Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Rozwiązywanie równań algebraicznych f(x)=0 Metoda bisekcji Przykład: x0-0.5-0.25-0.125-0.1875 f(x)-41-1.125-0.0156250.4980450.24308 x-0.21875-0.234375-0.2421875-0.24609375.

Коpie: 2
Interpolacja funkcji Dane wartości funkcji y n w punktach x n, gdzie n=0,1,2,....N-1. x y x0x0 y0y0 xnxn ynyn x N-1 y N-1.

B – funkcje sklejane (B – spline) Podział przedziału [a,b] jest równomierny, czyli Funkcja sklejana s 3 (x) jest przyjmowana w postaci: gdzie funkcje.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Rozwiązywanie równań algebraicznych f(x)=0 Metoda bisekcji Przykład: x0-0.5-0.25-0.125-0.1875 f(x)-41-1.125-0.0156250.4980450.24308 x-0.21875-0.234375-0.2421875-0.24609375."— Zapis prezentacji:

1

2 Rozwiązywanie równań algebraicznych f(x)=0 Metoda bisekcji Przykład: x f(x) x f(x)

3 x f(x) Zaleta metody: Jeżeli pierwiastek istnieje, to go znajdziemy. Wada metody: Duża liczba obliczeń Regula falsi. Założenia: a)funkcja ma w przedziale [a,b] tylko jeden pierwiastek i zachodzi f(a)f(b)<0, b) jest funkcja jest klasy C 2 [a,b], pierwsza i druga pochodna nie zmieniają znaku na przedziale [a,b].

4 Funkcja spełniająca powyższe założenia musi mieć w otoczeniu miejsca zerowego jeden z następujących przebiegów: f(a) a b f(b) x y f(a) a b f(b) x y f(a) a b f(b) x y f(a) a b f(b) x y

5 Przebieg obliczeń metodą regula falsi: x y a b f(a) f(b) x1x1 f(x 1 ) x2x2 analitycznie: ustalamy koniec z warunku f(x 1 )f(a)<0 lub f(x 1 )f(b)<0 Prowadzimy prostą:

6 ale f(x 1 )=0 stąd lub Dla n-tej iteracji mamy b=x n-1 i podstawiając mamy:

7 Ocena błędu dla dostatecznie małego przedziału [x n-1,x n ] można przyjąć jako: Metoda regula falsi jest zbieżna dowolnej funkcji ciągłej na przedziale [a,b]. Poszukiwanie pierwiastka zostaje zakończone jeżeli: Metoda jest wolno zbieżna. Przykład:

8 x f(x) Ponieważ f(-1)=-4, a f(x 1 )=0.192, więc stałym punktem będzie x=-1 x f(x) x f(x) w metodzie bisekcji potrzebowaliśmy 14 kroków ocena błędu:

9 Metoda siecznych Przepis: Przykład: x f(x) w regula falsi potrzeba 8 kroków

10 x f(x)0.907E-8 w 6-tym kroku Koniecznie trzeba obliczać f(x n ) i jeżeli zaczyna narastać należy zawęzić przedział i powtórzyć obliczenia. Niebezpieczeństwo znalezienia fałszywego pierwiastka. Metoda szybsza niż reguła falsi. abx1x1 Pierwsza iteracja musi startować z punktów spełniających warunek: f(a)f(b)<0

11 Metoda Newtona - Raphsona Niech małe w mamy: Pomijając małe drugiego rzędu 2 mamy, że f(x+ )=0, jeżeli Graficznie: x y xnxn n Równanie prostej stycznej w punkcie x n jest: x n+1

12 Prosta: przechodzi przez zero, czyli y=0, w punkcie x n+1 i mamy: Przykład: x f(x) E-10 W 3 krokach dokładność osiągana w metodzie siecznych w 5 krokach

13 W obliczeniach numerycznych pochodną najczęściej oblicza się numerycznie: Metoda Newtona – Raphsona jest zbieżna kwadratowo, tzn. Pechowe przypadki: x f(x) x0x0 x1x1 x2x2 rozbieżna Zmniejszyć przedział [x d,x 0 ] xdxd

14 cykl x f(x) x 1 =x 3 =... x 2 =x 4 =... xdxd Budując procedurę należy się zabezpieczyć przed taką możliwością. Wystartować z punktu x 1 znajdującego się bliżej x d Pierwiastki wielokrotne: Przy pierwiastkach wielokrotnych badać funkcję:

15 Pierwiastki zespolone Przykład Szukamy zespolonych pierwiastków metodą Newtona - Raphsona

16 Jako punkt startowy musimy wybrać liczbę zespoloną: x 0 =i gdzie x 2 = i x 3 = i x 4 = i x 5 = i x 6 = i błąd= i x d = i

17 Układy równań nieliniowych Dany jest układ równań: Dla skrócenia zapisu wprowadzamy oznaczenia: oraz

18 i równanie zapisujemy krótko: Metoda iteracji prostej Równanie: zapisujemy w postaci: i procedura iteracji prostej ma postać: Stosowana szczególnie w przypadkach jeżeli mamy dobre przybliżenie początkowe. Sytuacja taka występuje np. w przypadku małej zmiany parametrów równania.

19 Przykład: którego rozwiązaniem jest: x 1 =1; y 1 =0 oraz x 2 =-1; y 2 =0 Szukamy rozwiązania układu po małej zmianie parametrów: mamy schemat iteracyjny: Jako startowy punkt wybieramy: x 0 =1; y 0 =0 i mamy:

20 n01234 xnxn ynyn n5678 xnxn ynyn n xnxn ynyn

21 Z przedstawionych obliczeń widać, że metoda jest wolno zbieżna i dlatego stosowana tylko w przypadkach, gdy znamy bardzo dobrze zerowe przybliżenie. Zastosowanie w równaniach różniczkowych. Metoda Newtona - Raphsona Rozwijamy funkcję f k (X) w szereg Taylora w otoczeniu punktu X i :

22 Dla uproszczenia zapisu wprowadzamy macierz Jacobiego zdefiniowaną następująco:

23 i w postaci macierzowej możemy krótko zapisać układ równań: gdzie oznaczono: i rozwiązując symbolicznie mamy:

24 Przykład

25

26

27


Pobierz ppt "Rozwiązywanie równań algebraicznych f(x)=0 Metoda bisekcji Przykład: x0-0.5-0.25-0.125-0.1875 f(x)-41-1.125-0.0156250.4980450.24308 x-0.21875-0.234375-0.2421875-0.24609375."

Podobne prezentacje


Reklamy Google