Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych w Czaplinku ID grupy: 97/53_MF_G1 Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Siłą fizyki jest siła Semestr: czwarty Rok szkolny: 2011/2012

3 SIŁĄ FIZYKI JEST SIŁA!

4 SIŁĄ FIZYKI JEST SIŁA Przyrodę, prawa jej krył nocy cień. Bóg rzekł: Newtonie, bądź i stał się dzień Aleksander Pope Co jest przyczyną zmiany prędkości ciała? Jak poruszałoby się ciało gdyby na nie nic nie działało? Odpowiedzi na te pytania poszukaliśmy realizując ten projekt. Podstawowym pojęciem w dynamice jest siła. Siła nie tkwi w masie, ale masa podlega działaniu siły ciężkości. Jeśli siła działa na poruszające się ciało to zwiększa ono swoją prędkość, przyspiesza tak długo, jak długo działa siła. Gdy działanie siły ustaje ujawnia się bezwładność masy. Ciało zachowuje swą końcową prędkość na zawsze, o ile nie zadziała inna siła. Opór powietrza bądź tarcie są zawsze tymi siłami, które przeciwdziałają ruchowi.

5 SIŁĄ FIZYKI JEST SIŁA Znamy wiele rodzajów sił, ale zawsze wszystkie posiadają wspólne cechy. Każda siła ma swoją wartość, zwrot, kierunek działania oraz punkt przyłożenia. Dzięki tym cechom siłę możemy przedstawić za pomocą odcinka ze zwrotem- wektora. Siły poznajemy po skutkach działania. Możemy je składać, rozkładać, równoważyć, mierzyć, mogą być użyteczne i szkodliwe. Każda siła wywołuje też przeciwdziałanie o tej samej wartości. A więc jeśli dotykasz fizyki to fizyka dotyka Ciebie!

6 CELE PROJEKTU Rozwój wiedzy z zakresu: MATEMATYKI: przekształcenia algebraiczne; równania i nierówności; pojęcia geometryczne: przystawanie, podobieństwo, równoległość, prostopadłość; funkcje: liniowa, kwadratowa, trygonometryczna i oś liczbowa; iloczyn skalarny i wektorowy wektorów; FIZYKI: podstawowe siły makroskopowe: ciężkości, sprężystości, tarcia, nacisk; równowaga ciał; zasady dynamiki Newtona; pęd punktu materialnego; zasada zachowania pędu; inercjalne układy odniesienia; układy nieinercjalne; siły bezwładności; prawo powszechnego ciążenia

7 ZAKRES I PODZIAŁ ZADAŃ Andreasik Ola: opracowanie doświadczeń i przeprowadzenie doświadczeń oraz opracowanie teorii o siłach tarcia, sprężystości Bogdziewicz Asia: zdjęcia z doświadczeń i ich oprawa, zadania i teoria z zakresu matematyki Chanulak Paweł, Gierszewska Magda: opracowanie doświadczeń i teorii z prawa Coulomba i Archimedesa Gruszkowska Agnieszka, Karska Magda: opracowanie doświadczeń i przeprowadzenie doświadczeń oraz opracowanie teorii o zasadach dynamiki Kujawska Kasia: rozwiązywanie zadań z fizyki, przeprowadzenie doświadczeń Małkowska Karolina, Udycz Weronika: przeprowadzenie doświadczeń i obliczanie niepewności pomiarowych, opracowanie wykresów w arkuszu kalkulacyjnym Wojciechowski Darek: e-kronikarz, opracowanie i przeprowadzenie doświadczeń Pani Małgorzata Okulewicz- opiekun

8

9 SIŁA- DEFINICJA Siła to wielkość, która służy do opisu oddziaływań zachodzących między ciałami.

10 ODDZIAŁYWANIE SIŁ Oddziaływania są wzajemne. Jedno ciało działa siłą na drugie ciało i jednocześnie drugie ciało działa siłą na pierwsze ciało. Siły te się nie równoważą, ponieważ każda z nich przyłożona jest do innego ciała. Jednostką siły jest 1 niuton (1N), a przyrząd do pomiaru siły to siłomierz.

11 RODZAJE ODDZIAŁYWAŃ oddziaływanie mechaniczne oddziaływanie na odległość

12 ODDZIAŁYWANIA NA ODLEGŁOŚĆ W PRZYRODZIE ODDZIAŁYWANIE MAGNETYCZNE- występują między biegunami magnesów lub między przewodami, w których płynie prąd. Siły te mogą być siłami przyciągania lub odpychania, w zależności od rodzaju oddziałujących biegunów ODDZIAŁYWANIE JĄDROWE- występują między składnikami jąder atomowych i są najsilniejszymi oddziaływaniami w przyrodzie. To dzięki tym siłom jądro atomu jest bardzo trwałym układem Źródło obrazka: trategiczne/ochrona_srodowiska_w_polsce_zagadnienia/Promieniowanie/Promi eniowanieJonizujace/ Źródło obrazka: Fizyka dla gimnazjum 1 M. Rozenbajgier, R. Rozenbajgier, J. M. Kreiner, wyd. ZamKor

13 ODDZIAŁYWANIA NA ODLEGŁOŚĆ W PRZYRODZIE ODDZIAŁYWANIA GRAWITACYJNE- występują między wszystkimi ciałami i zależą od wielkości ich mas. Siły grawitacji są wyłącznie siłami przyciągania. ODDZIAŁYWANIA ELEKTRYCZNE- do oddziaływania między ciałami obdarzonymi ładunkiem elektrycznym, czyli ciałami naelektryzowanymi. Siły oddziaływań elektrycznych mogą być siłami przyciągania lub odpychania, zależnie od rodzaju oddziałujących ładunków. Źródło obrazka: z-wpadl-do-mieszkania-i-zginal,1, ,artykul.html Źródło obrazka:

14 SKUTKI DZIAŁANIA SIŁ DYNAMICZNE- obserwujemy wtedy, gdy działanie siły powoduje wprawienie ciała w ruch, zatrzymanie ciała lub zmianę kierunku ruchu. STATYCZNE- obserwujemy wtedy, gdy działanie siły powoduje zmianę kształtu ciała. Jeżeli zmiana jest nietrwała, to mamy do czynienia z ciałem sprężystym. Trwałym zmianą ulegają pod wpływem oddziaływań ciała plastyczne i kruche.

