Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Barbara Szyszka Tematyka zajęć Równania nieliniowe (met. bisekcji, Newtona), Całkowanie numeryczne (met. proste i złożone trapezów i Simpsona), Różniczkowanie.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Barbara Szyszka Tematyka zajęć Równania nieliniowe (met. bisekcji, Newtona), Całkowanie numeryczne (met. proste i złożone trapezów i Simpsona), Różniczkowanie."— Zapis prezentacji:

1 Barbara Szyszka Tematyka zajęć Równania nieliniowe (met. bisekcji, Newtona), Całkowanie numeryczne (met. proste i złożone trapezów i Simpsona), Różniczkowanie numeryczne, Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych (met. Eulera i Rungego-Kutty), Interpolacja wielomianowa, LITERATURA 1.Kincaid, Cheney, Analiza numeryczna, WNT, 2.Fortuna, Macukow, Wąsowski, Metody numeryczne WNT, 3.Marlewski, Podstawowe metody numeryczne dla studentów kierunków inżynierskich, ARTPRESS, 4.Björck, Dahlquist, Metody numeryczne, PWN Warszawa, 1

2 Gdy liczbę rzeczywistą x przybliżamy inną liczbą x*, to błąd bezwzględny i względny tego przybliżenia są z definicji równe błąd bezwzględny: W pomiarach niemal zawsze jest istotny błąd względny. Przykład 1.2 Dla błędu bezwzględnego ważny jest rząd wielkości elementów, np.: x= , x*= , bb= , bw ≈ x=13.42, x*=13.43, bb=0.01, bw ≈ x=1342, x*=1343, bb=1, bw ≈ x= , x*= , bb=1000, bw ≈ błąd względny dla x ≠ 0: 2Metody numeryczneB. Szyszka

3 Barbara Szyszka Rozwiązywanie równań nieliniowych. Równania nieliniowe z jedną niewiadomą: Metoda stycznych (Newtona) Metoda bisekcji (połowienia) Układy równań nieliniowych: Metoda stycznych (Newtona) 3

4 Barbara Szyszka Dane jest równanie postaci (1) f(x) = 0 Założenia: funkcja f(x) jest określona i ciągła w danym przedziale. w przedziale powinien znajdować się jeden pierwiastek pojedynczy, wartości funkcji f(x) na końcach przedziału powinny mieć różne znaki: f(a) · f(b) ≤ 0. Zadanie polega na znalezieniu przybliżonej wartości pierwiastka równania (1) wybraną metodą iteracyjną. Warunki zbieżności: pierwsza pochodna funkcji f ma stały znak w przedziale, druga pochodna funkcji f ma stały znak w przedziale. Założenia te są potrzebne do oszacowania błędu, umożliwiają ustalenie stałego punktu iteracji (np. w met. Newtona) oraz gwarantują istnienie dokładnie jednego pierwiastka w przedziale. 4

5 Barbara Szyszka metoda połowienia (bisekcji) Przedział dzielimy na połowy punktem (2) Jeżeli f(x 1 ) = 0, to x 1 jest szukanym pierwiastkiem równania (1), jeżeli nie, wówczas z przedziałów i wybieramy ten, na końcach którego funkcja f(x) ma różne znaki, tzn. spełniony jest jeden z warunków: f(a) · f(x 1 ) < 0 lub f(x 1 ) · f(b) < 0. Uzyskany przedział dzielimy ponownie na połowy i sprawdzamy wartość funkcji f(x) w punkcie środkowym tego przedziału - x 2. W przypadku gdy f(x 2 ) ≠0 wybieramy nowy przedział badając znaki funkcji f(x) na końcach nowych przedziałów. Proces ten powtarzamy tak długo, aż otrzymamy rozwiązanie dokładne f(x n ) = 0, lub osiągnięta zostanie wymagana dokładność rozwiązania. 5

6 Barbara Szyszka Przykład 1 Znaleźć pierwiastek równania x 2 -4=0 w przedziale. x 1 =2.5 f(x 1 )>0  x 2 =1.75 f(x 2 ) x 3 =2.125 f(x 3 )>0  x 4 = f(x 4 ) x 5 = f(x 5 )>0  x 6 = f(x 6 ) … 6

