Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."— Zapis prezentacji:

1 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

2 DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA) Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Polskich Noblistów w Bralinie ID grupy: 98/78 MF G2 Opiekun: Piotr Szczepaniak Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Geometria w programie Geogebra Semestr/rok szkolny: sem. III, rok szk. 2010/2011

3 Spis treści Geometria Historia geometrii Geometria euklidesowa Euklides r. p.n.e.. Elementy Aksjomaty Euklidesa David Hilber Aksjomatyka Hilberta Współczesne pojęcie geometrii Pojęcie pierwotne Podstawowe pojęcia geometrii Płaszczyzna Punkt Prosta Dlaczego Geogebra? Geogebra Możliwości Geogebry w skrócie Geogebra w internecie Materiały edukacyjne Obsługa programu Geogebra Od czego zacząć? Konstrukcja geometryczna Zasady konstrukcji Zasady konstrukcji w programie Geogebra Geogebra na lekcji matematyki Układ współrzędnych Układ współrzędnych - zadania Figury geometryczne Prosta prostopadła Prosta równoległa Symetralna odcinka Symetralna odcinka - własności Dwusieczna kąta Dwusieczna kąta - zadania Konstrukcja kąta 60 stopni Konstrukcja kąta 30 stopni Konstrukcja kąta 45 stopni Wielokąty Warunek istnienia trójkąta Trójkąt różnoboczny Trójkąt równoramienny Trójkąt równoboczny Trójkąt ostrokątny Trójkąt prostokątny Trójkąt rozwartokątny Suma miar katów wewnętrznych trójkąta Miara kąta zewnętrznego trójkąta Czworokąty Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta Trapez Romb - konstrukcja Pola wielokątów Okrąg i koło Prosta i okrąg Wzajemne położenie dwóch okręgów Kąt środkowy i wpisany Okrąg opisany na czworokącie Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt Konstrukcja stycznej do okręgu Wielokąty Konstrukcja pięciokąta foremnego Konstrukcja sześciokąta foremnego Symetria osiowa Figury osiowosymetryczne Symetria środkowa Twierdzenie Pitagorasa Trójkąt egipski Twierdzenie Pitagorasa - zadanie Twierdzenie Talesa Podział odcinka w danym stosunku Funkcja liniowa Stereometria Bibliografia

4

5 Jest to dziedzina matematyki badająca dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar. W zależności od rodzaju przekształceń mówi się o różnych rodzajach geometrii. Geometria, podobnie jak arytmetyka należy do jednych z najstarszych nauk. Podobnie jak inne działy matematyki geometria wyewoluowała od badania kształtów znanych z codziennego życia do studiów nad nieskończenie wymiarowymi abstrakcyjnymi przestrzeniami matematycznymi. Geometria

6 Geometria powstała w starożytności. W swych początkach była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrii pojawiły się w VI wieku p.n.e. w starożytnej Grecji (Tales z Miletu). Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów jest dzieło Euklidesa Elementy (ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji, arytmetykę oraz geometrię. Jest pierwszym dedukcyjnym wykładem geometrii w historii matematyki. Wszystkie twierdzenia są wyprowadzone zgodnie z tradycyjnymi regułami logiki na podstawie przyjętych pojęć pierwotnych i aksjomatów, których było pięć. Jest to również pierwsza aksjomatyczna teoria w historii matematyki. Aksjomatyzacja arytmetyki pojawiła się wiele wieków później. Więcej na Historia geometrii

7 Geometria euklidesowa – klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy (z III w. p.n.e.). Zebrał on całą ówczesną wiedzę matematyczną znaną Grekom, dziś jego dzieło przedstawia się jako pierwszą znaną aksjomatyzację w historii matematyki. Pierwotnie uprawiano ją jedynie na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej wiążąc ją jednocześnie ze światem fizycznym, który miała opisywać, nie dopuszczając tym samym możliwości badania innych odmian geometrii. Szkoła Euklidesa w Atenach (Obraz Raffaello Sanzio, 1509) Geometria euklidesowa

8 Matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii. Autor pierwszych prac teoretycznych z matematyki. Główne jego dzieło to Elementy (tytuł grecki Stoicheia geometrias). Są one syntezą ówczesnej wiedzy matematycznej zarówno w dziedzinie geometrii, jak i w teorii liczb. Elementy są pierwszą próbą aksjomatycznego ujęcia geometrii i były podstawowym podręcznikiem geometrii do XIX wieku. Elementy były bardzo poczytne - przetłumaczono je na olbrzymią liczbę języków, zaś liczbą wydań ustępują jedynie Biblii. Euklides usystematyzował ówczesną wiedzę matematyczną w postaci aksjomatycznego wykładu; zachowały się też dzieła z geometrii, optyki (m.in. prawo odbicia światła), astronomii, teorii muzyki. Euklides r. p.n.e..

