Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Przekształcenie Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir David Hilbert Przestrzeń euklidesowa i przestrzeń Hilberta Definicja przekształcenia Hilberta.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Przekształcenie Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir David Hilbert Przestrzeń euklidesowa i przestrzeń Hilberta Definicja przekształcenia Hilberta."— Zapis prezentacji:

1 Przekształcenie Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir David Hilbert Przestrzeń euklidesowa i przestrzeń Hilberta Definicja przekształcenia Hilberta Przekształcenie Hilberta w dziedzinie częstotliwości Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu Transformaty Hilberta

2 Przekształcenie Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Sygnał analityczny Obwiednia, kąt fazowy i częstotliwość sygnału Wykres wskazowy sygnału Sygnał wąskopasmowy Filtracja sygnału modulacji amplitudy Sygnały przyczynowe Podsumowanie

3 David HILBERT ( ) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Matematyk niemiecki, profesor uniwersytetu w Getyndze. Autor prac z teorii liczb, równań różniczkowych i całkowych, rachunku wariacyjnego, logiki matematycznej, topologii oraz analizy funkcjonalnej (przestrzeń Hilberta). Hilbert głęboko wierzył, że w matematyce nie ma miejsca dla ignoramus et ignorabimus (nie wiemy i nie będziemy wiedzieć), a więc nie istnieje możliwość, że coś na zawsze pozostanie nieznane. Wiarę Hilberta zniszczył Kurt Gödel, który udowodnił, że dla każdej teorii aksjomatycznej można zbudować takie zdanie, którego prawdziwości lub prawdziwości jego negacji nie można udowodnić. Hipoteza o nierozstrzygalności jest uznawana za jeden z najgłębszych wyników w historii myśli ludzkiej. Na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu (1900) przedstawił sławne do dzisiaj 23 problemy, które w nadchodzącym wieku powinny zostać rozwiązane (obecnie 17 problemów jest rozwiązanych, 3 nadal są otwarte, 3 zostały uznane za nieciekawe).

4 David HILBERT "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Uniwersytet w Getyndze, na którym w połowie XIX wieku nauczał "książę matematyków" Carl F. Gauss, miał szczęście do wielkich uczonych. W 1886 roku katedrę matematyki objął tam Felix Klein oraz zapoczątkował odbywające się co tydzień seminaria, w czasie których dyskutowano o najnowszych wynikach. Hilbert był "czystym" matematykiem i pogardzał "technikami", którzy dążyli do praktycznego wykorzystania odkryć matematycznych. Przemówienie Hilberta było dość lakoniczne: Szanowni panowie - matematyka i technika..., matematyka i technika..., matematyka i technika są w najlepszej zgodzie teraz i pozostaną także w przyszłości, ponieważ - proszę panów - nie mają one niczego z sobą wspólnego. Felix Klein natomiast zawsze interesował się zastosowaniami matematyki w technice. Raz na rok Klein spotykał się z inżynierami i przemysłowcami. Pewnego razu zdarzyło się, że w ostatniej chwili przed spotkaniem Klein zachorował i rozpaczliwie szukał zastępstwa. Hilbert zgodził się zastąpić Kleina, który solennie mu przykazał wypowiedzenie przychylnej opinii na temat związków matematyki z techniką.

5 Felix Klein ( ) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Butelka Kleina Butelka Kleina jest przykładem powierzchni bez orientacji, gdyż nie można wskazać co jest jej wnętrzem, a co zewnętrzem.

6 Przestrzeń euklidesowa i Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Odległość pomiędzy punktami w przestrzeni euklidesowej: Odległość pomiędzy punktami w przestrzeni euklidesowej można wyznaczyć korzystając z pojęcia iloczynu skalarnego:

7 Właściwości iloczynu skalarnego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Przemienność Rozdzielność - dodawania Skalowanie Zerowanie Definicja iloczynu skalarnego dla funkcji wg. Hilberta

8 Przestrzeń euklidesowa i Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Przestrzeń Hilberta - przestrzeń w której odległość mierzymy za pomocą iloczynu skalarnego.

