Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Paweł CaputaWrocław 30 maja 20061 Miara Wienera, wzór Trottera i fizyka.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Paweł CaputaWrocław 30 maja 20061 Miara Wienera, wzór Trottera i fizyka."— Zapis prezentacji:

1 Paweł CaputaWrocław 30 maja Miara Wienera, wzór Trottera i fizyka

2 Paweł CaputaWrocław 30 maja W każdej nauce jest tyle prawdy co matematyki… Kant

3 Paweł CaputaWrocław 30 maja Fizyka teoretyczna jest jedną z najbardziej niesamowitych dziedzin nauki. Nieograniczona wyobraźnia badaczy kieruje ich w stronę tajemnic natury, które jeszcze długo pozostaną nieosiągalne dla eksperymentatorów. Jednym z głównych narzędzi teoretyków jest matematyka.

4 Paweł CaputaWrocław 30 maja Fizyka teoretyczna jest jedną z najbardziej niesamowitych dziedzin nauki. Nieograniczona wyobraźnia badaczy kieruje ich w stronę tajemnic natury, które jeszcze długo pozostaną nieosiągalne dla eksperymentatorów. Jednym z głównych narzędzi teoretyków jest matematyka. I tu zaczynają się schody…

5 Paweł CaputaWrocław 30 maja Jak dobrze wiemy instytut fizyki teoretycznej to miejsce gdzie wszystkie całki chętnie się zbiegają, operatory posłusznie są ograniczone, na równania wystarczy popatrzeć, a rozwiązanie od razu się do nas uśmiechnie.

6 Paweł CaputaWrocław 30 maja Jak dobrze wiemy instytut fizyki teoretycznej to miejsce gdzie wszystkie całki chętnie się zbiegają, operatory posłusznie są ograniczone, na równania wystarczy popatrzeć, a rozwiązanie od razu się do nas uśmiechnie. Któż to wie ilu matematyków umiera rocznie na zawał serca czytając prace fizyków…

7 Paweł CaputaWrocław 30 maja Strażników królowej nauki bardzo ciężko przekonać, że nasza intuicja do praw przyrody podpowiada nam matematykę.

8 Paweł CaputaWrocław 30 maja Strażników królowej nauki bardzo ciężko przekonać, że nasza intuicja do praw przyrody podpowiada nam matematykę. Jakby tego było mało, po wnikliwych badaniach matematycznych dowiadujemy się, że istnieją warunki, przy których nasza fizyczna matematyka ma sens.

9 Paweł CaputaWrocław 30 maja Mam dzisiaj zaszczyt powiedzieć parę słów o matematyczności przyrody, czyli jak Królowa Nauk łaskawie pomaga swoim poddanym.

10 Paweł CaputaWrocław 30 maja Całka i miara Wienera

11 Paweł CaputaWrocław 30 maja Norbert Wiener ( ) urodził się w mieście Columbia w stanie Missouri. Jego ojciec Leo Wiener, pochodził z Białegostoku i był wykładowcą literatury. Norbert był cudownym dzieckiem i już w wieku 3 lat potrafił czytać i pisać. Jego zdolności rozwijały się dzięki ostremu reżimowi wychowawczemu narzuconemu przez ojca, który zajął się nauczaniem syna. Mając 11 lat, Norbert Wiener wstąpił na Tufts University gdzie trzy lata później uzyskał dyplom ukończenia studiów matematycznych. W 1913 roku, przed ukończeniem 19 lat, uzyskał już doktorat na podstawie rozprawy z logiki matematycznej.

12 Paweł CaputaWrocław 30 maja Wiener miał bardzo słaby wzrok i był człowiekiem ogromnie roztargnionym. Stanisław Ulam wspominał okazję, kiedy z paroma innymi matematykami został zaproszony przez Wienera na obiad do chińskiej restauracji. Wiener utrzymywał, że zna chiński, toteż zaraz po wejściu zaczął mówić do kelnera w jakimś niezrozumiałym języku. Kelner najwidoczniej nie mógł zrozumieć ani słowa, więc Wiener przeszedł na angielski, dodając mało przekonująco: On najwidoczniej pochodzi z południa Chin i nie zna dialektu mandaryńskiego. Na dodatek okazało się, że zapomniał wziąć z sobą pieniądze, więc rachunek musieli zapłacić zaproszeni goście…

13 Paweł CaputaWrocław 30 maja Większość jego zainteresowań dotyczyła logiki i cybernetyki, której był ojcem. W swojej karierze dokonał również ogromnego postępu w analizie, którą wykorzystano w badaniu ruchów Browna. W ten sposób powstała całka Wienera, której konstrukcję przedstawiam:

14 Paweł CaputaWrocław 30 maja Niech będzie dana rodzina zbiorów numerowana dowolnym parametrem. Niech Def.1 Iloczyn kartezjański zbiorów Rodzinę wszystkich odwzorowań zbioru J w X, takich że nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów, i oznaczamy przez lub.

