Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

NIERÓWNOŚCI W GEOMETRII Zima 2011/2012 Spis Tre ś ci: Nierówno ść izoperymetryczna Nierówno ść Cauchyego o ś rednich Nierówno ść trójk ą ta.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "NIERÓWNOŚCI W GEOMETRII Zima 2011/2012 Spis Tre ś ci: Nierówno ść izoperymetryczna Nierówno ść Cauchyego o ś rednich Nierówno ść trójk ą ta."— Zapis prezentacji:

1

2 NIERÓWNOŚCI W GEOMETRII Zima 2011/2012

3 Spis Tre ś ci: Nierówno ść izoperymetryczna Nierówno ść Cauchyego o ś rednich Nierówno ść trójk ą ta

4 NIERÓWNO ŚĆ IZOPERYMETRYCZNA

5 Nierówno ść izoperymetryczna to nierówno ść zachodz ą ca dla dowolnej figury p ł askiej: gdzie: A to pole powierzchni figury p to obwód figury Q to tzw. iloraz izoperymetryczny

6 Zdefiniowany w nierówno ś ci iloraz perymetryczny jest równy jedno ś ci Q = 1 jedynie w przypadku ko ł a, dla wszystkich innych figur jest mniejszy od jedno ś ci Q < 1. W ł asno ść t ę inaczej wyra ż aj ą dwa równowa ż ne stwierdzenia: spo ś ród wszystkich figur p ł askich o zadanym obwodzie ko ł o ma najwi ę ksze pole; spo ś ród wszystkich figur p ł askich o zadanym polu ko ł o ma najmniejszy obwód. Nierówno ść izoperymetryczna jest rozwi ą zaniem szczególnego (dwuwymiarowego) przypadku problemu izoperymetrycznego, jednego z zada ń rachunku wariacyjnego.

7 NIERÓWNO ŚĆ CAUCHYEGO O Ś REDNICH

8 Nierówno ść Cauchy'ego o ś rednich dla liczb dodatnich a1, a2,..., an stwierdza, ż e ci ą g: ś rednia kwadratowa, ś rednia arytmetyczna, ś rednia geometryczna, ś rednia harmoniczna liczb a1, a2,..., an jest nierosn ą cy. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy'ego, francuskiego matematyka. Oznacza to, ż e:

9 Ponadto równo ś ci w powy ż szym wyra ż eniu zachodz ą wtedy i tylko wtedy, gdy liczbya1, a2,..., an s ą równe. Pierwsza z nierówno ś ci zachodzi równie ż dla dowolnych liczb rzeczywistych (lecz wtedy, w ogólnym przypadku, wyra ż enie po lewej stronie znaku nierówno ś ci opisuje ś redni ą ). Nierówno ść Cauchy'ego o ś rednich jest szczególnym przypadkiem nierówno ś ci o ś redniej uogólnionej. Mo ż na te ż rozwa ż a ć wa ż on ą wersj ę tej nierówno ś ci:

10 DOWODY Nierówno ść Cauchy'ego o ś rednich jest szczególnym przypadkiem nierówno ś ci o ś redniej pot ę gowej, wi ę c dowód nierówno ś ci mi ę dzy ś rednimi pot ę gowymi jest jednocze ś nie dowodem nierówno ś ci Cauchy'ego, ale mo ż na przeprowadzi ć równie ż osobne dowody, mniej lub bardziej zbli ż one do dowodu nierówno ś ci o ś redniej pot ę gowej, dla poszczególnych nierówno ś ci zawartych w nierówno ś ci Cauchy'ego. Jest to Ś rednia geometryczna i harmoniczna Ś rednia arytmetyczna i geometryczna Ś rednia arytmetyczna i kwadratowa

11 Średnia arytmetyczna i kwadratowa Dowód korzysta z nierówności o ciągach jednomonotonicznych. Weźmy nierosnący ciąg liczb rzeczywistych dodatnich: a1,a2,...,an. Weźmy sumę: Zgodnie z nierównością o ciągach jednomonotonicznych jest to największa suma, jaką możemy uzyskać poprzez mnożenie wyrazów podanego ciągu. Po pomnożeniu jej przez n otrzymujemy: co zgodnie z nierównością jest nie mniejsze niż suma dowolnych n sum powstałych w wyniku podobnego mnożenia. Łatwo zauważyć, że iloczyn: (a1 + a an)2 jest sumą dokładnie n takich sum, zatem: dzielimy obustronnie przez n², co da nam: Wyciągamy obustronnie pierwiastek kwadratowy, co kończy dowód:

