Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Magia Matematyki Czyli jak powsta ł ś wiat. Matematyka Matematyka to…..

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Magia Matematyki Czyli jak powsta ł ś wiat. Matematyka Matematyka to….."— Zapis prezentacji:

1 Magia Matematyki Czyli jak powsta ł ś wiat

2 Matematyka Matematyka to…..

3 Dla niektórych feralny przedmiot

4 Dla innych ogromny zbiór wiedzy

5 Cz ęść uczniów reaguje na ni ą tak….

6 Inni widz ą w niej ca ł y ś wiat…

7 Tak jawi si ę wi ę kszo ś ci humanistów…

8 A my spróbujemy pokaza ć jej pi ę kniejsz ą twarz!

9 Historia ś wiata i liczb- czyli jak powsta ł ś wiat? Ba ś niowa historia, w której poznajemy tajemnice ś wiata i jego powstanie. Dowiemy si ę jak to si ę sta ł o, ze matematyka pojawi ł a si ę na ś wiecie i dlaczego odgrywa ona tak du żą rol ę w si ę sta ł o, ze matematyka pojawi ł a si ę na ś wiecie i dlaczego odgrywa ona tak du żą rol ę w ż yciu ka ż dego cz ł owieka.

10 Spis tre ś ci: I Rola matematyki w języku polskim: 1. Liczby w Biblii 1. Liczby w Biblii 2. Symbolika liczb 2. Symbolika liczb 3. Coś dla poetów: czyli żartobliwie o liczbach. 3. Coś dla poetów: czyli żartobliwie o liczbach. II. Rola matematyki w historii: 1. Wydarzenia i magia dat 1. Wydarzenia i magia dat 2. Szyfry 2. Szyfry III. Rola historii i języka polskiego w matematyce: 1. Wpływ wykopalisk na rozwój matematyki 1. Wpływ wykopalisk na rozwój matematyki 2. Literki, słowa, zdania, czyli jak to z tą matematyką było 2. Literki, słowa, zdania, czyli jak to z tą matematyką było IV. Ankieta: czyli co humaniści myślą o matematyce?

11 Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Kulturowe uwarunkowania matematykiKulturowe uwarunkowania matematyki Matematyka w ramach poszczególnych kultur Okres paleolitycznyOkres paleolityczny Okres historycznyOkres historyczny Okres staro ż ytnyOkres staro ż ytny Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.)Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.) Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.)Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.) Matematyka europejskaMatematyka europejska

12 Liczby w Biblii Z pewnością nieraz słyszałe(a)ś już, że w Biblii różne liczby zawierają w sobie głębsze znaczenia i są odzwierciedleniem ustanowionych przez Boga reguł i praw. Ich znajomość jest rzeczą jak najbardziej pożyteczną - pod warunkiem jednak, że nie skupiamy się na liczbach samych w sobie, ale robimy krok dalej, wyciągając z ich znaczenia konkretne wnioski.

13 kazuje się, że Bóg zaplanował całe nasze życie właśnie w oparciu o schemat siódemki. Każdy rok, to ciąg następujących po sobie tygodni, z których każdy składa się z siedmiu dni. Przy czym 6 dni przeznaczonych jest na pracę, a siódmy na odpoczynek. Chcąc podkreślić ważność tej zasady, Bóg nie stworzył całego świata w jednej chwili -co nie stanowiłoby dla Niego najmniejszego problemu - ale rozłożył jego powstanie na sześć kolejnych dni. Siódmego zaś dnia odpoczął. Nie wnikam tu, czy relację o stworzeniu świata tak jak ja traktujesz dosłownie, czy też jest ona dla Ciebie tylko metaforą. Bez względu na to, jak ją postrzegasz, akurat w tym momencie nie ma to większego znaczenia - zwróć uwagę jedynie na sam schemat.

14 ak już wspomniałem, człowiekowi przyporządkowana jest w Biblii liczba 6. Którego dnia człowiek został stworzony? Właśnie szóstego. Pojawił się na samym końcu, jako ukoronowanie całego procesu stwarzania. Można więc powiedzieć, że w pewnym sensie pierwszych sześć dni należało do człowieka. Ostatni jednak - siódmy dzień - do Boga, ponieważ tego dnia Bóg odpoczywał. Zapamiętaj szczególnie te dwa ostatnie zdania, gdyż jeszcze do nich wrócimy. Od momentu stworzenia człowieka, siódemka w mniejszym lub większym stopniu wpleciona jest w jego życie, o czym przekonujemy się czytając Stary Testament. Najbardziej jest to widoczne na przykładzie Izraela, którego święta oraz różne elementy życia codziennego i religijnego opierały się na tym właśnie schemacie. Dla przykładu: menora to świecznik siedmioramienny, tzw. lata jubileuszowe następowały co siódmy rok, po siedmiu latach hebrajski niewolnik odzyskiwał wolność, siedem dni Noe czekał w arce na pierwsze krople deszczu, po siedmiu dniach Bóg przemówił do Mojżesza na górze Synaj, siedem dni trwało Święto Przaśników i Szałasów, siedem dni Izrael okrążał Jerycho, siedmiu kapłanów nosiło arkę przymierza, itd.

15 iech to jedno, umiłowani, nie uchodzi uwagi waszej, że u Pana jeden dzień jest jak tysiąc lat, a tysiąc lat jak jeden dzień" Jeśli, zgodnie z tą zasadą, podstawimy pod każdy z dni stworzenia świata tysiąc lat, to nagle wszystko staje się jasne. Historia ludzkości musi się zamknąć w 7 tysiącach lat. A jak to wygląda w praktyce, z naszego punktu widzenia? Okazuje się, że wszystko idealnie się zgadza. Z genealogii Noego, sięgającej aż do Adama, wynika, że pierwszy człowiek został stworzony ok lat p.n.e. Mamy więc pierwsze 4 "dni". A właściwie okres ten należy podzielić na dwa etapy, po 2000 lat każdy. Od Adama do Abrahama (protoplasty narodu Izraelskiego) minęło pierwsze 2000 lat. Od wyjścia Abrahama z Ur Chaldejskiego, przez dzieje Izraela aż do początku naszej ery upłynęło kolejne 2 tys. lat. Tak więc na czasy Starego Testamentu przypada pierwsze 4000 lat naszej historii (4 dni). Od pierwszego do ponownego przyjścia Jezusa liczymy natomiast kolejny etap - czasy Nowego Testamentu, czyli Erę Kościoła. Podobnie jak dwa pierwsze, tak i ten powinien przypuszczalnie trwać ok lat. A ile lat naszej ery już minęło? Całe dwa tysiące. A zatem, wszystkie trzy dotychczasowe etapy, z których każdy trwał ok lat, w sumie dają nam 6000 lat, będąc odpowiednikiem pierwszych sześciu dni stworzenia. Pamiętasz myśl, którą podkreśliłem wcześniej z zapowiedzią, że jeszcze do niej wrócimy? Brzmiała ona mniej więcej tak: Pierwszych sześć dni stworzenia świata należało do człowieka (człowiek został stworzony szóstego dnia, jako ukoronowanie całego procesu), natomiast siódmy, ostatni do Boga, ponieważ tego dnia Bóg odpoczywał.

16 dokładnie tak ma wyglądać historia ludzkości. Sześć tysięcy lat miało upłynąć w tym normalnym" kształcie, takim, jaki obserwujemy do tej pory. Natomiast siódme tysiąclecie ma być już zupełnie inne, ponieważ w jakiś sposób będzie odzwierciedlać dzień odpoczynku Boga. Czy zdajesz sobie zatem sprawę, na jakim etapie historii obecnie się znajdujemy? Jesteśmy już na początku ostatniego tysiąclecia, a normalny, znany nam bieg historii, symbolicznie zakończył się wraz z końcem XX wieku. Podkreślam - symbolicznie. Bo nietrudno zauważyć, że wszystko toczy się jak na razie "po staremu". Jest tak, ponieważ najczęściej nowe epoki nie rozpoczynają się równo z kalendarzem, ale najpierw ma miejsce kalendarzowy, symboliczny początek, a dopiero później, po pewnym okresie przejściowym, następuje właściwe rozpoczęcie nowego etapu. Dla przykładu, mimo iż Bóg zapowiedział Abrahamowi, że jego potomkowie wyjdą z niewoli po 400 latach, to jednak ich faktyczne wyjście nastąpiło po 430 latach. Istniał więc 30-letni dodany okres przejściowy. Podobnie XX wiek nie rozpoczął się faktycznie w 1901 roku, a dopiero wraz z wybuchem I Wojny Światowej (1914). Do tego czasu świat wciąż tkwił mentalnie w wieku XIX. Potrzebne jest więc jakieś przełomowe wydarzenie, które staje się umowną granicą pomiędzy starą a nową epoką. Niemniej jednak, każdy kolejny rok XXI wieku jest już częścią ostatniego tysiąclecia, a ono nie będzie wyglądało tak, jak wszystkie poprzednie. Obecne tysiąclecie jest w Biblii ukazane jako Tysiącletnie Królestwo Chrystusa. Bez względu na to, jak nierealne może się to komuś jeszcze wydawać, to tysiąclecie będzie należało do Chrystusa, tak jak do Boga należał siódmy dzień stworzenia. I nie chodzi tu o jakąś duchową przynależność, ale o faktyczne rządy Jezusa nad całą Ziemią, rozpoczęte po Jego powrocie i ustanowieniu własnego Królestwa.

17 ożna powiedzieć, że Bóg dał szatanowi 6000 lat na przedstawianie swoich argumentów i pokazanie, jak będzie wyglądała nasza rzeczywistość, gdy będzie miał wolne pole do działania. Ten etap zbliża się już jednak ku końcowi. Czas dany szatanowi niebawem się zakończy i jak czytamy w Objawieniu Jana, zostanie on związany właśnie na tysiąc lat (Obj. 20:2). Dopiero wtedy, poprzez doskonałe rządy swojego Syna, Bóg pokaże nam, jak wyglądałby świat, gdybyśmy nie oddali panowania nad nim siłom ciemności. O tym, jak będzie wyglądał ten nowy świat, pisał już prorok Izajasz, jakieś 800 lat przed naszą erą. Przy czym objawienie, jakie w tamtym czasie otrzymał, było jeszcze niepełne - nie wiedział, że ta nowa rzeczywistość będzie wynikiem przejęcia rządów nad światem przez Bożego Syna i że łączny czas trwania Jego Królestwa wyniesie 1000 lat. O tym dowiadujemy się dopiero z ostatnich stron Biblii. Generalnie jednak, jego wyjątkowość będzie polegała na tym, że szatan nie będzie miał już na całą naszą rzeczywistość żadnego wpływu, a tym samym grzech zostanie prawie całkowicie wyeliminowany z życia ludzkiego ("prawie", ponieważ jeśli już się pojawi, to w wyniku świadomego wyboru człowieka, a nie kuszenia ze strony szatana). Coś w rodzaju klątwy, jaka stała się udziałem świata wraz z pojawieniem się grzechu zostanie cofnięte. "Tam będą mieszkali, bo nie będzie już klątwy. Jeruzalem będzie żyć bezpiecznie."

18 ofnięcie klątwy będzie się przejawiało m.in. w tym, że warunki przyrodnicze powrócą do stanu sprzed pojawienia się grzechu. Długość ludzkiego życia znów diametralnie się wydłuży i życie po kilkaset lat znowu stanie się rzeczą powszechną (Izaj. 65:22). Ten, kto umrze jako stulatek, będzie uznawany za zmarłego w bardzo młodym wieku. "Nie będzie już tam niemowlęcia, które by żyło tylko kilka dni, ani starca, który by nie dożył swojego wieku, gdyż za młodzieńca będzie uchodził, kto umrze jako stuletni, a kto grzeszy, dopiero mając sto lat będzie dotknięty klątwą. Ponadto, znikną takie pojęcia jak zwierzęta drapieżne, mięsożerne, rośliny trujące, choroby. Przyroda wróci do tej harmonii jaką miała na początku, tuż po stworzeniu. Zwierzęta znów będą jedynie roślinożerne (Izaj. 65:25), a widok dziecka wkładającego rękę do nory węża nikogo nie będzie napawał strachem (Izaj. 11:8). Krótko mówiąc - będzie po prostu pięknie, tak jak na początku zaplanował to Bóg. I chociaż teraz to wszystko może się wydawać wielu osobom zbyt niewiarygodne, to jednak tak właśnie już wkrótce będzie wyglądało obecne tysiąclecie. Na zakończenie przypomnijmy: historia ludzkości miała trwać 3 x 2000 lat i właśnie tyle jest za nami. Weszliśmy w siódme, ostatnie tysiąclecie i oczekujemy już tylko jego faktycznego rozpoczęcia (Adam-Abraham) (Abraham-Jezus) (Jezus-Koniec) (Tysiącletnie Królestwo)

19 Symbolika liczb

20 1 Uwa ż ana by ł a za liczb ę najdoskonalsz ą. Jest liczb ą pierwsz ą. Symbolizuje pocz ą tek oraz niewidzialn ą lecz aktywn ą si łę stwórcz ą (Boga). Jest ź ród ł em i i kresem wszystkiego, centrum. Odnosi si ę tak ż e do cz ł owieka jako do jedynej istoty wyprostowanej. Oznacza cechy takie jak oryginalno ść, indywidualno ść, a tak ż e samotno ść. Przys ł owia -"Nie ma dwóch bez jednego

21 2 Jest pierwsz ą liczb ą parzyst ą. Uwa ż ana by ł a za z ł owieszczy symbol. Oznacza ł o si ę ni ą opozycj ę, konflikt, szpiegów. Przedstawia osi ą gni ę t ą równowag ę lub te ż nieujawnione zagro ż enie. Jest cyfra przyporz ą dkowan ą wszystkim dwuznacznym zdarzeniom, sytuacjom oraz postaciom o pozytywnym jak i negatywnym znaczeniu. Oznacza tak ż e symetri ę. Wyra ż a najbardziej surowy podzia ł na bia ł e i czarne, kobiet ę i m ęż czyzn ę, dobro oraz z ł o. Dwójka to tak ż e dualizm, walka, ruch, post ę p, rywalizacja, wzajemno ść w mi ł o ś ci lub w nienawi ś ci. Oznacza chwiejno ść charakteru (rozdwojenie ja ź ni). Liczba ta ma tak ż e zwi ą zek z cz ł owiekiem. Ka ż dy z nas ma bowiem parzyste organy cia ł a (dwoje oczu, uszu, r ą k, nóg). Wyra ż a kobieco ść. Przys ł owia - "gdzie dwóch si ę bije tam trzeci korzysta" - "dwa razy daje, kto pr ę dko daje" - "nieszcz ęś cia chodz ą parami" - "druga strona medalu" - "W tym najwi ę kszy jest ambaras, ż eby dwoje chcia ł o naraz"

