Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."— Zapis prezentacji:

1 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

2 DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA) Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Królowej Jadwigi w Zagórowie ID grupy: 98/74_mf_g1 Opiekun: Aneta Borowska Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: W świecie liczb Semestr/rok szkolny: /11

3 DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA) Nazwa szkoły: Gimnazjum 41 (Zespół Szkoł z Oddziałami Integracyjnymi i Specjalnymi nr 2 w Poznaniu) ID grupy: 98_14_mf_g1 Opiekun: Jolanta Kurzawa-Zeidler Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: W świecie liczb Semestr/rok szkolny: II/

4 Leonardo Fibonacci Złota Liczba Złoty Podział Zagadki Liczba Ludolfina Liczby pierwsze Sito Eratostenesa Historia Liczb Liczby Bliźniacze Liczby Olbrzymy Kryptografia Z Kluczem Publicznym Zakończ

5 HISTORIA LICZB / p.n.e.Pierwsze prehistoryczne kości z nacięciami 3300/2850 p.n.e. Pojawienie się cyfr sumeryjskich 'proto- elamickich' i hieroglifów egipskich 2700 p.n.e.Pojawienie się sumeryjskich cyfr klinowych 2600/2500 p.n.e.Pojawienie się hieratycznych cyfr egipskich II pół. III tysiąclecia p.n.e Semici mezopotamscy zapożyczają cyfry klinowe i adaptują je stopniowo do bazy 10 I pół. II tysiąclecia p.n.e. Asyryjsko-babilońska dziesiętna numeracja klinowa (system codziennego użytku) wypiera stopniowo sumeryjski system sześć dziesiątkowy rozpowszechnia się na Bliskim Wschodzie 1900/1800 p.n.e. Pojawienie się najstarszej numeracji pozycyjnej znanej wśród uczonych babilońskich (system oparty na bazie 60 i znakach klinowych) II pół. II tysiąclecia p.n.e. Hieratyczna numeracja egipska kończy swą ewolucję. MENU

6 Koniec XIV w. p.n.e.Pojawienie się najstarszych znanych cyfr chińskich. Początek I tysiąclecia p.n.e.Żydzi zapożyczają hieratyczne cyfry egipskie. Koniec VIII w. p.n.e.Najstarsze znane dowody numeracji aramejskiej Koniec VI w. p.n.eNajstarsze znane dowody numeracji fenickiej. II połowa I tysiąclecia p.n.e. Rozprzestrzenienie się cyfr aramejskich na Bliskim Wschodzie (Mezopotamia,Syria,Palestyna, Egipt, Arabia Północna) V w. p.n.e. Pojawienie się greckiej numeracji akrofonicznej w Attyce. Pojawienie się numeracji akrofonicznej pochodzenia południowoarabskiego w napisach sabejskich. IV w. p.n.e. Rozprzestrzenienie się greckiej numeracji akrofonicznej w krajach świata helleńskiego. Koniec IV/początek III w. p.n.e. Pierwsze znane świadectwa greckiej numeracji alfabetycznej pojawiają się w Egipcie. HISTORIA LICZB MENU

7 Środek III w.p.n.e. Rozprzestrzenienie się numeracji aramejskiej w północno-zachodnich Indiach, Pakistanie i Afganistanie. Rozprzestrzenienie się alfabetycznej numeracji greckiej na Bliskim Wschodzie i wschodnich wybrzeżach Morza Śródziemnego. Pojawienie się uczonych Babilonu pierwszego znanego w historii zera. II w.p.n.e. Pełniejsze pojawienie się cyfr brahmi w buddyjskich napisach z Nana Ghat (cyfry te, stanowiące pierwowzory dziewięciu cyfr 'znaczących' (tj. różnych od zera) indyjskich, arabskich i europejskich nie są używane zgodnie z zasadą pozycyjną) Koniec II w.p.n.e. Najstarsze znane dowody użycia liter hebrajskich jako cyfr. II w.p.n.e. - II w.n.e Pojawienie się dziesiątkowego systemu pozycyjnego rachmistrzów chińskich (system zwany suan zi lub system 'kresek liczbowych').Nie ma on zera. Pierwsze wieki ery nowożytnej Cyfry indyjskie od 1 do 9 nie wydają się jeszcze używane według zasady pozycyjnej HISTORIA LICZB MENU