9 Zagadnienie najlepszej aproksymacji funkcji w przestrzeni Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Szereg Fouriera

10 Definicja przekształcenia Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir sygnał w kwadraturze Filtr Hilberta

11 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir 1 Definicja przekształcenia Hilberta

12 Przekształcenie Hilberta w dziedzinie częstotliwości "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

13 Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

14 Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

15 Transformaty Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Sygnał x(t) jest sygnałem dolnopasmowym o szerokości widma g < 0.

16 Transformaty Hilberta t/T "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

17 Transformaty Hilberta Sa(Wt) H { Sa(Wt) } "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

18 Sygnał analityczny "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

19 Sygnał analityczny "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

20 Obwiednia sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Obwiednia jest krzywą styczną do krzywych należących do rodziny krzywych. rodzina parabol obwiednia

21 Obwiednia sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir f 0 /f m = 10 obwiednia e(t) Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2 f 0 t Obwiednia sygnału jest krzywą ograniczającą inną krzywą lub rodzinę krzywych.

22 Obwiednia sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2 f 0 t f 0 /f m = 100 obwiednia e(t)

23 Obwiednia sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2 f 0 t f 0 /f m = 1000 obwiednia e(t)

24 Obwiednia sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Definicja obwiedni e(t):

25 Obwiednia sygnału (zdudnianie częstotliwości) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

26 Obwiednia sygnału fonii stereo "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

27 Pewna właściwość obwiedni "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Sygnał: jest sygnałem analitycznym, a więc:

28 Obwiednia generatorem sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Wartości sygnału mogą być wyznaczone poprzez wartości obwiedni sygnału (obwiednia generuje sygnał).

29 Obwiednia generatorem sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Detektor obwiedni

30 Obwiednia generatorem sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Detektor obwiedni

31 Kąt fazowy sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Definicja kąta fazowego (t):

32 Częstotliwość chwilowa sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Definicja częstotliwości chwilowej (t):

33 Częstotliwość chwilowa sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

34 Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

35 Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

36 Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Częstotliwość fourierowska pokrywa się z częstotliwością chwilową tylko wtedy, gdy szybkość zmian tej ostatniej jest niewielka (przez pewien okres czasu jesteśmy w stanie obserwować drganie harmoniczne). T

37 Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir T 30T

38 Wykres wskazowy sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir 0 A0A0

39 Wykres wskazowy sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir 0 e(t)e(t)

40 Wykres wskazowy sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir e(t)e(t) (t) x+(t)x+(t)

41 Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir W

42 Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Stereofonia FM: B = 200 kHz, f MHz, B/f 0 = 0,002 CATV: B = 8 MHz, f MHz, B/f 0 = 0,016 SAT TV: B = 40 MHz, f 0 4 GHz, B/f 0 = 0,01 Transmisja światłowodowa: III okno 1550 nm, szerokość okna 30 nm, B/f 0 = 0,02

43 Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

44 Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Składowa synfazowa (I) oraz kwadraturowa (Q) I - inphase Q - quadrature

45 Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Widma składowej synfazowej x I (t) oraz kwadraturowej x Q (t) są dolnopasmowe. Widma składowej kwadraturowej x Q (t) znika, gdy widmo sygnału X( ) jest osiowosymetryczne względem prostej = 0.

46 Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

47 Dolnopasmowa reprezentacja sygnału wąskopasmowego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

48 Wykres wskazowy sygnału wąskopasmowego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir xQ(t)xQ(t) xI(t)xI(t) x(t)x(t) t = const

49 Wykres wskazowy gaussowskiego szumu wąskopasmowego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir n = 10 n = 100 n = 1000

50 Realizacja gaussowskiego szumu wąskopasmowego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

51 Filtracja sygnału modulacji amplitudy ? "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

52 Filtracja sygnału modulacji amplitudy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

53 Zamiana kolejności modulacji i filtracji "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir + –

54 Opóźnienie grupowe i fazowe "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

55 Opóźnienie grupowe i fazowe "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir t g - opóźnienie grupowe - opóźnienie obwiedni t f - opóźnienie fazowe - opóźnienie sygnału nośnego

56 Opóźnienie grupowe i fazowe "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir t g - opóźnienie grupowe - opóźnienie obwiedni t f - opóźnienie fazowe - opóźnienie sygnału nośnego

