Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

13-01-2009Reinhard Kulessa1 Wykład 25 11.5.2 Trójwymiarowe równanie różniczkowe fali 11.5.1 Fale płaskie c.d. 11.5.3 Fale kuliste 11.6 Energia fali 11.7.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "13-01-2009Reinhard Kulessa1 Wykład 25 11.5.2 Trójwymiarowe równanie różniczkowe fali 11.5.1 Fale płaskie c.d. 11.5.3 Fale kuliste 11.6 Energia fali 11.7."— Zapis prezentacji:

1 Reinhard Kulessa1 Wykład Trójwymiarowe równanie różniczkowe fali Fale płaskie c.d Fale kuliste 11.6 Energia fali 11.7 Interferencja fal Fala stojąca

2 Reinhard Kulessa2 = 0 = - A Możemy teraz skonstruować szereg płaszczyzn, dla których wartość (r) w przestrzeni zmienia się periodycznie. Mianowicie lub bardziej ogólnie;. Dla powyższych równań, dla każdej płaszczyzny ustalonej przez warunek Fale płaskie c.d.

3 Reinhard Kulessa3 (r) przyjmuje wartość stałą. Dla fal harmonicznych wartości powinny powtórzyć się w przestrzeni po przesunięciu o w kierunku k. Przedstawia to ostatni rysunek. Rysunek ten przedstawia tylko niektóre z nieskończonej liczby płaszczyzn. Przestrzenną powtarzalność harmonicznego zaburzenia, możemy przedstawić następująco;, Gdzie k jest wektorem jednostkowym w kierunku wektora falowego. ^ W układzie kartezjańskim płaska fala harmoniczna ma następująca postać;.

4 Reinhard Kulessa4 lub. Wartość wektora falowego jest dana przez;. Zachodzi również warunek;. W tym rozdziale rozważaliśmy fale płaskie zmieniające wychylenie w sposób sinusoidalny. Należy pamiętać, że fale harmoniczne mogą w prosty sposób zostać wywołane przez drgania oscylatora harmonicznego. Również każda fala przestrzenna może zostać przedstawiona jako kombinacja fal płaskich, z których każda posiada własną amplitudę i kierunek rozchodzenia się. (11.4)

5 Reinhard Kulessa Trójwymiarowe równanie różniczkowe fali W poprzednim podrozdziale omawialiśmy falę płaską, która jako jedyna z pośród wszystkich fal trójwymiarowych rozprzestrzenia się nie zmieniając kształtu jak długo tylko ośrodek nie ma dyspersji (prędkość fali zależy od częstości fali). Pokażemy, że fala taka jest jednym z rozwiązań trójwymiarowego równania różniczkowego fali. Ażeby takie równanie napisać, wystarczy uogólnić równanie (11.3). Równanie takie we współrzędnych kartezjańskich powinno być symetryczne ze względu na współrzędne x, y i z. Równanie (11.4) jest jednym z rozwiązań szukanego równania różniczkowego fali. Obliczmy dla wszystkich współrzędnych pochodne cząstkowe zaburzenia analogicznie do równania (11.3). Otrzymujemy wtedy;

6 Reinhard Kulessa6,(11.5) oraz.(11.6) Spełniony jest tu również warunek. Pamiętając, że v= /k otrzymujemy po wysumowaniu;.(11.7)

7 Reinhard Kulessa7 Równanie (11.7) przedstawia trójwymiarowe różniczkowe równanie fali. Pamiętając definicję operatora Laplacea możemy napisać;.(11.8) Równanie (11.8) posiada rozwiązania w postaci równania (11.4). Można pokazać, że również następujące równania; przedstawiające fale płaskie są rozwiązaniami równania (11.8). Rozwiązaniem będzie również liniowa kombinacja tych dwóch fal płaskich.,