8 Koniec III - początek IV w. Pierwsze znane przykłady użycia systemu Majów do wyrażania dat i odcinków czasu w 'długim rachunku'(system zwany systemem szeregów początkowych) IV-VI w. Prawdopodobny okres pojawienia się zera i numeracji pozycyjnej kapłanów-astronomów z plemienia Majów. 28.VIII.458 Data Lokavibhagi, tekstu dżainickiego w sanskrycie, dotyczącego kosmologii. Dzieło to stanowi najstarsze znane potwierdzenie stosowania znaków numerycznych języka sanskryckiego i posługuje się udoskonalaną koncepcją zera oraz zasadą pozycyjną przy bazie 10. ok. 510 Dwa przykłady zastosowania cyfr sanskryckich zostały stwierdzone u astronoma indyjskiego Aryabhaty. U autora tego widać ponadto początki systemu pozycyjnego i zero. ok. 575 Cyfry sanskryckie są stosowane bardzo obficie (łącznie z zerem) przez indyjskiego astronoma Varahamihirę. Poczynając od tego okresu, tak ujęty system staje się zresztą prawie wyłącznym narzędziem astronomów i matematyków indyjskich. HISTORIA LICZB MENU

9 595 Data najstarszego znanego indyjskiego dokumentu epigraficznego (chodzi o akt donacyjny na miedzi) świadczącego o używaniu 9 cyfr znaczących według systemu pozycyjnego. Ten nowy system, którego znaki wywodzą się ze starożytnego zapisu brahmi i są pierwowzorami cyfr nowoczesnych, stanowi pierwszy pisany system dziesiętny o strukturze identycznej ze stosowaną przez nas. 598 Data najstarszego sanskryckiego napisu z Kambodży (data 520 śaka jest tam wyrażona za pomocą zera i cyfr sanskryckich zgodnie z zasadą pozycyjną) 628/629 Użycie pisanego systemu pozycyjnego numeracji dziesiętnej i znaku zera jest już znakomicie ustalone w Indiach. Astronom Bhaskara I używa nie tylko systemu pozycyjnego sanskryckich znaków cyfrowych, ale ponadto znaku zera i 9 cyfr znaczących HISTORIA LICZB MENU

10 VII w.Pojawienie się syryjskiej numeracji alfabetycznej. 662 Świadectwa dostarczone przez biskupa syryjskiego Sewera Sebokta na temat indyjskich metod rachunku za pomocą 9 cyfr. 683 Najstarszy zapis khmerski datowany za pomocą zera i 9 cyfr pochodzenia indyjskiego zgodnie z zasadą pozycyjną 683/686 Najstarsze napisy w języku staromalajskim datowane za pomocą zera i 9 cyfr pochodzenia indyjskiego 687 Najstarszy napis sanskrycki z Champy zawierający datę wyrażoną cyframi według zasady pozycyjnej. HISTORIA LICZB MENU

11 718/729 Astronom buddyjski pochodzenia indyjskiego, osiadły w Chinach, daje świadectwo znajomości zera i rachunku za pomocą 9 cyfr indyjskich 732 Najstarszy sanskrycki napis jawajski, zawierający datę wyrażoną cyframi w systemie pozycyjnym. 760 Najstarsza tubylcza inskrypcja jawajska (system kawi) zawierająca datę wyrażoną za pomocą zera i 9 cyfr pochodzenia indyjskiego. VIII w. Pojawienie się alfabetycznej numeracji arabskiej (system zwany Abjad). Pojawienie się zera pochodzenia indyjskiego w chińskiej dziesiętnej numeracji pozycyjnej ('kreski liczbowe') HISTORIA LICZB MENU

12 Koniec VIII w. Wprowadzenie indyjskiej dziesiętnej numeracji pozycyjnej i zera na ziemiach islamu. 813 Najstarszy tubylczy napis z Champy datowany za pomocą zera i 9 cyfr pochodzenia indyjskiego 875/876 Najstarsze znane w Indiach napisy w kamieniu zawierające dane liczbowe wyrażone za pomocą zera i 9 cyfr znaczących nagari IX w. Pojawienie się cyfr zwanych ghobar u Arabów na terenie Hiszpanii i Maghrebu (znaki, których pisownia stanowi pierwowzór średniowiecznych i współczesnych cyfr europejskich) 976/992 Dwa rękopisy muzułmańskie pochodzące z Hiszpanii przynoszą zapis 9 cyfr w formie zbliżonej do typu ghobar: są to najstarsze znane europejskie świadectwa stosowania 'cyfr arabskich' HISTORIA LICZB MENU