9 Elementy pochodzący z IV wieku p.n.e. traktat arytmetyczny i geometryczny, obejmujący swym zakresem podstawowe zagadnienia obu tych nauk. Elementy ukształtowały sposób myślenia o teoriach matematycznych i stały się wzorcem do naśladowania w wielu dziedzinach nauki. Są klasycznym przykładem metody dedukcyjnej i świadectwem siły rozumowania formalnego opartego na logice. Uznawane są za jedno z najsłynniejszych dzieł naukowych w historii ludzkości.

10 W ujęciu tradycyjnym, nazywanym geometrią syntetyczną, geometria euklidesowa przedstawiana jest jako system aksjomatyczny, w którym wszystkie twierdzenia muszą wynikać z aksjomatów, czyli zdań przyjmowanych z góry jako prawdziwe. W podanym przez siebie systemie Euklides wyróżnił pięć aksjomatów lub pewników płaszczyzny nazywanej później również euklidesową: Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą). Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości. Wszystkie kąty proste są przystające. Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony. Aksjomaty Euklidesa

11 Matematyk niemiecki. Zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej. David Hilber

12 zestaw aksjomatów geometrii euklidesowej podany przez Davida Hilberta w roku 1899 w jego pracy Grundlagen der Geometrie (Podstawy geometrii). System Hilberta jest podstawą większości współczesnych ujęć geometrii euklidesowej. Hilbert podał swój system aksjomatów po tym, jak pod koniec XIX wieku okazało się, że zestaw pewników Euklidesa podany w Elementach zawiera luki. System Hilberta jest już zupełny. Pojęciami pierwotnymi (tj. niedefiniowalnymi) są: punkt, prosta, płaszczyzna, leżeć na, zawierać się w, pomiędzy, przystawać. Aksjomaty, opisujące własności pojęć pierwotnych podzielone są na grupy. Więcej na: Aksjomatyka Hilberta

13 Pojęcia pierwotne ze swej natury nie są formalnie definiowane w języku danej teorii, są po prostu symbolami których własności opisują aksjomaty, założenia budujące podwaliny tej teorii matematycznej. Można jednak stworzyć tzw. model tej teorii, to znaczy zdefiniować takie obiekty matematyczne, które podstawione jako pojęcia pierwotne spełniają wszystkie jej aksjomaty (pewniki Euklidesa, czy aksjomaty Hilberta). Aby obiekty te dało się zdefiniować, model musi opierać się na pojęciach spoza modelowanej teorii. Takim powszechnie dziś przyjmowanym modelem geometrii euklidesowej jest tzw. przestrzeń kartezjańska opierająca się na aparacie analizy matematycznej. Przestrzeń kartezjańska jest szczególnie wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej, gdyż pozwala na sprowadzenie wszelkich twierdzeń geometrycznych do postaci liczbowej, co zwykle upraszcza dowodzenie. Okazuje się zresztą, że aksjomaty Euklidesa nie są wystarczające do rozstrzygnięcia prawdziwości lub fałszywości pewnych twierdzeń. Można to jednak zrobić metodami analitycznymi w przestrzeni kartezjańskiej. Współczesne pojęcie geometrii

14 Obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Pojęcia pierwotnego nie definiuje się językiem teorii, tylko podaje się definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje. Pojęcie pierwotne

15 Jak już wcześniej wspomnieliśmy, w geometrii euklidesowej wyróżniono pewne pojęcia podstawowe. Zwrócimy tu uwagę na: płaszczyznę, punkt i prostą. Podstawowe pojęcia geometrii

16 Jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów. Płaszczyzna w geometrii euklidesowej Płaszczyzna w geometrii analitycznej Płaszczyzna