22 3 Uwa ż ana jest za liczb ę doskona łą, obejmuj ą c ą ca ł okszta ł t rzeczy w wyniku tego, ż e jest sum ą cyfr 1 oraz 2. Symbolizuje boskie trójce wielu wyzna ń : chrze ś cija ń ska - Bóg ojciec, Syn bo ż y i Duch Ś wi ę ty; egipska - Ozyrys, Izyda, Horus, babilo ń ska - Ea, Marduk, Gibil; hinduistyczna - Brahma-stwórca (Trimurti), Wisznu- ż ycie, Siwa- ś mier ć ; grecka - Zeus z potrójn ą b ł yskawic ą, Pluton (Hades) z trzyg ł owym psem Cerberem, Posejdon z trójz ę bem. Liczba ta oznacza tak ż e ś wiat ł o, s ł o ń ce oraz ogie ń. Dzieki łą czeniu w sobie cech pierwszych dwóch liczb trójka symbolizuje ś wiadomo ść, harmoni ę, równowag ę oraz rozwój i wzrost. Zwi ą zki z liczb ą trzy to: pocz ą tek, ś rodek i koniec; niebo, ziemia i piek ł o; wiara, nadzieja oraz mi ł o ść. Przys ł owia - "gzie dwóch si ę bije tam trzeci korzysta" - "ple ść trzy po trzy" - "Wszystko, co z ł o ż one z trzech, jest doskona ł e"

23 4 Uchodzi ł a za liczb ę ś wi ę t ą, zw ł aszcza w staro ż ytnej Grecji. S ą cztery strony ś wiata, cztery pory roku, a my cz ę sto szukamy czterolistnej koniczyny, która przynosi szcz ęś cie. Symbolizuje ziemi ę oraz powierzchowno ść. Je ś li chodzi o t ę liczb ę mo ż emy wyró ż ni ć kilka jej zwi ą zków takich jak: cztery pory roku; cztery wiatry; cztery strony ś wiata; cztery ż ywio ł y; cztery rzeki rajskie; cztery fazy ż ycia; cztery podstawowe pierwiastki; czterej je ź d ź cy Apokalipsy. Przys ł owia - "spada ć na cztery ł apy" - "cztery ś ciany" - "zamkn ąć na cztery spusty" - "w cztery oczy" - "kuty na cztery nogi" - "dzieli ć w ł os na czworo"

24 5 Jest sum ą pierwszej cyfry parzystej 2 i pierwszej nieparzystej 3. To symbol zjednoczenia, centrum, harmonii i równowagi, istnienia materialnego, postrzegalnego. Liczba 5 uwa ż ana by ł a za liczb ę szcz ęś liw ą. By ł a mi ę dzy innymi symbolem pot ę gi Boga i cz ł owieka (rozstawione nogi i r ę ce oraz g ł owa). Mamy pi ęć palców u r ę ki, pi ęć palców u stopy, pi ęć zmys ł ów: wzrok, s ł uch, dotyk, w ę ch i smak. Reprezentuje tak ż e cz ł owieka (jak na pentagramie Agryppy) i wszech ś wiat oraz jego dwie osie pionow ą i poziom ą, przechodz ą ce przez wspólny ś rodek. 5 staje si ę w ten sposób symbolem doskona ł o ś ci i porz ą dku. W symbolice hinduskiej 5 jednoczy w sobie 2 oznaczaj ą ce zasad ę ż e ń sk ą i 3 zasad ę m ę sk ą. Wyra ż a w ten sposób ż ycie. Oznacza cz ł owieka oraz mikrokosmos. Jest to cyfra symbolizuj ą ca ż ycie na ł onie natury i jak twierdz ą chi ń czycy tam gdzie si ę ona pojawia tam szcz ęś cie jest blisko. Symbolizuje rownie ż 5 ś wi ę tych planet znanych pitagoryjczykom. Przys ł owia - "pi ą te ko ł o u wozu"

25 6 Symbolizuje doskona ł o ść, wyra ż on ą graficznie przez sze ść trójk ą tów równobocznych wpisanych w okr ą g. Ka ż dy bok trójk ą ta d ł ugo ś ci ą odpowiada promieniowi okr ę gu, a sze ść wyra ż a prawie dok ł adnie stosunek obwodu do promienia. Jest to równie ż cyfra oznaczaj ą ca walk ę dobra ze z ł em. W Apokalipsie szóstka ma znaczenie zdecydowanie negatywne. Oznacza grzech. Trzy szóstki oznaczaj ą si łę z ł a. 6 jest cz ę sto przedstawiana jako piecz ęć Salomona, wyra ż aj ą ca zwi ą zek dwóch przeciwstawnych elementów, symbol makrokosmosu i cz ł owieka ogólnie, jako rodzaju ludzkiego. Ten sam motyw graficzny pojawia si ę równie ż w Indiach, wyra ż aj ą c równowag ę pomi ę dzy ż ywio ł em wody i ż ywio ł em ognia. Oznacza tak ż e sze ś cian, po łą czenie sze ś ciu kwadratów: symbol solidno ś ci i sta ł o ś ci. Przys ł owia - "pal sze ść !" - "starczy sze ść stóp ziemi" - "gdzie kucharek sze ść,tam nie ma co je ść "

26 7 Ś wi ę ta liczba wszystkich ludów staro ż ytnych. Jej moc potwierdza ł y zjawiska niebieskie: siedem dni ka ż dej fazy ksi ęż yca i istnienie siedmiu planet. W systemie pitagorejczyków symbol wszech ś wiata, gdy ż łą czy cztery ż ywio ł y z bosko ś ci ą trójki, Ziemi ę i Niebo. 7 łą czy w sobie 4 (która symbolizuje ziemi ę ) i 3 symbol nieba. Przedstawia w ten sposób ca ł y wszech ś wiat stanowi ą cy dynamiczn ą ca ł o ść. Ró ż a o siedmiu p ł atkach jest symbolem siedmiu nieb. 7 to liczba ca ł o ś ci, porz ą dku moralnego. W staro ż ytnym Egipcie symbolizowa ł a wieczne ż ycie. Przedstawia ca ł y, zamkni ę ty cykl, doskona ł o ść dynamiczn ą. Wg tradycji 3 religii monoteistycznych ś wiat zosta ł stworzony w siedem dni. Symbolizuje tak ż e szcz ęś cie (szcz ęś liwa 7). Liczba ta łą czy w sobie siedem cudów ś wiata; siedem dni stworzenia ś wiata oraz siedem kolorów t ę czy. Przys ł owia - "za siedmioma górami, za siedmioma rzekami..." - "od siedmiu bole ś ci" - "ocet siedmiu z ł odziei"

27 8 Liczba 8 by ł a uznawana za symbol doskona ł o ś ci i niesko ń czono ś ci (reprezentuje jej znak). Ma du ż e znaczenie w religii chrze ś cija ń skiej. Osiem osób liczy ł a za ł oga Arki Noego (Noe, jego ż ona i trzej synowie Noego z ż onami). Oznacza tak ż e zdrowie, bogactwo oraz mi ł o ść. Przys ł owia - "ósmy cud ś wiata"

28 9 Liczba ta jest uwa ż ana za ś wi ę t ą gdy ż jest wynikiem mno ż enia trzech przez trzy. Jest tak ż e ostatni ą cyfr ą co symbolizuje prze ł om. Liczba ta ma tak ż e inne w ł a ś ciwo ś ci matematyczne np. 9 * 2 = 18 i = 9 5 * 9 = 45 i = 9 9 * 3 = 27 i = 9 4 * 9 = 36 i = 9 6 * 9 = 54 i = 9 7 * 9 = 63 i = 9 W staro ż ytnej Grecji 9 ma znaczenie rytualne. Demeter przez 9 dni w ę druje po ś wiecie w poszukiwaniu swojej córki Persefony. Dziewi ęć muz przychodzi na ś wiat za spraw ą Zeusa podczas dziewi ę ciu mi ł osnych nocy. 9 symbolizuje owocne poszukiwania, ukoronowanie wysi ł ków, zako ń czenie procesu tworzenia. 9 to równie ż wszech ś wiat jako ca ł o ść z ł o ż ona z trzech cz ęś ci. Ka ż dy ze ś wiatów : niebo, ziemia i piek ł o, jest przedstawiany za pomoc ą trójk ą ta lub cyfry 3. Wed ł ug tradycji judeochrze ś cija ń skiej istnieje 9 hierarchii anielskich, 9 sfer niebieskich, 9 kr ę gów piekielnych. Egipcjanie nazywali 9 Gór ą S ł oneczn ą. Wyra ż a ł a ona dla nich przemiany, którym podlega ł a w trzech ś wiatach ( boskim, ziemskim i intelektualnym) trójca bóstw Ozyrys, Izyda i Horus, przedstawiaj ą ca Esencj ę, Substancj ę i Ż ycie. 9 oznacza równie ż zbawienie, dlatego w tradycji chrze ś cija ń skiej Jezus, ukrzy ż owany o trzeciej, zaczyna agoni ę o szóstej i umiera o dziewi ą tej. 9 jest ostatni ą w szeregu cyfr. Jest wi ę c ko ń cem i zarazem ponownym pocz ą tkiem, przeniesieniem zjawiska na nowy, szerszy plan. Zwi ą zana jest z ide ą ponownych narodzin, kie ł kowania, jak i jednocze ś nie ś mierci, zaniku. Przez dziewi ęć miesi ę cy trwa te ż okres ci ąż y. Przys ł owia - "ni w pi ęć, ni w dziewi ęć "

29 10 Liczba ta jest sum ą pierwszych czterech liczb: =10 (Pitagorejski symbol doskona ł o ś ci). Zawsze by ł a uwa ż ana za liczb ę ś wi ę t ą. Dziesi ęć to suma palców obu r ą k i suma palców obu nóg. Gdy chcemy si ę uspokoi ć, liczymy do dziesi ę ciu, gdy chcemy doda ć sobie odwagi lub mocy, tak ż e liczymy do dziesi ę ciu. Wszyscy znaj ą dziesi ę cioro przykaza ń, a cz ę sto ludzie sami wymy ś laj ą dziesi ęć zasad i zalecaj ą ich przestrzeganie. Oznacza doskona ł o ść wszech ś wiata. Dzi ę ki przej ś ciu z ostatniej cyfry (9) staje si ę pierwsz ą liczb ą przez co symbolizuje nowy ł ad. Przys ł owia - "dziesi ą ta woda po kisielu" - "pi ą te przez dziesi ą te" - "dziesi ą ta muza"

30 11 Liczba 11 jest mi ę dzy innymi symbolem nadmiaru i przesady, nieporz ą dku i grzechu. Ma du ż e znaczenie w religii chrze ś cija ń skiej. Oznacza niekiedy grzech, gdy ż przekracza 10 (liczb ę Dziesi ę ciorga Przykaza ń ).

31 12 Liczba 12 by ł a uwa ż ana za liczb ę szcz ęś liw ą i ś wi ę t ą. Rok ma dwana ś cie miesi ę cy, jest dwana ś cie znaków zodiaku, by ł o dwunastu aposto ł ów, ale i zbójców, tuzin i dwana ś cie sztuk. Rzymianie na 12 tablicach z br ą zu spisali kodeks praw. Prawo dwunastu tablic by ł o pierwszym dokumentem pisanym, ś wiadectwem kultury Rzymu. M ł odzie ż rzymska uczy ł a si ę z nich czyta ć. Jest to liczba podzielna przez kolejne liczby 1, 2, 3, 4 oraz 6, st ą d (prawdopodobnie) posiadaj ą ca znaczenie szczególne. Oznacza tak ż e niewinno ść, skromno ść i dziewictwo. Łą czy w sobie 12 miesi ę cy; 12 aposto ł ów; 12 znaków zodiaku. Symbolizuje te ż ł ask ę, mi ł o ść i spokój. W symbolice ludowej oznacza godzin ę duchów. Przys ł owia - "za pi ęć dwunasta" - "liczony na tuziny"

32 13 Ju ż w staro ż ytno ś ci uwa ż ano 13 za z ł owró ż bn ą, przynosz ą c ą nieszcz ęś cie. W ostatniej wieczerzy uczestniczy ł o 13 osób. Kaba ł a podaje, ż e istnieje 13 z ł ych duchów. 13 rozdzia ł Apokalipsy jest rozdzia ł em mówi ą cym o Antychry ś cie, o Bestii. Jednocze ś nie jednak 13 oznacza ł a od dawna osob ę, rzecz, lub poj ę cie najsilniejsze, najpi ę kniejsze, najlepsze w danej grupie. 13 to Zeus w otoczeniu 12 bogów greckich, oraz Ulisses, któremu jako jedynemu spo ś ród 13 towarzyszy udaje si ę ocali ć ż ycie w spotkaniu z cyklopem. Jako suma statycznej 10 i dynamicznej, twórczej 3, trzynastka oznacza równie ż pod ąż anie ku ś mierci, do zako ń czenia jakiego ś procesu lub etapu, wysi ł ek tworzenia, który od czasu do czasu ulega za ł amaniu, by pojawi ć si ę ponownie; gwa ł town ą przemian ę, która niszcz ą c stare daje jednocze ś nie trudny pocz ą tek temu, co nowe. Dla ś cis ł o ś ci: Ostatnia Wieczerza, to 12 Aposto ł ów - w ś ród nich Judasz - i to 12 ma znaczenie symboliczne, nie 13. Po ś mierci Judasza wybrano na jego miejsce Macieja po to, by ta symbolika by ł a zachowana.