13 HISTORIA LICZB X-XII w. Rachmistrze europejscy wykonują swoje operacje arytmetyczne na abaku słupkowym Gerberta i jego uczniów: używają do tego rogowych żetonów oznaczonych jedną z 9 cyfr pochodzenia 'indoarabskiego' (apices) XII w. Wprowadzenie znaku 'zero' na Zachodzie : rachmistrze europejscy wykonują swoje operacje bez słupków zapisując 9 cyfr i zero na piasku: tak pojawili się algoryści. Począwszy od tego okresu pisownia cyfr 'arabskich' zaczyna się ustalać. XV w. Upowszechnienie użycia i postępująca normalizacja cyfr 'arabskich' w Europie MENU

14 PRZYKŁADOWE LICZBY: Ateńczycy początkowo do pisania liczb używali liter słów - liczebników : Г - oznaczało 5 Δ - oznaczała 10 H - oznaczało 100 X - oznaczało 1000 M - oznaczało I, II, III, IIII - oznaczało 1, 2, 3, 4. Za pomocą takich cyfr mógł starożytny Grek mógł wyrazić każdą potrzebną mu liczbę. MENU

15 PRZYKŁADOWE LICZBY: Znaki rzymskie są pochodzenia etruskiego i znane już były około 2500 lat temu. Początkowo Rzymianie zapisywali liczby za pomocą pionowych kresek. Później używano także liter. Cyfry, który w systemie rzymskim jest tylko siedem oznacza się dużymi literami alfabetu. System ten funkcjonuje do dziś. Cyfry rzymskie można spotkać na tarczy zegara, przy numeracji rzędów, używa się ich czasami do zapisu dat, oznaczania wielkich postaci na przykład Jan Paweł II, Jan III Sobieski itd. MENU

16 PRZYKŁADOWE LICZBY: Cyfry, którymi obecnie posługujemy się powszechnie, pochodzą od Hindusów. Narody europejskie poznały je dzięki Arabom. Słynny matematyk Leonardo Fibonacci z Pizy pierwszy podaje je w swoim wielkim dziele Liber Abaci (Księga abaku), wydanym w 1202 r. Polska była jednym z pierwszych krajów, który wprowadził u siebie cyfry hinduskie, a było to w XIV stuleciu. Arytmetyka oparta na użyciu cyfr hinduskich była u nas wykładana w Akademii Krakowskiej. MENU

17 PRZYKŁADOWE LICZBY: Majowie to naród, który zamieszkiwał tereny obecnego Meksyku, Hondurasu i Gwatemali, wytępiony przez zdobywców Ameryki. Naród ten stworzył wysoko rozwiniętą cywilizację. Do zapisu liczb Majowie używali między innymi takich znaków: MENU

18 PRZYKŁADOWE LICZBY: Egipcjanie do wyrażania swoich myśli i słów na piśmie używali znaków zwanych hieroglifami. Uproszczone pismo hieroglificzne nazywam hieratycznym Tak Egipcjanie zapisywali ułamki MENU

19 PRZYKŁADOWE LICZBY: Takimi cyframi posługiwali się - Tales - Euklides - Archimedes MENU

20 LEONARDO PISANO FIBONACCI Fibonacci (Leonardo z Pizy) (ur. ok. 1175r. - zm. 1250r.) włoski matematyk. W czasie swych podróży po Europie wraz z ojcem a potem samodzielnie po krajach Wschodu miał okazję poznać osiągnięcia matematyków arabskich i hinduskich między innymi system dziesiętny. Po powrocie do kraju publikuje w 1202 Liber Abaci gdzie opisuje system pozycyjny liczb i wykłada podstawy arytmetyki. W 1220 wydaje Practica geometriae będące połączeniem algebry i geometrii. MENU

21 LICZBY FIBONACCIEGO Liczby Fibonacciego to matematyczny ciąg liczbowy, którego wartości i stosunki odpowiadają zadziwiająco licznym i różnorodnym zjawiskom przyrodniczym i artystycznym. MENU

22 CIĄG FIBONACCIEGO 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … Liczby z ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego, pierwszy i drugi wyraz to 1, każdy następny to suma dwóch poprzednich, postać rekurencyjna ciągu (f n – n-ty wyraz ciągu): MENU

23 JEDEN Z PROBLEMÓW FIBONACCIEGO Jeden z problemów którymi zajmował się Fibonacci w swojej książce Liber Abaci dotyczącym rozmnażania się stada królików. Zasady tego eksperymentu mentalnego są proste: zaczynamy od jednej pary, każda samica królika wydaje na świat potomstwo w miesiąc po kopulacji; konkretnie jednego samca i jedną samicę. W miesiąc po urodzeniu królik może przystąpić do reprodukcji. Jak w takiej sytuacji będzie wyglądał rozwój naszej farmy, ile królików będzie liczyła po jednym roku? MENU