12 NIERÓWNO ŚĆ TRÓJK Ą TA

13 Twierdzenie Niech A,B,C b ę d ą punktami na p ł aszczy ź nie. Wówczas: |AB| + |BC| ­ |AC|, |AC| + |BC| ­ |AB|, |AC| + |AB| ­ |BC|, przy czym równo ść zachodzi ć mo ż e wtedy i tylko wtedy, gdy punkty A,B,C s ą wspó ł liniowe. Na pozór nie da si ę osi ą gn ąć wiele za pomoc ą samej tylko nierówno ś ci trójk ą ta. Jej zastosowanie zwi ą zane jest bardzo cz ę sto z wa ż n ą technik ą rozwi ą zywania zada ń Geometrycznych, zwana potocznie – dorysowywaniem. Obejrzyjmy pierwszy przyk ł ad.

14 Zadanie 1. Na p ł aszczy ź nie dane s ą odcinki AB, CD d ł ugo ś ci 1, które przecinaj ą si ę w punkcie O. Udowodnij, ż e je ś li k ą t AOC ma miar ę 60 stopni, to |AC| + |BD| ­ 1.

15 Dowód: Z pozoru rysunek niewiele wnosi do sytuacji. A im wi ę cej si ę ma wiedzy, tym bardziej nam to mo ż e zaszkodzi ć. A mo ż e teraz oznaczy ć wszystkie k ą ty, za ł adowa ć twierdzenia sinusów, albo wrzuci ć wszystko w uk ł ad wspó ł rz ę dnych? - je ś li takie my ś li chodz ą Wam po g ł owie jest to, delikatnie rzecz ujmuj ą c, objaw chorobowy. Wystarczy nierówno ść trójk ą ta. Kluczowa sztuczka: przenie ść jeden z odcinków tak, by znalaz ł si ę obok drugiego. Istotnie, niech B1 b ę dzie takim punktem na p ł aszczyznie, ż e AB||CB1 i |CB1| = 1. Wówczas czworok ą t ACB1B jest równoleg ł obokiem i |AC| = |BB1|. Odcinek AC zosta ł wi ę c przeniesiony. Teraz wystarczy po łą czy ć odcinki B1 i D, aby stwierdzi ć, ż e trójk ą t CB1D jest równoboczny i ka ż dy z jego boków ma d ł ugo ść 1. Zatem |AC|+|BD| =|BB1|+|BD| ­ 1 na mocy nierówno ś ci trójk ą ta. Równo ść zachodzi wtedy, gdy punkty A i C pokrywaj ą si ę.

16 Zadanie 2. Niech ABCD b ę dzie czworok ą tem wypuk ł ym o tej w ł asno ś ci, ż e AB 6 ||CD. Niech E, F b ę d ą ś rodkami boków AD,BC. Udowodnij, ż e |EF| < |AB|+|CD|/ 2.

17 DOWÓD Kluczowa sztuczka, to spojrze ć na ś rodek przek ą tnej BD, nazwijmy go P. Z Twierdzenia Talesa widzimy, ż e odcinki PE, PF s ą równoleg ł e odpowiednio do boków AB, CD naszego czworok ą ta. Co wi ę cej, ich d ł ugo ś ci to odpowiednio 1/ 2 |AB|, 1/2 |CD|. Zatem teza wynika znowu z nierównosci trójk ą ta.Twierdzenie Talesa, zw ł aszcza wersja dotycz ą ca ś rodków boków jest cz ę sto wykorzystywanym narz ę dziem.

18 KONIEC


Pobierz ppt "NIERÓWNOŚCI W GEOMETRII Zima 2011/2012 Spis Tre ś ci: Nierówno ść izoperymetryczna Nierówno ść Cauchyego o ś rednich Nierówno ść trójk ą ta."

Podobne prezentacje


Reklamy Google