Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Zespół Szkół Zawodowych im. Gerharda Domagka ID grupy: 97/47_mf_g2 Opiekun: mgr Anna Kwaśnicka Kompetencja: Matematyczno - fizyczna Temat projektowy: Różne własności liczb naturalnych Semestr/rok szkolny: IV / 2011/2012

3 CELE: Celem niniejszego projektu jest jedno z zagadnień teorii liczb, jakim są pewne własności liczb naturalnych, związane z ich dzielnikami, takie jak liczby doskonałe, liczby doskonałe II rodzaju, liczby zaprzyjaźnione, liczby antypierwsze itp. Głównym celem i zadaniem tego projektu będzie po pierwsze znalezienie i zaprezentowanie podstawowych faktów dotyczących omawianych problemów – definicji, metod znajdowania różnych typów liczb i historii ich odkryć, a po drugie – przedstawienie aktualnego stanu wiedzy na ten temat. Jest to też związane z poszukiwaniem największej znanej liczby pierwszej, a dokładniej z poszukiwaniami tzw. liczb pierwszych Mersennea.

4 SPIS TREŚCI: 1. Określenie liczb naturalnych. 2. Aksjomaty Peano. 3. Konstrukcja Fregego – Russela. 4. Liczby pierwsze i złożone. 5. Metody wyszukiwania liczb pierwszych, Sito Eratostenesa. 6. Niektóre rodzaje liczb pierwszych: - Liczby bliźniacze; - Liczby czworacze; - Liczby izolowane; - Liczby Mersennea - 7. Test Lucasa - Lehmera

5 SPIS TREŚCI 8. Cechy podzielności liczb. 9. Liczby doskonałe, liczby doskonałe drugiego rodzaju 10. Liczby zaprzyjaźnione. 11. Liczby palindromiczne. 12. Liczby lustrzane. 13. Liczby gnomiczne. 14. Liczby olbrzymy. 15. Liczby automorficzne.

6 WSTĘP Teoria liczb, czyli dział matematyki zajmujący się badaniem własności liczb naturalnych, jest obok geometrii najstarszą gałęzią matematyki, której początki wywodzą się ze starożytności. Teoria liczb przyciągała do siebie wielu wielkich matematyków. Wystarczy bowiem znać podstawy matematyki, aby zrozumieć treść problemów, które ona stawia.

7 LICZBY NATURALNE

8 JAKIE LICZBY NAZYWAMY LICZBAMI NATURALNYMI? Liczby naturalne są to liczby służące podawaniu liczności i ustalania kolejności, poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Liczby naturalne to liczby postaci: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,…,81, 82, 83,…,101,102,… To czy zero należy do zbioru liczb naturalnych zależy od wyboru definicji tych liczb. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele

9 LICZBY NATURALNE: Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

10 JAK OZNACZAMY LICZBY NATURALNE? Dla określenia liczb naturalnych stosuje się często oznaczenia zarówno N jak i Z+, rzadziej inne. W matematyce liczby naturalne oznacza na ogół liczby całkowite dodatnie.

11 Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych, choć proste, zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano – włoski matematyk i logik ( ) zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peano), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:

12 POSTULATY PEANO

13 POSTULATY PEANO C.D. 5. Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej). Z ostatniej własności wynika, że każda liczba naturalna albo jest zerem albo następnikiem pewnej liczby naturalnej.

14 KONSTRUKCJA FREGEGO -RUSSELA Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.

15 DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH W zbiorze liczb naturalnych wykonalne jest tylko dodawanie i mnożenie, ponieważ w ich wyniku otrzymamy zawsze liczby naturalne. Wyniki mnożenia i dzielenia nie zawsze są liczbami naturalnymi. Przykłady 2*4=8 jest liczbą naturalną = 1542 jest liczbą naturalną Ale 2 : 4= 0,5 nie jest liczbą naturalną 5- 10= -5 nie jest liczbą naturalną

16 LICZBY PIERWSZE I ZŁOŻONE

17 LICZBY PIERWSZE Liczby pierwsze to takie liczby naturalne, które mają TYLKO dwa dzielniki naturalne: jedynkę i samą siebie. Przykłady liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109,...