7 Barbara Szyszka Przykład 2 Znaleźć miejsce zerowe funkcji f(x)=x 2 -2 w przedziale. (rozw≈ ) x 1 =2.5 f(x 1 )>0  x 2 =1.75 f(x 2 )>0  x 3 =1.375 f(x 3 ) x 4 = f(x 4 )>0  x 4 = f(x 5 )>0  x 4 = f(x 6 )>0  x 4 = f(x 7 ) … 7

8 Barbara Szyszka metoda stycznych (Newtona) Jako pierwsze przybliżenie pierwiastka przyjmujemy ten koniec przedziału, w którym funkcja f i jej druga pochodna mają ten sam znak, tzn. gdy f(x 0 ) · f ”(x 0 ) ≥ 0, gdzie x 0 = a lub x 0 = b. Z wybranego końca prowadzimy styczną do wykresu funkcji y = f(x). Punkt x 1, będący punktem przecięcia stycznej z osią OX jest kolejnym przybliżeniem pierwiastka. Jeżeli otrzymane w ten sposób przybliżenie jest za mało dokładne, to z punktu o współrzędnych (x 1, f(x 1 )) prowadzimy następną styczną. Punkt x 2, w którym styczna przecina się z osią OX jest kolejnym przybliżeniem. Proces iteracyjny kończymy, gdy uzyskamy rozwiązanie p z zadaną dokładnością. Wzór określający kolejne przybliżenia szukanego rozwiązania: (2) Jest to zbieżny ciąg przybliżeń malejący (x n < x n-1 ) lub rosnący (x n > x n-1 ) i ograniczony z dołu lub z góry. 8 xnxn x n-1 xp f(x)f(x)

9 Barbara Szyszka Przykład Znaleźć metodą Newtona rozwiązanie równania x 2 -4=0 w przedziale. x 0 =4, x 1 =2.5, x 2 =2.05, x 3 = , x 4 =2, x 5 =2. Sprawdzić, czy uzyskamy pierwiastek startując z punktu x 0 =1? Przykład Znaleźć metodą Newtona rozwiązanie równania x 2 -2=0 w przedziale. x 0 =4, x 1 =2.25, x 2 = , x 3 = , x 4 = , x 5 = , x 6 = Przykład (Rozbieżność metody Newtona) Znaleźć rozwiązanie równania SIN(1-x4)=0 startując z punktu x0=0.1. [0.1, , , , , , , ] Ale SIN( ^4 + 1) ≈ ≠ 0 Zalety metody Newtona: szybka zbieżność, możliwość znalezienia pierwiastka, bez konieczności sprawdzania jakichkolwiek warunków zbieżności. Wady metody: wymagana znajomość pochodnej funkcji f. 9

10 Barbara Szyszka Warunki zakończenia metod: maksymalna liczba kroków M, Przykłady rozbieżności metod: 1. gdy wartość funkcji w dowolnym kolejnym przybliżeniu pierwiastka znajdzie się w miejscu, gdzie wykres funkcji jest prawie płaski, styczna przetnie oś OX daleko od pierwiastka. 2.Znaleźć metodą Newtona rozwiązanie równania SIN(1-x 4 )=0 startując z punktu x 0 =0.1. x 0 =0.1, x 1 = , x 2 = Ale SIN( ^4 + 1) ≈ ≠ 0 3.gdy wykres w pobliżu pierwiastka jest płaski – może być pierwiastek wielokrotny. Metoda bisekcji z trudem wyznacza taki pierwiastek z dużą precyzją 4.gdy funkcja jest nieciągła sprawdzenie tego w praktyce (podczas obliczeń) jest trudne. 10

11 Barbara Szyszka Przykład 3 11 f(x)=x- cos(x) Metoda Newtona: x0=1, x1= , x2= , x3= , x4= , x5= , x6= , x7=

12 Barbara Szyszka Numeryczne rozwiązywanie układów równań nieliniowych Metoda stycznych (Newtona) Dany jest układ n-równań nieliniowych z n-niewiadomymi (1) który można zapisać w postaci wektorowej (2) F(X)=0, gdzie Zakładamy, ze funkcje F(X) mają ciągłe pochodne co najmniej I rzędu w pewnym obszarze, zawierającym odosobniony pierwiastek układu (1). Szukamy takiego wektora rozwiązań dla którego F(α)=0. Oznaczenia: indeks górny (x 1 ) – numer iteracji, indeks dolny (x 1 ) – numer współrzędnej wektora X, f 1 – numer współrzędnej wektora F (funkcji ). 12

