Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Równania funkcyjne Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. Przykładowe rozwiązywanie równań funkcyjnych.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Równania funkcyjne Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. Przykładowe rozwiązywanie równań funkcyjnych."— Zapis prezentacji:

1

2 Równania funkcyjne Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. Przykładowe rozwiązywanie równań funkcyjnych.

3 Mam nadzieję, że śledzący moje prezentacje co to jest równanie. Równaniem nazywamy funkcje zdaniową postaci : gdzie są funkcjami zmiennej x. Dziedziną ( przestrzenią ) równania jest iloczyn dziedzin funkcji Równaniami zajmowaliśmy się, od początkowych klas szkoły podstawowej. Pomimo tego, niewielu licealistów powie nam znają definicję równania. W szkole podstawowej rozwiązywaliśmy na ogół równania ( nierówności ) liniowe, że gimnazjaliści potrafią rozwiązać pewne równania oraz nierówności kwadratowe czy wymierne, np. W liceum rozwiązujemy równania wymierne, niewymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne. ale zdziwi licealistów,

4 Zdecydowana większość uczniów odpowie ; napisz wielomian 3 – go stopnia o dowolnych dwucyfrowych współczynnikach. Jaka jest szansa, że znajdziesz jego pierwiastki ? Mam nadzieję, że pomimo 100 % skuteczności Sądzę, że warto licealistom postawić pytanie : czy potrafiliście rozwiązać każde równanie ( nierówność ) z podręcznika czy zbioru zadań ? w rozwiązywaniu szkolnych równań, wszyscy stwierdzą że szansa rozwiązania naszego ( dowolnego ) Niestety w praktyce szkolnej, wszystkie zadania dają się rozwiązać, bo są specjalnie dobierane. Licealista winien zdawać sobie sprawę, że choć rozwiąże równanie wystarczy zmienić jeden współczynnik, np. aby być bezradnym w znalezieniu pierwiastków, choć wiemy, że jest jeden lub trzy pierwiastki niewymierne. tak. Proponuję wtedy : zeru. równania jest równa

5 Zainteresowanych rozwiązywaniem równań zapraszam do prezentacji Równania 3 – ciego, 4 – tego Koniecznie trzeba być świadomym, że potrafimy i tylko niektóre, szczególne funkcje, Sytuacja jest zupełnie podobna jak przy funkcjach, które nazwałem „ grzecznymi ” ( a tych niegrzecznych jest o niebo więcej ) Zwróćmy uwagę, że równań o banalnie prostych postaciach np. rozwiązać tylko równania liniowe i kwadratowe wielomianowe, wymierne, niewymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne. szczególne równania gdyż w szkole poznajemy nie potrafimy rozwiązać. Zostawmy tego typy równania na boku ( są one w programie nauczania szkoły średniej ), ale spójrzmy na równania pod innym kątem.

6 W tym zapisie widać dwie funkcje, ale to równanie można przekształcić równoważnościowo do postaci ( gdzie występuje jedna funkcja ). Czy w tym równaniu można by jeszcze dołożyć jakieś dodatkowe warunki ? Z czym możemy je związać, skojarzyć ? Oczywiście nie z przepisem na h, tylko z argumentami np. równanie, w którym niewiadomą jest funkcja h zmiennej x. Nowa sytuacja. Jak tą funkcję znaleźć ? W zasadzie pole manewru dotyczy argumentów Dla argumentu ? możemy „ wyznaczyć ”, „ obliczyć ” za argument x podstawić ? W naszym przykładzie widać, że za x warto próbować podstawić 1 – x. Wtedy otrzymujemy Co uzyskujemy ? ewentualnie mnożenia h przez liczbę. Mamy zatem wartość funkcji,

7 Mamy więc układ równań z którego łatwo wyznaczyć h (x). Sprawdźmy, czy znaleziona funkcja spełnia dany warunek Rozwiązaniem równania funkcyjnego jest funkcja Zajęliśmy się szukaniem funkcji, ale formalnie o niej nic nie mówiliśmy. O czym nie wspomnieliśmy ? O dziedzinie funkcji jej własnościach.