33 21 W Biblii i tradycji biblijnej 21 oznacza zupe ł n ą, ca ł kowit ą doskona ł o ść, bosk ą m ą dro ść, osi ą gni ę ty cel i zwi ą zan ą z tym pe ł ni ę szcz ęś cia. Jest to równie ż symbol niezale ż nego cz ł owieka, jednostki dokonuj ą cej wyboru mi ę dzy ś wiatem ducha i ś wiatem materialnym, mi ę dzy dobrem a z ł em. To dynamiczny wysi ł ek indywiduum, który powstaje z konfliktu mi ę dzy przeciwie ń stwami. 21 jest liczb ą oznaczaj ą c ą odpowiedzialno ść. Nieprzypadkowo w wielu kulturach uko ń czenie 21 roku ż ycia wi ą za ł o si ę z osi ą gni ę ciem pe ł noletnio ś ci.

34 666 "Tu jest potrzebna m ą dro ść. Kto ma rozum, niech liczb ę Bestii przeliczy: liczba to bowiem cz ł owieka. A liczba jego: sze ść set sze ść dziesi ą t sze ść." (Ap. 13:18). Wszystkie symbole, jakimi Jan pos ł uguje si ę w Apokalipsie maj ą swe korzenie w Biblii, dlatego musimy si ę gn ąć do niej, aby zrozumie ć znaczenie liczby 666. Podczas, gdy siódemka jest w Biblii liczb ą doskona ł o ś ci i odpoczynku Bo ż ego, szóstka to liczba cz ł owieka bez Boga i bez Jego odpoczynku. Szóstka symbolizuje rebeli ę cz ł owiecze ń stwa wobec Boga, obsesj ę wokó ł samego siebie, zamiast oddania chwa ł y Stwórcy. Szóstka wyst ę puje w Biblii po raz pierwszy w dniu stworzenia Adama ( Rdz.1:27. 31), dlatego zwana jest "liczb ą cz ł owieka" ( Ap.13:18). Pó ź niej pojawia si ę w kontek ś cie odst ę pstwa, polegaj ą cego na wstawieniu uczynków ludzkich w miejscu dzie ł Boga, sygnalizuj ą c uzurpacj ę atrybutów Boga przez cz ł owieka. Pierwszy dopu ś ci ł si ę takiego przest ę pstwa Kain ( Rdz.4:3-5). Uczci ł Boga owocem swej pracy ( Rdz.4:3), lekcewa żą c polecenie, aby z ł o ż y ć w ofierze zwierz ę. Kiedy ofiara z owoców jego pracy nie zosta ł a przyj ę ta, zwróci ł si ę przeciw Ablowi, którego dar Bóg przyj ął, gdy ż wyra ż a ł wiar ę w przyj ś cie Chrystusa - Baranka, na którego te ofiary mia ł y wskazywa ć. Biblia wymienia tylko sze ść imion w genealogii Kaina, podkre ś laj ą c odst ę pczy charakter zapocz ą tkowanej przez niego religijno ś ci ( Rdz.4:17_18). Szóstka to liczba pychy, odst ę pstwa i samo-wywy ż szenia. Potrójna szóstka ilustruje odst ę pczy system czasów ko ń ca, który opiera si ę na ludzkich dokonaniach. Próba stworzenia go i narzucenia ś wiatu si ę ga budowniczych wie ż y Babel. W ich s ł owach sze ść razy pojawiaj ą si ę zaimki my i nas (Rdz.11:3-5). Szóstka by ł a podstawow ą liczb ą w babilo ń skim sposobie liczenia. Wci ąż liczymy czas pos ł uguj ą c si ę systemem opartym na szóstce (godzina ma 60 minut, a minuta 60 sekund). Z ł oty pos ą g Nabuchodonozora, któremu nale ż a ł o odda ć cze ść lub zgin ąć mia ł 60 ł okci wysoko ś ci i 6 ł okci szeroko ś ci. Ksi ę ga Daniela wymienia go sze ść razy. Apokalipsa mówi sze ść razy o czczeniu Bestii i jej pi ę tna. Tyle ż razy pojawia si ę w tej ksi ę dze " Babilon" i " Nierz ą dnica".

35 Szóstka implikuje stawianie ludzkich uczynków w miejscu Bo ż ych, co by ł o esencj ą systemu babilo ń skiego. Charakteryzuje on do dzi ś niemal wszystkie religie, w łą cznie z wieloma wyznaniami chrze ś cija ń skimi. Szóstka jest tylko o jeden mniejsza od siódemki, która jest liczb ą Bo ż ej pe ł ni i doskona ł o ś ci. Szóstka na pierwszy rzut oka wydaje si ę bliska idea ł u Bo ż ego, a faktycznie jest jego negacj ą. Zbudowana na ludzkiej niedoskona ł o ś ci ro ś ci sobie pretensje do Boskiej doskona ł o ś ci. Blu ź niercze imiona Bestii, której liczba wynosi 666 (Ap.13:1; 17:3) sugeruj ą, ż e przypisuje cz ł owiekowi tytu ł y i atrybuty Boga. Piecz ęć Bo ż a oparta na siódemce jest przeciwie ń stwem odst ę pczego pi ę tna Bestii. Piecz ęć i pi ę tno, tak jak szóstka i siódemka reprezentuj ą dwa przeciwstawne systemy religijne. Pierwszy opiera si ę na pos ł usze ń stwie z mi ł o ś ci i wdzi ę czno ś ci za Jego ł ask ę. Drugi, na ludzkich tradycjach, zwiedzeniu i przemocy. Pierwszy wywy ż sza Boga Ojca, Syna i Ducha Ś wi ę tego, drugi Smoka, Besti ę i Fa ł szywego Proroka. Przyj ę cie pi ę tna w czasach ko ń ca b ę dzie równoznaczne z akceptacj ą autorytetu instytucji reprezentowanej przez Besti ę, dlatego pi ę tno zawiera nie tylko liczb ę, ale tak ż e imi ę Bestii (Ap. 13:17). Bestia nie jest pojedynczym cz ł owiekiem z imieniem 666 na czole, jak to naiwnie ukazuj ą filmy z Hollywood, ani superkomputerem w Brukseli, lecz systemem w ł adzy, tak jak wszystkie inne Bestie w apokaliptycznych proroctwach (Dn.7; Ap.13). Jedni przyjm ą pi ę tno Bestii ufni w s ł uszno ść nakazów tego religijno-politycznego systemu czasów ko ń ca, inni cho ć nie uwierz ą jej religijnym roszczeniom, przyjm ą je z obawy przed represjami. Dlatego pierwsi maj ą pi ę tno na czo ł ach, a drudzy na r ę ce. Podporz ą dkowanie autorytetowi Bestii piecz ę tuje ludzi, jako zwolenników fa ł szywej trójcy, a zatem niewolników Szatana.

36 W tym samym czasie na ziemi g ł oszone jest trójanielskie poselstwo, które mówi o potrzebie przyj ę cia piecz ę ci Boga i pos ł usze ń stwa wobec Jego Prawa. Przyj ę cie autorytetu S ł owa Bo ż ego piecz ę tuje ludzi Bo żą piecz ę ci ą. Zapiecz ę towani ni ą staj ą si ę cz ęś ci ą zbawionych symbolizowanych w czasach ko ń ca przez ( Ap.14:6_12). "[Obraz Bestii] sprawia, ż e wszyscy... otrzymuj ą znami ę na praw ą r ę k ę lub na czo ł o i ż e nikt nie mo ż e kupi ć ni sprzeda ć, kto nie ma znamienia - imienia bestii lub liczby jej imienia." ( Ap.13:15-17). JAK OBLICZY Ć LICZB Ę BESTII? Najbardziej sekretny symbol staro ż ytnych religii misteryjnych sk ł ada ł si ę z trzech liter "s", która w j ę zyku greckim posiada warto ść szóstki. Liter ę "s" nazywano stigm ą (st ą d sigma ), czyli "pi ę tnem". Wypalano je na czo ł ach niewolnikom oraz wyznawcom niektórych kultów. Pi ę tno s ł u ż y ł o jako swego rodzaju znak to ż samo ś ci i lojalno ś ci. Litery w staro ż ytnych alfabetach posiada ł y numeryczn ą warto ść, st ą d liczby s ł u ż y ł y czasem jako kryptogramy. W czasach babilo ń skich imi ę Stura, "sekretnego" boga" Babilo ń czyków, zawiera ł o liczb ę 666. W ich j ę zyku (aramejskim) liczba jego imienia wynosi ł a 666. Stura czcili magowie chaldejscy ho ł duj ą cy misteryjnym kultom s ł onecznym, ci, którzy byli najwi ę kszymi wrogami ludu Bo ż ego - Daniela i jego trzech przyjació ł (Dn.3, 6). S T U R = 666

37 Persowie w 539 roku p.n.e. wygnali z Babilonu kap ł anów i magów chaldejskich, którzy udali si ę do Pergamonu, czyni ą c go now ą stolic ą okultyzmu i religii s ł onecznych. Ostatni w ł adca Pergamonu zapisa ł w testamencie Rzymowi zarówno swe pa ń stwo, jak kultowy tytu ł Pontifex Maximus. W ten sposób Rzym sta ł si ę spadkobierc ą okultystycznego dziedzictwa Babilonu. Nie przypadkiem chrze ś cijanie we wczesnych wiekach identyfikowali liczb ę 666 ze s ł owem Lateinos ("Rzymianin"). Zawiera ł o bowiem imi ę "sekretnego boga" Babilo ń czyków, którego Rzymianie zwali Saturnem - bogiem s ł o ń ca. Podobnie jak Babilo ń czycy, tak ż e Rzymianie prze ś ladowali lud Bo ż y. L A T E I N O S = 666 Ko ś ció ł, który poszed ł na kompromis z pa ń stwem Konstantyna Wielkiego, sta ł si ę dziedzicem Rzymu. Papie ż przyj ął religijny tytu ł rzymskich cezarów Pontifex Maximus, a tak ż e tytu ł Vicarius Christi noszony przez cesarza Konstantyna Wielkiego. Chrze ś cijanie, którzy wskazywali na odst ę pstwa papiestwa byli prze ś ladowani, tak jak Daniel i jego przyjaciele w Babilonii, a aposto ł owie przez Rzym cezarów. W j ę zyku greckim, który by ł w pierwszych wiekach j ę zykiem ko ś cio ł a chrze ś cija ń skiego, warto ść liczbowa s ł ów " ko ś ció ł rzymski" (gr. Italika Ekklesia ) wynosi I T A L I K A E K K L E S I A = 666

38 W VI wieku biskupi Rzymu stali si ę religijno-politycznymi przywódcami Europy, prowadz ą c ś redniowieczny ko ś ció ł w odst ę pstwo i prze ś laduj ą c tych, którzy odrzucali ich duchowy autorytet. Oficjalnym j ę zykiem ko ś cio ł a sta ł a si ę ł acina. Czy przypadkiem, ł aci ń ski tytu ł Vicarius Filii Dei, który uzurpuje prerogatywy i pozycj ę Chrystusa ma w tym j ę zyku warto ść liczbow ą 666? Czy przypadkiem s ł owo vicarius ("nast ę pca") jest t ł umaczeniem greckiego anti ? Tytu ł Vicarius Christi (Nast ę pca Chrystusa) jest dos ł ownym przek ł adem nowotestamentowego greckiego s ł owa antichristos (antychryst). V I C A R I U S F I L I I D E I = 666

39 Nie wiemy, jaki b ę dzie kryptonim Bestii w czasach ko ń ca. Prawie na pewno ż aden z wy ż ej wymienionych, cho ć w swoim czasie mog ł y identyfikowa ć poszczególne "g ł owy" Bestii. Studium przesz ł ych odst ę pczych systemów pokazuje jednak, ż e system ten cechowa ć b ę dzie duchowa arogancja, wymieszanie prawdy z fa ł szem i religii z polityk ą, a tak ż e prze ś ladowanie prawdziwego ludu Bo ż ego. Niektórzy komentatorzy proroctw dopatruj ą si ę pi ę tna Bestii w mikrochipach, które maj ą by ć wprowadzone pod skór ę, w super-komputerach, kartach, na których mo ż na zmie ś ci ć wszystkie dane o cz ł owieku i tym podobnych ś rodkach. Wszystkie osobiste dane o cz ł owieku mo ż na zmie ś ci ć na uk ł adzie scalonym wielko ś ci g ł ówki szpilki i umie ś ci ć pod skór ą. Taki znak mo ż e pos ł u ż y ć za kart ę kredytow ą, medyczn ą, paszport, prawo jazdy, a nawet wycofa ć z obiegu gotówk ę. Jednocze ś nie mo ż e pos ł u ż y ć pa ń stwu za narz ę dzie ś cis ł ej kontroli, gdyby otrzyma ć go mogli wy łą cznie ludzie lojalni wobec rz ą dz ą cego systemu. Bez niego nikt nie móg ł by kupowa ć ani sprzedawa ć... Takie technologie mog ą pos ł u ż y ć Szatanowi, aby narzuci ć sankcje przeciwko tym, którzy nie przyjm ą jego pi ę tna, jak to zapowiada Apokalipsa (13:15-17). Wydaje si ę jednak, ż e obecnie Szatan wykorzystuje te popularne w ś ród chrze ś cijan mrzonki jako zas ł on ę dymn ą, aby odwróci ć ich uwag ę od prawdziwego pi ę tna. Pi ę tno i piecz ęć s ą cz ęś ci ą duchowego wielkiego boju i dlatego maj ą duchowy charakter. Piecz ęć wi ąż e si ę z wierno ś ci ą wobec przykaza ń Bo ż ych, za ś pi ę tno z wyborem ludzkich nakazów w miejsce Bo ż ych. Pami ę tajmy o tym, kiedy s ł yszymy sensacje o mikrochipach, uniwersalnych kartach i superkomputerach.

