DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ LEŚNYCH w GORAJU

Prezentacja na temat: "DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ LEŚNYCH w GORAJU"— Zapis prezentacji:

1

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ LEŚNYCH w GORAJU
ID grupy: 97/85_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno-fizyczna Temat projektowy: AS_TP109 Intuicje w rachunku prawdopodobieństwa Semestr V Rok szkolny /2012

3 CELE PROJEKTU Celem projektu „AS KOMPETENCJI” jest umożliwienie uczniom szkół ponadgimnazjalnych rozwoju kompetencji matematyczno-fizycznych.

4 SPIS TREŚCI Intuicje w rachunku prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Cel rachunku prawdopodobieństwa Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Zdarzenia losowe

5 SPIS TREŚCI Schemat Bernoulliego Wartość oczekiwana
Metoda „drzewek” w rachunku prawdopodobieństwa Ciekawostki

6 SPIS TREŚCI Loterie Loteria fantowa Rodzaje gier Ruletka – zasady gry
Lotto Prawdopodobieństwo w lotto

7 SPIS TREŚCI Poker Ryzyko i łączenie ryzyka Gry Kamień, papier, nożyce
Kości Szkółka Szachy

8 Intuicje w rachunku prawdopodobieństwa

9 Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. A doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp. Pierwsze znane zagadnienia z rachunku prawdopodobieństwa dotyczyły gier hazardowych, w szczególności gry w kości. Mimo, że gra znana była już w starożytności, pierwsze teoretyczne zainteresowanie tą grą przejawiali dopiero matematycy francuscy z XVII w. Pierre de Fermat i Blaise Pascal. Podstawowymi pojęciami rachunku prawdopodobieństwa są: przestrzeń zdarzeń elementarnych, z jej elementami, doświadczenie oraz zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo zajścia określonego zdarzenia.

10 Cel rachunku prawdopodobieństwa
Celem rachunku prawdopodobieństwa jest poszukiwanie sposobu mierzenia tej szansy, czyli określenia prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia losowego.

11 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Sposób liczenia prawdopodobieństwa podał po raz pierwszy Pierre Simon de Laplace w roku Twierdzenie to brzmi: Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich możliwych przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe. |liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających A| P(A) = |liczba wszystkich zdarzeń elementarnych|

12 Niech Ω będzie skończonym wzorem wszystkich zdarzeń elementarnych
Niech Ω będzie skończonym wzorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli zajście każdego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A ⊂ Ω jest równe |A| P(A) = |Ω| |A| oznacza liczbę elementów zbioru A |Ω|- liczbę elementów zbioru Ω. Pierre Simon de Laplace

13 Własności prawdopodobieństwa
0≤ P (A) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω P (Ω) = 1 Ω - zdarzenie pewne P (Ø) = 0 Ø - zdarzenie niemożliwe (pusty zbiór Ω) P (A) ≤ P (B) gdy A ⊂ B ⊂ Ω P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω, zatem P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω.

14 P(A’) = 1 – P(A) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A) ≤ P(B)
Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem: P(A’) = 1 – P(A) Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli P(A) ≤ P(B) to P(B\A) = P(B) – P(A)

15 o prawdopodobieństwie całkowitym
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Jeżeli zdarzenia B1, B2, ..., B ⊂ Ω spełniają warunki: 1. Bi ∩ Bj = Ø dla 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, i ≠ j 2. B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω, 3. P (Bi) > 0 dla 1 ≤ i ≤ n to dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω zachodzi równość: P (A) = P (A | B1) · P (B1) + P (A | B2) · P (B2) P (A | Bn)· P (Bn)

16 Zdarzenia losowe To zdarzenia, które mogą wystąpić, ale ich zajścia nie można przewidzieć. To wyniki eksperymentu losowego, którym może być np.: opisywany w szkole rzut kostką do gry lub monetą, losowy wybór elementu z określonego zbioru, obserwacja zjawisk o charakterze losowym w otaczającym nas świecie. Dla zdarzeń losowych chcemy badać szansę ich zajścia.

17 i prawdopodobieństwo warunkowe
Zdarzenia niezależne i prawdopodobieństwo warunkowe Zdarzenia niezależne Zdarzenia A ⊂ Ω, B ⊂ Ω są niezależne, gdy P (A ∩ B) = P (A) · P (B) Prawdopodobieństwo warunkowe Niech A, B ⊂ Ω będą zdarzeniami, przy czym P (B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym P (A | B) zajścia zdarzenia A pod warunkiem, ze zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę: P(A ∩ B) P(A|B) = P(B)

18 ( ) Schemat Bernoulliego . . n k p q p + q = 1 k n-k
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego wyraża się wzorem : ( ) n k p q k n-k p + q = 1 gdzie: p- prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie, q- prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie.