8 Równanie funkcyjne jest na tyle proste, która jest rozwiązaniem tego równania że nie było problemu ze znalezieniem funkcji i która okazała się znaną od dawna funkcją liniową Nie trzeba nikogo przekonywać, że rozwiązanie okazało się łatwe, bo równanie było banalne i szczególnie dobrane. Na razie zajmijmy się szkolnymi przykładami równań funkcyjnych. I mamy układ równań 1. Znaleźć wszystkie funkcje dla których zachodzi równość Ponieważ równanie jest bardzo podobne do poprzedniego, wiemy co zrobić. Za x podstawmy 1 – x. <

9 wyznaczmy f (x) Sprawdźmy, czy znaleziona funkcja spełnia Z układu równań równanie Rozwiązaniem równania funkcyjnego jest funkcja Ponieważ, dlawięc

10 Rozwiązaniem równania funkcyjnego jest funkcja 2. Znaleźć wszystkie funkcje dla których zachodzą równości : a ) b ) c ) d ) ad a ) Podobnie jak w poprzednich przykładach by w równaniu w miejsce x podstawić Z układu wyznaczmy f (x). z postaci warunku nasuwa się pomysł

11 ad b ) Sposób wyznaczenia funkcji f (x) jest widoczny. I tutaj w miejsce x podstawmy I już mamy rozwiązanie, czyli funkcję f ( x ). Przepis funkcji możemy przekształcić gdzie ad c ) Nauczeni doświadczeniem z poprzednich zadań, chyba mamy propozycje podstawień : w miejsce x wstawić x - 1 lub czy Pamiętając, że możemy zapisać a może

12 ad c ) Spróbujmy dokonać podstawień x - 1, 1- x, co z tych równań możemy obliczyć. i zobaczmy, Ponieważ w równaniach występują trzy postacie funkcji dokonajmy jeszcze jednego podstawienia Z równań (2), (3), (4) wyznaczmy np. f (1- x ) (4) odjąć (3) : (2) odjąć (5) :

13 Przy tym równaniu, trzeba chyba pójść na całość i za x podstawić ad d ) za 1- x podstawmy x

14 za x podstawiamy Rozwiązaliśmy równania funkcyjne : Czy możemy stwierdzić, że umiemy rozwiązywać równania funkcyjne ? Oczywiście, że nie.

15 Te równania były tak dobrane abyśmy mieli sukces. Wystarczy wziąć równanie bardzo prostej postaci, np. by po paru próbach przyznać, że dotychczasowe i trzeba szukać innej drogi rozwiązywania. sposoby podstawiania nie pomogą ( wydaje się, że podstawienie za x wyrażenia x+1 czy 1-x nic nam nie daje ) Może wyznaczajmy wartości dla konkretnych argumentów np. 0, 1, 2, ….. Podejrzewamy, że dla każdego n naturalnego zachodzi ( ten warunek należy wykazać indukcyjnie ). Gdy przyjmiemy, żemożemy przyjąć

16 Łatwo sprawdzić, że ta funkcja rozważanego równania funkcyjnego. Czy rozwiązaliśmy równanie ? Nie. jeżeli nawet równanie nie ma to musimy to udowodnić. Sposób takiego uzasadnienia pokażemy w jednym z następnych zadań. Po pierwsze, dziedziną znalezionej funkcji jest N. Po drugie, innego rozwiązania, W dotychczasowych równaniach funkcyjnych występowały wartości funkcji, których argumenty są w pewnych związkach, zależnościach. itd.. Wskażmy jeszcze inne proste równania funkcyjne. jest rozwiązaniem

17 tak. Czy znacie rozwiązanie takiego równania Mam nadzieję, że teraz wszyscy odpowiedzą : Przecież to równanie jest warunkiem nieparzystości funkcji. Okazało się że to równanie funkcyjne ma nieskończenie wiele rozwiązań. Dla przypomnienia, wypiszmy reprezentantów różnych rodzajów funkcji : itd.… ( w odpowiednich dziedzinach ). Warto wspomnieć, że wykresy tych funkcji są symetryczne w/g początku układu współrzędnych. Trzeba też zwrócić uwagę, że nic nie wspomnieliśmy ani o jakichkolwiek ich własnościach. o dziedzinach funkcji( byle były symetryczne w/g 0 )

18 wskażmy niektóre z nich : itd.… Wykresy tych funkcji są symetryczne w/g osi y. rozwiązaniami równania są z kolei funkcje parzyste, Teraz dla wszystkich jest oczywiste, że Spośród nieskończeniu wielu takich funkcji Jest widoczne, że równanie spełnia funkcja oraz Czy to są jedyne ? ale jak zawsze, zależy to od warunków, jakie narzucimy na funkcje Nasze doświadczenie podpowiada nam, że chyba nie, Chyba wszyscy widzą dalsze : Czy są inne ? ( np. monotoniczność, ciągłość, itd. ).

