Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

13-01-2009Reinhard Kulessa1 Wykład 26 11.8 Ugięcie fal 11.9 Prędkość grupowa 11.10 Analiza Fourierowska zdarzeń periodycznych 11.11 Fale dźwiękowe 11.11.1.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "13-01-2009Reinhard Kulessa1 Wykład 26 11.8 Ugięcie fal 11.9 Prędkość grupowa 11.10 Analiza Fourierowska zdarzeń periodycznych 11.11 Fale dźwiękowe 11.11.1."— Zapis prezentacji:

1 Reinhard Kulessa1 Wykład Ugięcie fal 11.9 Prędkość grupowa Analiza Fourierowska zdarzeń periodycznych Fale dźwiękowe Źródła dźwięku Percepcja dźwięku

2 Reinhard Kulessa Ugięcie fal Bardzo często stwierdzamy, że jeśli fala trafia na swojej drodze na jakąś przeszkodę, to zauważamy zmianę kierunku ruchu fali za ta przeszkodą. Przykładem mogą być fale rozchodzące się w kierunku falochronu z przerwą w pewnym miejscu. Przy końcach falochronu widzimy wyraźną zmianę kierunku ruchu fali. Zjawisko to nazywamy ugięciem fali. Zjawisko to możemy wyjaśnić zasadą Huygensa. Mówi ona, że Każdy punkt do którego dotarła fala staje się źródłem nowej elementarnej fali kulistej.

3 Reinhard Kulessa3 Obwiednia tych fal elementarnych definiuje nam falę w czasie późniejszym. Poniższy rysunek pokazuje rozprzestrzenianie się fali płaskiej. przeszkoda czoło fali dla czasu t czoło fali dla czasu t + tczoło fali dla czasu t +(n=3) t

4 Reinhard Kulessa4 Przy rozchodzeniu się fal istotne są zjawiska zachodzące na granicy dwóch ośrodków. Należą do nich; 1.Załamanie fali, 2.Odbicie fal Procesy te zależą od własności graniczących ośrodków, a w szczególności od prędkości rozchodzenia się fal w tych ośrodkach. Zjawiska te są szczególnie istotne dla fal elektromagnetycznych. W przypadku, gdy prędkość rozchodzenia się fal zależy od częstości fali, mamy do czynienia ze zjawiskiem dyspersji. Dyspersja w istotny sposób zmienia obraz interferencji.

5 Reinhard Kulessa Prędkość grupowa Fala płaska o postaci matematycznej, rozprzestrzenia się do nieskończoności zarówno w czasie jak i przestrzeni. Rzeczywiste fale fizyczne z którymi spotykamy się na co dzień są ograniczone czasowo i przestrzennie. Dotyczy to np. fal przenoszących informacje. Fale te rozchodzą się w tzw. paczkach falowych. x Rysunek obok przedstawia taką paczkę.

6 Reinhard Kulessa6 Pokazana paczka falowa nie da się opisać przez podane równanie. Jest ona bowiem sumą fal o różnych długościach. Podstawowe własności paczki falowej możemy prześledzić w oparciu o zjawisko dudnień, które powstaje, gdy nakładają się dwie fale o lekko różniących się częstościach i długościach fal.. Po dodaniu tych dwóch fal otrzymujemy;. (11.23) oznacza średnią częstość kołową.

7 Reinhard Kulessa7 oznacza średnią liczbę falową. oraz Pozostałe wielkości oznaczają;. Pierwszy czynnik w równaniu w równaniu (11.23) przedstawia biegnącą falę o częstości i liczbie falowej bardzo bliskim fali wyjściowej. Prędkość fazowa tej fali wynosi;. Drugi czynnik odpowiada za modulację amplitudy i utworzenie paczek falowych, co pokazane jest na następnym rysunku dla dwóch następujących po sobie chwil.

8 Reinhard Kulessa8 x x Maksimum paczki falowej pokazują czerwone strzałki, a zielony krążek pokazuje stan o stałej fazie. Paczka falowa w czerwonych obwiedniach opisana jest drugim członem równania (11.23).

9 Reinhard Kulessa9. Stan o stałej fazie spełnia następujące równanie;. Dla miejsc o stałej fazie otrzymujemy więc;. Możemy więc już obliczyć prędkość paczki falowej, czyli prędkość grupową..(11.24) Pamiętamy, że związek pomiędzy prędkością fazową a częstością jest następująca; = kv faz.