19 E = p x zysk + (1-p) x strata
Wartość oczekiwana W przypadku gier losowych wartość oczekiwaną możemy zdefiniować jako średni zysk przypadający na pojedynczą grę. Ale nie możemy tego rozpatrywać w stosunku do jednej gry. Przyjmuje się, że ten średni zysk wynika z gier rozgrywanych nieskończoną ilość razy. Wartość oczekiwaną możemy wyliczyć w oparciu o prosty wzór: E = p x zysk + (1-p) x strata E – wartość oczekiwana gry p – prawdopodobieństwo wygranej (1-p) – prawdopodobieństwo porażki

20 Przykład Ruletka europejska
Załóżmy, że chcemy postawić na pojedynczy numer 100 żetonów. Wiemy, że jeżeli wygramy, to nasz zysk wyniesie 3500 żetonów. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1 do 37 . Podstawiamy do wzoru: E = 1/37 x (1-1/37) x (-100) = -2,70 Zakład na kolor Stawiamy 100 żetonów na czarny. Zysk, który możemy osiągnąć również wynosi 100 żetonów. Prawdopodobieństwo wygranej to 18 do 37. E = 18/37 x (1-18/37) x (-100) = -2,70 Oba wyniki są ujemne i nawet na tym samym poziomie. Ujemna wartość oznacza, że gra ta jest dla nas niekorzystna, bo tracimy na każdej grze średnio 2,70 żetona, czyli ok. 2,70%.

21 Metoda „drzewek” w rachunku prawdopodobieństwa
Definicje i wzory dotyczące permutacji, wariacji i kombinacji oraz ich zastosowanie, sprawiają pewnej części młodzieży problemy, które w zasadzie nie występują podczas omawiania i prezentowania metody "drzewek". Większość zagadnień dotyczących rachunku prawdopodobieństwa, rozważanych dotąd czysto teoretycznie, można po prostu zobaczyć. Uczeń rozwiązując zadanie z rachunku prawdopodobieństwa metodą drzewka uczy się organizacji pracy, wprowadzając ład i porządek nie tylko w zbiorze danych, ale i w całej analizowanej przez nich sytuacji. Widoczne są wówczas wielostronne powiązania pomiędzy danymi występującymi w zadaniu. Graficzne odwzorowanie toku rozumowania ma ogromny wpływ na dyscyplinę pracy uczniów rozwiązujących dany problem. Bez stosowania środków graficznych postępowania ich były często chaotyczne i przypadkowe. Rysując "drzewo" uczniowie w sposób aktywny i naturalny odkrywają różne zależności kombinatoryczne i dochodzą do twierdzeń probabilistycznych. Krótko mówiąc metoda ta zdecydowanie ułatwia im przejście od konkretu do abstrakcji matematycznej.

22 Ciekawostki

23 Wydawałoby się, że bardzo rzadko się zdarza, by przypadkowo spotkały się dwie osoby urodzone tego samego dnia roku. Można jednak obliczyć, że nawet w małej grupie osób prawdopodobieństwo takiego spotkania jest dość duże. Przykład: Prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej grupie 50 osób są dwie osoby urodzone tego samego dnia ,wynosi ponad 0,97. Nawet w grupie 23 osób jest ono większe od ⅟2.

24 Wolfgang Amadeusz Mozart znany był z poczucia humoru
Wolfgang Amadeusz Mozart znany był z poczucia humoru. Jednym z przykładów może być utwór Musikalisches Wurfelspiel (Muzyczna gra w kości), wydany już po śmierci autora. Dziełko to jest przepisem na tworzenie różnych 16-taktowych menuetów. Mozart przedstawił po dwie propozycje taktów ósmego i szesnastego oraz po jedenaście propozycji każdego z pozostałych taktów. Wykonawca sam mógł dokonać wyboru wariantów taktów i „skomponować” własny menuet. Odegranie takiego utworu zajmowało około pół minuty. Mozart chciał, by wybór wersji taktu ósmego i szesnastego następował na przykład w wyniku rzutu monetą, a wybór wersji każdego z pozostałych jedenastu taktów — w wyniku rzutu kostkami. Proponował, by rzucać dwiema kostkami i od sumy oczek na kostkach odejmować 1. Wynik wskazywałby, którą z jedenastu wersji należy wybrać.

25 Loterie

26 Loteria fantowa Loterie fantowe, w których uczestniczy się przez nabycie losu lub innego dowodu udziału w grze, a podmiot urządzający loterię oferuje wyłącznie wygrane rzeczowe. Podmiot urządzający loterię fantową jest obowiązany zgłaszać pisemnie właściwemu naczelnikowi urzędu celnego zamiar zniszczenia losów, kartonów lub innych dowodów udziału w takiej grze co najmniej na 7 dni przed planowanym terminem przeprowadzenia tych czynności. Czynność zniszczenia podlega kontroli. W grach losowych, z wyjątkiem loterii fantowych i loterii promocyjnych, mogą uczestniczyć wyłącznie osoby, które ukończyły 18 lat.