15 Paweł CaputaWrocław 30 maja P-d. J={1,2}. Wtedy f = (f(1),f(2)). Oznaczmy, wtedy każdy element przestrzeni możemy przedstawiać jako (x 1, x 2 ). Niech, czyli, Wprowadzamy funkcję. Jest to rzut na przestrzeń.

16 Paweł CaputaWrocław 30 maja Niech teraz, będą przestrzeniami topologicznymi. Przestrzeń topologiczna to para złożona ze zbioru X oraz zbioru (zbiorów otwartych zwany też topologią) podzbiorów X, taka że: -Suma mnogościowa zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym -Przecięcie dowolnych zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym -Zbiór pusty oraz X są zbiorami otwartymi.

17 Paweł CaputaWrocław 30 maja Def.2 Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych Przestrzeń nazywamy iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicznych. Jeśli wprowadzimy najsłabszą topologię, przy której wszystkie odwzorowania są ciągłe to możemy podać następującą:

18 Paweł CaputaWrocław 30 maja Def. 3 Zwartość Zbiór X i będący podzbiorem przestrzeni X nazywamy zwartym, jeżeli z każdego ciągu (x n ) elementów X można wyjąć podciąg (x n ) zbieżny do granicy w X.

19 Paweł CaputaWrocław 30 maja Def. 3 Zwartość Zbiór X i będący podzbiorem przestrzeni X nazywamy zwartym, jeżeli z każdego ciągu (x n ) elementów X można wyjąć podciąg (x n ) zbieżny do granicy w X. Twierdzenie 1 (Tichonow) Jeżeli przestrzenie są zwarte, to jest przestrzenią zwartą.

20 Paweł CaputaWrocław 30 maja Niech teraz,. Oznaczmy :, dla wszystkich Każdy element jest funkcją:, którą można interpretować jako trajektorię punktu materialnego w.

21 Paweł CaputaWrocław 30 maja Weźmy teraz skończony ciąg punktów w R: i niech będzie funkcją ciągłą na przestrzeni. Wtedy funkcja: jest ciągła na jako superpozycja funkcji ciągłych oraz F. Oznaczmy również rodzinę wszystkich wielomianów na przestrzeni jako.

22 Paweł CaputaWrocław 30 maja Def.4 Rozdzielanie punktów zbioru Mówimy, że rodzina funkcji H rozdziela punkty zbioru X, jeśli prawdziwe jest zdanie: Dla każdego x,y ze zbioru X istnieje f z H taka, że : (x y) => (f(x) f(y)).

23 Paweł CaputaWrocław 30 maja Def.4 Rozdzielanie punktów zbioru Mówimy, że rodzina funkcji H rozdziela punkty zbioru X, jeśli prawdziwe jest zdanie: Dla każdego x,y ze zbioru X istnieje f z H taka, że : (x y) => (f(x) f(y)). Twierdzenie 2 ( Stonea) Niech X będzie przestrzenią zwartą. Niech rodzina (odwzorowań zbioru X w R) rozdziela punkty zbioru X. Wówczas A(H) = C(X,R), gdzie A(H) algebra na elementach zbioru H.

24 Paweł CaputaWrocław 30 maja Czyli: Każdą funkcję ciągłą na zbiorze zwartym X można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami funkcji z rodziny H. Od razu możemy zauważyć, że rodzina spełnia twierdzenia Stonea: 1. Z tw. Tichonowa wynika, że jest przestrzenią zwartą. 2. Rodzina rozdziela punkty zbioru.

25 Paweł CaputaWrocław 30 maja Czyli: Każdą funkcję ciągłą na zbiorze zwartym X można z dowolną dokładnością jednostajnie przybliżać wielomianami funkcji z rodziny H. Od razu możemy zauważyć, że rodzina spełnia twierdzenia Stonea: 1. Z tw. Tichonowa wynika, że jest przestrzenią zwartą. 2. Rodzina rozdziela punkty zbioru. D-d 2. Niech.Tzn., dla którego. Weźmy funkcję,. Niech,. Wtedy czyli funkcja rozdziela punkty i.