18 SITO ERATOSTENESA Problemem liczb pierwszych zajmowali się matematycy od bardzo dawna. Jednym z pierwszych był matematyk, astronom i filozof grecki Eratostenes z Cyreny, żyjący w III wieku przed Chrystusem. Jako pierwszy zaproponował wprowadzenie roku przestępnego, wyznaczył obwód Ziemi oraz oszacował odległość Słońca i Księżyca od Ziemi. Wymyślona przez niego metoda wyznaczania wszystkich liczb pierwszych nie większych od zadanej liczby nosi do dziś nazwę sita Eratostenesa.

19 JAK DZIAŁA SITO ERATOSTENESA? Ze zbioru liczb naturalnych [ 2 ; n ], wybieramy najmniejszą liczbę ( czyli 2), a następnie skreślamy jej wielokrotności ( czyli 4, 6, 8, 10 itd.). Z pozostałych liczb naturalnych wybieramy znów najmniejszą niewykreśloną liczbę – jest nią 3, a następnie skreślamy jej wielokrotności ( czyli 6,9,12,15,18 itd.), przy czym liczby mogą być skreślone więcej niż raz ( np. 6 czy 12). Tak samo postępujemy z liczbą 5, później 7 i 11 czy 13, aż do sprawdzenia wszystkich niewykreślonych liczb.

20 JAK DZIAŁA SITO ERATOSTENESA?

21 MOŻEMY RÓWNIEŻ WYSZUKIWAĆ LICZBY PIERWSZE PRZY POMOCY ALGORYTMU ZAPISANEGO W JĘZYKU PASCAL program sito eratostenesa var tablica : array[1..100] of boolean; i, b, c : integer; n : int64; begin n := 100; for i := 1 to n do tablica[i] := false; i := 1; repeat i := i + 1; b := 2 * i; repeat tablica[b] := true; b := b + i; until (b > n); until i > sqrt(n); for i := 1 to n do begin if (not tablica[i]) then write(i, ' '); end; end.

22 LICZBY PIERWSZE MOŻEMY RÓWNIEŻ ODSZUKIWAĆ ZA POMOCĄ WZORÓW Legendre podał wzór, który daje liczby pierwsze przy wartościach od x=0 do x=28 Euler wskazał wzór dający liczby pierwsze przy wartościach od x=0 do x=39 Escott zastępując we wzorze Eulera x przez x-40 otrzymał wyrażenie, które przy wartościach od x=0 do x=39 daje liczby pierwsze Wzór dla k=3,5,7,11,13,17,19,23,29,31 daje liczby pierwsze. Przy k=37 wzór zawodzi dając liczbę , która jest iloczynem liczby 1777 przez

23 NIEKTÓRE RODZAJE LICZB PIERWSZYCH Wśród liczb pierwszych możemy rozróżnić: - Liczby pierwsze bliźniacze - Liczby pierwsze czworacze - Liczby pierwsze izolowane - Liczby pierwsze Mersennea

24 LICZBY PIERWSZE BLIŹNIACZE Liczby pierwsze p i q są bliźniacze jeśli p = q + 2. Przykłady: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele bliźniaczych liczb pierwszych.

25 LICZBY PIERWSZE CZWORACZE To liczby pierwsze, mające postać p, p+2, p+6, p+8 Przykład 5, 7, 11 i 13 lub 101, 103, 107 i 109, czyli dwie pary liczb bliźniaczych w najbliższym możliwym sąsiedztwie. Największe znane liczby czworacze to × 4799! , × 4799! , × 4799! oraz × 4799! , gdzie ! jest silnią n! = 1 · 2 · 3 · … · n

26 LICZBY PIERWSZE IZOLOWANE Liczba pierwsza p jest izolowana, jeśli najbliższa jej liczba pierwsza różni się od p co najmniej o 4. Przykłady: 23, 89, 157, 173.

27 LICZBY MERSENNEA Marin Mersenne ( ) był francuskim mnichem, filozofem, matematykiem i teoretykiem muzyki. To jeden z najwszechstronniejszych uczonych wczesnego baroku. W dziele Cogniata Physico-Matematica z 1626 roku napisał, że liczby postaci 2 n 1 (nazywane dziś liczbami Mersenne'a) są pierwsze dla n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Dopiero później wykazano, że twierdzenie to jest nieprawdziwe dla dla n=67 i 257. Jeżeli Mersenne miał na myśli twierdzenie: liczba 2 n 1 jest pierwsza dla n będącego liczbą pierwszą, to nie uwzględnił on liczb n=61, 89, 107.