15 CO MOŻEMY OBLICZYĆ MAJĄC INFORMACJE O SILE? - posiadając informacje o siłach działających na dane ciało możemy wyliczyć przyspieszenie danego ciała - znając przyspieszenie ciała jesteśmy w stanie obliczyć prędkość chwilową tego ciała - mając prędkość danego ciała jesteśmy w stanie obliczyć przyszłe położenie ciała - gdy mamy nowe położenie ciała jesteśmy w stanie ustalić nowe siły nań działające (kółko się zamyka). Gdy będziemy postępować w taki sposób w danym czasie to uda nam się wyliczyć dowolne położenie ciała w jakiejś chwili. Trzeba znać jedynie położenia wszelkich ciał we wszechświecie oraz należy znać wzory na odpowiednie siły.

16 SIŁA JAKO WEKTOR Skutki działania siły zależą od tego, gdzie jest ona przyłożona, jak jest duża oraz w którą stronę i w jakim kierunku działa. Jeżeli wielkość fizyczna jest wielkością wektorową, to do jej dokładnego określenia należy podać cztery cechy: Punkt przyłożenia Wartość liczbową Kierunek działania Zwrot

17 SIŁA JAKO WEKTOR – przykłady z przyrody Źródło obrazka: Fizyka dla gimnazjum 1 M. Rozenbajgier, R. Rozenbajgier, J. M. Kreiner, wyd. ZamKor

18 SKŁADANIE SIŁ Składanie kilku sił to dodawanie ich wektorów. W wyniku otrzymujemy jedna siłę, którą nazywamy siłą wypadkową. 1. Wypadkowa dwóch sił działających wzdłuż tej samej prostej i mających zgodne zwroty ma wartość równą sumie wartości sił składowych, kierunek zgodny z kierunkiem sił składowych, a zwrot zgodny ze zwrotem tych sił. Źródło obrazka: Fizyka dla gimnazjum 1 M. Rozenbajgier, R. Rozenbajgier, J. M. Kreiner, wyd. ZamKor

19 SKŁADANIE SIŁ 2. Wypadkowa dwóch sił działających wzdłuż tej samej prostej i mających przeciwne zwroty ma wartość równą różnicy wartości sił składowych, kierunek zgodny z kierunkiem sił składowych, a zwrot zgodny ze zwrotem siły o większej wartości. Źródło obrazka: Fizyka dla gimnazjum 1 M. Rozenbajgier, R. Rozenbajgier, J. M. Kreiner, wyd. ZamKor

20 SKŁADANIE SIŁ 3. Jeżeli dwie siły działające na ciało wzdłuż tej samej prostej mają jednakowe wartości i przeciwne zwroty, to ich wypadkowa ma wartość zero. Takie siły równoważą się. Źródło obrazka: Fizyka dla gimnazjum 1 M. Rozenbajgier, R. Rozenbajgier, J. M. Kreiner, wyd. ZamKor

21 SKŁADANIE SIŁ 4. Siła wypadkowa dwóch sił zbieżnych ma kierunek przekątnej równoległoboku, którego boki odpowiadają siłom składowym, a jej wartość jest równa długości tej przekątnej. Źródło obrazka: Fizyka dla gimnazjum 1 M. Rozenbajgier, R. Rozenbajgier, J. M. Kreiner, wyd. ZamKor

22 ROZKŁADANIE SIŁY Rozkładanie siły (F) polega na zastąpieniu jej działania dwoma siłami składowymi. Źródło obrazka:

23 DYNAMIKA NEWTONA Źródło obrazka: Sir Isaac Newton (ur. 4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 31 marca 1727r. w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik. W swoim słynnym dziele Philosophiae naturalis principia mathematica (1687 r.) przedstawił prawo powszechnego ciążenia, a także prawa ruchu leżące u podstaw mechaniki klasycznej.

24 I ZASADA DYNAMIKI Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działają siły równoważące się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej. Pierwsza zasada dynamiki nazywana jest zasadą bezwładności. Bezwładnością (inercją) nazywamy zjawisko zachowania przez ciało prędkości, gdy nie działają na nie żadne inne ciała lub gdy działania innych ciał wzajemnie równoważą się.

25 II ZASADA DYNAMIKI Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się, to ciało porusza się ruchem zmiennym z przyspieszeniem, którego wartość jest wprost proporcjonalna do wartości siły wypadkowej. Współczynnik proporcjonalności jest równy odwrotności masy ciała. Kierunek i zwrot przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem siły wypadkowej.

26 II ZASADA DYNAMIKI W POSTACI OGÓLNEJ Przyrost pędu ciała jest równy iloczynowi działającej na ciało siły wypadkowej i czasu jej działania. II zasada dotyczy przypadków, w których podczas ruchu masa ciała jest stała. Pęd ciała może się zmienić nie tylko na skutek zmiany prędkości, lecz również na skutek zmiany masy. Tego typu przypadki opisuje ogólna postać tej zasady.

27 III ZASADA DYNAMIKI Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia. Siły opisane w tej zasadzie nie równoważą się. Źródło obrazka: Fizyka dla gimnazjum 1 M. Rozenbajgier, R. Rozenbajgier, J. M. Kreiner, wyd. ZamKor

28 SIŁA CIĘŻKOŚCI A CIĘŻAR CIAŁA Siła ciężkości, to siła z jaką ciało przyciągane jest przez Ziemię. Siła ta jest zawsze skierowana do środka Ziemi. Ciężar ciała na powierzchni Ziemi jest wypadkową siły grawitacji oraz siły odśrodkowej, wynikającej z ruchu wirowego Ziemi.