24 Przy końcu ostatniego miesiąca możemy się spodziewać krótkiego sparingu w pierwszej parze królików. Pod koniec drugiego miesiąca samica urodzi parę młodych tak więc na farmie będą już dwie pary. W trzecim miesiącu będziemy mieli już trzy pary, gdyż pierwsza samica wyda na świat kolejne potomstwo, a urodzone wcześniej przystąpi do kopulacji itd. W łatwy sposób można obliczyć, że liczebności w kolejnych miesiącach będą wynosić 1,1,2,3,5,8,13,21,34...Kolejne jego elementy stanowią sumę dwóch wcześniejszych Np. 21=13+8. Szereg liczb obrazujący m.in. rozród królików nosi nazwę Ciągu Fibonacciego. Stosunek ma ścisły związek z ciągiem Fibonacciego. Stosunek dwóch kolejnych liczb wyrazów w ciągu w miarę wzrastania jest coraz bliższy wartości MENU

25 ZADANIE FIBONACCIEGO W SKRÓCIE: Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli: -każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, -para staje się płodna po miesiącu, -króliki nie zdychają? MENU

26 NASZ OPIS WIZUALNY PROBLEMU MENU

27 POZIOMY FIBONACCIEGO Poziomy Fibonacciego (poziomy zniesienia Fibonacciego, potocznie: "poziomy Fibo") - jedna z metod analizy technicznej opierająca się na zasadzie złotej proporcji (złotego podziału) Metoda opiera się na założeniu, że występujące w licznych przypadkach w przyrodzie "złote proporcje" pojawiają się również na wykresach cen instrumentów finansowych lub indeksów takich jak Np. akcje, kontrakty terminowe i inne. MENU

28 ZASTOSOWANIE POZIOMÓW FIBONACCIEGO Podstawowe i najprostsze zastosowanie metody to wyznaczenie na wykresie cen analizowanego waloru znaczącego maksimum i znaczącego minimum w ostatnim okresie. Jest to w dużym zakresie decyzja uznaniowa jaki czas jest brany pod uwagę i zależy również od tego czy analizujemy dany walor w krótkim czy długim terminie. Bezwzględna różnica tych poziomów (czyli odległość) uznana jest za odcinek jednostkowy. Odcinek ten można następnie podzielić w proporcjach będących współczynnikami Fibonacciego, a także przedłużać go, również zachowując "złote proporcje". MENU

29 Liczby Fibonacciego w przyrodzie Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. MENU

30 ZŁOTA LICZBA Liczba Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Jest to liczba niewymierna, równa ułamkowi dziesiętnemu 0, albo też bardzo niezwykłemu ułamkowi łańcuchowemu: MENU

31 WZORY I ZALEZNOŚCI ZŁOTEJ LICZBY złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania: dokładna wartość: przybliżona wartość: kwadrat złotej liczby: odwrotność złotej liczby: dokładna wartość: przybliżona wartość: MENU

32 WŁASNOŚCI ZŁOTEJ LICZBY Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jedynkę. Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej jedynkę. Potęgi złotej liczby są liniowo zależne od tej liczby. (Współczynniki przy φ, jak i wyrazy wolne, są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego). MENU

33 CIĄG FIBONACCIEGO A ZŁOTA LICZBA Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby: 3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625 … 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… Wzór ogólny ciągu (φ-złota liczba) – wzór Bineta: MENU

34 Złoty podział (podział harmoniczny), dla liczby a, a1, 0 jest to przedstawienie tej liczby w postaci dwu składników b, c takich, że Dla odcinka jest to podział wewnętrzny tego odcinka w stosunku W wyniku złotego podziału odcinka otrzymuje się dwa odcinki o tej własności, że stosunek długości krótszego z nich do długości dłuższego jest równy stosunkowi długości dłuższego odcinka do długości dzielonego odcinka. Na przykład punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział. Również bok dziesięciokąta foremnego ma długość równą długości dłuższego z odcinków wyznaczonych przez złoty podział promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie. W starożytności przypisywano złotemu podziałowi odcinka wyjątkowe walory estetyczne i używano go jako miary proporcji w architekturze. Do czasów współczesnych złoty podział był jedną z podstawowych reguł sztuk plastycznych. ZŁOTY PODZIAŁ MENU

35 ZŁOTY PODZIAŁ Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem). Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami. MENU

36 ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKA Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ (fi)). ab a + b a a b MENU

37 ZŁOTE CIĘCIE W PRZYRODZIE Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia. MENU

38 ZAGADKI : Kombinacja cyfrowa Co można zrobić, by liczba będąca kombinacją złożoną z cyfr 3, 1 oraz 6, zapisanych jedna za drugą, była podzielna przez 7? Odpowiedź : Wystarczy obrócić 6 tak, by utworzyła 9 i zapisać 931. MENU