27 Rodzaje gier W kasynie może grać w wiele różnych odmian gier. Hazard przyciąga amatorów mocnych wrażeń, chętnych poczuć adrenalinę i zgarnąć wysoką pulę pieniężną. Poniżej rodzaje gier hazardowych oraz ich najpopularniejsze wersje. Wrzutowe: -CrazySports -GoldRush -Lucky8-Line -MagicLove -MegaJoker -PiratesGold -SkeetShooter -SuperSevens Stołowe: -Baccarat -BlackJack -BlackJackDoubleJack -CaribbeanStudPoker -CasinoHold'em -FrancuskaRuletka -HighLow -HighRollerBlackJack Inne: -Bingo -BonusKeno -JackpotTicket -JungleKeno -Keno - Triple Win

28 Ruletka – zasady gry Gra w ruletkę to stół do gry, na którym obstawia się poszczególne numery oraz koło do ruletki, na których znajduje się 37 lub 38 pół z poszczególnymi numerami. Ruletka europejska posiada 37 pól, a ruletka amerykańska 38 przedziałów z poszczególnymi numerami. Cała gra ruletka opiera się na obstawianiu zakładów, w których to można obstawiać poszczególne numery oraz tak zwane zakłady zewnętrzne. Całość gry jest prowadzona przez krupiera, czyli osobę prowadząca, która najpierw wprawia w ruch koło ruletki, a następnie w przeciwnym kierunku wyrzuca kulkę, która ma za zadanie zatrzymać się na jednym z ponumerowanych pól. Jedną z możliwości obstawianych zakładów jest liczba od 0 do 36, a inną możliwością jest kolor czarny lub czerwony na kole ruletki. Każdy z graczy obstawia zatem określone liczby na stole do ruletki lub wybiera jeden z kolorów, przy czym stawki są wysokie za dobrze wytypowaną liczbę, natomiast za kolor wynoszą tylko 1:1. każdy z graczy ma wiele możliwości do obstawienia na kole ruletki, a kierują się oni wyłącznie szczęśliwym losem oraz przeczuciem. Im więcej graczy, oraz obstawionych liczb, tym cała gra "ruletka" jest ciekawsza i bardziej ekscytująca.

29 LOTTO Na kuponie Lotto zaznaczamy 6(k) liczb z 49(n). Za taki zakład płacimy 3 zł. Ile trzeba wypełnić kuponów, aby być pewnym wygranej i ile to będzie kosztowało? Wybierając sześć elementów ze zbioru 49 liczb tworzymy sześcioelementowe kombinacje zbioru 49 elementów. Liczbę zakładów obliczamy ze wzoru: Za każdy zakład musimy zapłacić 3 zł, więc za zakładów zapłacimy zł, czyli prawie 42 mln złotych.

30 PRAWDOPODOBIEŃSTWO W LOTTO
Ilość trafionych liczb Szansa wygranej 6 1: 5 1:54 201 4 1:1 032 3 1:57 Prawdopodobieństwo trafienia wynosi dokładnie 1 : Matematycznie patrząc jest mniej prawdopodobne, niż uderzenie w ziemię rozpędzonej planetoidy. Wbrew powszechnej opinii nie ma znaczenia czy losujemy liczby (chybił-trafił), czy podajemy swoje. Wielu graczy stawia na stałą kombinację, ufając, że w końcu musi ona paść. Jednak szansa, że dana kombinacja nie padnie przez 1000 lat, wynosi 98,9% Gdyby zwiększyć liczbę kul o jeden (do 50 kul), to ilość kombinacji zwiększyłaby się o (do kombinacji)

31 PRAWDOPODOBIEŃSTWO W LOTTO
Obliczenie prawdopodobieństwa wygranej w którejś z gier Lotto staje się proste, gdy wykorzystamy do tego np. kalkulator udostępniany przez Google. Zobacz metodę obliczania prawdopodobieństwa wygranej, na przykładzie Dużego Lotka Duży Lotek - prawdopodobieństwo wygranej - trójka: 1 do 57 - czwórka: 1 do 1032, - piątka: 1 do 54201, szóstka: 1 do Ekspress Lotek - prawdopodobieństwo wygranej - trójka: 1 do 128 - czwórka: 1 do 4598, - piątka: 1 do

32 Poker Poker - gra karciana, rozgrywana talią składającą się z 52 kart, której celem jest wygranie pieniędzy od pozostałych uczestników lub żetonów (CHIPS) w wersji sportowej dzięki skompletowaniu najlepszego układu lub za pomocą tzw. blefu. Liczba graczy przy jednym stole ograniczona jest jedynie liczbą kart w talii, jednakże nie może być mniejsza niż dwóch. W praktyce nie gra się więcej niż w dziesięć osób.