10 Reinhard Kulessa10 Wstawmy to wyrażenie do równania (11.24). Otrzymamy wtedy Ze względu na związek k = 2 /, mamy. Otrzymujemy wtedy związek pomiędzy prędkością grupową i prędkością fazowa..(11.25)

11 Reinhard Kulessa11 Prędkość grupową możemy również znaleźć w oparciu o znaną postać krzywej dyspersji. v faz 0 A B C v faz v faz ( ) Dla punktu C dla fali o długości prędkość fazowa wynosi v faz (odcinek 0B). Dla punktu C zachodzi również, że tg =dv faz /d. Widzimy, że długość odcinka AB jest równa tg. Widzimy więc w oparciu o wzór (11.25), że prędkość grupowa v grup jest dana przez odcinek 0A.

12 Reinhard Kulessa Analiza Fourierowska zdarzeń periodycznych Można pokazać, że każdą funkcję periodyczną czasowo lub przestrzennie można przedstawić jako sumę funkcji czysto sinusoidalnych.. (11.26) Istnieją odpowiednie przepisy matematyczne w jaki sposób znaleźć współczynniki a n i b n (patrz np. Bronstein- Semendjajew, Poradnik Matematyczny). Rozpatrzmy kilka przebiegów periodycznych. Przebiegi te można przedstawić przez pokazane obok funkcje.

13 Reinhard Kulessa13 F(x) x x x

14 Reinhard Kulessa14 F(t) t -1/2 1/2 Rozważmy jeszcze raz ostatni rozkład periodyczny z poprzedniej strony, będący tym razem rozkładem czasowym.. bnbn Rysunek ten przedstawia udział poszczególnych częstości w funkcji F(t).

15 Reinhard Kulessa15 Dla fizyki szczególnie ważne jest zastosowanie analizy Fourierowskiej do analizy zdarzeń nieperiodycznych. Rozkład częstości dla takich zdarzeń jest ciągły. Przykład widma częstości dla wystrzału jest pokazane na poniższym rysunku. bnbn

16 Reinhard Kulessa Fale dźwiękowe Fale dźwiękowe rozprzestrzeniają się we wszystkich ośrodkach sprężystych. Rozpatrzmy więc pewną objętość cieczy lub gazu poddaną zaburzeniu podłużnemu. Gaz lub ciecz zostają ściśnięte lub rozprężone. Ruchy cząsteczek następują tylko w kierunku x. Rozprężenie można policzyć jako; x p1p1 p2p2 L L 1 2 dx.

17 Reinhard Kulessa17 Rozprężenie to prowadzi do zmniejszenia gęstości;. Jeśli nie wszystkie elementy objętości rozszerzają się jednakowo, gęstość nie jest stała. Przy objętościowej zmianie gęstości powstaje gradient gęstości. W oparciu o poprzedni wzór mamy;.(11.27) Zmiana gęstości prowadzi do powstania gradientu ciśnienia. Dla małych zmian gęstości możemy napisać;. (11.28)

18 Reinhard Kulessa18 0 jest gęstością materiału niezaburzonego, a wielkość jest stałą materiałową odwrotnie proporcjonalną do współczynnika ściśliwości κ;. Otrzymujemy więc na gradient ciśnienia wyrażenie;. Gradient ciśnienia prowadzi do powstania siły działającej na element objętości w obrębie dx (patrz rysunek), a zgodnie z równaniem ruchu Newtona do powstania przyśpieszenia;.

19 Reinhard Kulessa19 Znak minus po prawej stronie równania jest związany z tym, że przyśpieszenie skierowane jest w stronę małych ciśnień. W oparciu o ostatnie dwa równania otrzymujemy na równanie fali dźwiękowej równanie;. (11.29) Równanie to ma kształt znanego różniczkowego równania fali. Ma ono np. rozwiązanie;. Prędkość fali dźwiękowej jest więc równa. (11.30)

20 Reinhard Kulessa20 W oparciu o równanie (11.30) można policzyć prędkość dźwięku w różnych materiałach. 1. Prędkość dźwięku w gazach W gazach możemy przyjąć, że zaburzenie jest przekazywane adiabatycznie. Do wyliczenia prędkości skorzystamy więc z przemiany adiabatycznej.. Na prędkość dźwięku w gazie uzyskujemy więc wyrażenie;

21 Reinhard Kulessa21. (11.31) 2. Prędkość dźwięku w pręcie Prędkość dźwięku w materiałach sprężystych możemy podać w oparciu o wyprowadzone już w tym rozdziale wyrażenia. Należy pamiętać, że własności sprężyste ciał stałych opisywane są przez wielkości tensorowe. W cienkim pręcie prędkość dźwięku wynosi;.(11.32) W ciele stałym dźwięk może propagować również przez fale poprzeczne.

