Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Przyczynek do problemu Collatza Andrzej Salwicki 24 lutego 2004.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Przyczynek do problemu Collatza Andrzej Salwicki 24 lutego 2004."— Zapis prezentacji:

1 Przyczynek do problemu Collatza Andrzej Salwicki 24 lutego 2004

2 Historia problemu Problem jest starszy ode mnie Wielu ludzi uważa się za autora problemu: Collatz, Kakutani, Erdos, Thwaite,... Ustanowiono nagrody pieniężne za rozwiązanie problemu: 50$, 500$,1400$ i... nic strona J. Lagariasa

3 Problem Niech f będzie funkcją określoną w następujący sposób Czy prawdą jest, że dla każdego n istnieje taka iteracja i funkcji f, że f i (n)=1 ?

4 Problem ( ujęcie współczesne ) Czy prawdą jest, że następujący program P zatrzymuje się P: while n 1 do if even(n) then n:= n div 2 else n:=3*n+1 fi done dla każdej liczby naturalnej n>0?

5 Strona wyników łatwo uruchomimy ten program, stąd większa obecnie popularność drugiego sformułowania, strona Rosendaala zawiera wiele rekordów obliczeń dla problemu Collatza: personal.computrain.nl/eric/wondrous/ np. program P zatrzymuje się dla wszystkich n<2 58 (luty 2004)

6 Mój przyczynek Arytmetyka Peano nie zawiera twierdzenia: program P zatrzymuje się dla każdej liczby naturalnej n –ponieważ własność stopu tego programu nie jest wyrażalna w języku arytmetyki Peano –ale... wiele programów ma formuły stopu będące formułami aytmetyki.

7 Spostrzeżenie program P nie musi wykonywać mnożeń ani dzieleń, 3*n = n+n+n n jest parzyste ( y) y+y=n n div 2 =y y+y=n obliczenia można przeprowadzać w niestandardowym modelu arytmetyki liczb naturalnych z dodawaniem

8

9 Model niestandardowy M 1 Rozważamy system w którym uniwersum U jest zbiorem par Z Q +, takich, że w=0 k 0, dodawanie jest określone po współrzędnych + = df o = df i = df Przyjmując naturalną definicję mniejszości x

10 Obliczenie programu P w M 1 Niech w będzie liczbą wymierną 0. Para jest liczbą parzystą, = +. Obliczenie programu P dla n= jest więc nieskończone. Można zauważyć, że dla każdej pary, w 0, obliczenie programu P jest nieskończone bo nie można osiągnąć elementu i=. A więc dla każdego elementu niestandardowego program P ma obliczenie nieskończone !

11 Wniosek Elementarna teoria liczb naturalnych z dodawaniem nie zawiera twierdzenia o zatrzymywaniu się programu P. Nie oznacza to, że hipoteza Collatza jest fałszywa. Jeśli program P zatrzymuje się dla każdej liczby naturalnej n, to w języku arytmetyki z dodawaniem nie ma formuły stopu dla programu P. Gdyby taka formuła istniała i była twierdzeniem to program musiałby zatrzymywać się także w modelach niestandardowych dla każdego elementu modelu.

12 Czy mnożenie pomoże? Nie. Można wykazać, że istnieje taki niestandardowy model arytmetyki Peano w którym program P ma obliczenie nieskończone.

13 Arytmetyka Peano Teoria liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem. Ax1) ( x) x+1 0 Ax2) x+1=y+1 x=y Ax3) x+0=x Ax4) x+(y+1)= (x+y)+1 Ax5) x*0 = 0 Ax6) x*(y+1) = x*y + x Ax ind ) ( (x/0) ( x)( (x) (x/x+1)) ( x) (x)) w tym schemacie indukcji wyrażenie jest dowolną formułą w której jako symbole pozalogiczne występują tylko 0, 1, +, * i =.