40 40 Liczba uwa ż ana za magiczn ą, poniewa ż cz ę sto wyst ę puje w Biblii jej znaczenia to oczekiwanie, przygotowanie np.: post, pokuta odrodzenie, oczyszczenie zako ń czenie cyklu zmian, dope ł nienie si ę Zwi ą zki : wody potopu pokrywa ł y ziemi ę przez 40 dni i nocy Moj ż esz 40 dni i nocy bez jedzenia i picia oczekiwa ł aby otrzyma ć Tablice 40 lat trwa ł a w ę drówka izraelitów przez pustyni ę po 40 lat królowali Dawid, Salomon i Joas Jezus przez 40 dni po ś ci ł na pustyni......a po zmartwychwstaniu przez 40 dni pokazywa ł si ę uczniom od Ś rody Popielcowej do Wielkanocy up ł ywa 40 dni Wielkiego Postu Przys ł owia " ż ycie zaczyna si ę po czterdziestce" "cz ł owiek jest g ł upi do czterdziestego roku ż ycia; gdy wtedy zaczyna pojmowa ć sw ą g ł upot ę, jest ju ż za pó ź no Luter

41 Dziesi ęć tysi ę cy - w Chinach symbol czego ś, co wyst ę puje w wielkiej ilo ś ci, w j ę zyku potocznym uwa ż ana za najwi ę ksz ą liczb ę

42 Szyfry Tajemnicze przekazy w radiu i InternecieTajemnicze przekazy w radiu i Internecie Enigma Szyfr Cezara Szyfr one-time-pad Ciekawostki Co ma wspólnego kryptologia z Kamasutr ą ?Co ma wspólnego kryptologia z Kamasutr ą ? Colossus pierwszym komputerem. RSA Z ł amany?RSA Z ł amany?RSA Z ł amany?RSA Z ł amany? Dla kogo kryptologia? To nie baron Playfair wymy ś li ł szyfr Playfair.To nie baron Playfair wymy ś li ł szyfr Playfair. Europa zacofana.

43 Tajemnicze przekazy w radiu i Internecie Historia jak rodem ze szpiegowskich powie ś ci z czasów "zimnej wojny" i wojen wywiadów. Kto publikuje i emituje w eter tajemnicze kody? Zacz ęł o si ę od niewinnego anonsu, opublikowanego w Craigslist, siódmym na ś wiecie serwisie og ł oszeniowym. Anons zaciekawi ł Emmanuela Goldsteina, twórc ę kultowego magazynu hackerów I tak si ę zacz ęł o... Og ł oszenie, zatytu ł owane For mein fraulein, co w mieszance angielskiego i niemieckiego oznacza "dla mojej pani", zawiera ł o równie lakoniczn ą tre ść zach ę caj ą c ą nieznajom ą do zadzwonienia pod podany numer telefonu: Mein Fraulein, I haven't heard from you in a while. Won't you call me? Hampton zadzwoni ł pod podany numer, gdzie czeka ł a go niespodzianka - odczytany przez zacinaj ą cy si ę automat ci ą g liczb. Liczby wyst ę powa ł y w blokach po pi ęć cyfr, ka ż dy blok by ł powtarzana dwukrotnie a w sumie by ł o ich pi ęć dziesi ą t. Komunikat zaczyna si ę od informacji, ż e jest to grupa 415 i ko ń czy dwoma dodatkowymi cyframi. Mo ż na go ods ł ucha ć tutaj: Kto opublikowa ł to og ł oszenie? Nie wiadomo. W kilka dni pó ź niej na Craigslist pojawi ł o si ę podobne og ł oszenie, tym razem z grup ą 617: Og ł oszenia w prasie zachodniej by ł y w czasach "zimnej wojny" ulubion ą technik ą anonimowego publikowania zaszyfrowania instrukcji dla "nielega ł ów", czyli agentów radzieckiego wywiadu dzia ł aj ą cych na Zachodzie w ukryciu. Agent mia ł obowi ą zek czyta ć wskazane przez oficera prowadz ą cego pismo i zwraca ć uwag ę na og ł oszenia zawieraj ą ce okre ś lone s ł owa kluczowe - takie jak "for meine fraulein". Dalsza tre ść og ł oszenia zawiera ł a zwykle kod, na przyk ł ad s ł owo oznaczaj ą ce ustalon ą wcze ś niej instrukcj ę. Trudno powiedzie ć na ile ta stara technika sprawdza si ę dzisiaj, w czasach Usenetu i forów dyskusyjnych. W odró ż nieniu od np. Usenetu (alt.test) og ł oszenia kto ś jednak przegl ą da.

44 Enigma Enigma by ł a u ż ywana komercyjnie od lat 20. XX wieku, a pó ź niej zosta ł a zaadaptowana przez instytucje pa ń stwowe wielu krajów. Podczas II wojny ś wiatowej maszyna ta by ł a wykorzystywana g ł ównie przez si ł y zbrojne oraz inne s ł u ż by pa ń stwowe i wywiadowcze Niemiec, ale tak ż e innych pa ń stw. Enigma nale ż a ł a do rodziny elektromechanicznych wirnikowych maszyn szyfruj ą cych i by ł a produkowana w wielu ró ż nych odmianach. Po raz pierwszy szyfrogramy zakodowane przy pomocy Enigmy uda ł o si ę rozszyfrowa ć polskim kryptologom w Prace Polaków, g ł ównie Mariana Rejewskiego, Jerzego Ró ż yckiego i Henryka Zygalskiego, pozwoli ł y na dalsze prace nad dekodowaniem szyfrów stale unowocze ś nianych maszyn Enigma najpierw w Polsce, a po wybuchu wojny we Francji i Wielkiej Brytanii. Najcz ęś ciej odszyfrowywanymi wiadomo ś ciami by ł y przekazy zaszyfrowane Enigm ą w wersji Wehrmachtu (Wehrmacht Enigma). Brytyjski wywiad wojskowy oznaczy ł Enigm ę kryptonimem ULTRA. Nazwa ta powsta ł a ze wzgl ę du na najwy ż szy stopie ń utajnienia faktu z ł amania szyfru Enigmy, wy ż szy ni ż najtajniejszy (ang. Most Secret), czyli Ultra tajny.

45

46 Szyfr Cezara Historia i zastosowanie: Jest to szyfr za pomoc ą, którego Juliusz Cezar szyfrowa ł swoje listy do Cycerona. Jako ciekawostk ę mo ż na poda ć, ż e szyfr ten by ł podobno u ż ywany jeszcze w 1915 roku w armii rosyjskiej, gdy ż tylko tak prosty szyfr wydawa ł si ę zrozumia ł y dla sztabowców. Opis metody: Ka ż d ą liter ę tekstu jawnego zamieniamy na liter ę przesuni ę t ą o 3 miejsca w prawo. I tak liter ę A szyfrujemy jako liter ę D, liter ę B jako E itd. W przypadku litery Z wybieramy liter ę C. W celu odszyfrowania tekst powtarzamy operacj ę tym razem przesuwaj ą c litery o 3 pozycje w lewo. Zapis matematyczny tych operacji wygl ą da nast ę puj ą co: Szyfrowanie: C=E(p)=(p+3)mod 26 Deszyfrowanie: p=D(c)=(c-3)mod 26 Przyjmuje si ę, ż e alfabet sk ł ada si ę z 26 liter.

47 Opis procedury: Szyfrowany/deszyfrowany tekst znajduje si ę w pliku. Dodatkowo przed uruchomieniem procedury nale ż y stworzy ć drugi plik, b ę d ą cy plikiem wynikowym. W programie podajemy nazwy tych plików. Nast ę pnie otwierane s ą oba pliki i je ż eli operacja ta powiedzie si ę, zaczyna si ę szyfrowanie/deszyfrowanie. Za ka ż dym razem pobierana jest jedna litera tekstu. Nast ę pnie zgodnie z kodem ASCII przydzielana jest ona do trzech mo ż liwych grup: du ż e litery, ma ł e litery lub cyfry. W przypadku oryginalnego szyfru Cezara nie by ł o mo ż liwo ś ci szyfrowania cyfr. Cyfry s ą w procedurze szyfrowane za pomoc ą przesuni ę cia o trzy a nast ę pnie wykonywana jest operacja mod 10. Nie jest to w pe ł ni zgodne ze standardem algorytmu Cezara. Je ż eli kto ś uwa ż a szyfrowanie cyfr za co ś niepotrzebnego wystarczy, ż e usunie ostatni blok instrukcji else if. Wszystkie inne znaki w tym spacja podczas szyfrowania ulegaj ą usuni ę ciu. Je ż eli komu ś zale ż y, aby inne znaki te ż by ł y szyfrowane wystarczy, aby doda ł kolejne instrukcje else if (operacja mod wyst ą pi tylko wtedy, gdy dodajemy jeszcze jak ąś grup ę znaków a nie pojedyncze znaki). Nale ż y doda ć je w miejscu gdzie w programie widnieje odpowiedni komentarz. Po zamianie ka ż dej litery zapisywana jest ona w pliku wyj ś ciowym. Na ko ń cu oba pliki s ą zamykane i procedura ko ń czy si ę. W przypadku procedury deszyfruj ą cej zastosowa ł em troch ę inn ą metod ę. Poniewa ż litera a ma numer zero. Zatem gdy odejmujemy warto ść 3. Uzyskujemy wynik -3. Aby uzyska ć poprawny wynik wystarczy odj ąć od 26 warto ść bezwzgl ę dn ą wyniku (lub je ż eli kto ś woli doda ć ten wynik).

48 Szyfr one-time-pad Historia i zastosowanie: Jest to jedyny bezwarunkowo bezpieczny szyfr, co zosta ł o udowodnione matematycznie w 1949 przez Shannon'a. Algorytm ten zaproponowany zosta ł przez Gilberta Vernama z AT&T w 1917 roku. Je ż eli chodzi o poj ę cie klucza losowego to pierwszy raz wprowadzi ł je Joseph Mauborgne. W literaturze mo ż na spotka ć informacje, ż e podobno gor ą ca linia pomi ę dzy Waszyngtonem a Moskw ą szyfrowana by ł a z wykorzystaniem tego algorytmu. Opis metody: Mo ż na wyró ż ni ć 2 wersje tego algorytmu: -wersja binarna (szyfr Vernama) -wersja znakowa Mo ż na zatem zada ć sobie pytanie dlaczego powy ż sze algorytmy zapewniaj ą s ł abe lub ś rednie bezpiecze ń stwo a ten zapewnia bezwarunkowe bezpiecze ń stwo. Otó ż ca ł a tajemnica tkwi tutaj w za ł o ż eniach na ł o ż onych na has ł o. Sprawdzone musz ą by ć wszystkie 3 poni ż sze warunki: - has ł o musi by ć ci ą giem losowym - has ł o musi by ć jednorazowe - d ł ugo ść has ł a musi by ć przynajmniej tak samo d ł uga jak d ł ugo ść szyfrowanego tekstu

49 Przy krótkich tekstach nawet sprawdzenie wszystkich mo ż liwo ś ci nie da nam odpowiedzi, gdy ż napastnik otrzyma wiele poprawnych s ł ów i nie b ę dzie w stanie wybra ć z nich s ł owa w ł a ś ciwego. Z ł amanie cho ć by jednego z tych warunków powoduje, ż e otrzymany szyfrogram mo ż e by ć ju ż ł atwy do odszyfrowania. Je ż eli chodzi o 2 i 3 warunek to s ą one stosunkowo proste do spe ł nienia, chocia ż trudno wyobrazi ć sobie ka ż dorazowe przekazywanie has ł a odbiorcy. Najwi ę kszym problemem jest wygenerowanie losowego has ł a. Wiele metod, które mog ą wydawa ć si ę losowe (stukanie w klawiatur ę, ci ą g wyliczany na podstawie czasu czy stanów procesora nie jest do ko ń ca warto ś ci ą losow ą ). Istniej ą jednak algorytmy generuj ą ce ci ą gi pseudolosowe. Ci ą gi pseudolosowe s ą to ci ą gi generowane na podstawie losowego zarodka, korzystaj ą c z algorytmu deterministycznego. Powstaj ą cy ci ą g ma cechy ci ą gu losowego. Istnieje wiele algorytmów generuj ą cych ci ą gi pseudolosowe: BBS, Bluma-Micaliego, Shamira, oparty na RSA.

50 Co ma wspólnego kryptologia z Kamasutr ą ? Jeden z najstarszych opisów szyfrowania przez podstawianie znajduje si ę w dziele "Kamasutra", napisanym w IV wieku przez brami ń skiego uczonego Vatsyayana, który korzysta ł z r ę kopisów pochodz ą cych nawet z IV w p.n.e. "Kamasutra" zaleca kobietom poznanie 64 sztuk, takich jak gotowanie, ubieranie si ę, masa ż i przygotowanie perfum. Na li ś cie tej znajduj ą si ę równie ż inne sztuki, takie jak wró ż biarstwo, gra w szachy, introligatorstwo i stolarka. Natomiast pozycja numer 45 to mlecchita-vikalpa, sztuka pos ł ugiwania si ę tajnym pismem, która ma pomóc kobietom w ukryciu swoich zwi ą zków.

51 Colossus pierwszym komputerem. Tommy Fowlers zbudowa ł w 1943 roku maszyn ę Colossus na podstawie projektu Maxa Newmana. Moc obliczeniowa tej maszyny by ł a wi ę ksza od uznawanej za pierwszy komputer maszyny ENIAC. Collosus by ł przeznaczony do kryptoanalizy szyfru Lorenz, który u ż ywany by ł do szyfrowania łą czno ś ci pomi ę dzy Hitlerem i jego genera ł ami. Plany oraz istnienie maszyny zosta ł o utajnione ze wzgl ę du na wojskowy charakter projektu.

52 RSA Z ł amany? Istnieje wielomianowy algorytm faktoryzacji liczb. Jest to algorytm Shora. Za jego pomoc ą w ł atwy sposób mo ż na odszyfrowa ć wszystko, co jest zaszyfrowane przy pomocy algorytmów, których si ł a tkwi w problemie faktoryzacji. Przyk ł adem takiego algorytmu jest algorytm RSA. Jedynym problemem, jest brak komputera kwantowego, który jest wymagany przez algorytm Shora. W przypadku wynalezienia komputerów kwantowych wi ę kszo ść algorytmów u ż ywanych do szyfrowania by ł aby bezu ż yteczna. Dotyczy to szczególnie algorytmów szyfrowania symetrycznego takich jak DES, IDEA, AES itp. oraz algorytmów szyfrowania asymetrycznego opartych na innym trudnym problemie a mianowicie problemie logarytmowania dyskretnego.

53 Dla kogo kryptologia? Autorami systemów przekazywania sekretnych informacji byli mnisi i wojskowi, matematycy i tajni agenci. Do nich do łą czy ł znany polityk i m ąż stanu, Thomas Jefferson, wspó ł autor ameryka ń skiej Deklaracji Niepodleg ł o ś ci, trzeci prezydent Stanów Zjednoczonych. Wynalaz ł on maszyn ę szyfruj ą c ą - nazwan ą jego imieniem ko ł em Jeffersona.