57 Sygnały przyczynowe "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Sygnał x(t) nazywamy przyczynowym (bez przeszłości), jeżeli x(t) = 0 dla t < 0. x(t)x(t) t sygnał nieprzyczynowy sygnał przyczynowy

58 Sygnały przyczynowe "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Filtr h(t) H( ) nazywamy przyczynowym jeżeli y(t) = 0 dla t < 0, gdy tylko x(t) = 0 dla t < 0 (skutek nie wyprzedza przyczyny). x(t)x(t) t y(t)y(t)

59 Filtry przyczynowe "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Filtr h(t) jest przyczynowy, jeżeli y(t) = 0 dla t < 0, gdy tylko x(t) = 0 dla t < 0. Filtr h(t) jest przyczynowy, jeżeli h(t) = 0 dla t < 0. t

60 Filtr nieprzyczynowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir t = 0

61 Filtr przyczynowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir R C t = 0

62 Warunki budowy filtrów przyczynowych "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Sygnał analityczny ma widmo prawostronne, gdyż część urojona sygnału jest transformatą Hilberta części rzeczywistej sygnału. Właściwości przekształcenia Fouriera (a więc i Hilberta) są dualne. Sygnał ma przebieg prawostronny (jest przyczynowy), gdy część urojona transformaty Fouriera sygnału jest transformatą Hilberta części rzeczywistej widma sygnału. Transmitancja filtru jest funkcją analityczną.

63 Kryterium Paleya - Wienera "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Jeżeli cha-ka a-cz filtru spełnia warunek to dla przyczynowości filtru potrzeba i wystarcza, aby spełniony był warunek: znany jako kryterium Paleya-Wienera.

64 Kryterium Paleya - Wienera "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Kryterium Paleya - Wienera pozwala stwierdzić, że nie można zrealizować: 1. idealnego tłumienia i/lub 2. idealnie opadającego zbocza. Maksymalna szybkość opadania zbocza filtru

65 Filtry minimalno-fazowe "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Kryterium P-W nie podaje zasad doboru cha-ki f-cz ( ), a mówi jedynie, że charakterystykę tę można dobrać tak, aby implementacja filtru A( )exp[j ( )] była możliwa. Transmitancja filtru przyczynowego jest analityczna, zatem analityczna jest funkcja lnH( ) = lnA( ) + j ( ). Warunek ten pozwala dobrać cha-kę f-cz ( ) (filtr minimalno-fazowy):

66 Podsumowanie "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Przekształcenie Hilberta nie zmienia ch-aki a-cz sygnału, natomiast wszystkie częstotliwości są przesuwane w fazie o - /2. Przekształcenie Hilberta pozwala zdefiniować sygnał analityczny zawierający wyłącznie częstotliwości dodatnie. Sygnał analityczny pozwala określić obwiednię oraz kąt fazowy sygnału (częstotliwość chwilową). Wykresy wskazowe stanowią ilustrację graficzną sygnału analitycznego na płaszczyźnie zespolonej. Sygnał analityczny pozwala na przedstawienie sygnałów wąskopasmowych za pomocą sygnałów dolnopasmowych.

67 Podsumowanie "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir Zamiana kolejności modulacji oraz filtracji jest możliwa, gdy filtr pasmowoprzepustowy zastąpimy jego odpowied- nikiem dolnopasmowym. Filtracja sygnału modulacji amplitudy wiąże się z wprowadzeniem opóźnienia obwiedni (opóźnienie grupowe) oraz opóźnienia sygnału nośnego (opóźnienie fazowe). Implementacja układowa filtru jest możliwa, gdy jego odpowiedź impulsowa jest przyczynowa, a o tym decydują związki Hilberta pomiędzy cz. rzeczywistą a cz. urojoną transmitancji filtru; alternatywą jest kryterium Paleya - Wienera.


Pobierz ppt "Przekształcenie Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir David Hilbert Przestrzeń euklidesowa i przestrzeń Hilberta Definicja przekształcenia Hilberta."

Podobne prezentacje


Reklamy Google