8 Reinhard Kulessa Fale kuliste Bez przeszkód potrafimy wyobrazić sobie falę rozchodzącą się po powierzchni wody po wrzuceniu do niej kamienia. Wokół punktu trafienia kamienia w wodę rozchodzą się dwuwymiarowe fale kuliste. Trójwymiarową falę możemy sobie wyobrazić wtedy gdy umieścimy wewnątrz objętości cieczy pulsującą radialnie kuleczkę od której rozchodzić będą się fale sferyczne. Identycznie będzie w przypadku pulsującego punktowego źródła światła. Czoła fal tworzą w tym przypadku koncentryczne czasze kuliste o rosnącej średnicy w miarę rozprzestrzeniania się w przestrzeni. Fale takie najlepiej jest opisać w układzie sferycznym. Rozchodzące się zaburzenie jest izotropowe i zależy tylko od odległości od źródła. Funkcja określająca zaburzenie jest więc zależna tylko od odległości od źródła fali;.

9 Reinhard Kulessa9 Wynik działania operatora Laplacea na tę funkcję jest następujący;( Patrz dodatek na końcu wykładu).(11.9) Równanie falowe analogiczne do równania (11.3) otrzymujemy jako wyrażenie;.(11.10) Równanie (11.10) jest różniczkowym równaniem falowym jednowymiarowej fali, gdzie r jest współrzędną położenia, a iloczyn (r ) przedstawia funkcję falową. Rozwiązaniem równania (11.10) jest;

10 Reinhard Kulessa10.(11.11) Ogólne rozwiązanie różniczkowego równania fali kulistej dane jest przez wyrażenie;.(11.12) Szczególnym rozwiązaniem tego równania jest harmoniczna fala kulista,.(11.13) Stała A oznacza natężenie źródła. Równanie to przedstawia dla każdego czasu zbiór koncentrycznych kul wypełniających całą przestrzeń. Każda powierzchnia o stałej fazie jest dana przez

11 Reinhard Kulessa11 Amplituda fali kulistej jest zależna od r, przy czym czynnik 1/r można uważać za czynnik tłumiący. Kształt fali zmienia się więc wraz ze wzrostem odległości od źródła. Widzimy, że amplituda fali kulistej zmniejsza się wraz odległością. Wrócimy jeszcze do tego problemu.

12 Reinhard Kulessa Energia fali Energia ośrodka w którym rozchodzi się fala sprężysta (podłużna) składa się z energii kinetycznej i potencjalnej. Mamy, gdzie. Jeżeli mamy np. falę;, to znajdziemy, że prędkość v jest równa. Energia kinetyczna jest więc równa;

13 Reinhard Kulessa13. (11.14) Jeśli policzymy energię potencjalną związaną z odkształceniem, to otrzymamy;. Wprowadzając do ostatniego wzoru współczynnik sprężystości równy odwrotności modułu Younga =1/E, mamy;. Wielkość l/l możemy przedstawić jako d /dx, gdzie d jest to różnica wychyleń cząstek odległych o dx.

14 Reinhard Kulessa14, wtedy. (11.15) Widzimy, że energia kinetyczna i potencjalna znajdują się w tej samej fazie, tzn., że osiągają w tym samym czasie minimum jak i maksimum.. Wiemy, że prędkość fali w ośrodku sprężystym jest równa;,

15 Reinhard Kulessa15 Możemy więc wyrażenie na energię przenoszoną przez falę sprężystą napisać jako;.(11.16) Wprowadźmy do naszych rozważań gęstość energii Є, czyli energię przypadającą na jednostkę objętości, wtedy;. Na średnią wartość energii w czasie, otrzymujemy;.(11.17)

16 Reinhard Kulessa16 Ze względu na to, że energia nie jest w danym obszarze zlokalizowana, lecz się w ośrodku przenosi, można wprowadzić do rozważań pojęcie strumienia energii. Przez strumień energii przechodzący przez daną powierzchnię S będziemy rozumieli wielkość równą liczbowo ilości energii przechodzącej przez daną powierzchnię w ciągu jednostki czasu. Jeżeli za jednostkę czasu weźmiemy jeden okres fali T, to strumień energii wynosi;. Średni strumień mocy definiujemy jako;. v·Tv·T S

