana dowolnym parametrem .
Def.1 „Iloczyn kartezjański zbiorów” Rodzinę wszystkich odwzorowań zbioru J w X, takich że nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów , i oznaczamy przez lub Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

15 P-d. J={1,2}. Wtedy f = (f(1),f(2)). Oznaczmy ,
wtedy każdy element przestrzeni możemy przedstawiać jako (x1, x2). Niech , czyli , Wprowadzamy funkcję Jest to rzut na przestrzeń Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

16 Niech teraz , będą przestrzeniami topologicznymi.
Przestrzeń topologiczna to para złożona ze zbioru X oraz zbioru („zbiorów otwartych” zwany też topologią) podzbiorów X, taka że: -Suma mnogościowa zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym -Przecięcie dowolnych zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym -Zbiór pusty oraz X są zbiorami otwartymi. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

17 Def.2 „Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych”
Jeśli wprowadzimy najsłabszą topologię , przy której wszystkie odwzorowania są ciągłe to możemy podać następującą: Def.2 „Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych” Przestrzeń nazywamy iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicznych Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

18 Def. 3 „Zwartość” Zbiór Xi będący podzbiorem przestrzeni X nazywamy zwartym, jeżeli z każdego ciągu (xn) elementów X można wyjąć podciąg (xn’) zbieżny do granicy w X. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

19 Twierdzenie 1 (Tichonow) Jeżeli przestrzenie są zwarte,
Def. 3 „Zwartość” Zbiór Xi będący podzbiorem przestrzeni X nazywamy zwartym, jeżeli z każdego ciągu (xn) elementów X można wyjąć podciąg (xn’) zbieżny do granicy w X. Twierdzenie 1 (Tichonow) Jeżeli przestrzenie są zwarte, to jest przestrzenią zwartą. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

20 Każdy element jest funkcją: ,
Niech teraz , Oznaczmy : , dla wszystkich Każdy element jest funkcją: , którą można interpretować jako trajektorię punktu materialnego w Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

21 Weźmy teraz skończony ciąg punktów w R:
i niech będzie funkcją ciągłą na przestrzeni Wtedy funkcja: jest ciągła na jako superpozycja funkcji ciągłych oraz F. Oznaczmy również rodzinę wszystkich wielomianów na przestrzeni jako Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

22 Def.4 „Rozdzielanie punktów zbioru”
Mówimy, że rodzina funkcji H rozdziela punkty zbioru X, jeśli prawdziwe jest zdanie: Dla każdego x ,y ze zbioru X istnieje f z H taka, że : (x ≠ y) => (f(x) ≠f(y)). Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

23 Twierdzenie 2 ( Stone’a)
Def.4 „Rozdzielanie punktów zbioru” Mówimy, że rodzina funkcji H rozdziela punkty zbioru X, jeśli prawdziwe jest zdanie: Dla każdego x ,y ze zbioru X istnieje f z H taka, że : (x ≠ y) => (f(x) ≠f(y)). Twierdzenie 2 ( Stone’a) Niech X będzie przestrzenią zwartą. Niech rodzina (odwzorowań zbioru X w R) rozdziela punkty zbioru X. Wówczas A(H) = C(X,R), gdzie A(H) algebra na elementach zbioru H. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

24 Od razu możemy zauważyć, że rodzina spełnia twierdzenia Stone’a:
Czyli: Każdą funkcję ciągłą na zbiorze zwartym X można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami funkcji z rodziny H. Od razu możemy zauważyć, że rodzina spełnia twierdzenia Stone’a: 1. Z tw. Tichonowa wynika, że jest przestrzenią zwartą. 2. Rodzina rozdziela punkty zbioru Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

25 Od razu możemy zauważyć, że rodzina spełnia twierdzenia Stone’a:
Czyli: Każdą funkcję ciągłą na zbiorze zwartym X można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami funkcji z rodziny H. Od razu możemy zauważyć, że rodzina spełnia twierdzenia Stone’a: 1. Z tw. Tichonowa wynika, że jest przestrzenią zwartą. 2. Rodzina rozdziela punkty zbioru D-d 2. Niech Tzn , dla którego Weźmy funkcję , Niech , . Wtedy czyli funkcja rozdziela punkty i Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

26 Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

27 Zdefiniujmy na , gęstym w funkcjonał:
Dla gdzie: x i y należą do n-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej stała dodatnia Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

28 Interpretacja powyższej formuły to prawdopodobieństwo, że cząstka wykonująca ruch Browna ze stałą dyfuzji D, rozpoczynając z punktu x w czasie t=0 znajdzie się w dy w czasie t. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

29 Weźmy następujący funkcjonał:
Niech , taka że Weźmy następujący funkcjonał: Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

30 Funkcjonał nazywamy całką Wienera. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

31 Twierdzenie (Riesza o reprezentacji) super ważne!!!!
Niech będzie lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną, a dodatnim funkcjonałem liniowym określonym na Istnieje wówczas dokładnie jedna miara na X (reprezentacja funkcjonału ) taka, że: Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

32 oznaczają prawdopodobieństwo, że cząstka
Jeśli zbiory Ei są mierzalnymi oraz F(x)=1 gdy xi należy do Ei i F(x) =0 w przeciwnym razie, wtedy : całki oznaczają prawdopodobieństwo, że cząstka startująca z punktu x w czasie 0 przejdzie w chwili ti przez zbiór Ei dla wszystkich i=1,2,…,n Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

33 Zgodnie z tw. Riesza tak skonstruowany funkcjonał ma reprezentację; regularną miarę na C(Ω), którą nazywamy miarą Wienera:  Powyższą konstrukcję miary Wienera zawdzięczamy genialnemu matematykowi Edwardowi Nelsonowi. E.Nelson, J. Math. Phys. 5, 332 (1964) Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

