Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 9 Moce zbiorów.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 9 Moce zbiorów."— Zapis prezentacji:

1

2 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 9 Moce zbiorów

3 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK2 Równoliczność Dwa zbiory nazywamy równolicznymi wttw istnieje funkcja różnowartościowa odwzorowująca jeden zbiór na drugi P ~ N

4 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK3 Przykłady (1) Dowolne dwa przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych są równoliczne. a b c d f(x) = (d - c)(x - a)/(b - a) + c Dowód (1) (2) (- /2, /2) ~ R Lemat Jeśli A ~ B i B ~ C, to A ~ C. - /2 /2 f(x)= tg x Dowod (2)

5 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK4 Zbiory przeliczalne Każdy zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy przeliczalnym. Zbiór liczb parzystych Zbiór liczb nieparzystych f(n) = 2n f(n) = 2n+1 Zbiór liczb całkowitych f(x) = 2x+1, gdy x >0 f(x) = - 2x, gdy x <0 Zbiory skończone lub przeliczalne nazywa się co najwyżej przeliczalnymi.

6 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK5 Własności Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Podzbiór zbioru co najwyżej przeliczalnego jest co najwyżej przeliczalny. Przecięcie zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Suma zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Produkt zbiorów co najwyżej przeliczalnych jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Wniosek: zbiór słów nad alfabetem skończonym jest zbiorem przeliczalnym. dalej

7 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK6 Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny /2-3/2-2/2-1/21/22/23/24/2 -4/3-3/3-2/3 -1/3 -1/31/32/33/34/ /4-3/4-2/4 -1/4 -1/41/42/43/44/ /5-3/5-2/5-1/51/52/53/54/5

8 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK7 Każdy nieskończony podzbiór zbioru przeliczalnego jest przeliczalny abcdefgh Niech X będzie zbiorem przeliczalnym, f - bijekcją taką, że f: N X oraz niech A będzie nieskończonym podzbiorem X. Definiujemy funkcję g : N A tak, że g(0) = f(k 0 ), gdzie k 0 = min{i : f(i) A} g(1) = f(k 1 ), gdzie k 1 = min{i : f(i) A- {f(k 0 )}} g(2) = f(k 2 ) ), gdzie k 2 = min{i : f(i) A- {f(k 0 ), f(k 1 )}} g jest funkcją różnowartoś- ciową i na A

9 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK8 Suma zbiorów przeliczalnych jest przeliczalna {A i } i N - rodzina zbiorów co najwyżej przeliczalnych. Skoro A i jest co najwyżej przeliczalny, to możemy przedstawić ten zbiór w postaci ciągu nieskończonego {a i1,a i2, a i3,...} ewentualnie powtarzając nieskończenie wiele razy element ostatni, gdy zbiór był skończony. a11a12a13a14a15 a21a22a23a24... a31a32a33a34 a41a42a43a44 a51

10 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK9 Zbiory nieprzeliczalne Zbiory, które nie są co najwyżej przeliczalne nazywają się nieprzeliczalnymi. Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału (0,1) jest nieprzeliczalny. Każdy nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest nieprzeliczalny. Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. Zbiór wszystkich funkcji f : N {0,1} jest nieprzeliczalny.

11 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK10 Przykład (1) Przedział [0,1] jest zbiorem nieprzeliczalnym. Ad (1) Gdyby zbiór [0,1] był przeliczalny, to jego elementy możnaby było ustawić w ciąg np. (c i ) i N. Tworzymy ciąg przedziałów [a 0,b 0 ], [a 1,b 1 ], [a 2,b 2 ], [a 3,b 3 ],... 01a0a0 b0b0 a1a1 b1b1 c 0 [a 0,b 0 ] a 0 b 0 b 0 -a 0 = 1/3 c 1 [a 1,b 1 ] a 1 b 1 b 1 -a 1 = 1/9 c 2 [a 2,b 2 ] a 2 b 2 b 2 -a 2 = 1/27 itd. 1. Ciągi (a i ) i N i (b i ) i N są monotoniczne i ograniczone. 2. lim | a i - b i | = 0 Wniosek: istnieje liczba c= lim a i =lim b i. Ale c c i dla wszystkich i N ! Sprzeczność.