54 To nie baron Playfair wymy ś li ł szyfr Playfair. Pierwszy baron Playfair z St. Andrews by ł dobrze znan ą postaci ą w wiktoria ń skiej Anglii; pe ł ni ł funkcj ę spikera Izby Gmin i prezesa Royal Society. Wprowadzi ł reformy w angielskim systemie opieki zdrowotnej i by ł zaprzyja ź niony z fizykiem Charlesem Wheatstone'em, którego nazwisko pojawia si ę w nauce elektryczno ś ci dzi ę ki mostkowi Wheatstone'a. Obaj panowie obrali sobie za hobby kryptologi ę. W owych czasach w londy ń skim "Timesie" ukazywa ł y si ę cz ę sto prywatne og ł oszenia napisane szyfrem. Obaj bawili si ę odszyfrowywaniem tych tajnych wiadomo ś ci. Mogli w ten sposób ś ledzi ć korespondencj ę pewnego studenta z Oksfordu z najwyra ź niej zam ęż n ą dam ą z Londynu. Gdy m ł odzieniec zaproponowa ł damie, by z nim uciek ł a, Wheatstone zamie ś ci ł w "Timesie" tekst napisany szyfrem kochanków, w którym apelowa ł do sumienia damy. Potem ukaza ł a si ę ju ż tylko krótka zaszyfrowana wzmianka: "Charles, nie pisz ju ż wi ę cej, przejrzano nasz szyfr". Wheatstone móg ł zaproponowa ć im lepsz ą, w ł asn ą metod ę szyfrowania. Jego przyjaciel Playfair opublikowa ł ja pó ź niej, nie przemilczaj ą c nazwiska prawdziwego autora. Mimo to nosi ona do dzi ś nazw ę Playfair.

55 Europa zacofana. Ź ród ł em kryptologii wcale nie by ł a Europa. W latach od 800 do 1200 arabscy uczeni odnotowali wiele osi ą gni ęć nauki. W tym samym czasie Europa tkwi ł a w intelektualnych ciemno ś ciach. Podczas gdy Al-Kindi opisywa ł zasady kryptoanalizy, Europejczycy wci ąż biedzili si ę z podstawami kryptografii.

56 Rok 1592 W 1592 r. Hideyoshi wysłał 100 tyś. Armię na podbój Korei, w okresie tych walk generałowie złożyli Hideyoshiemu w darze 40 tys. zakonserwowanych uszu i nosów odciętych wrogom, które później pokazywano na wystawie w Kioto.

57 Wydarzenia i magia dat Sze ść ciosówSze ść ciosów Ł ód ź Ł ód ź Ograniczenie pr ę dko ś ciOgraniczenie pr ę dko ś ci Czy wygrywaj ą c w ko ś ci mo ż na zosta ć cesarzem?Czy wygrywaj ą c w ko ś ci mo ż na zosta ć cesarzem? Rok 1592

58 Sze ść ciosów Admira ł dowodz ą cy flot ą francusk ą podczas bitwy pod Trafalgarem. W walce wykaza ł si ę du żą odwag ą, ale bitwa zako ń czy ł a si ę sukcesem Anglików. Po łą czone si ł y francusko – hiszpa ń skie straci ł y dwadzie ś cia jeden okr ę tów i czterna ś cie tysi ę cy ż o ł nierzy, podczas gdy przeciwnicy ani jednego okr ę tu i mieli zaledwie czterystu pi ęć dziesi ę ciu zabitych. Villneuve dosta ł si ę do niewoli, ale wkrótce zosta ł z niej zwolniony. Przyby ł do Rennes, gdzie zatrzyma ł si ę w miejscowym hotelu. Nie móg ł jednak znie ść ha ń by zwi ą zanej z kl ę sk ą i czuj ą c si ę w pe ł ni odpowiedzialnym za rezultaty bitwy, pope ł ni ł samobójstwo w hotelowym pokoju zadaj ą c, sobie w serce sze ść ciosów no ż em.

59 Ł ód ź Najszybciej rozwijaj ą cym si ę miastem Polski by ł a Ł ód ź. Na pocz ą tku XIX wieku by ł a male ń k ą wiosk ą (ok. 500 osób). W 1860 r. liczy ł a ju ż 60 tys. mieszka ń ców, a dwadzie ś cia lat pó ź niej a ż 253 tys.! W 1910 liczba ludno ś ci tego miasta osi ą gn ęł a 408 tys. Co ciekawe, obecnie liczba mieszka ń ców Ł odzi spada: w 1988 r. by ł o ich 854 tys. a w 2004 r. ju ż tylko 775 tys.

60 Ograniczenie pr ę dko ś ci W latach w Anglii obowi ą zywa ł przepis ograniczaj ą cy pr ę dko ść pojazdów mechanicznych do 3,2 km/h na terenie miejskim. Poza miastem mo ż na by ł o "poszale ć " z pr ę dko ś ci ą do 6,4 km/h. Niestety, ten przepis wstrzyma ł tylko rozwój motoryzacji. We Francji nie by ł o takich dziwnych zarz ą dze ń dzi ę ki czemu ju ż w 1881 r. samochód parowy osi ą gn ął pr ę dko ść 60 km/h.

61 Czy wygrywaj ą c w ko ś ci mo ż na zosta ć cesarzem? Okazuje si ę, ż e tak. Dzia ł o si ę to w czasie panowania rzymskiego cesarza Probusa ( r). Prokulus, dowódca legionów galijskich, kilkakrotnie z rz ę du wygra ł w ko ś ci. Jak zwykle w takich wypadkach na cze ść zwyci ę zcy zacz ę to krzycze ć "imperator!". To wystarczy ł o. Kto ś inny nie wiedz ą c o co chodzi krzykn ął "Ave Caesar" i tak ju ż zosta ł o.

62 PREHISTORIA Przed czterema milionami lat na Ziemi pojawili si ę ludzie. Stopniowo przybierali pozycj ę pionow ą i pozostali w niej do dzi ś (acz dzi ś z powrotem zaczynaj ą si ę garbi ć - przy komputerach). Wykonywali w ł asnor ę cznie narz ę dzia z kamienia. Do wykonania kamiennego narz ę dzia potrzeba by ł o setek uderze ń. Nie maj ą c ubra ń musieli szuka ć schronienia. Aby ł atwiej znale źć po ż ywienie w ś ród dzikiej przyrody, organizowali si ę w hordy (wspólnoty). Gdy ludzie zdobyli umiej ę tno ść rozniecania i podtrzymywania ognia mogli si ę przy nim ogrza ć, zapewni ć sobie ś wiat ł o, gotowa ć posi ł ki i odstrasza ć dzikie zwierz ę ta. Polowanie zajmowa ł o im du ż o czasu i zmusza ł o do pokonywania wielkich przestrzeni. Budowali drewniane chaty kryte skórami, które by ł y ł atwe do przeniesienia. Z drewna, ko ś ci i kamienia sporz ą dzali narz ę dzia i bro ń my ś liwsk ą. Przy wzgl ę dnie szybkim post ę pie ludzi pierwotnych liczby by ł y dla nich zupe ł n ą abstrakcj ą. Jeden i dwa s ą bezwzgl ę dnie pierwszymi poj ę ciami numerycznymi zrozumia ł ymi dla istoty ludzkiej. Wiele j ę zyków i pism staro ż ytnych i pó ź niejszych nosi wyra ź nie ś lady tych pierwotnych rozró ż nie ń. Zacz ąć tu nale ż y od rozró ż nienia gramatycznego mi ę dzy liczb ą pojedyncz ą, podwójn ą i mnog ą, które wyst ę powa ł o i wyst ę puje u wielu ludów. I tak na przyk ł ad w staro ż ytnej grece "ho lykos" znaczy ł o "wilk", "to lykos" - "dwa wilki", a "hoj lykos" - "wilki". W starym j ę zyku chi ń skim poj ę cie "lasu" wyra ż ano powtarzaj ą c trzy razy piktogram "drzewo", a poj ę cie "t ł umu" rysuj ą c trzy razy obrazek "cz ł owieka". W j ę zykach staro ż ytnych liczba trzy - trzykrotne powtórzenie piktogramu nie tylko oznacza ł o trzy przedmioty lub osoby, lecz ogólniej, ż e jest ich wiele. Cz ł owiek pierwotny nie potrafi ą c operowa ć wieloma liczbami rozró ż nia ł tylko jeden i dwa, a gdy czego ś by ł o wiecej np. dziesi ęć okre ś la ł to jako du ż o.

63 Gdy ewolucja posun ęł a cz ł owieka troch ę naprzód, nie ś wiadomie zacz ął wykonywa ć prymitywne technicznie "rachuby". Pierwsz ą z nich by ł o wykonywanie naci ęć (najcz ęś ciej na ko ś ci). I tak np. gdy prehistoryczny pasterz mia ł 55 owiec, siada ł przed jaskini ą z kawa ł kiem ko ś ci i krzemienia. Gdy owce wchodzi ł y pojedynczo, nacina ł ko ść krzemieniem, ilekro ć przechodzi ł o zwierz ę. I tak przepu ś ciwszy wszystkie owce, mia ł dok ł adnie 55 naci ęć. Odt ą d gdy z pastwiska b ę d ą powraca ł y owce b ę dzie móg ł bez trudu sprawdzi ć, czy ca ł e stado wróci ł o, przesuwaj ą c palcem po ko ś ci i sprawdzaj ą c naci ę cia. Drugim sposobem by ł o liczenie za pomoc ą cz ęś ci cia ł a. Przynosi ł o to zadowalaj ą ce efekty, gdy chodzi ł o o stosunkowo niewielkie ilo ś ci. Sposób by ł bardzo prosty, dotyka ł o si ę cz ęś ci cia ł a w odpowiedniej kolejno ś ci. Na rysunku, który znajduje si ę poni ż ej zosta ł y przedstawione cz ęś ci cia ł a i odpowiadaj ą ce im liczby.

64 Mezopotamia Aby liczy ć nale ż y rozwi ą za ć dwa zagadnienia: ustali ć sposób liczenia i stworzy ć miana liczebników. Nie mo ż na równie ż pomin ąć znaków, za pomoc ą których wyra ż amy liczby w pi ś mie. Te znaki nazywamy cyframi. Do najstarszych znaków cyfrowych nale żą znaki babilo ń skie. Spójrz na mapk ę.

65 Dwie grube, czarne, w ęż owate linie - to rzeki Tygrys i Eufrat. Staro ż ytni Grecy nazywali ten kraj Mezopotami ą (po polsku nazwa ta brzmia ł aby Mi ę dzyrzecze, bo zajmuje on dolin ę dwu rzek). Cz ęść Mezopotamii zajmowa ł o pot ęż ne pa ń stwo, którego stolic ą by ł Babilon. Babilo ń czycy pisali na glinianych tabliczkach pismem klinowym. Liter klinowych by ł o bardzo du ż o, ale znaków cyfrowych niewiele.

66 Liczby babilo ń skie s ą kombinacjami trzech znaków: jedynki, dziesi ą tki i setki. Za pomoc ą tych znaków pisano tysi ą c, a tak ż e ka ż d ą inn ą liczb ę, pos ł uguj ą c si ę zasad ą mno ż enia i dodawania, przy czym wi ę ksza liczba zawsze poprzedza ł a mniejsz ą.

67 Oprócz tego sposobu pisania liczb Babilo ń czycy pos ł ugiwali si ę systemem pozycyjnym i uk ł adem sze ść dziesi ą tkowym. W tym systemie znak jedynki mo ż e oznacza ć : 1, 60, 602 itd., zale ż nie od tego, na którym miejscu stoi. Dla wyra ż enia zera pisali dwa pochy ł e znaki jedynki. U ż ywali tak ż e u ł amków zwyk ł ych i sze ść dziesi ą tkowych, które pisali tak jak piszemy u ł amki dziesi ę tne.

68 Egipt Prawie tak samo stare jak babilo ń skie s ą cyfry egipskie. Do wyra ż enia swoich my ś li na pi ś mie Egipcjanie u ż ywali hieroglifów.

69 Dla cyfr mieli specjalne znaki.

70 Najpierw pisali liczby wy ż szego rz ę du, a pó ź niej ni ż szego. Stosowali przy tym zasad ę dodawania lub mno ż enia.

71 Pos ł ugiwali si ę tak ż e u ł amkami, które w liczniku mia ł y 1. Pisali je tak jak liczby naturalne umieszczaj ą c nad nimi kropk ę. Dla 1/2 i 2/3 mieli oddzielny znak. Inne u ł amki zapisywali w postaci sumy u ł amków o licznikach 1. Pisali np. tak: je ż eli 23 chleby podzielimy mi ę dzy 40 osób, to ka ż da otrzyma 1/4, 1/5 i 1/8 cz ęść chleba.

72 Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Kulturowe uwarunkowania matematykiKulturowe uwarunkowania matematyki Matematyka w ramach poszczególnych kultur Okres paleolitycznyOkres paleolityczny Okres historycznyOkres historyczny Okres staro ż ytnyOkres staro ż ytny Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.)Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.) Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.)Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.) Matematyka europejskaMatematyka europejska

73 Kulturowe uwarunkowania matematyki Historia matematyki jest nieroz łą czn ą cz ęś ci ą historii ludzko ś ci. Rozró ż nianie liczby obiektów(przedmiotów, ludzi, zwierz ą t), co najmniej w zakresie brak-jeden-dwa-du ż o, jest zdolno ś ci ą posiadan ą przez ludzi prawdopodobnie od zawsze (zdolno ść t ą posiada równie ż wiele zwierz ą t). Wydaje si ę jednak, ż e do tworzenia bardziej zaawansowanej matematyki konieczne jest istnienie kultury w ramach której ten rozwój si ę odbywa. Takie przejawy matematyki jak liczenie w ramach systemu liczb naturalnych (1,2,3,4,...) wraz z operacjami dodawania i mno ż enia, a tak ż e badanie proporcji i relacji rozmiarów pomi ę dzy kszta ł tami geometrycznymi, czyli elementarna arytmetyka i geometria, pojawiaj ą si ę w dost ę pnych ź ród ł ach historycznych i archeologicznych dopiero wraz z powstaniem i rozkwitem staro ż ytnych kultur. Najprawdopodobniej kategorie poj ę ciowe elementarnej matematyki, a w konsekwencji sama dziedzina wiedzy, powstaj ą dopiero jako wewn ę trzny przejaw danej kultury, w rezultacie okre ś lonych wewn ą trzkulturowych warunków i potrzeb, takich jak liczenie zwi ą zane z kalendarzem, w ł asno ś ci ą i wymian ą, oraz okre ś lanie proporcji kszta ł tów i d ł ugo ś ci zwi ą zane z budowaniem, podzia ł em ziemi i estetyk ą. Matematyka pe ł ni równie ż istotn ą rol ę w religijnych przejawach kultury. W zwi ą zku z tym a ż do okresu nowoczesno ś ci, w którym nast ą pi ł a ogólno ś wiatowa dominacja aparatu poj ę ciowego kultury zachodnioeuropejskiej, mamy do czynienia nie z jedn ą, lecz z ró ż nymi historiami matematyki. Do tego czasu ka ż da kultura posiada ł a swój system poj ęć matematycznych, w ramach którego wyra ż a ł a i rozwi ą zywa ł a problemy zwi ą zane z istotnymi kwestiami danej kultury.