17 Punkt - najmniejszy, bezwymiarowy obiekt geometryczny. Punkt ma zawsze zerowe rozmiary, dwa punkty mogą więc różnić się tylko położeniem. Punkty zaznacza się na rysunku jako x (krzyżyk), kółko lub kropkę i tradycyjnie oznacza wielkimi literami alfabetu łacińskiego (A, B, C). W przestrzeni kartezjańskiej punkt możemy zdefiniować jako parę uporządkowaną liczb rzeczywistych. Pierwszą próbę opisania pojęcia punktu podjął Euklides: Punkt to jest to, co nie składa się z części (czego nie można rozłożyć na części). Dla Euklidesa punkt jest "miejscem" bez wymiarów, co oddał w swoich postulatach czy twierdzeniach. Na przykład: "dwie proste przecinają się w punkcie...", "z punktu można zakreślić okrąg...". Zwykle jednak słowa "punkt" używa się jedynie w odniesieniu do elementów przestrzeni euklidesowej, lub innych przestrzeni geometrycznych. Punkt

18 W klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw. pojęciem pierwotnym, niedefiniowanym formalnie w obrębie danej teorii. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów o współrzędnych spełniających pewne równanie. Inne znalezione ciekawe definicje: Szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie. Według Euklidesa: linia jest długością bez szerokości, linia jest prosta, jeśli jest położona między swoimi punktami w równym i jednostajnym kierunku. Prosta

19 Oto kilka dowodów na to, że komputer wspomaga matematykę: Dowody twierdzeń wymagających ogromnej ilości obliczeń, np. twierdzenie o 4 barwach. Dowodzenie twierdzeń: komputery znalazły krótkie dowody hipotez, których przez dziesiątki lat nie potrafili udowodnić ludzie. Sprawdzanie poprawności dowodów. Wysuwanie hipotez matematycznych - komputer gra rolę partnera. Obliczanie całek nieoznaczonych i rozwiązywanie równań: algebra symboliczna. Wysuwanie hipotez matematycznych - komputer gra rolę partnera. Dzięki komputerom powstały całe nowe działy matematyki, np. geometria fraktalna. Dlaczego Geogebra?

20 Komputerowe dowody są często znacznie pewniejsze niż dowody klasyczne, w których jest sporo błędów. Przykładem mogą być tablice całek, w których programy do algebry symbolicznej znajdowały od 10 do 25% błędnie podanych całek. Jakie odkrycie polskiego matematyka zrobiło największą karierę? W 1946 roku Stanisław Ulam, układając w szpitalu pasjansa, wpadł na pomysł rachunku Monte Carlo. Jest to metoda uniwersalna, pod warunkiem, że mamy pod ręką narzędzie które potrafi w ciągu sekundy zbadać miliony przypadkowych możliwości. Jedynie komputery dają nam takie możliwości. Projekt QED (od,,Quod Erant Demonstratum) zmierza on do zbudowania komputerowego systemu w którym zgromadzona zostanie cała wiedza ludzkości o matematyce! Wniosek: My też tak chcemy!

21 GeoGebra jest bezpłatnym wieloplatformowym dynamicznym oprogramowaniem matematycznym dla wszystkich poziomów edukacji, które łączy geometrię, algebrę, tabele, grafikę, statystykę i analizę matematyczną w jednym łatwym do użycia pakiecie. Otrzymała wiele nagród dla oprogramowania edukacyjnego w Europie i USA. Geogebra

22 Grafika, algebra i tabele są połączone i w pełni dynamiczne. Łatwy w obsłudze interfejs. Autorskie narzędzie do tworzenia interaktywnych materiałów edukacyjnych jako stron internetowych. Dostępna w wielu językach dla milionów użytkowników na całym świecie. Bezpłatne oprogramowanie typu open source. Ciekawym ułatwieniem związanym z użytkowaniem Geogebry jest to, że nie wymaga ona bezpośredniej instalacji na komputerze użytkownika. Program może być uruchomiony bezpośrednio ze strony za pomocą dowolnej przeglądarki korzystającej ze środowiska Java. Sprawdź sam: Możliwości Geogebry w skrócie

23 Główną stroną programu jest: Można znaleźć tam sam program w dziale Download. Dodatkowo zamieszczono szereg materiałów do nauki obsługi Geogebry. Jest również specjalne miejsce dla społeczności związanej z projektem. Dodatkowo możemy skorzystać ze stron na Facebook oraz Twitter. Geogebra ma również swój kanał na YouTube. Geogebra w internecie