29 SIŁA CIĘŻKOŚCI A CIĘŻAR CIAŁA Źródło obrazka: Fizyka w tablicach dla kandydatów na studia i studentów, A. Gałkowska, A. Kolincio, K. Kozłowski. Wyd. Podkowa, Gdańsk 2002 – prędkość kątowa ruchu wirowego Ziemi m – masa ciała r - promień okręgu po którym porusza się ciało

30 SIŁA SPRĘŻYSTOŚCI W wielu przypadkach ciała ulegają odkształceniom sprężystym, to znaczy takim w których ciało odkształca się pod wpływem siły zewnętrznej, a następnie po jej zniknięciu ciało wraca do swojej pierwotnej postaci. Przykładem takich odkształceń są sprężyny. Odkształcenia sprężyste nawet w sprężynach zachodzą tylko w pewnym zakresie wartości siły odkształcającej.

31 SIŁA SPRĘŻYSTOŚCI W najprostszym przypadku można mówić o wydłużeniu lub skróceniu ciała w jednym wymiarze. W zakresie oddziaływań (i odkształceń) sprężystych wartość odkształcenia zależy od przyłożonej siły. Zależność mówi, że wartość odkształcenia jest wprost proporcjonalna do wartości przyłożonej siły zewnętrznej. Źródło obrazka:

32 SIŁA SPRĘŻYSTOŚCI Odkształcenie sprężyste charakteryzuje się tym, że jego wielkość jest proporcjonalna do przyłożonej siły odkształcającej. Z równości wartości siły odkształcającej i siły sprężystości wynika proporcjonalność siły sprężystości do odkształcenia. Współczynnik sprężystości nosi nazwę stałej sprężystości. Wymiarem stałej sprężystości jest niuton na metr.

33 SIŁA SPRĘŻYSTOŚCI Siła, która powoduje powrót odkształconego ciała do pierwotnego kształtu lub objętości. Dla małych odkształceń siła sprężystości jest proporcjonalna do odkształcenia, co wyraża Prawo Hooke'a, które dla odkształcenia liniowego można przedstawić wzorem: gdzie: x – zmiana długości (wydłużenie lub skrócenie) ciała, k– współczynnik sprężystości sprężyny wyrażany w N/m, F– siła sprężystości.

34 SIŁA TARCIA Siła tarcia to całość zjawisk fizycznych towarzyszących przemieszczaniu się względem siebie dwóch ciał fizycznych (tarcie zewnętrzne) lub elementów tego samego ciała (tarcie wewnętrzne) i powodujących rozpraszanie energii podczas ruchu. Tarcie zewnętrzne występuje na granicy dwóch ciał stałych. Tarcie wewnętrzne występuje przy przepływie płynów, jak i deformacji ciał stałych.

35 PRAWA DOTYCZĄCE SIŁY TARCIA 1) Siła tarcia zależy od rodzaju powierzchni obu stykających się ciał. 2) Siła tarcia nie zależy od wielkości powierzchni styku ciała z podłożem. 3) Siła tarcia nie zależy od prędkości ciała. 4) Siła tarcia jest wprost proporcjonalna do siły nacisku.

36 PODSTAWOWY PODZIAŁ TARCIA tarcie zewnętrzne tarcie ślizgowe tarcie spoczynkowe (tarcie statyczne) tarcie ruchowe (tarcie kinetyczne) tarcie toczne tarcie wewnętrzne

37 SIŁA TARCIA STATYCZNEGO Siłą tarcia statycznego T S nazywamy siłę działającą między powierzchniami nieruchomymi względem siebie. gdzie: f s – współczynnik tarcia statycznego. F N – wartość siły nacisku.

38 SIŁA TARCIA KINETYCZNEGO Siłą tarcia kinetycznego T K nazywamy siłę działającą między powierzchniami poruszającymi się względem siebie. gdzie: f K – współczynnik tarcia kinetycznego. F N – wartość siły nacisku.

39 TARCIE TOCZNE Tarcie toczne- opór ruchu występujący przy toczeniu jednego ciała po drugim. Występuje np. pomiędzy elementami łożyska tocznego, między oponą a nawierzchnią drogi. gdzie: R - promień koła będącego przekrojem poprzecznym toczącej się bryły (np. walca lub kuli), f - współczynnik tarcia tocznego. Współczynnik tarcia tocznego wyrażany jest w metrach (jednostkach długości).

40 SIŁY NA RÓWNI POCHYŁEJ Na równi pochyłej siła ta rozkłada się na dwie siły: siłę równoległą do powierzchni równi –F Z i siłę prostopadłą do powierzchni równi –F N Siła F Z powoduje ruch ciała wzdłuż równi, a siła F N naciska na równię i dlatego ma wpływ na wartość siły tarcia.

41 RÓWNIA POCHYŁA Siła F N jest równoważona przez siłę sprężystości równi S, a niezrównoważona siła wypadkowa o wartości F Z - T = F w i nadaje ciału na równi przyspieszenie: Źródło obrazka:

42 RÓWNIA POCHYŁA – RÓWNANIA NA RÓWNI Źródło obrazka: ruchu-na-rowni-pochylej/

43 SIŁA DOŚRODKOWA W RUCHU PO OKRĘGU Siła dośrodkowa - w fizyce siła powodująca zakrzywianie toru ruchu ciała, skierowana wzdłuż normalnej (prostopadle) do toru, w stronę środka jego krzywizny. Wartość siły określa wzór: Źródło obrazka:

44 BEZWŁADNOŚĆ CIAŁ Bezwładność jest to cech ciała polegająca na tym, że ciało dąży do zachowania stanu spoczynku lub stanu ruchu jednostajnego prostoliniowego. Masa jest miarą bezwładności ciała. Im większa masa, tym trudniej wprawić je w ruch oraz trudniej zatrzymać.

45 SIŁA NACISKU Siła nacisku jest to siła skierowana zawsze prostopadle do podłoża. Można ją spotkać w różnych wzorach fizycznych. Pojawia się w definicji ciśnienia, we wzorze na siłę tarcia, działa na ciała znajdujące się na podłożu poziomym jak i na równi pochyłej.

46 SKĄD SIĘ BIERZE SIŁA WYPORU? Powodem powstawania siły wyporu jest fakt, że ciśnienie w płynie zmienia się wraz z głębokością – im głębiej tym większe ciśnienie. Ponieważ jednak zanurzone ciało ma pewne rozmiary, a w szczególności pewną wysokość, to inne ciśnienie działa u góry ciała, a inne przy jego dolnej powierzchni. Źródło obrazka:

47 SKĄD SIĘ BIERZE SIŁA WYPORU? Większe ciśnienie na dole niż na górze powoduje, że od dołu do góry działa także większa siła parcia. W efekcie zsumowania wektorowego większej siły do góry z mniejszą do dołu powstaje sumaryczna siła skierowana do góry. Nazywa się ona właśnie siłą wyporu.