28 LICZBY PIERWSZE MERSENNEA Liczbę M(n) := 2 n – 1 nazywamy n-tą liczbą Mersenne'a (dla n=0, 1,...). Liczby pierwsze Mersenna są to liczby pierwsze, będące jednocześnie liczbami Mersenne'a. Przykłady: 3, 7, 31, 127,

29 NAJWIĘKSZA LICZBA MERSENNEA Liczbę Mersenne'a M(p) można określić jako sumę p pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego: 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,... Największą obecnie znaną liczbą pierwszą Mersenne'a jest Odkrył ją 23 sierpnia 2008 roku Edson Smith w ramach projektu GIMPS. Do jej zapisania w układzie dziesiętnym potrzeba cyfr.

30 TEST LUCASA-LEHMERA Pierwszość liczb Mersenne'a sprawdza się za pomocą testu Lucasa- Lehmera: Przyjmijmy S 1 = 4 i następnie S k = S k1 2 2 Liczba M p jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy gdy: S p1 0 mod M p.

31 PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA TESTU LUCASA Rozważmy M 7 = 127 S 1 = 4 S 2 = = 14 S 3 = = (mod 127) S = (mod 127) S = (mod 127) S = (mod 127) liczba M 7 = = 127 jest liczbą pierwszą.

32 ILE JEST LICZB PIERWSZYCH? Załóżmy, że jest skończenie wiele liczb pierwszych, dajmy na to n, rozumował Euklides. Oznaczmy je następująco: p 1, p 2, p 3,..., p n Rozważmy, zatem liczbę: W= p 1 *p 2 *p 3 *...* p n +1 Żadna z liczb p 1, p 2, p 3,... p n nie jest dzielnikiem liczby W ( bo jest dzielnikiem liczby W-1). Zatem muszą istnieć jeszcze inne liczby pierwsze będące dzielnikami liczby W (być może samo W jest pierwsze), co oczywiście przeczy temu, że liczb pierwszych jest skończenie wiele. WNIOSEK Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

33 LICZBY ZŁOŻONE Liczby naturalne, które nie są liczbami pierwszymi nazywamy liczbami złożonymi. Liczby złożone to takie liczby naturalne, które posiadają więcej niż dwa dzielniki naturalne. Przykłady liczb złożonych: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, …

34 LICZBY ZŁOŻONE MOŻEMY PRZEDSTAWIĆ W POSTACI ILOCZYNU LICZB PIERWSZYCH Przykłady: 4= 2*2 12= 2*2*3 24 = 2*2*2*3 15 = 5*3 125 = 5*5* = 3*23*29

35 UWAGA!!! 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani złożonymi

36 CECHY PODZIELNOŚCI LICZB

37 CECHY PODZIELNOŚCI LICZB NATURALNYCH Czasem dzieląc jedną liczbę przez drugą, nie chcemy znać wyniku tego dzielenia, a jedynie wiedzieć czy liczba ta dzieli się przez inną bez reszty. Są metody, które pozwalają rozstrzygnąć taką podzielność nie używając przy tym kalkulatora lub kartki z ołówkiem. A oto niektóre z nich:

38 CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 2 Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli jej ostatnią cyfrą jest: 2, 4, 6, 8 albo 0. Przykład Liczba jest podzielna przez 2, ponieważ jest parzysta (ostatnia cyfra liczby wynosi 0)

39 CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 3 Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. Przykład Liczba jest podzielna przez 3, ponieważ suma cyfr: = 45 jest podzielna przez 3.

40 CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 4 Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 lub jeśli dwukrotnie jest podzielna przez 2. Przykład Liczba nie jest podzielna przez 4, ponieważ liczba utworzona z ostatnich dwóch cyfr: 90 nie jest podzielna przez 4.

41 CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 5 Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5. Przykład Liczba jest podzielna przez 5, ponieważ ostatnia cyfra liczby to 0.

42 CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 6 Liczba jest podzielna przez 6, jeśli jest parzysta i suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. Przykład Liczba jest podzielna przez 6, ponieważ jest parzysta i suma cyfr: = 45 jest podzielna przez 3.