12 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK11 Przykład (3) Zbiór 2 N wszystkich funkcji f : N {0,1} jest nieprzeliczalny. Dowód Zamiast mówić o funkcjach możemy mówić o ciągach zero-jedynkowych.Gdyby zbiór 2 N był przeliczalny, wtedy moglibyśmy ustawić te ciągi w ciąg (c i ) i N. Oznaczmy kolejne elementy ciągu c i przez c i1, c i2 c i3,... c 11, c 12, c 13, c 14, c 15,... c 21, c 22, c 23, c 24, c 25,... c 31, c 32, c 33, c 34, c 35,... c 41, c 42, c 43, c 44, c 45, Konstruujemy ciąg d = d 1 d 2 d gdy c ii 0 1 gdy c ii = 0 d i = { Ciąg d 2 N i jest różny od wszystkich ciągów (c i ) i N. Sprzeczność!

13 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK12 Przykład (2) Przedział otwarty (0,1) jest zbiorem nieprzeliczalnym. Dowód Gdyby zbiór liczb rzeczywistych z przedziału (0,1) był przeliczalny, wtedy moglibyśmy ustawić te liczby w ciąg (d i ) i N. Oznaczmy kolejne cyfry po przecinku liczby d i przez d i1, d i2 d i3,... 0, d 11 d 12 d 13 d 14 d 15,... 0, d 21 d 22 d 23 d 24 d 25,... 0, d 31 d 32 d 33 d 34 d 35,... 0, d 41 d 42 d 43 d 44 d 45,... Ciąg wszystkich liczb z przedziału (0,1). Konstruujemy liczbę c = 0,c 1 c 2 c 3 c gdy d ii 5 7 gdy d ii = 5 c i = { Oczywiście c jest różne od wszystkich liczb z ciągu (d i ) i N. Sprzeczność!

14 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK13 Liczby kardynalne Liczba kardynalna zbioru jest cechą przypisaną zbiorowi w taki sposób, że (1) liczba kardynalna zbioru pustego to 0, (2) liczba kardynalna dowolnego zbioru skończonego, to liczba jego elementów, (3) zbiory równoliczne mają przypisaną tę samą cechę. Oznaczenie : liczba kardynalna X = moc zbioru X = card(X) = |X| card(N) = alef 0. card( R) = c. Definicja card(X) = card(Y) wttw X ~Y card(X) card(Y) wttw istnieje podzbiór zbioru Y równoliczny z X. card(X) < card(Y) wttw istnieje podzbiór właściwy zbioru Y równoliczny z X oraz X nie jest równoliczne z Y.

15 28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK14 Twierdzenie Cantora Dla każdego zbioru X, card(X) < card(2 X ). Dowód: Jeśli X jest zbiorem pustym, to twierdzenie jest prawdziwe. Oczywiście card(X) card(2 X ), bo funkcja g(x)= {x} odwzorowuje X na podzbiór zbioru potęgowego P(X), a mianowicie na {{x}: x X}. Wystarczy pokazać, że żaden podzbiór zbioru X nie jest równoliczny z 2 X. Przypuścmy przeciwnie, że dla pewnego A, istnieje bijekcja f : A 2 X. Mamy dla każdego a A, f(a) X. Niech Z= { a A : a f(a)}. Oczywiście Z X, czyli dla pewnego a 0 f(a 0 ) = Z. Iprzypadek a 0 Z II przypadek a 0 Z Ale wtedy a 0 Z


Pobierz ppt "28 listopada 2001Matematyka Dyskretna, Moce zbiorów G.Mirkowska, PJWSTK 1 Wykład 9 Moce zbiorów."

Podobne prezentacje


Reklamy Google