24 Sam program nie wymaga wielkiej wiedzy informatycznej, aby z niego korzystać. Oczywiście nie obejdzie się bez wiedzy matematycznej, bez której raczej nie zrozumiemy filozofii jego działania. Ale o tym w dalszej części naszej prezentacji. Na stronie Geogebry jest specjalny dział poświęcony materiałom edukacyjnym. Oczywiście nie ma sensu tracić czasu na tworzenie bardziej zaawansowanych skryptów w programie, skoro zrobił to ktoś wcześniej i udostępnił innym. Materiały edukacyjne

25 Zbiór materiałów edukacyjnych dostępnych na stronie zawiera pomoce nie tylko z matematyki. Oto ogólna lista: 1 Matematyka 1.1 Arytmetyka 1.2 Planimetria 1.3 Stereometria 1.4 Geometria analityczna na płaszczyźnie 1.5 Geometria analityczna w przestrzeni 1.6 Funkcje 1.7 Równania i układy równań, nierówności 1.8 Rachunek różniczkowy i całkowy 1.9 Inne 2 Fizyka 3 Informatyka 4 Geografia 5 Rozrywka

26 Jak większość urządzeń z których korzystamy na co dzień, również Geogebra wykorzystała tzw. intuicyjne menu. Jak widać na powyższym screenie, wszystkie podstawowe funkcje zostały odpowiednio pogrupowane. Oczywiście możemy je odpowiednio rozbudować na swoje potrzeby. Nie ma sensu opisywać poszczególnych funkcji programu. Wystarczy sięgnąć do bardzo dobrze przygotowanej pomocy dostępnej w górnym menu. W trudnych przypadkach warto zadać pytanie na forum Geogebry. Obsługa programu Geogebra

27 Po uruchomieniu programy, jak już wcześniej wspomnieliśmy, widzimy dwa menu. Jedno typowe dla każdego innego programu, drugie dotyczące ściśle pola działań Geogebry. Tutaj jednak pojawia się problem. Od czego zacząć? Okazuje się, że jedynym słusznym rozwiązaniem, jest sięgnięcie nie tylko do pomocy samego programu, ale do podręcznika z matematyki. To tam znajdziemy pełną instrukcję obsługi programu Geogebra. Dziwne? Przekonajmy się... zacznijmy od pojęcia konstrukcji geometrycznej. Od czego zacząć?

28 Konstrukcje klasyczne, konstrukcje przy użyciu cyrkla i linijki – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki. Widzimy więc, że podstawowymi narzędziami przy obsłudze programu Geogebra będą: punkt, prosta i okrąg. Konstrukcja geometryczna

29 Obydwa narzędzia są wyidealizowane – cyrkiel może być rozwarty na dowolną szerokość, a linijka jest jednostronna (tj. nie wolno korzystać z drugiej krawędzi) i ma potencjalnie nieskończoną długość. Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to kreślenie okręgów o środkach w punktach, które już są dane i promieniach równych odcinkom wyznaczonym przez dane lub już skonstruowane punkty; jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to rysowanie (lub przedłużanie) odcinków wyznaczonych przez dane lub już skonstruowane punkty. Poza tym mając dane: - dwie proste - prostą i okrąg - dwa okręgi można znaleźć ich punkty wspólne, lub stwierdzić że ich nie ma. Inne czynności są niedozwolone. Zasady konstrukcji

30 Poniższy rysunek przedstawia podstawowe ruchy w konstrukcjach geometrycznych.

31 Patrz slajd: Zasady konstrukcji. Zasady konstrukcji w programie Geogebra

32 Na poniższym rysunku, wykonanym w programie Geogebra, widzimy podstawowe ruchy konstrukcji klasycznej.

33 Dzięki projektowi Z fizyka, matematyką i przedsiębiorczością zdobywamy świat!!!, nasza pracownia matematyczna została wyposażona w tablicę interaktywną. Sprzęt ten w połączeniu z programem Geogebra okazał się wspaniałą pomocą na lekcjach matematyki. W dalszej części naszej prezentacji przedstawimy wybrane zagadnienia matematyki, którymi zajmujemy się w gimnazjum oraz przykłady zastosowań programu Geogebra. Geogebra na lekcji matematyki