39 ZAGADKI : Nowe świece Jeśli z trzech ogarków świec można wykonać jedną nową świecę, to ile świec możemy zapalić, mając początkowo do dyspozycji 9 świec? Odpowiedź : Po 9 świecach pozostaje 9 ogarków. Powstają z nich 3 nowe świece, a więc = 12. Z ogarków 3 nowych świec można wykonać jeszcze 1, a zatem = 13. MENU

40 ZAGADKI : Płot ogrodowy Kwadratowy ogród otoczony jest 16 słupkami ogrodzenia ustawionymi w jednakowych odstępach. Ile słupków znajdzie się wzdłuż każdego z boków ogrodu? Odpowiedź : 5, ponieważ każdy ze słupków narożnikowych należy do dwóch boków ogrodzenia. MENU

41 ZAGADKI : Ciężka praca Jeśli 10 mężczyzn potrzebuje 10 dni na wykopanie 10 dołów, to ile czasu musi poświęcić 1 mężczyzna, by wykopać pół dołu? Odpowiedź : Nie ma czegoś takiego jak pół dołu! MENU

42 ZAGADKI : Ciąg liczbowy W tym ciągu liczbowym nie chodzi o liczenie, ponieważ liczby uporządkowano w nim według określonego schematu. Jaka powinna być następna liczba? ?? Odpowiedź : Następna liczba to 55, gdyż każda kolejna liczba ciągu stanowi sumę 2-óch poprzednich. MENU

43 ZAGADKI : Szybkie starzenie się Pan Kowalski stwierdza:,,Przedwczoraj miałem 40 lat, a w przyszłym roku będę miał 43. Czy to możliwe? Odpowiedź : Pan Kowalski urodził się 31 grudnia, a wypowiada się 1 stycznia. Tak więc 30 grudnia miał jeszcze 40 lat, 31 grudnia skończył 41, w tym roku będzie miał 42, a w przyszłym 43 lata. MENU

44 LICZBA Π - LUDOLFINA Stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1. Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π). MENU

45 NIEWYMIERNOŚĆ I PRZESTĘPNOŚĆ LICZBY Π Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków. MENU

46 PRZYBLIŻONE WARTOŚCI Π W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7 rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo w postaci ułamka zwykłego 355/113 lub 52163/16604 (dwa ostatnie ułamki są równe π z dokładnością do 6 miejsc po przecinku). MENU

47 CIEKAWOSTKI O LICZBIE Π Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni dzień π (14 marca) (amerykański sposób zapisu daty 3.14) oraz dzień aproksymacji π (22 lipca) (europejski sposób zapisu daty 22/7=~3.1428). Tworzone są też wierszyki i opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π. Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji π uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez Clemensa Brentano, który jest przypuszczalnie pierwszym tego typu tekstem: Nie,Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (przekład Witolda Rybczyńskiego) MENU

48 Pierwszym polskim wierszem tego typu jest nieco toporny wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr, poświęconemu nauczaniu matematyki. Należy jednak pamiętać, że tekst powstał przed reformą ortografii z 1936 roku. Wtedy pisano nie ma w znaczeniu 'nie posiada' i niema w znaczeniu 'nie jest'. Kuć i orać w dzień zawzięcie, Bo plonów niema bez trudu! Złocisty szczęścia okręcie, Kołyszesz... Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota to potęga ludu! MENU

49 Inne przykłady: Jaś o kole z werwą dyskutuje bo dobrze temat ten czuje zastąpił ludolfinę słowami wierszyka czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika ? Oto i wiem i pomnę doskonale... Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła. Oto limeryk opublikowany kiedyś w miesięczniku Delta: Raz w maju, w drugą niedzielę Pi liczył cyfry pan Felek. Pomnożył, wysumował, Cyferki zanotował, Ale ma ich niewiele... MENU

50 Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po 'pauza' zastępuje zero): Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza to zastąpić liczbami. Popularny jest również polski wierszyk: Był i jest i wieki chwalonym ów będzie który kół obwód średnicą wymierzył MENU

51 NIEKTÓRE WZORY ZAWIERAJĄCE Π Geometria obwód okręgu o promieniu r pole elipsy o półosiach równych a i b powierzchnia kuli o promieniu r MENU