19 Ważnym, a zarazem prostym takim przykładem jest równanie zwane równaniem Cauchy'ego Funkcję spełniającą to równanie nazywamy funkcją addytywną. Napiszmy równanie w którym jest mowa o wartościach funkcji dla dowolnych argumentów ; x, y, x+y, itd... Podejrzewamy, że takich funkcji jest nie mało, stad na funkcję nakładamy dalsze warunki jakie powinna spełniać, np. monotoniczność, ciągłość, itd. w zbiorze funkcji ciągłych. Cauchy rozwiązał to równanie funkcyjne Łatwo zauważyć, że równanie spełnia funkcja ( funkcja ciągła w R, intuicyjnie oznacza, że jej wykres można nakreślić nie odrywając pisaka od kartki ) Sprawdźmy.

20 Wykazaliśmy, że funkcja jest rozwiązaniem powyższego równania funkcyjnego. Zauważmy, że z zasady indukcji matematycznej łatwo wykazać Stąd dla dowolnegoorazzachodzi oraz Jeżeli w równaniu funkcyjnym podstawimy Zatem czyli funkcja jest nieparzysta. otrzymamy Czy możecie wskazać inne takie funkcje ? Jeżeli nawet takiej funkcji nie ma, to trzeba to udowodnić. Jeżeli w równaniu funkcyjnym podstawimy toczyli

21 i przyjmując, że Podstawiając x = 1 otrzymujemy dla dowolnego Z poprzednich przesłanek wynika, że dla dowolnegoorazzachodzi Pozostaje jeszcze wykazać, że ten przepis zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych. Niestety, by tego dowieść, musimy sięgnąć po wiedzę, którą tylko nieliczni licealiści posiadają. Podobnie, jak wyżej dlaorazotrzymujemy Zatem

22 Do uzasadnienia potrzebne są pojęcia : granicy ciągu, granicy funkcji i ciągłość funkcji. Zainteresowanych dogłębnym zrozumieniem wymienionych pojęć zapraszam do moich prezentacji. Z przytoczonych powodów dowód będzie intuicyjny. Niech r będzie dowolną liczbą niewymierną, a ciąg ciągiem liczb wymiernych zbieżnym, dążącym do r, co zapisujemy ( tym ciągiem może być np. ciąg przybliżeń dziesiętnych ). z ciągłości funkcji f Zatem jedynymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje liniowe Wykazaliśmy jak Cauchy’ea, że z udow. twierdz.

23 Poza tym istnieje wiele równań funkcyjnych rozwiązania równań Cauchy’ego. Najbardziej znane równanie funkcyjne Cauchy’ego ma szereg prostych zastosowań w wielu dziedzinach wiedzy, w fizyce Przydatne są również różne modyfikacje dających się rozwiązać elementarnie z wykorzystaniem ( trzy dalsze równania Cauchy’ego ) ( równania Jensena, Pexidera ). ( sprawiedliwy podział puli pieniędzy ). i uogólnienia tego równania np. w geometrii ( pole prostokąta ), ekonomii ( problem składania sił ), * ** *** różne, równie proste jego warianty Postać tego równania Cauchy’ego, podpowiada nam Czy znamy jakieś rozwiązania tych równań ? Tak. Czy umiemy rozwiązywać te równania ? Nie. ( np. „ + ” zastąpić „ ” ).

24 Czy znacie rozwiązania wskazanych równań ? * ** *** By odpowiedzieć na pytanie, trzeba znać funkcje omawiane w liceum i wykorzystując doświadczenie, próbować która z nich spełnia równanie. Znamy pewne rozwiązania tych równań. Odpowiedź, nie powinna zaskoczyć. Dlaczego ? Czy uczeń szkoły podstawowej, potrafi rozwiązać Nie. Ale gdy w dowiaduje się, że symboloznacza i ma za zadanie znaleźć, liczbę którą należy podstawić w miejsce x, by otrzymać prawdę, bez trudu wskaże liczbę 1. równanie * Czy to równanie kojarzycie z twierdzeniem dla podstawowej funkcji znanej nawet gimnazjalistom ?

25 * Z jakim twierdzeniem kojarzycie to równanie ? Zatem znamy funkcję spełniającą powyższe równanie funkcyjne. Czy są inne ? Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje wykładnicze Twierdzenie Cauchy’ego orzeka, że ** I również to równanie, gimnazjalista powinien skojarzyć Zatem znamy funkcję spełniającą powyższe równanie funkcyjne. Czy są inne ? z pewnym twierdzeniem.