34 Początek układu współrzędnych Oś liczbowa OX – oś odciętych Oś liczbowa OY – oś rzędnych I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka Układ współrzędnych

35 Zadanie. Odczytaj współrzędne punktu w układzie współrzędnych. Kliknij poniższy obrazek, aby uruchomić ćwiczenie w programie Geogebra. Układ współrzędnych - zadania

36 Zadanie. Odczytaj współrzędne punktu A. Kliknij obrazek, aby uruchomić ćwiczenie w programie Geogebra.

37 Współrzędne punkt - zadania Zadanie. Jaką figurę geometryczną otrzymamy po połączeniu kolejno punktów A = (-1, 1), B = (4, 1), C = (3, 4) i D = (0, 4)? Do rozwiązania tego zadania możesz użyć programu Geogebra.

38 Współrzędne punkt - zadania Rozwiązanie zadania. Odp. Szukaną figurą jest trapez równoramienny.

39 Kreślenie prostych prostopadłych i prostych równoległych. W dalszej części przedstawimy opisy konstrukcji wygenerowane za pomocą programu Geogebra. W tym celu skorzystaliśmy z tzw. protokołu konstrukcji. Figury geometryczne

40 I. Konstrukcja prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez punkt A nie leżący na danej prostej. Prosta prostopadła

41 Prosta prostopadła – opis konstrukcji

42 Prosta prostopadła II. Konstrukcja prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez punkt A leżący na danej prostej.

43 Prosta prostopadła Opis konstrukcji.

44 Konstrukcja prostej równoległej do danej przechodzącej przez punkt A. Prosta równoległa

45 Prosta równoległa – opis konstrukcji

46 Konstrukcja symetralnej odcinka Symetralna odcinka

47 Symetralna odcinka – opis konstrukcji

48 Zadanie. Z pomocą programu Geogebra, zbadaj własności symetralnej odcinka. Symetralna odcinka - własności

49 Wniosek. Punkt przecięcia odcinka z jego symetralną jest jego środkiem.

50 Symetralna odcinka - własności Zadanie. Co można powiedzieć o końcach odcinka i punktach leżących na jego symetralnej?

51 Symetralna odcinka - własności Wniosek. Punkty leżące na symetralnej odcinka leżą w równej odległości od jego końców. W konstrukcjach można wykorzystać tzw. ślad obiektu.

52 Symetralna odcinka Zadanie. Dany odcinek podziel na 4 równe części. Geogebra zawiera gotowy skrypt symetralnej odcinka

53 Zadanie. Dany kąt podziel na dwie równe części. Dwusieczna kąta

54 Dwusieczna kąta – opis konstrukcji

55 Zadanie. Wyznacz kąty o miarach 30, 45 i 60 stopni. Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od największego z kątów – 60 stopni. Badając wielokrotności liczby 60 dochodzimy do 180. Figurą, której suma miar wszystkich kątów wynosi 180 stopni jest trójkąt. Tylko trójkąt równoboczny ma wszystkie miary kątów równe, zatem tam właśnie znajdziemy kąt 60 stopni. Kąt 30 stopni otrzymamy wyznaczając dwusieczną kąta 60 stopni. Kąt 45 stopni otrzymamy z dwusiecznej kąta 90 stopni. Sam kąt 90 stopni otrzymamy z konstrukcji prostej prostopadłej. Dwusieczna kąta - zadania

56 Konstrukcja kąta 60 stopni

57 Na podstawie skryptu z poprzedniego slajdu i gotowego skryptu dwusiecznej kąta, dzielimy kąt 60 stopni na dwie równe części. Konstrukcja kąta 30 stopni

58 Do wyznaczenia prostej prostopadłej korzystamy z gotowego skryptu. Podobnie przy dwusiecznej kąta 90 stopni. Konstrukcja kąta 45 stopni

59 Wielokąt jest to część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą wraz z tą łamaną. Zadanie. Z pomocą programu Geogebra, zbadaj własności następujących trójkątów: - równoboczny, - równoramienny, - różnoboczny, - ostrokątny, - prostokątny, - rozwartokątny. Rozwiązanie. Do zbadania własności powyższych trójkątów wystarczy skorzystać z jednego skryptu dowolnego trójkąta. Czy na pewno? Wielokąty

60 Poniżej zamieściliśmy skrypt, który pokazuje warunek istnienia trójkąta. Przejdź do skryptu Warunek istnienia trójkąta