22 Reinhard Kulessa22 MateriałGestość [kg/m 3 ]Prędkość [m/s] Powietrze suche –20 0 C1, Powietrze suche 0 0 C1, Powietrze suche 20 0 C1,21344 Powietrze suche C0, Wodór 0 0 C0, Para wod C0,54450 Woda 20 0 C Lód Drzewo Szkło Beton Stal Prędkość dźwięku w niektórych materiałach

23 Reinhard Kulessa Źródła dźwięku Geometrycznie źródła dźwięku mogą mieć różną postać; płaszczyzny, prostej, lub punktu. Bardzo często źródłami dźwięku są wszelkiego rodzaju przetworniki elektroakustyczne wykorzystujące zmienne pole elektromagnetyczne do wzbudzania drgań membran będących źródłem dźwięku. Najbardziej znanymi źródłami dźwięku są struny głosowe, oraz instrumenty muzyczne. Poznaliśmy już drgania napiętej struny, na której powstają fale stojące. Mogą one być źródłami dźwięku. L

24 Reinhard Kulessa24 Przyrządami, w których powstają fale stojące w drgającym słupie powietrza są wszelkiego rodzaju piszczałki węzły L Piszczałki otwarte Piszczałki zamknięte Zastanówmy się jakie dźwięki możemy uzyskać w piszczałkach.

25 Reinhard Kulessa25 Piszczałki otwarte Drganie podstawowe; 1 węzeł i L = /2 Pierwsze drganie harmoniczne 2 węzły i L = N-te drganie harmoniczne L=(n+1) /2=(n+1) v/(2 ) n =(n+1) v/L n=1,2,3, Piszczałki zamknięte Drganie podstawowe; 1 węzeł i L = /4 Pierwsze drganie harmoniczne 2 węzły i L = 3 /2 N-te drganie harmoniczne L=(n+1) /4=(n+1)2 v/(4·2 ) n =(2n+1) v/L n=0,1,2,

26 Reinhard Kulessa Percepcja dźwięku Dźwięki, które słyszymy możemy scharakteryzować przez trzy następujące parametry; 1.Wysokość dźwięku, za którą odpowiedzialna jest częstość drgań, 2.Głośność dźwięku, za którą jest odpowiedzialna jest amplituda drgań, 3.Barwa dźwięku, za która jest odpowiedzialna kompozycja różnych częstości Wysokość dźwięku możemy ocenić przez porównanie go z tonem wzorcowym. Głośność dźwięku zależy od natężenia dźwięku, czyli od kwadratu amplitudy drgań.

27 Reinhard Kulessa27 Ucho ludzkie ze względu na swoje fizjologiczne własności nie odbiera jednakowo dźwięków o tym samym natężeniu lecz o różnej częstości. Dźwięków o częstościach niższych od 16Hz i wyższych od 20 kHz nie słyszymy w ogóle. Za wzorcową przyjmujemy głośność dźwięku o częstości 1 kHz i natężeniu I 0 = W/m 2 co odpowiada progowi słyszalności dla tej częstości. Głośność dźwięku o tej samej częstości i innym natężeniu I wyznaczamy w oparciu o prawo Webera-Fechnera. (11.33). wyraża się w decybelach [db]. Głośność dźwięku o innej częstości porównujemy z głośnością dźwięku o częstości 1kHz a wynik podajemy w fonach.

28 Reinhard Kulessa28 Poniższy rysunek przedstawia orientacyjny przebieg głośności w zakresie najlepszej słyszalności Częstość /Hz Natężenie / W·cm -2 Głośność /db Ciśnienie fali dźwiękowej / Pa


Pobierz ppt "13-01-2009Reinhard Kulessa1 Wykład 26 11.8 Ugięcie fal 11.9 Prędkość grupowa 11.10 Analiza Fourierowska zdarzeń periodycznych 11.11 Fale dźwiękowe 11.11.1."

Podobne prezentacje


Reklamy Google