48 WARTOŚĆ SIŁY WYPORU Archimedes jako pierwszy doszedł do wniosku, że siła wyporu jest równa ciężarowi wypartego płynu.Jego prawo brzmi: Siła wyporu działająca na ciało zanurzone w płynie jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało. Jakie wnioski wyciągamy z tego prawa: -że siła wyporu jest tym większa, im gęstszy jest płyn - większa siła wyporu jest w wodzie, niż w powietrzu i większa w rtęci, niż w wodzie -siła wyporu jest tym większa, im większe (rozmiarami, objętością) jest ciało (a przynajmniej jego zanurzona część).

49 SIŁA WYPORU Siłę wyporu da się zapisać wzorem: F wyporu = ρ płynu g V zanurzona ρ płynu - gęstość płynu (cieczy, gazu) w którym zanurzone jest ciało V zanurzona – objętość tej części ciała, która jest zanurzona w płynie g – przyspieszenie ziemskie

50 WARUNKI PŁYWANIA CIAŁ Ciało będzie tonęło w cieczy, jeśli jego siła wyporu przy maksymalnym zanurzeniu będzie mniejsza niż ciężar tego ciała: Źródło obrazka: Fizyka i astronomia dla każdego pod redakcją Barbary Sagnowskiej, wyd. ZamKor

51 WARUNKI PŁYWANIA CIAŁ Siła wyporu jest większa od ciężaru ciała: Źródło obrazka: Fizyka i astronomia dla każdego pod redakcją Barbary Sagnowskiej, wyd. ZamKor

52 WARUNKI PŁYWANIA CIAŁ Siły wyporu i ciężkości są sobie równe – wtedy ciało pozostaje w bezruchu unosząc się w płynie: Źródło obrazka: Fizyka i astronomia dla każdego pod redakcją Barbary Sagnowskiej, wyd. ZamKor

53 PRAWO BERNOULLIEGO w czasie przepływu cieczy, suma ciśnienia statycznego i dynamicznego jest stała wzdłuż każdej linii przepływu. CIŚNIENIE STATYCZNE - jest to ciśnienie równe wartości siły działającej na jednostkę powierzchni, z jaką działają na siebie dwa stykające się elementy przepływającego lub będącego w spoczynku płynu, które znajdują się w danej chwili w rozpatrywanym punkcie przestrzeni. CIŚNIENIE DYNAMICZNE - to jednostkowa siła powierzchniowa, jaką przepływający płyn wywiera na ciało w nim się znajdujące.

54 PRAWO BERNOULLIEGO – doświadczenia pokazowe

55 PRAWO BERNOULLIEGO Równanie opisujące prawo Bernoulliego: gdzie: p - ciśnienie - gęstość cieczy h - wysokość punktu w którym mierzymy prędkość v przepływu g - przyspieszenie ziemskie

56 DLACZEGO SAMOLOT LATA? Siła nośna - siła aerodynamiczna zwrócona przeciwnie do siły grawitacji, pozwalająca na wznoszenie obiektów (ich lot). Powstaje w wyniku przepływu powietrza wokół odpowiednio ukształtowanego płata, co powoduje wystąpienie różnicy ciśnień po obu jego stronach. Jest wytwarzana przez skrzydła samolotu lub łopaty wirnika w przypadku śmigłowca. Źródło obrazu: M.Rozenbajgier, R. Rozenbajgier Fizyka dla gimnazjum, część druga, wyd. ZamKor.

57 SIŁA ELEKTROSTATYCZNA – PRAWO COULOMBA Prawo Coulomba mówi, że siła wzajemnego oddziaływania dwóch punktowych ładunków elektrycznych jest wprost proporcjonalna do iloczynu tych ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.

58 SIŁA ELEKTROSTATYCZNA – PRAWO COULOMBA Jeżeli odległość między oddziałującymi elektrostatycznie ciałami zwiększymy dwukrotnie to siła ich wzajemnego oddziaływania zmaleje czterokrotnie. Jeśli tą odległość zmniejszymy trzykrotnie to siła wzrośnie dziewięciokrotnie. Źródło obrazu:

59 PRAWO POWSZECHNEGO CIĄŻENIA Dwie punktowe masy m 1 i m 2 oddziaływują na siebie siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. Wartość siły grawitacji obliczamy ze wzoru: Źródło obrazka: Fizyka w tablicach dla kandydatów na studia i studentów, A. Gałkowska, A. Kolincio, K. Kozłowski. Wyd. Podkowa, Gdańsk 2002

60 ŚRODEK CIĘŻKOŚCI I ŚRODEK MASY Środek ciężkości (barycentrum) ciała lub układu ciał jest punktem, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości danego ciała. Dla ciała znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy dlatego pojęcia te często są mylone lub wręcz utożsamiane. W geometrii (w tym stereometrii) pojęcie środka ciężkości jest synonimem środka masy.

61 PĘD Jest wielkością stosowaną do opisu ciał w ruchu. Można by rozumieć jako coś w rodzaju "ilości" ruchu lub "siły" ruchu. Zależy on od prędkości i masy ciała.

62 PĘD Wzór na pęd: Pęd definiujemy jako iloczyn masy i prędkości ciała Pęd jest wielkością wektorową. Kierunek i zwrot wektora pędu jest taki sam jak kierunek i zwrot wektora prędkości.

63 PĘD Jednostką pędu w układzie SI jest:

64 ZASADA ZACHOWANIA PĘDU Jeżeli na układ ciał nie działają siły zewnętrzne lub siły te równoważą się, to pęd układu pozostaje stały. Siły wewnętrzne mogą zmienić pędy poszczególnych ciał, nie zmieniając pędu układu.