61 Ma wszystkie boku różnych długości. Trójkąt różnoboczny

62 Ma dwa boki równej długości. Kąty przy podstawie są równe (podstawa w tym przypadku to bok o długości różnej od pozostałych). Uwaga! W tym przypadku wykorzystanie skryptu okazało się błędne ze względu na rozdzielczość ekranu. Pomimo równych ramion kąty przy podstawie nie mają równych miar. Trójkąt równoramienny

63 Do konstrukcji trójkąta równobocznego skorzystaliśmy z gotowego skryptu konstrukcji wielokąta foremnego. Ma wszystkie boki równej długości i kąty równej miary. Trójkąt równoboczny

64 Ma wszystkie kąty ostre. Trójkąt ostrokątny

65 Jeden z kątów ma miarę 90 stopni. Boki BC i AC to przyprostokątne. Bok AB to przeciwprostokątna. Trójkąt prostokątny

66 Jeden z kątów jest rozwartokątny. Pozostałe dwa kąty są ostre. Trójkąt rozwartokątny

67 Zadanie. Narysuj dowolny trójkąt ABC i określ sumę miar jego kątów wewnętrznych. Jak widać na rysunku odpowiednie kąty są naprzemianległe wewnętrznie. Otrzymaliśmy w ten sposób kąt półpełny. Suma miar kątów wynosi 180 stopni. Suma miar katów wewnętrznych trójkąta

68 Zadanie. Wykaż, że miara kąta zewnętrznego trójkąta jest równa sumie miar kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych. Miara kąta zewnętrznego trójkąta

69 Narysuj dwie proste równoległe, a następnie wykreśl kolejno czworokąty: trapez, równoległobok, romb, prostokąt i kwadrat tak, aby dwa przeciwległe boki każdego z tych czworokątów położone były na tych prostych. Narysuj w nich przekątne. Opisz te czworokąty. Czworokąty

70

71 Trapez – ma parę boków równoległych zwanych podstawami. Równoległobok – ma dwie pary boków równych i równoległych. Jego przekątne dzielą się na połowy. Przeciwległe kąty mają równe miary. Romb – ma wszystkie boki równej długości. Jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. Przeciwległe kąty mają równe miary. Prostokąt – ma wszystkie kąty proste, dwie pary boków równych i równoległych. Jego przekątne są równej długości i dzielą się na połowy. Kwadrat – ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty proste. Jego przekątne są równej długości, przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy.

72 Zadanie. Wykaż, że suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360 stopni. Dowolny czworokąt można podzielić jego przekątną na dwa trójkąty, których sumy kątów wewnętrznych wynaszą po 180 stopni. Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta

73 Rozwiązanie II Przejdź do skryptu

74 Zadanie. Zbadaj miary kątów w trapezie. Trapez

75 Zadanie. Zbadaj własności trapezu równoramiennego. W trapezie równoramiennym kąty przy podstawach są równe.

76 Zadanie. Skonstruuj romb, gdy dane są jego przekątne. Przejdź do skryptu Romb - konstrukcja

77 W prezentacji naszej skupiliśmy się na konstrukcyjnych dowodach wzorów pól odpowiednich wielokątów. Same wzory można odnaleźć w tablicach matematycznych, które dostępne są w każdej bibliotece. Zapraszamy do lektury. Pola wielokątów

78 Pole trójkąta Przykłady konstrukcji (kliknij odpowiedni link): - I ilustracja wzoru na pole trójkąta. - II ilustracja wzoru na pole trójkąta.

79 Pole trójkąta – ilustracja graficzna 1 2 3

80 Pole trapezu Przykłady konstrukcji (kliknij odpowiedni link): - I ilustracja wzoru na pole trapezu. - II ilustracja wzoru na pole trapezu.

81 Pole trapezu – ilustracja graficzna 1 2

82 Pole równoległoboku Przykłady konstrukcji (kliknij odpowiedni link): - ilustracja wzoru na pole równoległoboku.

83 Pole równoległoboku – ilustracja graficzna 1 2 3

84 Pole rombu Romb jest szczególnych przypadkiem równoległoboku.

85 Pole deltoidu Przykłady konstrukcji (kliknij odpowiedni link): - ilustracja wzoru na pole deltoidu.

86 Pole deltoidu – ilustracja graficzna 1 2 3

87 Przykład graficznej ilustracji na przybliżenie pola koła. (link do skryptu). Okrąg i koło

88 Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest większa od długości promienia, to nie mają one punktów wspólnych. Przejdź do skryptu Prosta i okrąg

89 Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest równa długości promienia okręgu, to mają one jeden punkt wspólny.