33 Poker - prawdopodobieństwo
Rachunek prawdopodobieństwa odgrywa w pokerze zasadniczą rolę. Gracze po otrzymaniu kart kalkulują, jaką mają szansę na dany układ po wymianie kart i na tej podstawie obstawiają. Należy jednak zauważyć, iż prawdopodobieństwo to może wynosić zero lub być niższe niż to zakładane przez gracza. Np. - gracz mający cztery karty w tym samym kolorze - karo (zakładając, iż grają trzy osoby) - chce mieć kolor i jako pierwszy dostanie kartę po wymianie. Zakładając, iż w takim układzie dostanie tę jedną kartę ze zbioru 37 pozostałych kart ( ) to prawdopodobieństwo otrzymania karty w kolorze karo jest od 0 do 9/37 (0,2432) - pomimo iż intuicyjnie może się wydawać, iż ta szansa wynosi 1/4 (są cztery kolory kart). Przedział takiego prawdopodobieństwa jest taki dlatego, że pozostali gracze mogą mieć 9 kart w kolorze karo - wówczas w talii nie ma już kart karo. Można sobie wyobrazić drugi skrajny przypadek w którym to żaden z graczy nie ma ani jednej karty karo i pozostałe 9 kart tego koloru znajduje się w talii - wówczas szansa, iż gracz dostanie karo i będzie miał kolor, wynosi 9 do 37. Wynika z tego wniosek, iż w pokerze gracze nie znają dokładnego prawdopodobieństwa - a jedynie mogą je szacować w zależności od ilości graczy.

34 Ryzyko i łączenie ryzyka

35 Grami nazywamy sytuacje, kiedy wyniki o określonej wartości (np
Grami nazywamy sytuacje, kiedy wyniki o określonej wartości (np. pieniężnej) pojawiają się ze znanym prawdopodobieństwem Wartość oczekiwana gry, WO, jest to suma jej wyników pomnożonych przez prawdopodobieństwo ich pojawienia się. Informuje ona o przeciętnym wyniku wielu partii tej gry. πs – prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku ws – wynik gry s – liczba możliwych wyników Gra jest tym bardziej opłacalna, im większa jest jej wartość oczekiwana. Gra jest tym bardziej ryzykowna, im większy jest rozrzut jej wyników i im częściej pojawiają się wyniki bardziej oddalone od wartości oczekiwanej gry.

36 Wariancja gry, WG, jest to suma podniesionych do kwadratu odchyleń wyników gry od jej wartości oczekiwanej, zważonych prawdopodobieństwem wystąpienia tych wyników. Informuje ona o ryzykowności gry. πs – prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku ws – wynik gry s – liczba możliwych wyników Z dwóch gier o równej wartości oczekiwanej osoby niechętne ryzyku wybierają grę mniej ryzykowną, a osoby lubiące ryzyko – grę bardziej ryzykowną. Osobom neutralnym wobec ryzyka jest obojętne, którą z gier wybiorą.

37 Gra sprawiedliwa w kategoriach pieniężnych może być niekorzystna
Zmiana użyteczności całkowitej, spowodowana zwiększeniem się majątku o daną, stałą porcję, czyli użyteczność krańcowa, zmniejsza się w miarę wzrostu majątku. Za kolejne, równe porcje dochodu ludzie kupują dobra coraz mniej użyteczne. Najbardziej użyteczne produkty zostają nabyte szybko, za pierwsze porcje dochodu. Skoro użyteczność krańcowa majątku maleje, to utrata danej sumy pieniędzy powoduje spadek użyteczności całkowitej, który jest większy od przyrostu użyteczności całkowitej, spowodowanego dodatkowym dochodem tej samej wielkości. (na podstawie Czarny 2002) Malejąca krańcowa użyteczność majątku sprawia, że wartość bezwzględna straty jest większa niż wartość bezwzględna korzyści. |U1| > |U2| Gra sprawiedliwa w kategoriach pieniężnych może być niekorzystna w kategoriach użyteczności.

38 Łączenie ryzyka Połączenie dochodów i ryzyka nie zmienia wartości oczekiwanej gry, ale za to zmniejsza jej ryzykowność. Gra o wynikach 4 i 2, które pojawiają się z prawdopodobieństwem ½, zmienia się w grę o wynikach 4,3,2 pojawiających się z prawdopodobieństwem odpowiednio ¼, ½, ¼ . Połączenie dochodów malarza i żołnierza Skutki łączenia ryzyka Wynik Wartość oczekiwana Prawdopodo-bieństwo Wariancja przed zawarciem umowy 4 3 1 2 po zawarciu umowy

39 Łączenie ryzyka na rynku kapitałowym
Prawo wielkich liczb mówi, że przeciętny wynik gry jest tym bliższy jej wartości oczekiwanej, im więcej partii gry zostanie rozegranych. Emisja akcji i ich sprzedaż na giełdzie oznaczają, że właściciele przedsiębiorstwa pozbywają się części obciążającego ich ryzyka, którego źródłem jest zmienność wyników gospodarowania. Ryzyko to zostaje przeniesione na nabywców akcji. Dochody właściciela z emisji akcji mogą zostać przeznaczone na zakup w innych przedsiębiorstwach. W taki sposób właściciele przedsiębiorstw mogą połączyć ryzyko związane z udziałem w wielu różnych grach gospodarczych, co wiąże się ze zmniejszeniem ryzyka. Różnicowanie portfela inwestycyjnego Warunkiem możliwości sensownego różnicowania portfela inwestycyjnego jest niezależność zdarzeń.