52 LICZBY PIERWSZE Iloczyn liczb naturalnych jest zawsze liczbą naturalną, są więc liczby naturalne, będące iloczynami dwóch liczb naturalnych większych od jedności. Są także liczby naturalne większe od jedności, które nie są iloczynami dwóch liczb naturalnych większych od jedności. Takie właśnie liczby nazywamy pierwszymi. Liczby pierwsze to swego rodzaju cegiełki służące do budowania kolejnych liczb naturalnych Liczby pierwsze to liczby naturalne, które posiadają dokładnie dwa dzielniki (liczbę 1 i samą siebie). Oto kilka początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, Nasuwa się pytanie, czy liczba naturalna jest pierwsza, czy też nie jest liczbą pierwszą. Jeśli liczba naturalna większa od 1 nie jest pierwszą, to jest iloczynem dwóch liczb naturalnych od niej mniejszych. Liczby takie nazywamy liczbami złożonymi. MENU

53 Liczby złożone to liczby naturalne, które posiadają więcej niż dwa dzielniki. Przykłady liczb złożonych: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,... Liczby 0 i 1 nie należą ani do liczb pierwszych ani do złożonych. Kiedyś uznawano liczbę 1 za pierwszą, jest ona jednak tak różna od właściwych liczb pierwszych, że dziś lokuje się ją w odrębnej klasie, nosi nazwę jedności. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Pierwszy nieskończoności liczb pierwszych dowiódł Euklides, który tak oto pisał:,,Jest więcej liczb pierwszych, niż każda dana liczba liczb pierwszych. MENU

54 NAJWIĘKSZE LICZBY PIERWSZE 23 sierpnia 2008 r. została odkryta 45 liczba pierwsza Mersenne'a ( ) licząca cyfr. Znalazł ją Edson Smith z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles. Poszukiwania prowadził w sieci przy użyciu 75 uczelnianych komputerów. Dwa tygodnie później, 6 września 2008 r. znaleziona została 46 liczba pierwsza Mersenne'a ( ) licząca cyfr. Liczbę znalazł Hans Elvenich z Langenfeld - Niemcy. Największą liczbą pierwszą sprzed ery elektroniki jest liczba, która nosi nazwę odkrywcy - liczba Ferriera i wynosi: Jest to 44-cyfrowa liczba znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora w 1951r. MENU

55 TABELA NAJWIĘKSZYCH ZNALEZIONYCH LICZB PIERWSZYCH Nr.Rok odkrycia WielkośćLiczba cyfr * * * MENU

56 SITO ERATOSTENESA Problemem liczb pierwszych zajmowali się matematycy od bardzo dawna. Jednym z pierwszych był matematyk grecki Eratostenes z Cyreny, żyjący w III wieku przed Chrystusem. Wymyślona przez niego metoda wyznaczania wszystkich liczb pierwszych nie większych od zadanej liczby nosi do dziś nazwę sita Eratostenesa. Aby sprawdzić, czy liczba naturalna n jest liczbą pierwszą, należy dzielić ją przez każdą taką liczbę k, gdzie k 2 n. Sposób ten nie jest najefektywniejszą metodą wyszukiwania liczb pierwszych, gdyż trzeba wykonać dużą ilość czasochłonnych dzieleń, tym większą, im większą wartość ma badana liczba. Skoro łatwiej jest mnożyć niż dzielić, Eratostenes zamiast sprawdzać podzielność kolejnych liczb naturalnych, zaproponował usuwanie ze zbioru liczb naturalnych wielokrotności kolejnych liczb, które nie zostały wcześniej usunięte. MENU

57 Sprawdźmy to na przykładzie dla n = 100. Należy postępować następująco: wypisać wszystkie liczby do 100; wykreślić wszystkie wielokrotności liczby 2; w każdym następnym kroku należy wykreślić wszystkie wielokrotności najmniejszej kolejnej nie wykreślonej liczby p, które są większe od p. Wystarczy to zrobić dla takich p, że p Tak więc wszystkie wielokrotności liczb 2, 3, 5, zostały odsiane. Liczby, które nie zostały wykreślone są liczbami pierwszymi. MENU

58 LICZBY BLIŹNIACZE Już greccy matematycy ze szkoły pitagorejskej, którzy szczególnie cenili sobie harmonię i ład wśród liczb, interesowali się liczbami bliźniaczymi, czyli takimi parami kolejnych liczb pierwszych, których różnica jest równa 2. Takimi parami są 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19 itd. Zasadnicze pytania dotyczą istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych bliźniaczych. Do dziś nie wiadomo, czy takich par jest skończenie czy też nieskończenie wiele. W 1949 r. P.A. Clement następująco scharakteryzował liczby pierwsze bliźniacze: Niech n 2. Liczby n i n + 2 tworzą parę liczb pierwszych bliźniaczych wtedy i tylko wtedy, gdy 4((n - 1)! + 1) + n 0 (mod n(n + 2)). Charakteryzacja ta nie ma jednak żadnej praktycznej wartości dla wyznaczania liczb pierwszych bliźniaczych. Istnieją także czwórki kolejnych liczb pierwszych, dające dwie pary liczb bliźniaczych, na przykład 11, 13, 17, 19 lub 191, 193, 197, 199. Jeżeli taką czwórkę tworzą liczby pierwsze p, p+2, p+6 i p+8, to pary takie nazywmay liczbami czworaczymi. MENU