65 O TARCIU W POWIETRZU I WODZIE- O ZJAWISKU ODRZUTU Zjawisko powstawania siły, zwanej siłą odrzutu, wywołanego tą siłą przyspieszenia oraz wywołanego nim ruchu ciała (odrzutu), gdy dane ciało (A) działając siłą na inne ciało (B) nadaje mu prędkość (rzuca to ciało). Powstawanie siły odrzutu wynika z III zasady dynamiki Newtona. Obie siły mają takie same wartości i kierunki, przeciwne zwroty, są przyłożone do różnych ciał.

66 NIEINERCJALNY UKŁAD ODNIESIENIA Nieinercjalny układ odniesienia – układ odniesienia poruszający się ruchem niejednostajnym względem jakiegokolwiek inercjalnego układu odniesienia. Transformacja równań ruchu z układu inercjalnego do układu nieinercjalnego powoduje, że w równaniu ruchu zapisanym w układzie nieinercjalnym pojawiają się dodatkowe wyrazy, których wartość zależy od ruchu układu nieinercjalnego względem inercjalnego. Wyrazy te mają wymiar siły i dlatego mówimy, że w takim układzie występują pozorne siły. Przykładem takich sił jest siła bezwładności i siła Coriolisa.

67 PRAWA MECHANIKI W UKŁADACH NIEINERCJALNYCH SIŁY BEZWŁADNOŚCI PRZECIĄŻENIE NIEWAŻKOŚĆ SIŁA ODŚRODKOWA

68 SIŁA MAGNETYCZNA Siły magnetyczne są jednymi z podstawowych sił w naturze. Oddziaływania magnetyczne odbywają się za pośrednictwem pola magnetycznego, które w skali makroskopowej wytwarzane jest na skutek ruchu ładunków elektrycznych lub prądu elektrycznego. Stały prąd elektryczny wywołuje statyczne pole magnetyczne, natomiast zmienny prąd elektryczny powoduje powstanie nierozerwalnie związanego z nim zmiennego pola magnetycznego (takie podwójne pole nosi nazwę pola elektromagnetycznego).

69 SIŁY DZIAŁAJĄCE NA CZŁOWIEKA W WINDZIE Do tego tematu wykorzystaliśmy zadanie z książki do fizyki wyd. ZamKor o treści: W windzie poruszającej się z przyspieszeniem o wartości 1m/s 2 zwróconym do góry, stoi pasażer o masie 80kg. Obliczamy wartość siły nacisku pasażera na podłogę windy. 1. Rozwiązanie w układzie inercjalnym związanym z klatką schodową. Obserwator w tym układzie stwierdza, że pasażer wraz z windą ma przyspieszenie a, zatem działa na niego siła wypadkowa zgodnie z II zasadą dynamiki zwrócona w górę.

70 SIŁY DZIAŁAJĄCE NA CZŁOWIEKA W WINDZIE Źródło obrazka i tekstu: Fizyka dla szkół ponadgimnazjalnych. Kurs podstawowy z elementami kursu rozszerzonego koniecznymi do podjęcia studiów technicznych i przyrodniczych cz. 1 pod redakcją Jadwigi Salach, wyd. ZamKor, Kraków 2004

71 SIŁY DZIAŁAJĄCE NA CZŁOWIEKA W WINDZIE 2. Rozwiązanie w układzie nieinercjalnym związanym z windą. Obserwator znajduje się w windzie. W jego układzie pasażer spoczywa zatem wypadkowa sił działających na niego jest równa zeru. Są to siły które wymienił obserwator w układzie inercjalnym i siła bezwładności. Źródło obrazka i tekstu: Fizyka dla szkół ponadgimnazjalnych. Kurs podstawowy z elementami kursu rozszerzonego koniecznymi do podjęcia studiów technicznych i przyrodniczych cz. 1 pod redakcją Jadwigi Salach, wyd. ZamKor, Kraków 2004

72 SIŁY W SPORCIE Siła w sporcie ma bardzo duże znaczenie ponieważ jest potrzebna dla spowodowania lub zatrzymania ruchu i niema czynności sportowych, w których nie występowałoby działanie siły. W sytuacjach sportowych tempo zmiany szybkości jest istotnym czynnikiem. Zmiana odbywa się niemal natychmiastowo np. uderzenie piłki kijem, odbicie piłki tenisowej, wypchnięcie kuli, skok w dal, odbijanie piłki w koszykówce, zbicie piłki w siatkówce, szybkie starty i zatrzymania.

73 SIŁY W SPORCIE Na przykład: Mamy wyrzucić piłkę o masie 14g z prędkością 40m/s. Aby uzyskać tą szybkość w czasie 1/10sek należy zadziałać z siłą: Jeżeli tą prędkość byśmy mieli uzyskać w czasie 1/100 sekundy mamy:

74 SIŁY W SPORCIE Technika startu lekkoatletycznego wymaga odmiennego podejścia do zastosowania tych samych zasad. Źródło obrazka: Naukowe zasady treningu John W. Bunn

75 SIŁY W SPORCIE W jednym przypadku start odbywał się tak, że siły skierowane były pod kątem 54° do poziomu. W drugim przypadku kąt wyniósł 72°. Dla siły 180kG skierowanej wzdłuż wektora wielkości i kierunku siła osiąga wielkość: F x = 180 × cos 72° = 180 × 0,3090 = 55,62kG F x = 180 × cos 54° = 180 × 0,5878 = 105,80kG Wniosek: Przy starcie należy zmniejszać kąt wybiegu, możliwie w jak największym stopniu, w celu jak najszybszego wykorzystania siły rozwijanej w chwili startu do biegu.

76 SIŁY W SPORCIE Występowanie siły tarcia jest bardzo ważnym aspektem w sporcie w szczególności np. gry w koszykówkę. Zawodnik musi dostosować swój kąt nachylenia do podłoża tak aby nie nastąpiło poślizgnięcie. Przykładowo gdy współczynnik tarcia między podeszwą zawodnika a boiskiem wynosi 0,33 to kąt jego powinien wynosić 18 o. W przypadku współczynnika równego 1,5 kąt ten wynosi 56 o.