43 CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 7 Liczba jest podzielna przez 7, jeśli różnica między liczbą wyrażoną trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną wszystkimi pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) jest podzielna przez 7. Aby dowiedzieć się czy liczba dzieli się przez 7 tą metodą, skreślamy jej ostatnie trzy cyfry (o ile posiada) i od tak powstałej liczby odejmujemy skreśloną. Jeżeli różnica dzieli się przez 7 - to liczba wyjściowa, także dzieli się przez 7. Przykład Liczba nie jest podzielna przez 7, ponieważ suma = 556 nie jest podzielna przez 7.

44 CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 8 Liczba jest podzielna przez 8, jeśli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 lub jeśli trzykrotnie jest podzielna przez 2. Przykład Liczba nie jest podzielna przez 8, ponieważ liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr 890 nie jest podzielna przez 8.

45 CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 9 Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9. Przykład Liczba jest podzielna przez 9, ponieważ suma cyfr = 45 jest podzielna przez 9.

46 CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 10 Liczba jest podzielna przez 10 jeśli jej ostatnią cyfrą jest zero. Przykład Liczba jest podzielna przez 10, ponieważ ostatnia cyfra liczby to 0.

47 CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 11 Liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych (lub odwrotnie) dzieli się przez 11. Przykład Liczba nie jest podzielna przez 11, ponieważ różnica ( ) - ( ) = 5 nie jest podzielna przez 11.

48 LICZBY DOSKONAŁE

49 Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa około 300 r. p.n.e: Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą. Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej.

50 LICZBY DOSKONAŁE Pierwsza liczba doskonała to 6. Dzielnikami jej są liczby: 1, 2, 3, 6 6 = Druga liczba doskonała to 28. Dzielnikami jej są liczby: 1, 2, 4, 7, 14, = Te dwie liczby znane były w starożytności. Kabaliści utrzymywali, że nie przypadkiem Bóg stworzył świat w sześć dni, a Księżycowi kazał obiegać Ziemię w ciągu 28 nocy.

51 DWIE KOLEJNE LICZBY DOSKONAŁE ZNALAZŁ EUKLIDES On też zauważył, że jeśli liczby p i są pierwsze, to liczba postaci jest liczbą doskonałą.

52 Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. Później liczby doskonałe odkrywali Fermat, Mersenne i Euler ( w roku 1732 znalazł liczbę doskonałą dla p=31, która jest równa i przez 150 lat pozostawała największą liczbą pierwszą). Historia największych liczb doskonałych związana jest z odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Dziś w dobie komputerów znamy ich niewiele. Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Nie wiemy też, czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe. Zagadnienie to badano intensywnie, lecz nie ma na nie odpowiedzi. Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest ·( ). Liczy ona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.

53 W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki Przykład Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

54 Leonhard Euler udowodnił, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2 p -1)·2 p-1, gdzie 2 p -1 jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również p jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne'a.

55 Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest ·( ) – liczy ona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od (wynik z roku 1991). KAŻDA LICZBA DOSKONAŁA JEST ZAPRZYJAŹNIONA ZE SOBĄ

56 LICZBY DOSKONAŁE DRUGIEGO RODZAJU Liczbami doskonałymi drugiego rodzaju są liczby równe iloczynowi ich podzielników bez danej liczby. Przykłady: Wobec powyższego liczba 6 jest liczbą najdoskonalszą, bo oraz

57 PONIŻSZA TABELA ILUSTRUJE ZNAJDOWANIE LICZB DOSKONAŁYCH WEDŁUG POWYŻSZEJ REGUŁY: k2 k-1 Liczby doskonałe … … … …

58 Liczbami doskonałymi są również liczby: ( ), ( ). Druga z nich ma w zapisie dziesiętnym ponad 50 tys. cyfr. * Liczba doskonała: ( ) ma cyfr. Odkryto ją 1 czerwca 1999 roku. * Liczba: ( ) także jest doskonała. * Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest ·( ) – liczy ona cyfr! * Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. Ciekawostki:

59 LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE

60 Liczby zaprzyjaźnione to para liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej ( nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników). Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości

61 LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE Pierwszą parą takich liczb, podana przez Pitagorasa jest para liczb 220 i 284, ponieważ: 220 = (dzielniki 284) 284 = (dzielniki 220) Inne pary liczb zaprzyjaźnionych to na przykład : 1184 i 1210, 2620 i 2924, i Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz

62 CIEKAWOSTKI O LICZBACH ZAPRZYJAŹNIONYCH Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju 2001 roku znaleziono już aż pary takich liczb. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e), przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w miłości.