26 Paweł CaputaWrocław 30 maja

27 Paweł CaputaWrocław 30 maja Zdefiniujmy na, gęstym w funkcjonał: Dla gdzie: x i y należą do n-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej stała dodatnia

28 Paweł CaputaWrocław 30 maja Interpretacja powyższej formuły to prawdopodobieństwo, że cząstka wykonująca ruch Browna ze stałą dyfuzji D, rozpoczynając z punktu x w czasie t=0 znajdzie się w dy w czasie t.

29 Paweł CaputaWrocław 30 maja Niech, taka że Weźmy następujący funkcjonał:

30 Paweł CaputaWrocław 30 maja Funkcjonał nazywamy całką Wienera.

31 Paweł CaputaWrocław 30 maja Niech będzie lokalnie zwartą przestrzenią topologiczną, a dodatnim funkcjonałem liniowym określonym na. Istnieje wówczas dokładnie jedna miara na X (reprezentacja funkcjonału ) taka, że: Twierdzenie (Riesza o reprezentacji) super ważne!!!!

32 Paweł CaputaWrocław 30 maja Jeśli zbiory E i są mierzalnymi oraz F(x)=1 gdy x i należy do E i i F(x) =0 w przeciwnym razie, wtedy : całki oznaczają prawdopodobieństwo, że cząstka startująca z punktu x w czasie 0 przejdzie w chwili t i przez zbiór E i dla wszystkich i=1,2,…,n

33 Paweł CaputaWrocław 30 maja Zgodnie z tw. Riesza tak skonstruowany funkcjonał ma reprezentację; regularną miarę na C(Ω), którą nazywamy miarą Wienera: E.Nelson, J. Math. Phys. 5, 332 (1964) Powyższą konstrukcję miary Wienera zawdzięczamy genialnemu matematykowi Edwardowi Nelsonowi.

34 Paweł CaputaWrocław 30 maja

35 Paweł CaputaWrocław 30 maja Wzór Trottera H.F.Trotter, Proc. Am. Math. Soc. 10, 545 (1959)

36 Paweł CaputaWrocław 30 maja Jeśli A i B są operatorami samosprzężonymi oraz suma A+B jest samosprzężona na wtedy:

37 Paweł CaputaWrocław 30 maja Ponadto jeśli A i B są ograniczone z dołu to :

38 Paweł CaputaWrocław 30 maja A gdzie tu jest ta fizyka ???

39 Paweł CaputaWrocław 30 maja

40 Paweł CaputaWrocław 30 maja

41 Paweł CaputaWrocław 30 maja Jedną z podstawowych informacji jakie daje nam mechanika kwantowa jest prawdopodobieństwo, że układ będący w jakimś stanie początkowym (zlokalizowanym) x 1 w czasie t a ewoluuje do stanu x b w czasie t b -t a. Taki element macierzowy w notacji Diraca zapisujemy jako: gdzie operator ewolucji:

42 Paweł CaputaWrocław 30 maja Niech będzie swobodnym hamiltonianem, a potencjałem takim, że jest samosprzężona na. Wzór Trottera mówi nam jak wyrazić jako granicę iloczynu i gdy.

43 Paweł CaputaWrocław 30 maja Dla H 0 operator możemy przedstawić w postaci całkowej: Jaką postać całkową będzie miał operator ewolucji dla pełnego hamiltonianu?

44 Paweł CaputaWrocław 30 maja

45 Paweł CaputaWrocław 30 maja Twierdzenie 4 Niech wtedy: gdzie:

46 Paweł CaputaWrocław 30 maja Dowód: Niech samosprzężona na D(H 0 ). Stosujemy wzór Trottera zastępując wyrażenie z eksponencjałem przez iloczyny operatorów całkowych i.

47 Paweł CaputaWrocław 30 maja Jak przystało na wielkiego pragmatyka, oparł się na fizycznej wymowie tego twierdzenia.

48 Paweł CaputaWrocław 30 maja Klasyczna cząstka o masie m porusza się w potencjale V, po gładkiej krzywej.

49 Paweł CaputaWrocław 30 maja Działanie dla cząstki ma postać:

50 Paweł CaputaWrocław 30 maja Zasada najmniejszego działania mówi nam, że cząstka porusza się po krzywej o najmniejszym działaniu. Klasyczna krzywa będzie spełniała równanie Eulera-Lagrangea:

51 Paweł CaputaWrocław 30 maja Ale co równanie Feynmana mówi o naszej cząstce?

52 Paweł CaputaWrocław 30 maja Przyjmijmy m=1/2 wtedy klasycznie. Wyobraźmy sobie, że nasza cząstka porusza się po łamanej między punktami. Prędkość cząstki pomiędzy nimi jest w każdym odcinku stała.

