Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych"— Zapis prezentacji:

1 Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych
Autorzy: Bernadetta Brzęczek Lech Groblewicz Tomasz Ożański Piotr Ratajczak Wojciech Hanus

2 Zasada działania Metody Monte Carlo
Spróbujmy za pomocą powyższej metody obliczyć pole koła o R=1 i środku w punkcie P=(0,0) x2+y2=1 1. Na kole opisujemy kwadrat o wierzchołkach w punktach: 2. Losujemy n punktów z powierzchni opisanego kwadratu 3. Sprawdzamy czy wylosowane punkty należą do pola koła. (-1,1) (1,1) (0,0) (-1,-1) (1,-1)

3 2 1 4 3 Wynikiem losowania jest informacja, że z n wszystkich prób k było trafionych, zatem pole koła wynosi: gdzie P jest polem kwadratu opisanego na kole Przykład ten ilustruje ogólny sposób działania metody Monte Carlo k-1 n k

4 Przedstawienie doświadczenia
Do prezentacji metody Monte Carlo obliczającej całki podwójne wykorzystaliśmy następujące całki: 1. 2. 3.

5 Dla każdej z nich wygenerowaliśmy metodą Monte Carlo po 100 wartości dla n z przedziału od 1 do 50 000 000. Przykładowa skrócona tabela wartości losowań dla trzech pierwszych i dwóch ostatnich prób w zależności od wielkości n dla całki nr 2. n 1 5 10 50 100 500 1000 5000 Próba 1 2,30427 2,0701 1,7486 2,14472 2,30819 1,96463 Próba 2 1,3854 0,750723 2,28501 3,03708 2,17137 1,73004 1,96845 Próba 3 0,870161 1,35062 1,69996 2,10206 1,9164 2,09237 Próba 99 13,3416 3,2635 2,11127 1,21644 2,09842 2,09994 2,03195 Próba 100 4,57077 2,15179 2,16437 2,34791 1,53757 2,03055 1,93757 10000 50000 100000 500000 1,99844 1,98702 2,01639 2,00435 2,00196 2,00116 2,00143 1,99976 1,99861 1,94674 2,00488 2,03716 1,99897 2,00312 1,99886 2,00352 2,00007 2,00065 2,02481 1,99616 1,99863 1,99215 1,99677 2,00764 2,00384 2,00098 2,00061 2,09717 2,02118 1,98634 1,99106 2,00126 1,99694 2,00218 2,00166 2,00039 2,00137 1,99161 1,95693 2,00092 1,99933 1,99853 1,99971 2,0004 1,99814

6 Następnie przy użyciu kalkulatora obliczyliśmy prawidłowe wartości powyższych całek.
Dla lepszego zrozumienia z jakimi całkami mamy do czynienia zamieszczone są poniżej także wykresy funkcji podcałkowych. = 2669,851 2. = 1,145521 3. 1. 2.

7 odchylenie standardowe
Z każdej serii danych obliczyliśmy średnią, odchylenie standardowe oraz wartość błędu, czyli różnicę pomiędzy wartością prawidłową a średnią. Powyższe dane przedstawiliśmy za pomocą wykresów. n 1 5 10 50 100 500 1000 5000 odchylenie standardowe 8316,296 4141,858 2608,911 1366,1 1123,135 500,4626 357,9322 166,5204 średnia 1811,682 2595,328 2040,062 2339,284 2633,815 2725,378 2663,609 2667,245 błąd 858,1687 74,52286 629,7887 330,5673 36,03585 55,52719 6,242009 2,605909 10000 50000 100000 500000 99,55592 45,60437 34,79052 17,27143 9,171215 5,162865 2,554405 2,231512 1,388375 2666,361 2668,83 2668,278 2672,02 2670,405 2669,67 2670,863 2670,344 2670,316 3,490209 1,021509 1,573509 2,168791 0,553391 0,181309 1,011991 0,492691 0,464491

8 Całka nr 1:

9

10 Poglądowe przedstawienie wzrostu dokładności obliczeń metodą Monte Carlo wraz ze wzrostem n dla całki nr 1

11 Całka nr 2:

12

13 Poglądowe przedstawienie wzrostu dokładności obliczeń metodą Monte Carlo wraz ze wzrostem n dla całki nr 2

14 Całka nr 3:

15

16 Poglądowe przedstawienie wzrostu dokładności obliczeń metodą Monte Carlo wraz ze wzrostem n dla całki nr 3

17 Dla wszystkich całek można zauważyć, że wraz ze wzrostem n (liczby losowanych punktów), maleje wartość błędu co potwierdzają także wykresy przedstawiające odchylenia standardowego. Na następnych wykresach przedstawione jest jak w zależności od n, na różnie wyskalowanych wykresach, dla poszczególnych całek zmienia się wartość obliczonej całki.

18

19

20

21 Wnioski: Obliczenia metodą Monte Carlo dają bardzo dokładne wyniki tylko wtedy, gdy rząd parametru n jest większy od 50 000. Dla takich prób dokładność pomiaru jest wyższa niż 99,93%


Pobierz ppt "Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych"

Podobne prezentacje


Reklamy Google