14 Niestandardowy model M 2 Zbudujemy nieskończony ciąg teorii {T i }. Teoria T 0 to arytmetyka Peano. Język teorii T 1 to rozszerzenie języka teorii T 0 o nową stałą 1. Aksjomaty teorii T 1 zawierają wszystkie aksjomaty teorii T 0, formułę (Ey) y+y= 1 oraz nieskończony zbiór formuł postaci 0< 1, 1< 1, 2< 1,... Teoria T 1 jest niesprzeczna i posiada model. [ AG str.264 ] Załóżmy, że dla j

15 Niestandardowy model M 2 II Aksjomatami teorii T i są wszystkie aksjomaty teorii T i, a ponadto formuła (Ey)y+y= i oraz nieskończony zbiór formuł postaci 0< i, 1< i, 2< i,... Lemat Teoria T i jest niesprzeczna i posiada model. W dowodzie wykorzystujemy własność zwartości: wystarczy wykazać, że każdy skończony podzbiór zbioru aksjomatów teorii T i jest niesprzeczny by uzyskać niesprzeczność całego zbioru.

16 Niestandardowy model M 2 III Jako model zbioru Z weźmiemy standardowy model liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem, trzeba tylko określić znaczenie występujących w nim stałych i. Niech n 0 będzie największym liczebnikiem występującym w formułach zbioru Z. Niech k będzie najwyższym wskażnikiem stałej k występujacej w zbiorze Z. Jako znaczenie tej stałej wystarczy przyjąć liczbę p parzystą większą niż n 0. Kładziemy dalej k-1 = 2*p, k-2 =4*p,... 0 =2 k *p. W ten sposób stworzyliśmy model dla dowolnie wybranego podzbioru Z zbioru aksjomatów teorii T i. A więc teoria ta jest niesprzeczna.

17 Niestandardowy model M 2 IV Lemat Teoria T = i N T i jest niesprzeczna i posiada model, oznaczmy go przez M 2. Fakt Obliczenie programu P wykonywanego w modelu M 2 dla n= 1 jest nieskończone. (meta)Twierdzenie Zbiór twierdzeń Arytmetyki Peano nie zawiera formuły wyrażającej własność stopu programu P.

18 Pytanie Czy tu nie ma sprzeczności z faktem, że w Arytmetyce Peano można zapisać własność liczba w jest kodem skończonego ciągu liczb s 1,...,s n, który to ciąg reprezentuje obliczenie programu?

19 Dwie odpowiedzi Nie, semantyka programów z instrukcją while jest dana a priori tak jak pojęcie spełniania(prawdy). Tam jednak stosujemy liczby naturalne standardowe. Chcę o tym powiedzieć parę słow póżniej. Można pójść tropem tej formuły i zbudować semantykę programów while w oparciu o nią. Będzie to niestandardowa logika dynamiczna (zob. I. Nemeti, H. Andreka, I. Sain). A nasz program P zawsze się zatrzyma, tyle, że po pewnej niestandardowej liczbie kroków. No i ?

20 Języki teorii algorytmicznych Trzy ( a nie dwa ) zbiory wyrażeń poprawnie zbudowanych: termy formuły programy zbiór formuł zawiera formuły pierwszego rzędu, a ponadto formuły algorytmiczne w trzech smakach: K po wykonaniu programu K zachodzi K istnieje iteracja K taka, że K dla każdej iteracji K zachodzi gdzie K jest programem a jest formułą algorytmiczną

21 Pojęcie spełnialności Jak zwykle, ponadto pojęcie znaczenia programu jako funkcji ze zbioru W wartościowań w zbiór W ( można nieco inaczej podając pojęcie obliczenia ) Niech v, v będą wartościowaniami zmiennych. Znaczeniem programu [x :=t] jest funkcja [x:=t] A przyporządkowująca wartościowaniu v wartościowanie v takie, że v(z)= v(z) dla z <>x i v(x) = t A (v)

22 Programy Def. pojęcia programu

23 Formuła stopu Program formuła stopu K halt(K) Definicja Formuła wyraża własność stopu programu K: obliczenie programu K w systemie M i dla stanu początkowego v jest skończone M (v)=true

24 Tabela

25


Pobierz ppt "Przyczynek do problemu Collatza Andrzej Salwicki 24 lutego 2004."

Podobne prezentacje


Reklamy Google