77 SIŁY W SPORCIE Źródło obrazka: Naukowe zasady treningu John W. Bunn

78 SIŁY W TECHNOLOGII I W CODZIENNOŚCI Źródło obrazka: Źródło obrazka: Źródło obrazka: Źródło obrazka:

79

80 DOŚWIADCZENIE 1: SKŁADANIE SIŁ. SIŁA WYPADKOWA. Potrzebne materiały: książka, sznurek, odważniki, stół Cel doświadczenia: Zbadanie siły wypadkowej. Przebieg doświadczenia: 1. Sznurkiem obwiązujemy książkę. 2. Przyczepiamy dwa sznurki obciążone różnymi ciężarkami pod kątem prostym względem siebie. 3. Układ kładziemy na krawędzi stołu (posmarowanego tłuszczem- mniejsze tarcie). 4. Puszczamy ciężarki. 5. Obserwujemy jak porusza się książka.

81 DOŚWIADCZENIE 1 Obserwacje: Książka spada na ziemię. Wnioski: Książka porusza się w kierunku siły wypadkowej, wynikającej z równoległoboku sił. Ruch książki jest założeniem dwóch ruchów wzajemnie prostopadłych. Zamieniając ciężarki miejscami możemy zaobserwować zmianę kierunku siły wypadkowej.

82 DOŚWIADCZENIE 2: CZY SIŁY SKŁADOWE MOGĄ PRZEWYŻSZYĆ SIŁĘ WYPADKOWĄ. Potrzebne materiały: książka, sznurki, dwa różne ciężarki, stół Przebieg doświadczenia: 1. Książkę obwiązujemy sznurkiem dookoła. 2. Drugi sznurek przeciągamy pod nim i chwytamy w dwie ręce oba końce sznurka, tak aby każdy ze sznurków dźwigał połowę ciężaru książki. 3. Oddalamy końce sznurków od siebie, ale tak aby położenie książki nie uległo zmianie.

83 DOŚWIADCZENIE 2 Obserwacje: Położenie książki nie ulega zmianie. Wnioski: Ciężar książki jest równoważony przez wypadkową dwóch sił napięcia sznurka. Rozsuwając sznurki, tak że kąt pomiędzy składowymi jest coraz większy, odczuwamy wyraźny wzrost sił składowych, ale wypadkowa ich jest niezmienna i równa ciężarowi książki. Siły składowe mogą znacznie wywyższyć siły wypadkowe.

84 DOŚWIADCZENIE 3: TRZECIA ZASADA DYNAMIKI NEWTONA. Potrzebne materiały: kawałek mocnego sznurka, dwa siłomierze, dwie pary rolek Przebieg doświadczenia: 1. Dwie osoby stojące naprzeciwko siebie na rolkach ciągną każdy w swoją stronę dwa siłomierze połączone sznurkiem.

85 DOŚWIADCZENIE 3 2. Siłomierze należy trzymać tak, aby przy zbliżaniu się osób do siebie sznurki były cały czas napięte. 3. Masy obu osób powinny być zbliżone. 4. Rolki należy ustawić równolegle, aby opór ruchu był jak najmniejszy. Obserwacje: Oba siłomierze wskazują jednakowe wartości. Wniosek: Zgodnie z drugą zasadą dynamiki newtona, każda z osób ciągnących drugą uzyskuje pęd. Jeżeli masy osób są zbliżone, to spotykają się one w połowie odległości między nimi.

86 DOŚWIADCZENIE 4: ZBADANIE SIŁY DZIAŁAJĄCEJ NA CIAŁO. Potrzebne materiały: piłka (odkształcająca się, duża) Przebieg doświadczenia: 1. Oprzeć piłkę o ścianę i o podłogę. 2. Mocno nacisnąć pięścią na piłkę. Obserwacje: Piłka odkształca się. Wniosek: Działanie siły poznajemy po odkształceniu ciał lub zmianie ich ruchu. Odkształcenie ciał to statyczny skutek działania siły, a zmiana ruchu to skutek dynamiczny.

87 DOŚWIADCZENIE 5: ZBADANIE SIŁY MAGNETYCZNEJ. Potrzebne materiały: magnez i żarówka Przebieg doświadczenia: 1. Włączyć żarówkę. 2. Przystawić magnez do świecącej żarówki. Obserwacje: Pręciki w żarówce wyginają się. Wniosek: Na pręciki w żarówce działa siła magnetyczna.

88 DOŚWIADCZENIE 6: WYZNACZANIE SIŁY DOŚRODKOWEJ. Potrzebne materiały: kulka na nitce, wiadereczko na sznurku z wodą, waga szalkowa, odważniki, linijka, stoper. Przebieg doświadczenia: 1. Kulkę na nitce (wiadereczko z wodą) wprawiamy w ruch po okręgu w płaszczyźnie poziomej. 2. Wyznaczamy wagą masę ciał wprawianych w ruch. 3. Wyznaczamy promień okręgu. 4. Mierzymy czas dziesięciu obiegów, obliczamy okres ruchu i prędkość liniową. 5. Wynik wpisujemy do tabeli.

89 DOŚWIADCZENIE 6 KULKA NA NITCE Lp.r(cm)t(s)T(s)m(kg)F(N) 11511,301,1200,0850, ,53 T(s) m(kg) F(N) 31710,660,001 0,02 r(m) r sr (m)t sr (s) t(s) (m/s) 0,0010,15311,160,010,840,01

90 DOŚWIADCZENIE 6 WIADERECZKO Z WODĄ NA NITCE Lp.r(cm)t(s)T(s)m(kg)F(N) 120,03,460,3200,0100,77 219,93,00 T(s) m(kg) F(N) 319,73,140,001 0,09 r(m) r sr (m)t sr (s) t(s) (m/s) 0,0010,1993,200,013,910,03

91 DOŚWIADCZENIE 6 6. Do analizy wyników pomiarowych należy wykorzystać wzory: okres ruchu ciała: prędkość liniowa: siła dośrodkowa:

92 DOŚWIADCZENIE 6 7. Do obliczenia niepewności pomiarowych należy wykorzystać wzory: niepewność pomiarowa okresu ruchu: niepewność pomiarowa prędkości: niepewność pomiarowa siła dośrodkowa:

93 DOŚWIADCZENIE 6 WNIOSKI: W ruchu po okręgu na kulkę działa siła dośrodkowa o wartości: W ruchu po okręgu na wiadereczko działa siła dośrodkowa o wartości:

94 DOŚWIADCZENIE 7: ZBADANIE SIŁY NACISKU NA POWIERZCHNIĘ. Potrzebne materiały: dwie torebki cukru, naczynie z piaskiem Przebieg doświadczenia: 1. Napełnić naczynie piaskiem. 2. Położyć dwie torebki cukru (1kg) tak, by jedna była położona pionowo a druga poziomo. 3. Wyciągnąć obie torebki cukru. 4. Sprawdzić i zmierzyć wyciski na piasku.