53 Paweł CaputaWrocław 30 maja

54 Paweł CaputaWrocław 30 maja Klasyczne działanie wzdłuż takiego toru to:

55 Paweł CaputaWrocław 30 maja w przybliżeniu:

56 Paweł CaputaWrocław 30 maja Jeśli V(x) jest ciągły oraz punkty są dostatecznie blisko wtedy: interpretujemy jako całkę po wszystkich krzywych łamanych gdzie przybliża działanie cząstki klasycznej wzdłuż krzywej jak na poprzednim rysunku.

57 Paweł CaputaWrocław 30 maja Gdy zbiór łamanych przechodzi w zbiór wszystkich krzywych, przy czym dla danej krzywej, przybliża jeśli,, oraz leży na krzywej.

58 Paweł CaputaWrocław 30 maja Intuicja może na zatem podpowiadać, że pełny operator ewolucji można zapisać jako: jest zbiorem wszystkich krzywych z.

59 Paweł CaputaWrocław 30 maja W naturalny sposób możemy przejść do granicy kwantowej (jakkolwiek ona wygląda i gdzie dokładnie się znajduje).

60 Paweł CaputaWrocław 30 maja Wstawiając stała Plancka do hamiltonianu dostajemy:

61 Paweł CaputaWrocław 30 maja Stąd już tylko pół kroku do…

62 Paweł CaputaWrocław 30 maja Całka Feynmana

63 Paweł CaputaWrocław 30 maja Element macierzowy możemy obliczyć jak całkę po wszystkich możliwych trajektoriach ze stanu x a :

64 Paweł CaputaWrocław 30 maja Przykład: cząstka swobodna Element macierzowy możemy obliczyć za Feynmanem:

65 Paweł CaputaWrocław 30 maja Możemy przepisać eksponentę jako: całka po q daje nam iloczyn delt: co jest zrozumiałe, gdyż pęd jest zachowany w każdym stadium ewolucji układu.

66 Paweł CaputaWrocław 30 maja Zatem nasza amplituda:

67 Paweł CaputaWrocław 30 maja Wskazówka ;)!

68 Paweł CaputaWrocław 30 maja Ostatecznie dostajemy amplitudę przejścia pomiędzy dwoma stanami stacjonarnymi:

69 Paweł CaputaWrocław 30 maja Całą mechanikę kwantową możemy przetłumaczyć na język całek po trajektoriach. Metoda ta sprawdza się również w fizyce statystycznej i kwantowej teorii pola.

70 Paweł CaputaWrocław 30 maja PODSUMOWANIE

71 Paweł CaputaWrocław 30 maja Nietrudno dostrzec w tym sformułowaniu miarę Wienera i wzór Trottera, które nadają sens całkom Feynmana. Jak mogliśmy zobaczyć w pierwszej części prezentacji, są to bardzo piękne i trudne teorie matematyczne, na które genialni naukowcy poświęcili ogrom wysiłku.

72 Paweł CaputaWrocław 30 maja Przykład ten z pewnością uczy pokory wobec matematyki, w ramach której powinniśmy budować nasze teorie. Pokazuje również jak genialnym i obdarzonym niesamowitą intuicją naukowcem był Richard Feynman.

73 Paweł CaputaWrocław 30 maja Należy podążać w kierunku wyznaczonym przez matematykę (…), należy podążać za ideą matematyczną i sprawdzić, jakie będą jej konsekwencje, nawet gdyby to miało zaprowadzić w rejony zupełnie odmienne od tych, z których się wyszło (…) matematyka może prowadzić nas w kierunkach, jakich nikt by nie obrał, gdybyśmy podążali jedynie za ideami fizycznymi P. A. M. Dirac

74 Paweł CaputaWrocław 30 maja Wyobraźnia jest ważniejsza niż wiedza. Albert Einstein

75 Paweł CaputaWrocław 30 maja KONIEC


Pobierz ppt "Paweł CaputaWrocław 30 maja 20061 Miara Wienera, wzór Trottera i fizyka."

Podobne prezentacje


Reklamy Google