Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych Autorzy: Bernadetta Brzęczek Lech Groblewicz Tomasz Ożański Piotr Ratajczak Wojciech Hanus.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych Autorzy: Bernadetta Brzęczek Lech Groblewicz Tomasz Ożański Piotr Ratajczak Wojciech Hanus."— Zapis prezentacji:

1

2 Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych Autorzy: Bernadetta Brzęczek Lech Groblewicz Tomasz Ożański Piotr Ratajczak Wojciech Hanus

3 Zasada działania Metody Monte Carlo Spróbujmy za pomocą powyższej metody obliczyć pole koła o R=1 i środku w punkcie P=(0,0) x 2 +y 2 =1 1. Na kole opisujemy kwadrat o wierzchołkach w punktach: 2. Losujemy n punktów z powierzchni opisanego kwadratu 3. Sprawdzamy czy wylosowane punkty należą do pola koła. (0,0) (-1,1) (1,1) (-1,-1)(1,-1)

4 Wynikiem losowania jest informacja, że z n wszystkich prób k było trafionych, zatem pole koła wynosi: gdzie P jest polem kwadratu opisanego na kole Przykład ten ilustruje ogólny sposób działania metody Monte Carlo 1 2 3 4 nk … k-1

5 Przedstawienie doświadczenia Do prezentacji metody Monte Carlo obliczającej całki podwójne wykorzystaliśmy następujące całki: 1. 2. 3.

6 Dla każdej z nich wygenerowaliśmy metodą Monte Carlo po 100 wartości dla n z przedziału od 1 do 50 000 000. … Przykładowa skrócona tabela wartości losowań dla trzech pierwszych i dwóch ostatnich prób w zależności od wielkości n dla całki nr 2. n15105010050010005000 Próba 102,3042702,07011,74862,144722,308191,96463 Próba 201,38540,7507232,285013,037082,171371,730041,96845 Próba 3000,8701611,350621,699962,102061,91642,09237 100005000010000050000010000005000000100000002000000050000000 1,998441,987022,016392,004352,001962,001162,001431,999761,99861 1,946742,004882,037161,998972,003121,998862,003522,000072,00065 2,024811,996161,998631,992151,996772,007642,003842,000982,00061 Próba 9913,341603,26352,111271,216442,098422,099942,03195 Próba 10004,570772,151792,164372,347911,537572,030551,93757 2,097172,021181,986341,991062,001261,996942,002182,001662,00039 2,001371,991611,956932,000921,999331,998531,999712,00041,99814

7 Następnie przy użyciu kalkulatora obliczyliśmy prawidłowe wartości powyższych całek. Dla lepszego zrozumienia z jakimi całkami mamy do czynienia zamieszczone są poniżej także wykresy funkcji podcałkowych. 1. = 2669,851 2. 3. = 1,145521 1. 2. 3.

8 Z każdej serii danych obliczyliśmy średnią, odchylenie standardowe oraz wartość błędu, czyli różnicę pomiędzy wartością prawidłową a średnią. Powyższe dane przedstawiliśmy za pomocą wykresów. n15105010050010005000 odchylenie standardowe8316,2964141,8582608,9111366,11123,135500,4626357,9322166,5204 średnia1811,6822595,3282040,0622339,2842633,8152725,3782663,6092667,245 błąd858,168774,52286629,7887330,567336,0358555,527196,2420092,605909 100005000010000050000010000005000000100000002000000050000000 99,5559245,6043734,7905217,271439,1712155,1628652,5544052,2315121,388375 2666,3612668,832668,2782672,022670,4052669,672670,8632670,3442670,316 3,4902091,0215091,5735092,1687910,5533910,1813091,0119910,4926910,464491

9 Całka nr 1:

10

11 Poglądowe przedstawienie wzrostu dokładności obliczeń metodą Monte Carlo wraz ze wzrostem n dla całki nr 1

12 Całka nr 2:

13

14 Poglądowe przedstawienie wzrostu dokładności obliczeń metodą Monte Carlo wraz ze wzrostem n dla całki nr 2

15 Całka nr 3:

16

17 Poglądowe przedstawienie wzrostu dokładności obliczeń metodą Monte Carlo wraz ze wzrostem n dla całki nr 3

18 Dla wszystkich całek można zauważyć, że wraz ze wzrostem n (liczby losowanych punktów), maleje wartość błędu co potwierdzają także wykresy przedstawiające odchylenia standardowego. Na następnych wykresach przedstawione jest jak w zależności od n, na różnie wyskalowanych wykresach, dla poszczególnych całek zmienia się wartość obliczonej całki.

19

20

21

22 Wnioski: Obliczenia metodą Monte Carlo dają bardzo dokładne wyniki tylko wtedy, gdy rząd parametru n jest większy od 50 000. Dla takich prób dokładność pomiaru jest wyższa niż 99,93%


Pobierz ppt "Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych Autorzy: Bernadetta Brzęczek Lech Groblewicz Tomasz Ożański Piotr Ratajczak Wojciech Hanus."

Podobne prezentacje


Reklamy Google