95 DOŚWIADCZENIE 7 Obserwacje: Torebka cukru ułożona pionowo zrobiła większe wgłębienie w piasku, w ułożona poziomo zrobiła mniejsze wgłębienie.

96 DOŚWIADCZENIE 7 Obliczenia: Do obliczenia siły nacisku wykorzystujemy wzór: Do obliczenia ciśnienia wykorzystujemy wzór:

97 DOŚWIADCZENIE 7 Wyniki obliczeń: Wnioski: Ciała o takich samych masach a różnych polach powierzchni wywierają różne ciśnienia na tę sama powierzchnię. Im mniejsza powierzchnia ciała naciskającego tym większe ciśnienie. Lp.m(kg)F N (N)S(m 2 )p(Pa) 11100,098102, ,063158,73

98 DOŚWIADCZENIE 8: BADANIE SIŁY DOŚRODKOWEJ W RUCHU JEDNOSTAJNYM PO OKRĘGU. Cel doświadczenia: Zbadanie zmiany prędkości liniowej i siły dośrodkowej wraz ze zmianami promienia okręgu w ruchu po okręgu. Potrzebne materiały: waga laboratoryjna, nitka (ok. 2m), kulka, liniał (taśma miernicza), stoper Przebieg doświadczenia: 1. Wyznaczamy masę kulki (0,005kg). 2. Na nitce zawieszamy kulkę. 3. Mierzymy długość promienia 6 razy.

99 DOŚWIADCZENIE 8 4. Doświadczenie wykonujemy dla trzech różnych długości promienia. 5. Wprawiamy kulkę w ruch obrotowy i mierzymy czas 10 pełnych obrotów. 6. Wyniki zapisujemy w tabeli pomiarowej. 7. Sporządzamy wykres zależności F( r ) i (r). 8. Zapisujemy wnioski.

100 DOŚWIADCZENIE 8 9. Do analizy wyników pomiarowych należy wykorzystać wzory: okres ruchu ciała: prędkość liniowa: siła dośrodkowa:

101 DOŚWIADCZENIE Do obliczenia niepewności pomiarowych należy wykorzystać wzory: niepewność pomiarowa okresu ruchu: niepewność pomiarowa prędkości: niepewność pomiarowa siła dośrodkowa:

102 DOŚWIADCZENIE 8 Lp.r(cm)t(s)T(s)m(kg)F(N) 1120,510,51 0,9490,0050, ,09, ,39,54 T(s) m(kg) F(N) 4121,09,34 0,001 0, ,99, ,08,08 t(s) (m/s) r(m) r sr (m)t sr (s) 0,017,970,02 0,0011,2059,49

103 DOŚWIADCZENIE 8 Lp.r(cm)t(s)T(s)m(kg)F(N) 174,06,09 0,5930,0050,41 274,15,88 373,55,69 T(s) m(kg) F(N) 473,96,55 0,001 0,08 574,06,33 674,35,04 t(s) (m/s) r(m) r sr (m)t sr (s) 0,017,830,02 0,0010,7395,93

104 DOŚWIADCZENIE 8 Lp.r(cm)t(s)T(s)m(kg)F(N) 132,03,40 0,3570,0050,49 232,14,22 331,54,27 T(s) m(kg) F(N) 431,73,39 0, ,13,38 632,02,73 t(s) (m/s) r(m) r sr (m)t sr (s) 0,015,610,03 0,0010,3193,57

105

106

107 WNIOSKI: wartość siły dośrodkowej działającej na ciało poruszające się po okręgu jest zależna od promienia zakreślanego w tym ruchu; w doświadczeniu wykazaliśmy, że wraz ze wzrostem promienia wartość siły dośrodkowej maleje; wraz ze wzrostem promienia wzrasta wartość prędkości liniowej z jaką porusza się ciało; DOŚWIADCZENIE 8

108

109 Foto: Joanna Bogdziewicz

110

111

112 WEKTORY Iloczyn skalarny wektorów i jest definiowany jako iloczyn długości wektorów i cosinusa kąta między nimi zawartego: Źródło obrazka:

113 WEKTORY Iloczyn wektorowy wektorów x nazywamy wektor c prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez te wektory, którego moduł jest równy iloczynowi modułów tych wektorów pomnożonemu przez sinus kąta zawartego między nimi: Źródło obrazka:

114 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO W TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM

115 ŚRODEK CIĘŻKOŚCI W FIGURACH GEOMETRYCZNYCH Środkową boku trójkąta nazywamy odcinkiem łączącym środek tego boku z przeciwległym bokiem tego trójkąta. Każdy trójkąt ma trzy środkowe przecinające się w jednym punkcie (pkt S), który nazywamy środkiem ciężkości tego trójkąta.

116

117 ZADANIE Z ZASTOSOWANIEM WYRAŻEŃ WYMIERNYCH Zadanie Samochód jadący ze średnią szybkością pokonał odległość 195km. Samochód jadący z szybkością o 20km/h większą pokonał w tym samym czasie 260km. Oblicz średnie szybkości obu samochodów. Rozwiązanie: – szybkość pierwszego samochodu Zapisujemy równanie: Źródło zadania: MATEMATYKA 2- kształcenie ogólne w zakresie podstawowym i rozszerzonym. Podręcznik dla LO, LP i T, W. Babiański, L. Chańko, wyd. NowaEra, Warszawa 2009

118 Przekształcamy równanie i rozwiązujemy: Zatem otrzymaliśmy: Odpowiedź: Pierwszy samochód poruszał się z szybkością 60km/h, natomiast drugi samochód z szybkością 80km/h.