40 Linia charakterystyczna papieru wartościowego, zwana również linią najlepszego dopasowania wskazuje jakiej stopy zwrotu z inwestycji w akcje konkretnego przedsiębiorstwa może inwestor oczekiwać przy danej stopie zwrotu z portfela rynkowego. Współczynnik kierunkowy linii jest nazywany współczynnikiem beta (β) – ukazuje on siłę reakcji stopy zwrotu z danej akcji na zmiany stopy zwrotu z portfela rynkowego. W przypadku akcji, których dochodowość zmienia się przeciwnie do portfela rynkowego linia najlepszego dopasowania będzie miała nachylenie ujemne (współczynnik β będzie przyjmował wartości ujemne).

41 Rynek ubezpieczeń Zadanie
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję z gry w „ubezpieczanie samochodu” i „nie ubezpieczam samochodu”. Dane: wartość samochodu zł prawdopodobieństwo, że samochód zostanie skradziony w ciągu roku 0,1 roczna polisa 5000 zł w razie skradzenia samochodu firma ubezpieczeniowa zwraca całą wartość samochodu. Pierwsza gra – nie ubezpieczam samochodu: WO1= zł · 0,1 + 0 zł · 0,9 = zł + 0 zł = zł Druga gra – ubezpieczam samochód: WO2 = zł · 0,1 + (-5000zł) · 0,9 = -5000zł Obydwie gry są więc tak samo niekorzystne. Sprawdźmy, która gra jest bardziej ryzykowna: WG1= ( )2 zł · 0,1 + (5000) 2 zł · 0,9 = WG2= 02 zł · 0, zł · 0,9 = 0 Pierwsza gra jest więc bardzo ryzykowna, druga nie jest obciążona ryzykiem. Ta sama gra, ale grającym jest ubezpieczyciel. WOu= ( zł (odszkodowanie) zł (składka)) · 0,1 + 5000zł (składka) · 0,9 = 0 zł WGu = ( )2 zł · 0, zł · 0,9 = zł Ubezpieczyciel przejął więc na siebie całe ryzyko, jakiego pozbył się ubezpieczający. Aby zmniejszyć ryzyko ubezpieczyciel może stosować: łączenie ryzyka dzielenie ryzyka

42 Łączenie ryzyka polega na tworzeniu puli składek, z której wypłacane są odszkodowania. Połączywszy niezależne rodzaje ryzyka, ubezpieczyciel zmniejsza prawdopodobieństwo wystąpienia sytuacji, że zabraknie mu na wypłaty. Tym samym zachęca klientów przez większą wiarygodność. Towarzystwo ubezpieczeniowe może oferować wiele rodzajów polis. Wspólna pula ryzyka, którą zarządza ubezpieczyciel, obejmuje zatem wiele niezależnych rodzajów ryzyka, co zmniejsza zagrożenie niewypłacalnością. Dodatkowo rzeczywista stawka za ubezpieczenia jest wyższa od „sprawiedliwej” czyli korzystna dla towarzystwa ubezpieczeniowego.

43 Dzielenie ryzyka przez towarzystwa ubezpieczeniowe
Reasekuracja polega na odstępowaniu części transakcji ubezpieczeniowych innym firmom ubezpieczeniowym. Ubezpieczyciel przekazuje część składek w zamian za zobowiązanie reasekuratora do zwrotu proporcjonalnej części wypłacanych odszkodowań. Celem reasekuracji jest wyeliminowanie niebezpieczeństwa strat przekraczających fundusze ubezpieczyciela. Wymiana ryzyka, polega na wymianie polis. Przykładem jest CATEX (Catastrophe Risk Exchange). Do systemu CATEX przystąpiło już ponad 300 towarzystw ubezpieczeniowych z całego świata. Wymiana polis następuje według uzgodnionego stosunku, który zależy od oceny prawdopodobieństwa wystąpienia szkód oraz od nastawienia stron do różnych rodzajów ryzyka. W efekcie ubezpieczyciel działający tylko w jednym regionie może rozłożyć ryzyko większy obszar. Ponadto specjalizując się w ubezpieczeniach jednej grupy klientów, nie koncentruje ryzyka na tej grupie. Sekurytyzacja (ang. securitization) polega na zamianie ryzyka ubezpieczeniowego na papiery wartościowe (np. obligacje), które są lokowane na rynku kapitałowym. Dochodowość tych obligacji dla nabywców zależy od tego, czy zdarzenie którego dotyczy ryzyko - zajdzie czy też nie zajdzie. W razie nieszczęścia pozwala to emitentowi sfinansować odszkodowanie oszczędnościami wynikającymi z mniejszych wypłat dla nabywców tych papierów.