13 Barbara Szyszka Dla układu równań liniowych A·x=b (lub F·x=0, F(x)=0) zakładamy istnienie i jednoznaczność rozwiązania, tzn. det(A) ≠ 0. Gdy odwzorowanie F jest nieliniowe warunki istnienia rozwiązania układu równań (2) są znacznie trudniejsze do sprawdzenia, więc zakładamy istnienie rozwiązania α układu równań (2) i ograniczamy się do poszukiwania rozwiązania α. W obliczeniach numerycznych konstruujemy ciąg wektorów X 0, X 1, …, X n zbieżny do rozwiązania α układu równań (2). Metoda stycznych (Newtona) Twierdzenie 1 Jeżeli funkcja F jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu rozwiązania α, gdzie F(α)=0, pochodna F’(X) jest ciągła w α, pochodna F’(α) jest nieosobliwa, tzn. det(F’(α) )≠0 wówczas α jest punktem ≡wektorem przyciągania metody Newtona: (3) Metoda Newtona jest lokalnie zbieżna, o ile wektor początkowy jest dostatecznie bliski wektorowi rozwiązań α. 13

14 Barbara Szyszka We wzorze (3) macierz F’(X) jest macierzą Jacobiego J o elementach: (4) Aby uniknąć obliczania macierzy odwrotnej po przekształceniu metoda (3) będzie postaci: (5) J(X k-1 )·H k-1 = - F(X k-1 ) gdzie wektor H jest rozwiązanie układu równań liniowych (6) X k = X k-1 + H k-1. 14

15 Barbara Szyszka ALGORYTM: Aby rozwiązać układ równań nieliniowych F(X)=0 należy: DANE: max. liczba iteracji N wektor przybliżeń początkowych dokładność ε rozwiązania dla każdego elementu wektora X WYNIK: przybliżony wektor rozwiązań lub informacja o braku rozwiązania np. o przekroczeniu max. liczby iteracji, lub det(J(X k ) )=0 ROZWIĄZANIE: k=1,2,…,N: 1.obliczyć F(X k-1 ) 2.wyznaczyć macierz Jacobiego (4) 3.wyznaczyć wektor H k-1 rozwiązując układ równań liniowych postaci (5) J(X k-1 )·H k-1 =- F(X k-1 ) 4.obliczyć kolejne przybliżenia wektora rozwiązań ze wzoru (6) X k = X k-1 + H k-1 5.jeżeli || H k-1 || ≤ ε, to ostatni wyliczony wektor X k jest szukanym rozwiązaniem, w przeciwnym przypadku k=k+1 i wykonujemy kroki

16 Barbara Szyszka Zadania: 1.Równanie Keplera (orbity planet): x=a+b*sin(x), dla różnych parametrów a i b, np. a=0 i b=4 2. dyfrakcja światła: x = tan(x), trzy pierwiastki w okolicy 0, 3. e x = sin(x), pierwiastek najbliższy 0, wielomian Wilkinsona dla dowolnego n (stosowany przy obliczaniu wartości własnych) : sprawdzić, jakość otrzymanych wyników, gdy zaburzymy np. jeden współczynnik, np. zmieniając współczynnik przy x^9 lub przy x^2 np. o eps=10^(-3); czy rozwiązanie zmienia się w istotny sposób? 16

17 Barbara Szyszka Zadania: Rozwiązać układy równań:

18 Barbara Szyszka18 metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna

19 Barbara Szyszka19 metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna

20 Barbara Szyszka20 metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna

21 Barbara Szyszka21 metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna

22 Barbara Szyszka22 metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna

23 Barbara Szyszka 23 metoda stycznych (Newtona) – interpretacja graficzna


Pobierz ppt "Barbara Szyszka Tematyka zajęć Równania nieliniowe (met. bisekcji, Newtona), Całkowanie numeryczne (met. proste i złożone trapezów i Simpsona), Różniczkowanie."

Podobne prezentacje


Reklamy Google