74 Oczywi ś cie, pomi ę dzy ró ż nymi kulturami by ł o wiele matematycznych zapo ż ycze ń (jednym z najs ł awniejszych s ą cyfry 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, które zosta ł y zapo ż yczone przez Arabów z Indii, a nast ę pnie przez Europ ę od Arabów), jednak ż e polega ł y one zawsze na wybiórczym asymilowaniu pewnych aspektów matematycznych i ignorowaniu innych. Nie oznacza to w ż adnym wypadku tego ż e dedukcyjna i abstrakcyjna metoda matematyczna jest subiektywna, lecz jedynie to, ż e istotne poj ę cia lub konteksty ich stosowania, metody dowodzenia, oraz kryteria wyboru interesuj ą cych problemów dla ka ż dej kultury s ą, a przynajmniej by ł y, inne. Nowo ż ytna ogólno ś wiatowa ekspansja kulturowa Europejczyków doprowadzi ł a bowiem do dominacji tej kultury nad innymi, za ś towarzysz ą cy temu dynamiczny rozwój europejskiej matematyki, pocz ą wszy od XVI i XVII wieku, przyczyni ł si ę ostatecznie do wspó ł czesnego kszta ł tu matematyki – dyscypliny uprawianej w ten sam sposób, tymi samymi poj ę ciami, metodami i symbolami, niezale ż nie od szeroko ś ci czy d ł ugo ś ci geograficznej. Niezale ż nie od tego czy stan ten si ę b ę dzie utrzymywa ł w dowolnie odleg ł ej przysz ł o ś ci, trzeba mie ć na uwadze, ż e przesz ł o ść (czyli historia) matematyki nie daje si ę przedstawi ć na jednej linii nieustannego rozwoju i kumulacji wiedzy. Wielokrotnie wybitne wyniki by ł y zapominane lub zagubione, po to tylko, by zosta ć odkryte jeszcze raz, czasem po ponad tysi ą cu lat, za ś zapo ż yczenia by ł y cz ę stokro ć mocno wybiórcze. St ą d te ż mo ż na odnie ść mylne wra ż enie, ż e matematyka poszczególnych kultur by ł a, w porównaniu ze wspó ł czesn ą, uboga w problemy i metody. Tymczasem cz ę sto przedstawienia historii matematyki absolutyzuj ą rol ę tej zachodnioeuropejskiej, skutkiem czego wyra ż aj ą poj ę cia, metody i cele pozosta ł ych matematyk nie w ich oryginalnych kontekstach (co oczywi ś cie jest trudnym zadaniem) lecz w kontek ś cie wspó ł czesnym, usuwaj ą c w cie ń jako nieistotne lub m ę tne to, co w istocie stanowi ł o ż yw ą tre ść danej matematyki. Ramy niniejszego kursu nie daj ą mo ż liwo ś ci dalszego zag łę biania si ę w te kwestie, lecz warto je mie ć na uwadze zawsze kiedy poruszany jest temat historii matematyki. Poni ż ej przyjrzymy si ę matematyce rozwijanej w ramach konkretnych kultur oraz historii kilku podstawowych problemów matematycznych. Przyk ł adowo, niektóre rezultaty Archimedesa (III wiek p.n.e.) by ł y odkryte ponownie i niezale ż nie dopiero w XVI wieku w Europie przez prekursorów rachunku ró ż niczkowego.

75 Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Kulturowe uwarunkowania matematykiKulturowe uwarunkowania matematyki Matematyka w ramach poszczególnych kultur Okres paleolitycznyOkres paleolityczny Okres historycznyOkres historyczny Okres staro ż ytnyOkres staro ż ytny Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.)Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.) Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.)Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.) Matematyka europejskaMatematyka europejska

76 Okres paleolityczny Najstarszym znanym obecnie zapisem ś wiadomo ś ci matematycznej jest tzw. ko ść z Lebombo (znaleziona na terenie obecnego Królestwa Suazi w Afryce Po ł udniowej), datowana na lat p.n.e. Zawiera ona 29 ś ci ś le u ł o ż onych kresek, wyra ż aj ą cych oznaczenia kalendarzowe, u ż ywane po dzisiejszy dzie ń przez klany buszmenów w Namibii. Drugim tego rodzaju starym obiektem jest tzw. ko ść z Ishango (teren ź róde ł Nilu i Jeziora Edwarda na granicy pomi ę dzy Ugand ą a Zairem), datowana na lat p.n.e.: Kreski w wierszach (a) i (b) dodaj ą si ę do 60. Wiersz (b) zawiera liczby pierwsze pomi ę dzy 10 a 20. Wiersz (a) jest w miar ę zgodny z systemem liczbowym opartym na 10, poniewa ż liczby kresek w grupach wynosz ą , 20 – 1, , oraz 10 – 1. Wreszcie wiersz (c) wydaje si ę ilustrowa ć metod ę mno ż enia przez 2, u ż ywan ą pó ź niej w egipskiej matematyce. Mikroskopowe badania pokazuj ą dodatkowe znaki, z których wynika ż e ta ko ść jest równie ż kalendarzem faz ksi ęż yca. (Niektórzy wyprowadzaj ą z tego wniosek ż e pierwszym matematykiem by ł a kobieta.) Podobn ą ko ść, datowan ą na ok lat p.n.e. znaleziono w trakcie wykopalisk w obozowiskach ł owców mamutów w Dolních V ě stonicach na Morawach. Ko ść ta zawiera 57 kresek, z których pierwsze 25 jest zebrane w grupach po pi ęć kresek o równej d ł ugo ś ci, co mo ż e sugerowa ć liczenie odnosz ą ce si ę do pi ę ciu palców u d ł oni.

77 Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Kulturowe uwarunkowania matematykiKulturowe uwarunkowania matematyki Matematyka w ramach poszczególnych kultur Okres paleolitycznyOkres paleolityczny Okres historycznyOkres historyczny Okres staro ż ytnyOkres staro ż ytny Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.)Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.) Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.)Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.) Matematyka europejskaMatematyka europejska

78 Okres historyczny W okresie historycznym istnia ł o kilka du ż ych obszarów kulturowych które wykszta ł ci ł y swoje odr ę bne i jako ś ciowo ró ż ne matematyki. Najwa ż niejsze z nich to Mezopotamia, Egipt, Mezoameryka, Peru, Indie, Chiny, Grecja, Arabia i Europa. Dzieje matematyki sprz ę gaj ą si ę równie silnie z histori ą kultury jak i z histori ą pisma. Wynalazek pisma niezale ż nie pojawia si ę w Mezopotamii ok lat p.n.e. (pismo klinowe), w Egipcie ok lat p.n.e. (pismo hieroglificzne), prawdopodobnie w Peru ok lat p.n.e. (pismo w ę ze ł kowe), w Chinach ok lat p.n.e. (pismo na skorupie ż ó ł wia), w Indiach ok lat p.n.e. i w Mezoameryce ok. 900 lat p.n.e. Pismo zdecydowanie u ł atwi ł o prowadzenie matematycznych rachunków oraz przyspieszy ł o rozwój my ś li matematycznej w ramach poszczególnych kultur. W historii matematyki wielk ą rol ę odgrywa równie ż przep ł yw wiedzy pomi ę dzy kulturami. Nowo ż ytna europejska matematyka powsta ł a w oparciu o problemy i techniki matematyki greckiej oraz arabskiej. Ta pierwsza z kolei wynios ł a wa ż ne (cho ć z pewno ś ci ą tylko niektóre) idee z Egiptu i Mezopotamii, za ś ta druga wiele zawdzi ę cza matematyce Indii. Matematyka indyjska wnios ł a równie ż pewien wk ł ad do matematyki chi ń skiej. W tej sytuacji tylko matematyka kultur ameryka ń skich rozwija ł a si ę ca ł kiem oddzielnie, przy czym zwi ą zek pomi ę dzy matematyk ą mezoameryka ń sk ą a peruwia ń sk ą jest nieznany. Najwi ę kszy wk ł ad do wspó ł czesnej matematyki europejskiej mia ł y matematyka staro ż ytnej Grecji, ś redniowiecznej Arabii i Persji oraz Indii. W ł a ś nie w tych trzech kulturach (oraz w naszej) matematyka nie by ł a podporz ą dkowana praktyce, lecz stanowi ł a niezale ż ny przedmiot bada ń, twórczo ś ci i spekulacji. Podczas wykopalisk w mie ś cie Caral odkryto kipu datowane na ok lat p.n.e. Odkryto tak ż e znaki na skorupie ż ó ł wia datowane na 6000 lat p.n.e. Trudno jednak powiedzie ć czy mo ż na je okre ś li ć jako pismo. Natomiast z ok lat p.n.e. pochodz ą ś lady pisma w ę z ł owego, które funkcjonowa ł y jeszcze w czasach pisania Tao Te Ching (Dào dé j ī ng), czyli ok. 550 r. p.n.e. Ko ść z Ishango, ok lat p.n.e.

79 Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Kulturowe uwarunkowania matematykiKulturowe uwarunkowania matematyki Matematyka w ramach poszczególnych kultur Okres paleolitycznyOkres paleolityczny Okres historycznyOkres historyczny Okres staro ż ytnyOkres staro ż ytny Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.)Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.) Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.)Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.) Matematyka europejskaMatematyka europejska

80 Okres staro ż ytny Kultura doliny Indusu i kultura wedyjska (ok. XXIV – ok. III w.p.n.e.) Znaleziska archeologiczne pokaza ł y, ż e kultura ż yj ą ca w dolinie Indusu dysponowa ł a jednorodnym systemem miar i war. Odkryte odwa ż niki tworz ą zbiór wag o charakterze dziesi ę tnym: s ą to kolejno 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, i 500 jednostek. Podczas wykopalisk znaleziono tak ż e kilka skal do pomiaru d ł ugo ś ci. Jedn ą z nich by ł a skala dziesi ę tna której podstawow ą jednostk ą by ł o ok cm. Pomiary odkopanych budowli pokazuj ą ż e miary te by ł y precyzyjnie stosowane podczas konstrukcji budowli. Miarka z Lothal, pochodz ą ca z kultury doliny Indusu, ok lat p.n.e. Nie znane s ą do ko ń ca powody upadku kultury doliny Indusu. Móg ł by ć on spowodowany Przyczynami wewn ę trznymi, naturalnymi lub najazdem ludów Indo- Aryjskich z terytoriów dzisiejszego Iranu. Z pewno ś ci ą jednak w latach 1500 – 800 p.n.e. powstaje na tych terenach nowa kultura, której centralnym dzie ł em s ą Wedy, teksty o charakterze religijnym, zapisane wedyjskim sanskrytem. W ł a ś nie z nimi zwi ą zany jest dalszy rozwój matematyki w Indiach. Sulbasutry, b ę d ą ce przypisami do Wed, zawieraj ą praktyczne obliczenia matematyczne potrzebne do konstrukcji o ł tarzy. Znajduj ą si ę w nich mi ę dzy innymi okre ś lenia warto ś ci liczby π równe 25 / 8 (3.125), 900 / 289 ( ) i 1156 / 361 ( ). Natomiast przy okazji oblicze ń astronomicznych warto ść liczby π podana jest jako 339 / 108 (3.1389). W Wedach pojawiaj ą si ę równie ż wszystkie cztery operacje arytmetyczne (dodawanie, odejmowanie, mno ż enie i dzielenie), termin ganita oznaczaj ą cy nauk ę o liczeniu, a tak ż e system notacji liczb przy pomocy odpowiedników cyfr od 1 do 9. Indyjski system liczbowy rozwin ął si ę pod wp ł ywem chi ń skich pa ł eczek do liczenia (uk ł adanych w systemie dziesi ę tnym) oraz pod wp ł ywem pozycyjnego systemu Mezopotamii. W pó ź nej staro ż ytno ś ci Indii, tak samo jak w pó ź nym Babilonie, zacz ę to zostawia ć puste miejsce przy zapisie liczb zawieraj ą cych zero. W pisamach wedyjskich mamy tak ż e do czynienia z konkretnymi obliczeniami które dzi ś zapisaliby ś my w postaci ax 2 = c oraz ax 2 + bx = c, co oznacza ż e by ć mo ż e w kulturze wedyjskiej znano równie ż twierdzenie Pitagorasa. Pod koniec okresu wedyjskiego w matematyce indyjskiej (w Pracach Astronomicznych Zwanych siddhantami) pojawi ł a si ę idea funkcji sinus oraz innych funkcji trygonometrycznych. Rozwój liczb indyjskich od postaci Brahmi ok. 3 w. p.n.e., poprzez liczby Gupta, a ż do liczb Nagari ok. 11 w. n.e. Manuskrypt z Bakhsali, ok. 200 p.n.e. – ok. 200 n.e.