44 Bariery rozwoju rynku ubezpieczeń
Pokusa nadużycia występuje, gdy ubezpieczenie zwiększa prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia, którego dotyczy. Przykładowo właściciel ubezpieczonego samochodu jeździ bardziej brawurowo i nie zamyka samochodu. Oczywiście towarzystwa ubezpieczeniowe bronią się przed stratami ubezpieczając np. tylko część wartości przedmiotu, co sprawia, że ubezpieczający się uczestniczy w ewentualnej stracie. Innym rozwiązaniem jest żądanie od klienta zamontowania dodatkowego zabezpieczenia (np. alarmu). Selekcja negatywna oznacza względnie częstsze ubezpieczenie się osób szczególnie zagrożonych zdarzeniem, którego dotyczy ubezpieczenie. Przykładowo ubezpieczenie na życie wykupują ci, którzy są szczególnie schorowani. W tym przypadku towarzystwa ubezpieczeniowe bronią się przez podwyższanie cen polis dla klientów z grup wysokiego ryzyka. Rynek transakcji terminowych służy do zawierania transakcji, w przypadku których cenę uzgadnia się na długo przed dokonaniem płatności i dostawy. Płatność i dostawa następują w uzgodnionym terminie w przyszłości. Na rynkach transakcji terminowych handluje się tylko towarami nadającymi się do standaryzacji, takimi jak: zboża, metale kolorowe, paliwa. Szczególnie rozwinęły się również rynki transakcji terminowych dla walut i papierów wartościowych.

45 Opcje Kontrakt pomiędzy wystawcą a nabywcą, który daje temu drugiemu prawo do kupna (lub sprzedaży) określonej ilości instrumentu podstawowego (np. waluty czy akcji) w określonym terminie i po z góry ustalonej cenie. Posiadacz opcji nabywa prawo (nie zaś zobowiązanie), zaś wystawca opcji przyjmuje na siebie zobowiązanie do zrealizowania transakcji. Za nabyte prawo posiadacz płaci wystawcy opcji premię (cena opcji). Jeśli w dniu realizacji transakcji kurs terminowy ustalony w kontrakcie opcyjnym jest mniej korzystny dla kupującego niż bieżący kurs na rynku Klient może nie realizować swojego prawa. Jednym kosztem dla Klienta jest wtedy premia płacona Bankowi przy zawieraniu kontaktu. Banki oferują swoim Klientom opcje typu call i put oraz możliwość ich łączenia w strategie składające się z przynajmniej dwóch opcji o dowolnych parametrach: opcja kupna (call) - dająca jej posiadaczowi prawo do kupna waluty w ściśle określonym momencie w przyszłości po cenie ustalonej w momencie zawierania transakcji opcja sprzedaży (put) - dająca jej posiadaczowi prawo do sprzedaży waluty w ściśle określonym momencie w przyszłości po cenie ustalonej w momencie zawierania transakcji

46 Korzyści możliwość zabezpieczenia się przed niekorzystnymi zmianami kursów walutowych, przy zachowaniu prawa do nieograniczonych zysków w przypadku korzystnej zmiany kursów walutowych prawo do wycofania się z kontraktu poprzez odsprzedanie Bankowi wystawionej przez Klienta opcji przed upływem terminu jej ważności po aktualnej cenie możliwość wykorzystania opcji w celach maksymalizacji wyniku finansowego. Przy trafnym przewidywaniu ruchu kursów walut, opcje walutowe dają możliwość zysku przy z góry określonym poziomie ryzyka. Maksymalna strata w przypadku opcji, zwana premią, którą Klient musi zapłacić. Klient poznaje tę cenę już w momencie zawierania transakcji opcyjnej.

47 GRY

48 Kamień, papier, nożyce Gra składa się z kolejnych tur. W każdej turze obydwaj gracze, na umówiony sygnał, szybko wystawiają przed siebie dłoń, pokazującą symbol papieru, kamienia lub nożyc. Gracz, który pokazał silniejszy symbol, otrzymuje jeden punkt. W przypadku pokazania dwóch takich samych symboli następuje remis – punktu brak. Oto hierarchia symboli: - nożyce są silniejsze od papieru, ponieważ go tną, - kamień jest silniejszy od nożyc, ponieważ je tępi, - papier jest silniejszy od kamienia, ponieważ go owija. Gracz, który pierwszy uzyska dziesięć punktów, wygrywa partię. Formalnie, papier, kamień, nożyce można rozważać jako grę o sumie zerowej. Gra w papier, kamień, nożyce nie posiada równowagi Nasha w strategiach czystych (w teorii gier jest to strategia, w której każdy gracz dokonuje jednego wyboru z prawdopodobieństwem 1 i trwa przy nim) . Znając deterministyczną strategię przeciwnika i grając optymalnie każdy z graczy może zapewnić sobie zwycięstwo. Gra w papier, kamień, nożyce posiada jednak równowagę Nasha w strategiach mieszanych (gracze podejmują decyzje na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa).. Ma to miejsce wówczas, gdy każdy z graczy randomizuje wybierając każdą z dostępnych mu opcji z jednakowym prawdopodobieństwem 1/3.