119 ZADANIA Z SIŁAMI Zadanie 1 Znajdź masę ciała (poruszającego się po prostej), które pod działaniem siły o wartości 30N w czasie 5s zmienia swą szybkość z 15m/s na 30m/s. Rozwiązanie: Dane: F=30N, 1 =15m/s, 2 =30m/s, t=5s. Szukane: m Zgodnie z II zasadą dynamiki : gdzie: Źródło zadań: Zbiór zadań prostych z fizyki dla uczniów szkół średnich K. Chyla, wyd. Zamiast Korepetycji, Kraków 1997

120 ZADANIA Z SIŁAMI Zatem wzór na siłę przyjmuje postać: gdzie: stąd uzyskujemy: Odpowiedź: Ciało na którego działała siła 30N ma masę równą 10kg. Źródło zadań: Zbiór zadań prostych z fizyki dla uczniów szkół średnich K. Chyla, wyd. Zamiast Korepetycji, Kraków 1997

121 ZADANIA Z SIŁAMI Zadanie 2 Oblicz wartość przyspieszenia, z jakim będzie się odbywał ruch układu ciał o masach M=5kg i m=3kg pokazany na poniższym rysunku, jeżeli tarcie pominiemy. Rozwiązanie: Dane: M=5kg, m=3kg. Szukane: a Źródło zadań: Zbiór zadań prostych z fizyki dla uczniów szkół średnich K. Chyla, wyd. Zamiast Korepetycji, Kraków 1997

122 ZADANIA Z SIŁAMI Na wskazanym układzie rozrysowujemy siły działające na ciała w układzie: Zgodnie z II zasadą dynamiki zapisujemy: stąd: Źródło zadań: Zbiór zadań prostych z fizyki dla uczniów szkół średnich K. Chyla, wyd. Zamiast Korepetycji, Kraków 1997

123 ZADANIA Z SIŁAMI Po przekształceniach: Odpowiedź: Układ ciał porusza się z przyspieszeniem o wartości 3,75 m/s 2. Źródło zadań: Zbiór zadań prostych z fizyki dla uczniów szkół średnich K. Chyla, wyd. Zamiast Korepetycji, Kraków 1997

124 ZADANIA Z SIŁAMI Zadanie 3 Oblicz przyspieszenie układu klocków o masach 5kg i 10kg oraz siłę naciągu linki. Współczynnik tarcia ciał o podłoże f =0,2. Rozwiązanie: Dane: m 1 =5kg, m 2 =10kg, f =0,2 Szukane: a, N. Źródło zadań: Zbiór zadań prostych z fizyki dla uczniów szkół średnich K. Chyla, wyd. Zamiast Korepetycji, Kraków 1997

125 ZADANIA Z SIŁAMI Na wskazanym układzie rozrysowujemy siły działające na ciała w układzie: Zgodnie z II zasadą dynamiki zapisujemy: stąd: Źródło zadań: Zbiór zadań prostych z fizyki dla uczniów szkół średnich K. Chyla, wyd. Zamiast Korepetycji, Kraków 1997

126 ZADANIA Z SIŁAMI Po przekształceniach: Obliczamy siłę naciągu linki: Odpowiedź: Układ ciał porusza się z przyspieszeniem o wartości 1,3 m/s 2, siła naciągu linki ma wartość 16,7N. Źródło zadań: Zbiór zadań prostych z fizyki dla uczniów szkół średnich K. Chyla, wyd. Zamiast Korepetycji, Kraków 1997

127 PODSUMOWANIE Na podstawie licznych doświadczeń, badań i zadań przez nas przeprowadzonych możemy stwierdzić, że siłą fizyki jest siła Siła jest bardzo przydatna w życiu codziennym. W niektórych sytuacjach od razu można stwierdzić jaka jest jej wartość. W momencie, gdy znamy wartość siły, jesteśmy w stanie powiedzieć o wiele więcej o zachowaniu się ciał. To ułatwia nam nie tylko pracę na lekcjach fizyki, ale także zwykłe funkcjonowanie w życiu codziennym.

128 BIBLIOGRAFIA 1) Fizyka to proste- Renata Machowina 2) Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne, astronomiczne- Tomasz Szymczyk 3) Encyklopedia Popularna PWN 4) Encyklopedia Edukacyjna 5) pl.wikipedia.org 6) 7) Fizyka wokół nas, P. G. Hewitt 8) Z fizyką za pan brat H. Backe

129 BIBLIOGRAFIA 9. Mechanika ogólna A. Piekara 10. Naukowe zasady treningu John W. Bunn 11. Biomechanics in sport Vladimir M. Zatsiorsky 12. Introduction to Sports Biomechanics. Analysing Human Movement Patterns Roger Bartlett 13. Biomechanics of sport Christopher L. Vaughan 14. Fizyka dla szkół ponadgimnazjalnych. Kurs podstawowy z elementami kursu rozszerzonego koniecznymi do podjęcia studiów technicznych i przyrodniczych cz. 1 pod redakcją Jadwigi Salach, wyd. ZamKor, Kraków 2004

130 BIBLIOGRAFIA 15. Zadania z fizyki dla każdego Agnieszka Bożek, Katarzyna Nessing, wyd. ZamKor, Kraków Fizyka dla gimnazjum 1 M. Rozenbajgier, R. Rozenbajgier, J. M. Kreiner, wyd. ZamKor Fizyka w tablicach dla kandydatów na studia i studentów, A. Gałkowska, A. Kolincio, K. Kozłowski. Wyd. Podkowa, Gdańsk 2002

131 BIBLIOGRAFIA M.Rozenbajgier, R. Rozenbajgier Fizyka dla gimnazjum, część 2, wyd. ZamKor. 23. MATEMATYKA 2- kształcenie ogólne w zakresie podstawowym i rozszerzonym. Podręcznik dla LO, LP i T, W. Babiański, L. Chańko, wyd. NowaEra, Warszawa Zbiór zadań prostych z fizyki dla uczniów szkół średnich K. Chyla, wyd. Zamiast Korepetycji, Kraków 1997

132 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google