59 ROZKŁAD LICZBY NA CZYNNIKI PIERWSZE Elementarnym sposobem rozkładu liczb na czynniki pierwsze jest kolejne dzielenie. Szukamy najmniejszej liczby pierwszej dzielącej daną liczbę i dzielimy. Powstały iloraz jest nową liczbą, dla której szukamy następną liczbę pierwszą ją dzielącą i powtarzamy tą czynność aż do uzyskania w ilorazie liczby 1. Otrzymujemy wówczas wszystkie dzielniki pierwsze szukanej liczby. Dla dużych liczb można więc wykorzystać maszynę do obliczeń. Każda liczba naturalna (n > 1) jest albo liczbą pierwszą albo iloczynem liczb pierwszych. Każdą liczbę zatem można jednoznacznie zapisać za pomocą iloczynu liczb pierwszych (czyli rozłożyć na czynniki pierwsze). Zasada Euklidesa mówi, że liczba pierwsza dzieli iloczyn liczb tylko wtedy, gdy dzieli przynajmniej jedną z nich. Wynika z niej, że liczba nie może mieć dwóch różnych rozkładów na iloczyn liczb pierwszych. MENU

60 KRYPTOGRAFIA Z KLUCZEM PUBLICZNYM Wobec zwiększającego się dostępu do środków łączności oraz potrzeby przesyłania różnych informacji powstała potrzeba opracowania metod szyfrowania, które zabezpieczałyby te informacje. Początkowo przesyłane szyfrowane informacje udawało się przeczytać łamiąc szyfr, który utrzymywany był w tajemnicy. W kryptografii nastąpił wielki postęp, gdy zaczęto używać systemów szyfrujących z kluczem publicznym. System taki cechuje prostota i jest niezwykle trudny do złamnania. Pomysł podali w 1976 roku W. Diffie i M.E. Hellman, a zaimplementowany efektywnie został w 1978 r. przez Ronalda Rivesta, Adi Shamira i Leonarda Adlemana, stąd system ten nazywa się systemem RSA. Każdej literze lub innemu znakowi, włączając spację, jest przyporządkowana liczba trzycfrowa, w tzw.kodzie ASCII (American Standard Code for Information Interchange). MENU

61 Każdą literę lub znak w tekście zastępuje się odpowiadającą mu liczbą 3-cyfrową i w ten sposób powstaje liczba, która odpowiada temu tekstowi. Przesyłaną wiadomość można traktować więc jako pewną liczbę naturalną otrzymaną z ciągu liczb trzycyfrowych odpowiadających kolejnym literom i znakom w tej wiadomości. Każdy użytkownik tego systemu kryptograficznego podaje do publicznej wiadomości swój klucz, który jest parą liczb naturalnych (n, k). Pierwsza z liczb jest iloczynem dwóch dowolnych liczb pierwszych p, q, (n = pq), które zachowuje się w tajemnicy. Ponadto liczba k musi być liczbą względnie pierwszą z p-1 iq-1. Zaczynamy od dwóch dużych, losowo wybranych, rożnych liczb pierwszych p i q. Obliczamy ich iloczynn = pq. Liczba n nie jest liczbą pierwszą, wiec nie zachodzi równość, x n-1 1 (mod n) dla 0 < x < p. Aby użyć RSA musimy znaleźć taki wykładnik t, aby x t 1 (mod n) dla (prawie) wszystkich x. Jeżeli zachodzix t 1 (mod n), to zachodzi również x t 1 (mod p) oraz x t 1 (mod q). Liczby p i q są pierwsze więc równanie x t 1 (mod n) będzie zachodzić tylko wtedy gdy p-1 będzie dzielnikiem t oraz q-1 będzie dzielnikiem t. MENU