49 Kości Każdy gracz ma w jednej rundzie trzy rzuty. Pierwszy rzut wykonujemy obowiązkowo wszystkimi kostkami. W następnych rzutach można odłożyć dowolną liczbę kości i rzucać pozostałymi (można też ponownie rzucać wszystkimi kostkami). Wartości: PARA (symbol: 1P) - dwie takie same kości (np. 2*5=10 pkt) DWIE PARY (symbol: 2P) - dwa razy dwie takie same kości (np. 2*4+2*5=8+10=18 pkt) TRÓJKA (symbol: 3)- trzy takie same kości (np. 3*4= 12 pkt) MAŁY STREET (symbol: MS) ( = 20 pkt) DUŻY STREET (symbol: DS) ( = 40 pkt) FULL (symbol: F) - trójka i para razem (np. 3*6+2*5=28 pkt) KARETA (symbol: K) - cztery kości takie same + premia za karetę" 25 pkt (np. 4*5+25=45 pkt) POKER (symbol: P) - pięć kości takich samych + premia za pokera" 100 pkt (np. 5*4+100=120 pkt) Rzut "z ręki" - podwójna premia. Rzut "z ręki" dotyczy wyłącznie pierwszego z 3 rzutów w rundzie. Żeby nie było wątpliwości w jakiej sytuacji można zapisać rzut "z ręki": kiedy w pierwszym rzucie wypadł układ: 5,5,5,5,4 , gracz może zrezygnować z dwóch kolejnych rzutów i zapisać sobie podwójną wartość KARETY (2*45 pkt = 90 pkt). Może on zdecydować się, że rzuca pozostałe dwa rzuty i próbuje wyrzucić POKERA z „5”. Jeśli to mu się uda, będzie mógł zapisać sobie wartość wyrzuconego POKERA z „5” (125 pkt), jeśli nie, będzie mógł zapisać już tylko zwykłą (pojedynczą) wartość KARETY z „5”, czyli 45 pkt.

50 Szkółka Pierwsze wiersze tabeli (wiersze ponumerowane od 1 do 6 oraz wiersz pod nimi, zatytułowany "SZKOŁA") stanowią tzw. porządek 1-6. Każda z 3 kolumn tabeli stanowi osobną szkółkę, a więc w sumie gracz ma do "zaliczenia" 3 szkółki. Aby "zaliczyć" jedno pole szkółki na 0 pkt, gracz musi wyrzucić odpowiednią TRÓJKĘ. Szkółka zostaje zamknięta wówczas, gdy dokonaliśmy już wpisów we wszystkich jej sześciu wierszach (ponumerowanych od 1 do 6). Jeżeli suma wszystkich wpisów w 6 wierszach kolumny jest równa 0 pkt, premia za zamknięcie szkółki wynosi również 0 pkt, czyli de facto nie otrzymujemy w ogóle premii za jej zamknięcie. Dodatnie wpisy w SZKÓŁCE: kiedy uda nam się wyrzucić więcej, niż TRÓJKĘ, czyli KARETĘ lub POKERA, możemy wpisać sobie dodatnie punkty równe sumie punktów za "nadwyżkowe" kostki (np. za układ (4,4,4,4,,3) zawierający karetę z „4” możemy wpisać sobie +4 pkt za jedną "nadwyżkową" „4” w 4 wierszu szkółki. Bardzo opłaca się walczyć o dodatnie punkty w szkółce, ponieważ można na tym zarobić dużą premię za zamknięcie szkółki! Ujemne wpisy w SZKÓŁCE: gdy nie uda nam się wyrzucić TRÓJKI, a jesteśmy zmuszeni dokonać wpisu w szkółce (np. dlatego, że wszystkie wpisy na dole są już zajęte) - wówczas dostajemy punkty ujemne na takiej samej zasadzie, jak dodatnie, tyle że za "brakujące" kostki. Np. za układ (6,6,5,4,2) zawierający tylko parę „6”, możemy sobie wpisać -6 pkt w szóstym wierszu szkółki za "brakującą" „6”.

51 Szachy Szachy są grą dwuosobową. Gra odbywa się na szachownicy sześćdziesięcioczteropolowej (8x8) przy użyciu ustawionych w określony sposób bierek (figur, pionów) przyporządkowanych odpowiednio każdemu z dwóch graczy. - Bierki mają kolor biały i czarny. - Każdy z graczy posiada po 16 bierek (8 figur i 8 pionów). - Każda z bierek posiada określone funkcje oraz reguły poruszania się po planszy i bicia. - Zawodnicy wykonują ruchy na przemian po jednym posunięciu, do chwili zakończenia partii. - Celem gry jest danie mata królowi przeciwnika. - Grę rozpoczyna gracz grający białymi bierkami.

52 Król - porusza się na dowolne sąsiednie pole (wyjątek to roszada), które nie jest atakowane przez bierkę przeciwną. Hetman (Królowa) - porusza się na dowolne pole po liniach, rzędach i przekątnych, na których się znajduje. Wieża - porusza się na dowolne pole po liniach i rzędach, na których się znajduje. Goniec (zwany też Laufrem) - porusza się na dowolne pole po przekątnych, na których się znajduje. Skoczek (Konik szachowy) - ruch składa się z dwóch faz: najpierw wykonuje on krok o jedno pole wzdłuż rzędu lub linii, a następnie krok o jedno pole na dowolnej przekątnej oddalając się od pola wyjściowego. Pion (Pionek) - porusza się tylko do przodu o jedno pole. Wyjątkiem jest pierwszy ruch każdym pionem, kiedy może się on poruszyć o dwa pola w przód. Pion, który osiągnął ostatni rząd pól, może ulec promocji, tzn. być wymieniony na dowolną figurę (np. Hetman).