34 Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

35 Wzór Trottera H.F.Trotter, Proc. Am. Math. Soc. 10, 545 (1959)
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

36 Jeśli A i B są operatorami samosprzężonymi oraz suma A+B jest samosprzężona na wtedy:
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

37 Ponadto jeśli A i B są ograniczone z dołu to :
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

38 „A gdzie tu jest ta fizyka ???”
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

39 Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

40 1942 Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

41 Taki element macierzowy w notacji Diraca zapisujemy jako:
Jedną z podstawowych informacji jakie daje nam mechanika kwantowa jest prawdopodobieństwo, że układ będący w jakimś stanie początkowym (zlokalizowanym) x1 w czasie ta ewoluuje do stanu xb w czasie tb-ta. Taki element macierzowy w notacji Diraca zapisujemy jako: gdzie operator ewolucji: Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

42 Niech będzie swobodnym hamiltonianem , a potencjałem takim, że jest
samosprzężona na Wzór Trottera mówi nam jak wyrazić jako granicę iloczynu i gdy Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

43 Dla H0 operator możemy przedstawić w postaci całkowej:
Jaką postać całkową będzie miał operator ewolucji dla pełnego hamiltonianu? Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

44 Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

45 Twierdzenie 4 Niech wtedy: gdzie: Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

46 Niech samosprzężona na D(H0).
Dowód: Niech samosprzężona na D(H0). Stosujemy wzór Trottera zastępując wyrażenie z eksponencjałem przez iloczyny operatorów całkowych i Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

47 Jak przystało na wielkiego pragmatyka, oparł się na fizycznej wymowie tego twierdzenia.
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

48 Klasyczna cząstka o masie m porusza się w potencjale V, po gładkiej krzywej .
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

49 Działanie dla cząstki ma postać:
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

50 Klasyczna krzywa będzie spełniała równanie Eulera-Lagrange’a:
Zasada najmniejszego działania mówi nam, że cząstka porusza się po krzywej o najmniejszym działaniu. Klasyczna krzywa będzie spełniała równanie Eulera-Lagrange’a: Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

51 Ale co równanie Feynmana mówi o naszej cząstce?
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

52 Przyjmijmy m=1/2 wtedy klasycznie
. Wyobraźmy sobie, że nasza cząstka porusza się po łamanej między punktami Prędkość cząstki pomiędzy nimi jest w każdym odcinku stała. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

53 Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

54 Klasyczne działanie wzdłuż takiego toru to:
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

55 w przybliżeniu: Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

56 Jeśli V(x) jest ciągły oraz punkty są dostatecznie blisko wtedy:
interpretujemy jako całkę po wszystkich krzywych „łamanych” gdzie przybliża działanie cząstki klasycznej wzdłuż krzywej jak na poprzednim rysunku. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

57 jeśli , , oraz leży na krzywej .
Gdy zbiór „łamanych” przechodzi w zbiór wszystkich krzywych, przy czym dla danej krzywej , przybliża jeśli , , oraz leży na krzywej Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

58 jest zbiorem wszystkich krzywych z .
Intuicja może na zatem podpowiadać, że pełny operator ewolucji można zapisać jako: jest zbiorem wszystkich krzywych z Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

59 W naturalny sposób możemy przejść do granicy kwantowej (jakkolwiek ona wygląda i gdzie dokładnie się znajduje). Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

60 Wstawiając stała Plancka do hamiltonianu dostajemy:
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

61 Stąd już tylko pół kroku do…
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

62 Całka Feynmana Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

63 Element macierzowy możemy obliczyć jak całkę po wszystkich możliwych trajektoriach ze stanu xa:
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

64 Przykład: cząstka swobodna
Element macierzowy możemy obliczyć za Feynmanem: Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

65 Możemy przepisać eksponentę jako:
całka po q daje nam iloczyn delt: co jest zrozumiałe, gdyż pęd jest zachowany w każdym stadium ewolucji układu. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

66 Zatem nasza amplituda:
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

67 Wskazówka ;)! Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

68 Ostatecznie dostajemy amplitudę przejścia pomiędzy dwoma stanami stacjonarnymi:
Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

69 Całą mechanikę kwantową możemy przetłumaczyć na język całek po trajektoriach.
Metoda ta sprawdza się również w fizyce statystycznej i kwantowej teorii pola. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

70 PODSUMOWANIE Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

71 Jak mogliśmy zobaczyć w pierwszej części
Nietrudno dostrzec w tym sformułowaniu miarę Wienera i wzór Trottera, które nadają sens całkom Feynmana. Jak mogliśmy zobaczyć w pierwszej części prezentacji, są to bardzo piękne i trudne teorie matematyczne, na które genialni naukowcy poświęcili ogrom wysiłku. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

72 Przykład ten z pewnością uczy pokory wobec matematyki, w ramach której powinniśmy budować nasze teorie. Pokazuje również jak genialnym i obdarzonym niesamowitą intuicją naukowcem był Richard Feynman. Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

73 „Należy podążać w kierunku wyznaczonym przez matematykę (…), należy podążać za ideą matematyczną i sprawdzić, jakie będą jej konsekwencje, nawet gdyby to miało zaprowadzić w rejony zupełnie odmienne od tych, z których się wyszło (…) matematyka może prowadzić nas w kierunkach, jakich nikt by nie obrał, gdybyśmy podążali jedynie za ideami fizycznymi” P. A. M. Dirac Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

74 „Wyobraźnia jest ważniejsza niż wiedza.”
Albert Einstein Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006

75 KONIEC Paweł Caputa Wrocław 30 maja 2006


Pobierz ppt "Miara Wienera, wzór Trottera i fizyka"

Podobne prezentacje


Reklamy Google