62 Zatem najmniejsza liczba o takiej właściwości to NWW(p-1, q-1). Mamy zatem t = NWW(p-1, q-1), wartość t możemy obliczyć również z funkcji Eulera. Funkcja ta dla liczby n = pq, gdziep i q są pierwsze wynosi Φ(n) = (p - 1)(q - 1) i jest wielokrotnością liczby t. Użycie jej zamiast t również daje dobry rezultat. Mając p, q, n oraz t, potrzebujemy teraz dwóch różnych wykładników k oraz l. Muszą one spełniać warunek kl 1 (mod t). Znając wykładnik k, obliczamy l jako odwrotność k modulo t. Aby zaszyfrować wiadomość w, nadawca oblicza tekst zaszyfrowany c = w k (mod n). Aby odszyfrować tekst c wystarczy obliczyć c l (mod n) co jest równe oryginalnej wiadomości w. Klucz publiczny stanowi para (n, k), kluczem tajnym są liczby (p, q, t, l). Należy zwrócić uwagę jeszcze na to, że jeżeli liczba k będzie miała wspólny czynnik z t, to nie będzie istniał element odwrotny do k modulo t, dlatego k i t muszą być względnie pierwsze. Dla wybranej wartości k liczby należy sprawdzić czyp-1 oraz q-1 nie mają wspólnych czynników z wybranym k. MENU

63 Na podstawie klucza publicznego nie da się łatwo odgadnąć liczb w kluczu prywatnym. Można by tego dokonać rozkładając n na czynniki by poznać p i q, jednak nie jest znany wydajny algorytm rozkładu liczb na czynniki liczb złożonych. Jeśli chcemy zapewnić odpowiednie bezpieczeństwo, to nasza liczba n powinna mieć kilka tysięcy bitów długości. MENU

64 LICZBY OLBRZYMY Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego. Spójrzmy na niebo usiane gwiazdami, na morze drżące falami, na ziarnka piasku pustyni, a w myśli naszej zrodzi się pojęcie o liczbach olbrzymach, o liczbach niezmiernych, o istnym bezliku. Te liczby-olbrzymy kryją się w otchłaniach ograniczoności, bowiem poza każdą wielką liczbą zachodzi możliwość istnienia jeszcze większych i większych… A jednak, te owe bezmiary, bezkresy i bezliki mieszczą się wszystkie w myśli ludzkiej. MENU

65 Kto by się łudził, że wie doskonale,,,co to jest milion", i że mógłby stosować tę liczbę bez żadnych trudności do przeróżnych objawów życia, ten niechaj spróbuje natychmiast odpowiedzieć bez dłuższego namysłu, jaką grubość osiągnąłby włos ludzki powiększony milion razy. Czy zrówna się ze średnicą ramienia czy przeciętnego pnia sosny, czy może beczki wielkich rozmiarów? Włos ludzki, powiększony na grubość milion razy, będzie miał w średnicy 70 metrów! Będzie więc większy niż słynny barbakan krakowski zwany Rondlem; można by śmiało w jego wnętrzu jeździć w krąg samochodem, położony zaś, nie zmieściłby się na żadnej prawie ulicy naszych miast. A jaką wielkość osiągnie komar, zwykły komar brzęczący, dokuczliwy powiększony milion razy? MENU

66 Odpowiedzcie bez obliczeń, ot tak na chybił trafił"! Po pierwszym zagadnieniu już niewątpliwie łatwiej będzie orientować się w rozmiarach tego zmilionowanego" maleńkiego owada, a jednak na pewno dla wielu wyda się to niewiarygodne, gdy usłyszą, że komar będzie miał 5 kilometrów długości! Zestawień takich można by przytoczyć milion! Ale i tych kilka wystarczy zapewne, by przekonać wszystkich, że zaiste nawet poczciwego milionika" nie znamy, zupełnie nie znamy. A cóż powiedzieć o liczbach odeń nieporównanie większych... Pewna dama w rozmowie o odległości Ziemi od Słońca twierdziła, iż oczywiście wiadomo jej, że Słońce odległe jest od nas o jakieś tam miliony czy biliony kilometrów… MENU

67 Jeden110 0 Tysiąc Miliona Miliard Bilion Biliard Trylion Tryliard Kwadrylion Kwadryliard Kwintylion Kwintyliard NAZWY LICZB OLBRZYMÓW MENU

68 Sekstylion Sekstyliard Septylion Septyliard oktylion Oktyliard Nonilion Noniliard Decylion Decyliard Centylion MENU

69 WYKONALI Gimnazjum im. Królowej Jadwigi w Zagórowie ID grupy: 98/74_mf_g1 Gimnazjum 41 (Zespół Szkoł z Oddziałami Integracyjnymi i Specjalnymi nr 2 w Poznaniu) ID grupy: 98_14_mf_g1

70 BIBLIOGRAFIA

71 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA


Pobierz ppt "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."

Podobne prezentacje


Reklamy Google