53 Poruszanie bierek po szachownicy:
 Żadna bierka (oprócz Skoczka), nie może w czasie ruchu przeskakiwać innych bierek. Wyjątek stanowi tu roszada, polegająca na jednoczesnym posunięciu Króla i jednej z Wież, która go przeskakuje i ustawia się tuż za nim ( nie można wykonać roszady, gdy pole, które Król ma przeskoczyć (lub zająć) jest atakowane przez bierkę przeciwnika lub gdy między Królem a Wieżą znajduje się jakakolwiek bierka).  Z wyjątkiem roszady, posunięciem jest przemieszczenie bierki z jednego pola na inne, które jest wolne lub zajęte przez bierkę przeciwnika. Zbijanie bierek:  Zbijanie bierek na zajmowaniu pola, na którym znajduje się bierka przeciwnika przy równoczesnym jej wyeliminowaniu z gry i postawieniu w jej miejsce bierki atakującej.  W przypadku bicia piona - pion przesuwa się o jedno pole wzdłuż jednej z przekątnych, na których się znajduje.  Bicie w przelocie - pion atakujący pole przekroczone przez piona przeciwnika, który przesunął go w jednym posunięciu o dwa pola z początkowego miejsca - może tego piona zbić, jak gdyby pion przeciwnika został przesunięty tylko o jedno pole; takie bicie może być jednak wykonane tylko w odpowiedzi na ten ruch.

54 Szach:   Król jest szachowany, jeśli pole, które zajmuje jest atakowane przez jedną lub dwie bierki przeciwnika.   Ostatnie posunięcie przeciwnika określa się jako szachujące Króla.  Zawodnik nie może wykonać posunięcia, pozostawiającego Króla pod szachem.   Szach musi być odparty najbliższym posunięciem.  Jeżeli tego nie można uczynić – Król jest zamatowany - Mat.

55 Koniec partii: Partię wygrywa zawodnik, który dał mata Królowi przeciwnika, co kończy partię. Partię wygrywa zawodnik, którego przeciwnik oświadczył, że poddaje się, co kończy partię. Partia kończy się remisem, gdy Król zawodnika, będącego na posunięciu, nie jest szachowany, ale zawodnik ten nie może wykonać żadnego prawidłowego posunięcia. Pozycję taką określa się jako Pat i partia zostaje zakończona. Partia kończy się remisem, jeżeli powstała jedna z następujących pozycji: Król przeciwko Królowi Król przeciwko Królowi z Gońcem lub Skoczkiem Król i Goniec przeciwko Królowi i Gońcowi, jeśli obydwa Gońce znajdują się na przekątnych tego samego koloru Zawodnik, mający jedynie Króla, nie może wygrać partii. Partia kończy się remisem również w wyniku zgodnego porozumienia zawodników. Partia kończy się remisem na żądanie zawodnika będącego na posunięciu, jeżeli taka sama pozycja po raz trzeci: - ma się powtórzyć - właśnie powtórzyła się i za każdym razem ten sam zawodnik jest na posunięciu Pozycja będzie uznana za identyczną, jeśli bierki tego samego rodzaju i koloru zajmują te same pola oraz istnieje możliwość wykonania tymi bierkami takich samych posunięć, łącznie z prawem roszady i bicia w przelocie. Partia kończy się remisem, jeżeli zawodnik znajdujący się na posunięciu zażąda remisu i jednocześnie wykaże, że obie strony wykonały przynajmniej 50 ostatnich posunięć, podczas których żadna bierka nie została zabita ani żaden pion nie wykonał ruchu.

56 SKŁAD GRUPY 97/85_MF_G1 UCZNIOWIE 1.Banaszek Krystian Maurycy
2.Binert Kasper 3.Disterheft Magdalena 4.Grams Dominik 5.Herba Janusz Dawid 6.Komasińska Karolina 7.Kowalewski Mateusz 8.Mikołajczyk Karol 9.Napierała Marta Helena 10Pierzchała Agnieszka Kamila 11.Pietrucha Piotr 12.Piwowarczyk Damian 13.Stasiak Patryk 14.Zalewski Adrian OPIEKUN: ADAM MAŁYSKO

57 PRZEZ ZABAWE DO WIEDZY

58 TABLICA I PIOTREK

59 A TO CZĘŚĆ NASZEJ EKIPY

60 Bibliografia Matematyka z plusem, klasa 3. M.Dobrowolska,M.Karpiński,J Lech Nowa Era ,Babiański Zbiór zadań z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa J.Ligman, E. Stachowski, A. Zalewska

61