17 Reinhard Kulessa17 Zdefiniujemy jeszcze gęstość strumienia mocy u zwany również natężeniem fali I..(11.18) Ponieważ prędkość v jest wektorem, to gęstość strumienia mocy można również rozpatrywać jako wielkość wektorową skierowaną zgodnie z prędkością rozchodzącej się fali. Wektor nazywamy wektorem Poyntinga. (11.18a)

18 Reinhard Kulessa18 Wróćmy do problemu rozchodzenia się fal kulistych. r1r1 r2r2 Rozpatrzmy falę: Średnia gęstość strumienia mocy fali P 1 przechodzącej przez powierzchnię S 1 jest w ośrodku bez absorbcji równa średniej gęstości strumienia mocy fali P 2 przechodzącej przez powierzchnię S 2. Czyli. Natężenie fali spada więc z rosnącą odległością r.

19 Reinhard Kulessa19 Mamy więc;. Z drugiej strony mamy;. Ostatnie równanie ma ważne zastosowanie np. w fotometrii.

20 Reinhard Kulessa Interferencja fal W ośrodku mogą równocześnie rozchodzić się drgania wychodzące z różnych centrów drgań. Fale te tworzą nową falę. Rozważmy dwie fale o tej samej częstości, amplitudzie rozchodzące się w tym samym kierunku.. Dodając te fale do siebie otrzymujemy;

21 Reinhard Kulessa21 AmplitudaZależność od czasu i położenia W zależności od różnicy fazy mamy do czynienia ze wzmocnieniem lub osłabieniem fali pierwotnej. (x) 1 (x) 2 (x) (x) = 1 (x)+ 2 (x) Przesuniecie fazowe Interferencja konstruktywna.(11.19)

22 Reinhard Kulessa22 (x) 1 (x) 2 (x) (x) = 1 (x)+ 2 (x) Przesuniecie fazowe Interferencja destruktywna

23 Reinhard Kulessa Fala stojąca Powstanie fali stojącej jest szczególnym przypadkiem interferencji. Fala stojąca powstaje przez interferencję dwóch fal o przeciwnych kierunkach rozchodzenia się. Może to być np. interferencja fali padającej z falą odbitą. Rozważmy taki przypadek.. W wyniku interferencji otrzymujemy falę o postaci;.

24 Reinhard Kulessa24 W wyniku otrzymujemy falę; Zależność od czasuZależność od położenia. Dla struny napiętej pomiędzy dwoma punktami otrzymujemy następujący obraz; L 1.L = /2 2.L = 3.L = 3 /2 Tabelka pokazuje podstawowe drgania własne układu (struny). (11.20)

25 Reinhard Kulessa25 Wróćmy do równania fali stojącej. Możemy z tego równana znaleźć warunek na występowanie minimalnych amplitud – węzłów, oraz maksymalnych amplitud – strzałek. Poniższy rysunek przedstawia powstawanie fali stojącej.

26 Reinhard Kulessa26 /2 strzałki węzły Położenie węzłów wyznaczymy z równania:

27 Reinhard Kulessa27 Położenie węzłów otrzymamy więc dla następującego warunku. W podobny sposób możemy wyliczyć warunek na występowanie strzałek. Otrzymamy wtedy;. (11.21) (11.22) W oparciu o powyższe wzory możemy wyliczyć odległości pomiędzy kolejnymi węzłami lub strzałkami. Fale stojące mogą również posłużyć do uwidocznienia drgań własnych w ciałach stałych. Do uwidocznienia tych drgań możemy użyć drobinek korka lub piasku.

28 Reinhard Kulessa28 Przykład takich drgań, -figury Chladniego- wzbudzonych na tarczy metalowej np. przy pomocy smyczka przedstawia poniższy rysunek.

29 Reinhard Kulessa29 Dodajmy człony dla x, y i z Dodatek


Pobierz ppt "13-01-2009Reinhard Kulessa1 Wykład 25 11.5.2 Trójwymiarowe równanie różniczkowe fali 11.5.1 Fale płaskie c.d. 11.5.3 Fale kuliste 11.6 Energia fali 11.7."

Podobne prezentacje


Reklamy Google