90 Prosta i okrąg Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest mniejsza od długości promienia okręgu, to mają one dwa punkty wspólne.

91 Zapraszamy do zabawy skryptem. Wzajemne położenie dwóch okręgów

92 Zadanie. Wykaż, że miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Przejdź do skryptu Kąt środkowy i wpisany

93 Kąty wpisane oparte na tym samym łuku Zadanie. Wykaż, że dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary. Przejdź do skryptu

94 Kąt wpisany oparty na półokręgu Zadanie. Jaką miarę ma kąt wpisany oparty na półokręgu? Odp. Kąt wpisany oparty na półokręgu ma miarę 90 stopni. Przejdź do skryptu

95 Zadanie. Wykaż na dowolnym czworokącie, że sumy miar naprzeciwległych kątów w czworokącie wpisanym w okrąg są równe =53,13+126,87=180 Przejdź do skryptu Okrąg opisany na czworokącie

96 Zadanie. Zbadaj własności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Przejdź do skryptu Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

97 Konstrukcja okręgu opisanego na trójkącie

98 Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt

99 Konstrukcja stycznej do okręgu

100 Wielokąty

101

102

103

104

105

106

107 Uruchom skrypt, aby zobaczyć konstrukcję Konstrukcja pięciokąta foremnego

108 Uruchom skrypt, aby zobaczyć konstrukcję Konstrukcja sześciokąta foremnego

109 Zadanie. Dany wielokąt przekształć w symetrii osiowej względem dowolnej prostej. Co można powiedzieć o wierzchołkach wielokątów? Przejdź do skryptu Symetria osiowa

110 Zadanie. Zbadaj liczbę osi symetrii szcześciokąta foremnego. Odp. Sześciokąt foremny ma 6 osi symetrii. Figury osiowosymetryczne

111 Zadanie. Dane są punkty A, B, C i D. Zbadaj ich współrzędne przekształcając je w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Przejdź do skryptu Symetria środkowa

112 Zadanie. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym, suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Twierdzenie Pitagorasa

113 Twierdzenie Pitagorasa – dowód I Link do skryptu

114 Twierdzenie Pitagorasa – dowód II Link do skryptu

115 Przejdź do skryptu Trójkąt egipski

116 Zadanie. Jak skonstruować odcinek o długości ? Do konstrukcji wykorzystamy ślimaka pitagorejskiego. Przejdź do skryptu Twierdzenie Pitagorasa - zadanie

117 Zadanie. Sprawdź słuszność twierdzenia Talesa na wybranych przykładach. Przejdź do skryptu Twierdzenie Talesa

118 Twierdzenie Talesa - zadanie Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b. W trójkąt wpisany jest kwadrat tak, że dwa jego wierzchołki leżą na przeciwprostokątnej, a pozostałe dwa po jednym na obu przyprostokątnych. Oblicz pole tego kwadratu.

119 Korzystając z twierdzenia Talesa możemy podzielić dowolny odcinek w danym stosunku. Przykładem może być poniższy skrypt w programie Geogebra. Przejdź do skryptu Podział odcinka w danym stosunku

120 Zadanie. Zbadaj własności funkcji liniowej danej w postaci y=2x-1. Funkcja liniowa ma miejsce zerowe x=1 (punkt A), oś OY przecina w punkcie B=(0,-1). Jest funkcją rosnącą. Dla x>1 przyjmuje wartości dodatnie. Dla x<1 przyjmuje wartości ujemne. Funkcja liniowa

121 Program Geogebra w obecnej wersji nie posiada funkcji tworzenia obrazów trójwymiarowych. Jedynie za pomocą odpowiednich skryptów można generować figury geometryczne przestrzenne. Niestety ta wiedza wykracza poza podstawę programową w gimnazjum. Stereometria

122 pl.wikipedia.prg geogebra.org Z Pitagorasem przez gimnazjum St. Durydiwka, Wydawnictwo Adam. Bibliografia

123 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA


Pobierz ppt "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."

Podobne prezentacje


Reklamy Google