81 Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Kulturowe uwarunkowania matematykiKulturowe uwarunkowania matematyki Matematyka w ramach poszczególnych kultur Okres paleolitycznyOkres paleolityczny Okres historycznyOkres historyczny Okres staro ż ytnyOkres staro ż ytny Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.)Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.) Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.)Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.) Matematyka europejskaMatematyka europejska

82 Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres wczesnego ś redniowiecza cechowa ł si ę upadkiem religii braministycznej i rozwojem d ż inizmu oraz buddyzmu. Szczególnie wa ż ne miejsce w rozwoju matematyki hinduskiej w tym okresie ma d ż inizm. Znajomo ść sankhyany, tzn. nauki o liczbach sk ł adaj ą cej si ę z arytmetyki i astronomii, by ł a jedn ą z podstawowych umiej ę tno ś ci kap ł anów d ż inizmu, wymagan ą z przyczyn religijnych. W d ż inizmie wa ż n ą religijn ą rol ę odgrywa ł y wielkie liczby. Przyk ł adowo: rozwa ż ano okresy czasu shirsa prahelika sk ł adaj ą ce si ę z 756 * 1011 * dni. Okre ś lono równie ż liczb ę ludzi ż yj ą cych kiedykolwiek na ś wiecie jako równ ą Wszystkie liczby by ł y poklasyfikowane jako numerowalne, nienumerowalne i niesko ń czone. W pracach d ż inistów rozró ż nia si ę pi ęć ró ż nych rodzajów niesko ń czono ś ci: niesko ń czono ść w jednym i dwóch kierunkach, niesko ń czono ść powierzchni, niesko ń czono ść wsz ę dzie i niesko ń czono ść cykliczna, co wi ąż e si ę bezpo ś rednio z d ż inistycznymi koncepcjami religijnymi i kosmologicznymi (teoria karmy, ko ł o sams ā ry, koncepcja nirwany). D ż ini ś ci rozwin ę li równie ż dzia ł ania na u ł amkach, oraz jako prawdopodobnie pierwsi na ś wiecie odkryli równania czwartego stopnia. Ich prace nie s ą jednak jedynymi ś ladami matematyki tej epoki. Szczególnym znaleziskiem matematycznym z okresu wczesnego indyjskiego ś redniowiecza jest tzw. manuskrypt z Bakhshali, datowany na okres 200 p.n.e. – 200 n.e. Znajduj ą si ę w nim mi ę dzy innymi obliczenia równa ń liniowych z pi ę cioma niewiadomymi, metody przybli ż onego obliczania pierwiastków kwadratowych z dowolnych liczb dodatnich oraz liczby ujemne. W manuskrypcie z Bakhshali pojawia si ę po raz pierwszy zero, zapisywane jako kropka (w pó ź niejszych tekstach zero jest ju ż oznaczane jako owal). Z pewno ś ci ą w Indiach w 1 wieku n.e. system zapisu przy pomocy liczb od 1 do 9, b ę d ą cy bezpo ś rednim protoplast ą obecnego zapisu liczbowego, by ł ju ż dobrze rozwini ę ty.

83 Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Kulturowe uwarunkowania matematykiKulturowe uwarunkowania matematyki Matematyka w ramach poszczególnych kultur Okres paleolitycznyOkres paleolityczny Okres historycznyOkres historyczny Okres staro ż ytnyOkres staro ż ytny Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.)Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.) Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.)Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.) Matematyka europejskaMatematyka europejska

84 Okres klasyczny (ok. 400 n.e. – ok n.e.) Matematycy okresu klasycznego byli przede wszystkim astronomami. Ich prace i poruszane w nich problemy w wi ę kszo ś ci wypadków pozostawa ł y w zwi ą zku z astronomi ą. Pierwszym wielkim matematykiem tego okresu by ł Aryabhata ( ), który w poetyckim astronomicznym traktacie Aryabhatiya dokona ł podsumowania ca ł ej wiedzy d ż inistycznej matematyki. Co wa ż ne, w pracy tej, tak jak w wi ę kszo ś ci ca ł ej indyjskiej matematyki wszystkich epok (z wy łą czeniem kilku wyj ą tków) nie wyst ę puj ą dowodu ani nawet idea dowodu matematycznego. Tematy poruszane w tym dziele to przede wszystkim arytmetyka, trygonometria (mi ę dzy innymi tabela warto ś ci funkcji sinus), oraz zagadnienia zwi ą zane z pierwiastkowaniem i równaniami kwadratowymi. Poda ł on tak ż e rozwi ą zanie równania ax – by = c oraz warto ść π = , przy czym zaznacza ż e warto ść ta jest tylko przybli ż eniem. Co ciekawe, Aryabhata zaproponowa ł równie ż ż e dzienny obrót niebios wynika z obrotu Ziemi wokó ł swej osi, za co oczywi ś cie zosta ł silnie skrytykowany. Bezdyskusyjnie jednak Aryabhatiya sta ł a si ę punktem doniesienia wielu hinduskich prac matematycznych przez nast ę pne tysi ą c lat. Drugim wielkim indyjskim matematykiem by Brahmagupta ( ), autor dzie ł Brahmasphutasiddhanta oraz Khandakhayaka, które mia ł y wielki wp ł yw na pó ź niejsz ą matematyk ę zarówno Indii, jak i Arabii, a w pewnym stopniu równie ż Chin. Brahmagupta posiad ł zrozumienie systemu liczbowego ( ł acznie z dzia ł aniem na u ł amkach oraz na liczbach ujemnych, które oznacza ł przy pomocy kropki stawianej nad liczb ą ) wi ę ksze ni ż ktokolwiek przed nim, wprowadzi ł nowe techniki mno ż enia i operacje z u ż yciem zera. By ł on prawdopodobnie pierwszym który próbowa ł dzieli ć przez zero, próbuj ą c dowie ść ż e n/0 =. Poda ł te ż nowe metody liczenia pierwiastków kwadratowych i rozwi ą zywania równa ń kwadratowych, w tym równania Nx = y 2, a tak ż e wzór na pole czworok ą ta wpisanego w okr ą g.

85 Pó ź niejsze wieki cechowa ł bujny rozwój matematyki w kierunkach zgodnych z tematyk ą dzie ł Aryabhaty i Brahmagupty. Oko ł o roku 850 Mahavira napisa ł tekst Ganitasar Sangraha, który jest piewszym dzie ł em opisuj ą cym arytmetyk ę w formie zbli ż onej do tej jakiej u ż ywamy dzisiaj. By ł on równie ż jedynym matematykiem indyjskim który wspomina o elipsie (tematyka krzywych sto ż kowych, intensywnie badana w Grecji i Europie, w Indiach praktycznie nie by ł a poruszana). Za najwi ę kszego hinduskiego matematyka jest uznawany Bh ă skara A ć arja (zwany równie ż Bh ă skar ą II), ż yj ą cy w latach Oko ł o roku 1150 napisa ł on poetyckie dzie ł o Siddhanta ś iromani, b ę d ą ce kompendium wiedzy matematycznej, astronomicznej i astrologicznej. Sk ł ada ł o si ę ono z kilku cz ęś ci. Cz ęść tego dzie ł a po ś wi ę cona w du ż ym stopniu arytmetyce nazywa ł a si ę Lilawati, za ś cz ęść po ś wi ę cona algebrze Bid ź aganita. W Lilawati korzysta si ę z definiowania poj ęć matematycznych, opisane s ą w ł asno ś ci zera ( łą cznie z dzieleniem), systematyczne regu ł y arytmetyczne, oraz ci ą gi arytmetyczne i geometryczne, a tak ż e oszacowanie liczby π 3, Oprócz wielu innych osi ą gni ęć matematycznych, Bh ă skara A ć arja rozwi ą za ł równanie 61x 2 = y 2 + 1, otrzymuj ą c spektakularny wynik x = , y =

86 Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Kulturowe uwarunkowania matematykiKulturowe uwarunkowania matematyki Matematyka w ramach poszczególnych kultur Okres paleolitycznyOkres paleolityczny Okres historycznyOkres historyczny Okres staro ż ytnyOkres staro ż ytny Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.)Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.) Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.)Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.) Matematyka europejskaMatematyka europejska

87 Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.) Ostatni ą wybitn ą postaci ą Hinduskiej matematyki by ł Madhawa, ż yj ą cy w latach Wymy ś li ł on rozwini ę cie funkcji w niesko ń czony szereg (odkryte ponownie w Europie w XVIII wieku i zwane dzisiaj szeregiem Taylora) oraz poda ł rozwini ę cie liczby π w niesko ń czony szereg π = 4 * (1 – 1/3 + 1/5 –...), co prowadzi do warto ś ci π = , poprawnej a ż do 13 miejsca po przecinku (w pó ź niejszym okresie za ł o ż ona przez niego szko ł a matematyków z Kerali poprawi ł a ten wynik do 17 miejsca po przecinku). Oto niektóre spo ś ród podanych przez Madhaw ę wzorów (zapisane we wspó ł czesnej symbolice): Finalnym sukcesem szko ł y z Kerali by ł o dzie ł o Yuktibhasa Jyestadevy ( ), w którym pojawia si ę indyjska wersja rachunku ró ż niczkowo-ca ł kowego, ponad sto lat przed Newtonem i Leibnizem.

88 Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Literki, s ł owa, zdania, czyli jak to z t ą matematyk ą by ł o Kulturowe uwarunkowania matematykiKulturowe uwarunkowania matematyki Matematyka w ramach poszczególnych kultur Okres paleolitycznyOkres paleolityczny Okres historycznyOkres historyczny Okres staro ż ytnyOkres staro ż ytny Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres wczesnego ś redniowiecza (ok. 300 p.n.e. – ok. 400 n.e.) Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.)Okres klasyczny ( ok. 400 n.e. – ok n.e.) Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.)Pó ź ne ś redniowiecze (ok n.e. – 1596 n.e.) Matematyka europejskaMatematyka europejska

89 Matematyka europejska Wraz ze zmierzchem staro ż ytno ś ci wiedza matematyczna Greków zosta ł a w Europie zatracona. Korzystano wprawdzie z operacji dodawania, odejmowania, dzielenia i mno ż enia (przy pomocy cyfr rzymskich), lecz zapisywano je s ł ownie. Znano równie ż ju ż tylko elementarn ą geometri ę. W ł a ś ciwa historia matematyki europejskiej rozpoczyna si ę dopiero wraz z obszernymi ł aci ń skimi t ł umaczeniami dzie ł arabskich w XII i XIII wieku, zw ł aszcza prac Al-Chuwarizmiego, w Hisab al-jabr wal-muqabala ( ł ac. Liber algebra et almucubala) oraz Kitab al-Adad al- Hindi ( ł ac. Algoritmi de numero Indorum). W tym samym czasie prze ł o ż ono na ł acin ę szereg greckich i hebrajskich r ę kopisów matematycznych. W roku 1202 Leonard z Pizy (zw. Fibbonaccim) wyda ł ksi ę g ę Liber Abaci. Fibonacci sp ę dzi ł du żą cz ęść m ł odo ś ci w pó ł nocnej Afryce, gdzie uczy ł si ę arabskiego i studiowa ł arabsk ą matematyk ę. Liber Abaci wprowadza obliczenia wykonywane na liczbach hinduskich u ż ywanych podówczas przez Arabów. Tekst ten zawiera mi ę dzy innymi opis mno ż enia w s ł upku, dzia ł ania na u ł amkach, chi ń skie twierdzenie o resztach (chi ń ski problem reszty), oraz zagadnienia zwi ą zane z liczbami doskona ł ymi. Liber Abaci jest uznawane za pierwsze istotne europejskie dzie ł o matematyczne. Potrzebne jednak by ł o kilka wieków aby europejska matematyka nabra ł a wiatru w skrzyd ł a. Przyk ł adowo, znaki + oraz – pojawiaj ą si ę w matematyce europejskiej dopiero pod koniec XV wieku, zaczerpni ę te z notacji stosowanej przez kupców (notabene, w Europie przez bardzo d ł ugi czas traktowano liczby ujemne jako fikcyjne, czy te ż fa ł szywe), za ś systematycznego ustalenia symboliki i notacji w algebrze dokonano dopiero pod koniec XVI wieku. W XVI wieku zosta ł y prze ł o ż one i wydane dzie ł a Archimedesa, które spowodowa ł y silny ferment intelektualny, opozycyjny wobec dotychczasowej dominacji dzie ł Arystotelesa i scholastyków

90 Intelektualny klimat renesansu powodowa ł wielkie zainteresowanie my ś l ą staro ż ytnej Grecji. Wskutek tego europejska matematyka zacz ęł a si ę rozwija ć na dwoistej bazie wp ł ywów arabskiej arytmetyki i algebry oraz greckiej geometrii. Pierwsze istotne dokonania matematyczne europejczyków, b ę d ą ce zreszt ą pod wyra ź nym wp ł ywem arabskiej algebry, datuj ą si ę na renesansowe W ł ochy wieku XV i XVI. Pod koniec wieku XV Scipione del Ferro znalaz ł ogólne rozwi ą zanie równania trzeciego stopnia. Swoj ą tajemnic ę wyjawi ł on dopiero na ł o ż u ś mieci swoim uczniom, Hannibalowi della Nave oraz Antonio Mario Fiorowi. Korzystaj ą c z metody del Ferro, Fior wygra ł kilka turniejów matematycznych, przegrywaj ą c jednak w roku 1535 z Niccolò Fontan ą, zwanym Tartagli ą, czyli j ą ka łą. Tartaglia by ł matematycznym samoukiem. Dokona ł on mi ę dzy innymi pierwszych w ł oskich t ł umacze ń Euklidesa i Archimedesa. Turniej pomi ę dzy Fiorem a Tartagli ą trwa ł 50 dni. Czterdziestego drugiego dnia turnieju Tartaglia dokona ł tego samego odkrycia co Scipione del Ferro i wygra ł konkurs. Nieco pó ź niej Gerolamo Cardano wyprosi ł u Tartaglii sekret jego metody pod przysi ę g ą ż e nigdy nie ujawni tej tajemnicy. Gdy jednak w roku 1543 Cardano wraz ze swoim uczniem Lodovico Ferrarim odwiedzi ł Hannibala della Nave i dowiedzia ł si ę o pierwsze ń stwie Scipione del Ferry, zdecydowa ł si ę opublikowa ć zarówno metod ę del Ferry – Tartaglii, jak i odkryt ą przez Ferrariego w 1540 roku metod ę rozwi ą zania równa ń czwartego stopnia. Wydane w roku 1545 dzie ł o Gerolamo Cardana Ars Magna spowodowa ł o wielki ż al i z ł o ść u Tartaglii, który oskar ż y ł Cardano o plagiat. Tartaglia wyzwa ł Cardana w 1548 roku na turniej, na który ten nie raczy ł si ę pofatygowa ć, przysy ł aj ą c Ferrariego. Tartaglia przegra ł ten turniej. Ironi ą historii jest fakt, ż e metoda któr ą niezale ż nie odkryli del Ferro i Fontana/Tartaglia nazywa si ę dzi ś metod ą Cardana. Pocz ą tkiem nowo ż ytnej matematyki jest wiek XVII, w którym nagle i silnie wy ł ania si ę odr ę bny charakter europejskiej matematyki. W tym wieku powstaje geometria analityczna stworzona przez René Descartesa oraz Pierre'a de Fermata, rachunek ró ż niczkowo-ca ł kowy, stworzony przez Isaaka Newtona i Gottfrieda Wilhema Leibniza oraz rachunek prawdopodobie ń stwa, stworzony przez Pierre'a de Fermata oraz Blaise'a Pascala. Prace wszystkich tych autorów s ą naznaczone ś cieraniem si ę idei geometrycznych staro ż ytnej.