63 LICZBY PALINDROMICZNE

64 Na nagrobku Ferdynanda de Lesseps'a ( ) francuskiego inżyniera, który kierował pracami przy budowie Kanału Sueskiego i Kanału Panamskiego, znajduje się epitafium następującej treści: Napis ten czytany od lewej ku prawej stronie lub od prawej do lewej strony brzmi identycznie. Taki napis to palindrom. Palindromami mogą być również liczby. A MAN A PLAN A CANAL PANAMA

65 LICZBY PALINDROMICZNE Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa. Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to: 7, 57775, 626, Każdy palindrom liczbowy w systemie dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.

66 ISTNIEJE NIESKOŃCZENIE WIELE LICZB PALINDROMICZNYCH

67 LICZBY LUSTRZANE

68 Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem Przykłady – 3965 Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie, np.1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11, np. 1221:11=192.

69 LICZBY GNOMICZNE

70 n2n+1n²( n + 1 )² Liczby gnomiczne to liczby postaci 2n+1, które dodane do kwadratu liczby n dają kwadrat następnej liczby

71 LICZBY OLBRZYMY

72 Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.

73 jeden110 0 tysiąc milion miliard bilion biliard trylion tryliard kwadrylion kwadryliard kwintylion kwintyliard sekstylion sekstyliard septylion septyliard oktylion oktyliard nonilion noniliard decylion centylion centezylion

74 LICZBY AUTOMOFRICZNE

75 Liczby automorficzne to takie liczby, których kwadrat kończy się tymi samymi cyframi, co sama liczba. Przykład =

76 Uczeń Platona i Sokretesa wybrał takie dwie liczby naturalne większe od 1, których suma jest mniejsza od 20. Platon poznał sumę tych liczb, a Sokrates ich iloczyn. Każdy z nich znał tylko swoją liczbę i obaj wiedzieli, że mają sumę i iloczyn pewnych liczb. Potem Platon i Sokrates przeprowadzili następującą rozmowę: Sokrates - Nie wiem jakie to liczby. Platon - Wiedziałem, że nie będziesz wiedział. Sokrates - A teraz to już wiem. Platon - A teraz to ja też wiem. Jakie liczby wybrał uczeń Platona i Sokratesa? CIEKAWCIEKAWE ZADANKO

77 Rozwiązaniem jest... brak rozwiązania, ponieważ: 1. Sokrates, który znał iloczyny nie był w stanie podać rozwiązania, gdyż znany mu iloczyn nie był unikalny. Po wypisaniu wszystkich kombinacji liczb spełniających warunki zadania takie iloczyny to: 12, 16, 18, 20, 24, 28,30, 32, 36, 40, 42, 45,48, 56, 60, 70 i 72 (inne, czyli 4, 6, 8, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 27, 33,34,35, 39, 44, 49, 50, 52, 54, 55, 63, 64, 65, 66, 77, 78, 80, 81, 84, 88, 90 dają od razu jednoznaczne rozwiązanie). 2. Platon, znając sumę, miał pewność, że Sokrates trafi na taki niejednoznaczny iloczyn. Przeglądając możliwe rozwiązania stwierdzamy, że jedynie dla sumy równej 11 wszystkie możliwe rozwiązania mają nieunikalne iloczyny - stąd właśnie pewność Platona. Możliwe rozwiązania to: (2,9), (3,8), (4,7), (5,6) 3. W tym momencie Sokrates znał już iloczyn i sumę (na podstawie identycznego jak wyżej rozumowania) i mógł podać rozwiązanie. 4. Niestety wiedza Platona (oraz nasza) nie zmieniła się (znał ciągle tylko sumę) i jego ostatnie zdanie nie może być prawdą.

78 BIBLIOGRAFIA Wacław Sierpiński, Wstęp do teorii liczb,WSiP Warszawa /www.askompetencji.eduportal.pl / 5. W. Sierpiński, Teoria liczb, PAN, Warszawa Szczepan Jeleński, Śladami Pitagorasa, Wydawnictwa Szkole i Pedagogiczne, Warszawa

79 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google