91 Arabska trygonometria, wywodz ą ca si ę w wi ę kszym stopniu z opartej na funkcji sinus trygonometrii hinduskiej, ni ż z opartej na ci ę ciwie trygonometrii hellenistycznej, wywar ł a wp ł yw w pierwszej kolejno ś ci na astronomów, znajduj ą c wa ż ne miejsce w matematyce dopiero w okolicach XVII wieku. Giacomo Cardano Grecji z ideami arytmetycznymi i algebraicznymi Arabów. Jednak pomimo braku ustalonego j ę zyka (który zosta ł sformu ł owany dopiero w wieku XVIII), wszystkie te trzy teorie sta ł y si ę podstaw ą wspó ł czesnej matematyki. Równie ż w tym wieku John Napier wymy ś li ł logarytmy, które zosta ł y pó ź niej rozpropagowane przez Henry'ego Briggsa. Jedne z najwa ż niejszych matematycznych dzie ł tego wieku to z pewno ś ci ą Methodus fluxionum et serierum infinitarum oraz De quadratura curvarum Newtona, w którym wyk ł ada on metod ę flusji, czyli swoj ą wersj ę rachunku ró ż niczkowo-ca ł kowego, oraz traktat La géométrie Descartesa, w którym przedstawia on swoj ą geometri ę analityczn ą. Dopiero w nast ę pnym wieku, który cechuje bujny rozwój mechaniki teoretycznej (wywodz ą cej si ę z geometrii analitycznej, rachunku ró ż niczkowo-ca ł kowego, oraz mechaniki Newtona), ostatecznie formuje si ę kszta ł t europejskiej matematyki, opartej przede wszystkim na poj ę ciu funkcji.

92 S ł ynnymi twórcami mechaniki teoretycznej byli Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, oraz Pierre-Simon Laplace. Najwi ę kszym matematykiem XVIII wieku i jednym z najwi ę kszych matematyków w historii ludzko ś ci by ł z pewno ś ci ą Leonhard Euler. Dokona ł on nie tylko wielu odkry ć, lecz równie ż stworzy ł nowe dzia ł y matematyki, rachunek wariacyjny oraz geometri ę ró ż niczkow ą, a tak ż e wprowadzi ł charakterystyczne dla matematyki europejskiej poj ę cie funkcji oraz standaryzowa ł wiele matematycznych okre ś le ń. To w ł a ś nie Euler wprowadzi ł oznaczenie i oznaczaj ą ce pierwiastek z liczby –1, oraz oznaczenie e dla badanej przez Bernoulliego, Leibniza i Napiera liczby 2, , jak równie ż poda ł jeden z najs ł ynniejszych wzorów wszechczasów, łą cz ą cy w sobie wszystkie najwa ż niejsze sta ł e matematyczne: 0, 1, π, i, oraz e: E Iπ 1=0. Wiek XIX cechuje du ż y wzrost abstrakcyjno ś ci matematyki, po łą czony z jednoczesnym powstawaniem nowych dziedzin matematycznych. Évariste Galois (zmar ł y w wieku 21 lat) oraz i Niels Henrik Abel (zmar ł y w wieku 26 lat) badali rozwi ą zania równa ń stopnia wy ż szego ni ż czwarty, co doprowadzi ł o do powstania i rozwoju teorii grup oraz teorii równa ń algebraicznych. Augustin Louis Cauchy oraz Karl Weierstraß stworzyli podstawy teorii granicy funkcji oraz (wraz z Carlem Friedrichem Gaußem) teorii funkcji analitycznych, czyli ró ż niczkowalnych funkcji na zmiennych zespolonych. W geometrii Niko ł aj Ł obaczewski i niezale ż nie János Bolyai wykazali ż e V aksjomat Euklidesa jest niezale ż ny od pozosta ł ych i ż e istniej ą geometrie nie spe ł niaj ą ce tego warunku. Konsekwencj ą ich odkry ć by ł o sformu ł owanie przez Bernharda Riemanna nowej teorii geometrycznej (zwanej dzi ś geometri ą Riemanna), znacznie ogólniejszej od geometrii Euklidesowej. W ten sposób matematyka europejska przekroczy ł a swoje korzenie równie ż w geometrii, gdy ż geometria riemannowska oparta by ł a na teorii funkcji i geometrii ró ż niczkowej, dziedzinach bardzo odleg ł ych od euklidesowego studiowania wymiernych proporcji mi ę dzy odcinkami. Geometria Riemanna sta ł a si ę pó ł wieku pó ź niej podstaw ą matematyczn ą ogólnej teorii wzgl ę dno ś ci Einsteina.

93 Za najwi ę kszego matematyka XIX wieku uznaje si ę powszechnie Carla Friedricha Gaußa, Geniusza Matematycznego Zwanego ksi ę ciem matematyki, który dokona ł wielkiej liczby odkry ć mi ę dzy innymi w teorii liczb, analizie, geometrii ró ż niczkowej, a takze w badaniach magnetyzmu, w geodezji, oraz w optyce. Swoje wielkie dzie ł o Disquisitiones Arithmeticae po ś wi ę cone teorii liczb Gauss napisa ł maj ą c jedynie 21 lat. Scali ł w nim dokonania Fermata, Eulera, Lagrange'a i Legendre'a, dodaj ą c wiele oryginalnych twierdze ń i obserwacji. W tym samym roku udowodni ł równie ż podstawowe twierdzenie algebry (mówi ą ce, ż e równanie algebraiczne stopnia n ma n rozwi ą za ń zespolonych). Pod koniec XIX wieku Georg Cantor stworzy ł teori ę mnogo ś ci. Cantor odkry ł ż e w jego teorii zbiory mog ą posiada ć niesko ń czono ś ci ró ż nego rodzaju: czym innym jest niesko ń czono ść która pojawia si ę u liczb naturalnych 1, 2, 3, 4,..., a czym innym jest niesko ń czono ść liczb rzeczywistych. Badania te doprowadzi ł y do rozwa ż ania niesko ń czonej liczby ró ż nych niesko ń czono ś ci, indeksowanych przy pomocy hebrajskiej litery alef. Niesko ń czono ść zwi ą zana z liczbami naturalnymi oznaczona zosta ł a jako א z indeksem zero – co oznacza najmniejsz ą z niesko ń czono ś ci. W wieku XX matematyka sta ł a si ę dziedzin ą bardzo rozleg łą, cz ę stokro ć nie obejmowan ą ju ż przez samych matematyków. G ł ównymi zjawiskami w tym czasie sta ł y si ę z pewno ś ci ą rozwój metod analitycznych z jednej strony oraz algebraicznych z drugiej. W pierwszej po ł owie XX wieku silnie zaznaczy ł a si ę tendencja do sprowadzenia podstaw matematyki do logiki i operacji gramatycznych na znakach, nad czym pracowali mi ę dzy innymi Bertrand Russell oraz David Hilbert (tzw. program Hilberta mia ł na celu w ł a ś nie formalizacj ę matematyki). Jednak pracom tym ostateczny kres po ł o ż y ł y twierdzenia Kurta Gödla, który wykaza ł (mówi ą c w skrócie), ż e tego typu dzia ł alno ść jest skazana na fiasko. Dziedzin ą matematyki powsta łą w XX wieku, która od razu zyska ł a ogromne znaczenie, jest topologia, rozwa ż aj ą ca takie w ł asno ś ci przestrzeni, które nie zmieniaj ą si ę przy ich wyginaniu i rozci ą ganiu. W drugiej po ł owie wieku XX bardzo silnie rozwin ęł a si ę abstrakcyjna algebra, łą cz ą c si ę zarówno z badaniem problemów geometrycznych (jako geometria algebraiczna) jak i topologicznych (topologia algebraiczna). W obydwu tych dziedzinach bardzo istotn ą rol ę pe ł ni teoria kategorii, która bada ogólne przekszta ł cenia mi ę dzy obiektami zachowuj ą ce struktur ę tych obiektów. Ze wzgl ę du na ró ż norodno ść oraz specjalistyczno ść najnowszej wiedzy trudno j ą uj ąć syntetycznie w skrócie zrozumia ł ym dla osoby postronnej.

94 Ogólnie jednak mo ż na powiedzie ć, ż e wiek XX nacechowany jest wybitn ą abstrakcyjno ś ci ą badanych zagadnie ń matematycznych, odkrywaniem wielu powi ą za ń pomi ę dzy ró ż nymi dziedzinami wiedzy matematycznej, odrywaniem si ę nowych dyscyplin i specjalizacj ą bada ń, a tak ż e powstaniem dziedzin które badaj ą ogólne struktury w ramach których mog ą istnie ć obiekty matematyczne (teoria grup, a zw ł aszcza teoria kategorii). Po ś ród wielkich matematyków dwudziestego wieku z pewno ś ci ą nale ż y wymieni ć Alexandra Grothendiecka, który w latach sze ść dziesi ą tych zrewolucjonizowa ł topologi ę i geometri ę algebraiczn ą, oraz Sriniv ā s ę Aiyang ā ra R ā m ā nujana, genialnego indyjskiego samouka, który odkry ł ponownie wielkie po ł acie wspó ł czesnej matematyki europejskiej, a tak ż e stworzy ł teori ę funkcji modularnych Natomiast wiek XXI wci ąż jest nieznany…

95 Wp ł yw wykopalisk na rozwój matematyki Staro ż ytne kultury Mezopotamia Egipt Prehistoria

96 Co ś dla poetów: czyli ż artobliwie o liczbach Kiedy siedzisz przy zadaniu, nigdy nie my ś l o kochaniu, bo kochanie bardzo szkodzi, kiedy si ę na matm ę chodzi. Jab ł ko i gruszk ę mo ż na zje ść, 7 x 8 jest 56. Nigdy nie dziel przez zero, bo to zawsze szkodzi kiedy si ę na matm ę chodzi. Je ś li umiesz mno ż y ć, dzieli ć mo ż esz si ę weseli ć, bo na pewno od pani nie dostaniesz z matmy "bani". Odejmujesz i dodajesz- m ą drym si ę stajesz. Kto pierwsze dzia ł ania w nawiasach wykonuje, ten szóstki i laury kolekcjonuje. K ą ty proste, wzd ł u ż i wszerz tyle samo- przecie ż to kwadrat, mamo!

97 Rozci ą gnij kwadrat, Janie, a rombem on si ę stanie. Po dwa boki takie same, proste k ą ty to s ą w ł a ś nie prostok ą ty. Gdy boki w prostok ą cie prostopadle si ę nie trzymaj ą, to równoleg ł obok daj ą. O ś liczbowa- linia ze strza ł k ą, zerem i miark ą. Mno ż enie u ł amków- nic prostszego: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik, mój kolego. Równania- skondensowana tre ść zadania. Chcesz by ć in ż ynierem, architektem, informatykiem- musisz by ć dobrym matematykiem.

98 Gdzie kucharek sze ść, tam nie ma co je ść. Gdzie dwóch Polaków, tam trzy zdania. Chciwy dwa razy traci. Gdzie dwóch si ę bije, tam trzeci korzysta. Lepiej dziesi ęć razy ci ęż ko chorowa ć, ni ż raz lekko umrze ć. Od fa ł szywego m ę drca zachowaj nas, Panie, jeden za stu g ł upców stanie. Pierwsza wina darowana, druga wymawiana, trzecia obijana. Trudno z jednego wo ł u dwie skóry zedrze ć. Trzy rzeczy miej w pami ę ci: ś mier ć, przyja źń, dobrodziejstwo. M ą drej g ł owie do ść dwie s ł owie. Serce jednej kobiety widzi wi ę cej ni ż oczy dziesi ę ciu m ęż czyzn. Ka ż dy kij ma dwa ko ń ce. Kiedy Medard (8 VI) si ę rozwodni, b ę d ą deszcze sze ść tygodni. Kto dwa zaj ą ce goni, ż adnego nie uchwyci. Kto ś piewa, dwa razy si ę modli. Za grosz kup, za trzy we ź b ę dziesz mia ł i wie ś. Jedna jaskó ł ka wiosny nie czyni. Kara na jednego, strach na wszystkich.

99 Nie czy ń drugiemu, co tobie nie mi ł e. Niejedne s ą ludzkie losy: jedni torby d ź wigaj ą, drudzy nosz ą trzosy. Dwóch panów w domu by ć nie mo ż e. Ciekawo ść to pierwszy stopie ń do piek ł a. Swoje trzy grosze ka ż dy uwa ż a za najlepsz ą monet ę. Je ś li si ę nie chce zrobi ć tego jednego kroku mo ż na ca ł e ż ycie przesta ć na jednej nodze. Pokorne ciel ę dwie matki ssie. Czterdziestu M ę czenników (10 III) jakich, czterdzie ś ci dni takich. Jedna bieda nie dokuczy, jedno szcz ęś cie nie utuczy. Dlatego dwie uszy, jeden j ę zyk dano, i ż by mniej mówiono, a wi ę cej s ł uchano. Ka ż dy m ł ynarz na swoje ko ł o wod ę prowadzi. A ż eby by ć szcz ęś liwym, dodawaj do tego, co masz i odejmuj od tego, co pragniesz. Nie dziel skóry na nied ź wiedziu. Fortuna ko ł em si ę toczy

100 Ankieta


Pobierz ppt "Magia Matematyki Czyli jak powsta ł ś wiat. Matematyka Matematyka to….."

Podobne prezentacje


Reklamy Google