26 Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje potęgowe Twierdzenie Cauchy’ego orzeka, że *** Rozwiązania tego równania gimnazjalista już nie poda, Zatem znamy funkcję spełniającą powyższe równanie funkcyjne. Czy są inne ? ale licealista zna takie twierdzenie. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje logarytmiczne Twierdzenie Cauchy’ego orzeka, że Dlaczego taka dziedzina ? Wyjaśni się przy rozwiązywaniu.

27 bo dowody pozostałych twierdzeń Cauchy’ego przeprowadzają uczestnicy Olimpiad Matematycznych i studenci kierunków politechnicznych. Znajdźmy ciągłe w R rozwiązania tego równania. Wprowadźmy funkcję pomocniczą Wtedy dla dowolnych x, y ∈ R mamy A więc g ( x ) spełnia równanie Cauchy’ego i jest ciągła Uzasadnienie tego twierdzenia pokażemy w następnej prezentacji Wskazaliśmy wersje twierdzenia Cauchy’ego, ale można je uogólnić, np. tak

28 Gdy oznaczymy symbolem c, ciągła w R ciągła w R, Zgodnie z tezą twierdzenia Cauchy’ego, rozwiązaniem jest i wtedy wtedy Matematyczną wyobraźnię i pomysł miał J.Jensem J.Jensem ( 1859 – 1925 ) by równanie powiązać ze średnia arytmetyczną f ( x ) ciągła w R Równanie Jensena ( jansenizacja ). Podstawiając otrzymujemy

29 Niech ciągła w R Wykazaliśmy, że rozwiązaniami równania Jensena Podstawmy wtedy Zatem Stąd zachodzi Więc wszystkie funkcje liniowe. Pexider w uogólnieniu równaniu Cauchy’ego poszedł jeszcze dalej, funkcje ciągłe zwiększając ilość funkcji. którego rozwiązaniem jest

30 funkcje ciągłe Rozwiązaniami równania Pexidera są funkcje : Rozwiążmy jeszcze dwa równania funkcyjne : Podstawiając znajdźmy wszystkie funkcje f : R  R dla których czyli a ) b ) ad a ) otrzymujemy ciągła w 0 Zatem jedyną funkcją spełniającą to równanie funkcyjne jest funkcja. Niech wówczas Czyli Tylko niektórzy udowodnią to twierdzenie na studiach.

31 ad b ) ciągła w 0 W celu pozbycia się drugiego składnika x, wprowadzamy funkcję jest ona również ciągła w punkcie 0.. Wstawiając, oraz do rozważanego równania, otrzymamy czyli Weźmy dowolną liczbę. dostajemy oraz Podstawiając za n, kolejno 0, 1, 2, 3, …. otrzymujemy Przyjrzyjmy się tym zależnościom ( wzorom ).

32 Z ciągłości h ( x ) w punkcie 0 wynika, że ciąg liczb po prawej stronie ostatniej równości dąży do 0. Ponieważ punkt x 0 wybrany był dowolnie, ciągła w 0 ciągła w punkcie 0. Skąd przez indukcję gdy n dąży do nieskończoności, To oznacza, że funkcja h ( x ) tożsamościowo równa się zeru. Podstawiając za n, kolejno 0, 1, 2, 3, …. otrzymujemy uzyskamy danego równania. Łatwo sprawdzić, że Zatem funkcja ta jest rozwiązaniem

33 Równania funkcyjne często opisuje pewne własności funkcji lub nakłada warunki jakie powinno spełniać rozwiązanie. Czasem w prostych równaniach, korzystając tylko z postaci wzór funkcji. Równanie funkcyjne mają na ogół nieskończenie wiele ( tzn. funkcji, które spełniają to równanie w każdym punkcie dziedziny ). Podczas szkolnej edukacji, już od szkoły podstawowej rozwiązywaliśmy równania, w których poszukiwaliśmy argumentów ( niewiadomych ) spełniających równania. W tej prezentacji poznaliśmy i rozwiązywaliśmy równania funkcyjne, w których niewiadomą jest funkcja. Naszym celem jest znalezienie wszystkich takich funkcji i uzasadnienie, że nie istnieją inne funkcje spełniające to równanie. rozwiązań równania funkcyjnego, potrafimy bezpośrednio wyznaczyć Niestety, nie istnieje ogólny algorytm rozwiązywania równań funkcyjnych ( czemu się chyba nie dziwimy ).

34 wprowadzenie nowej zmiennej w pewnych charakterystycznych punktach 3. Wielokrotna iteracja równania funkcyjnego 4. Jeżeli występują dwie zmienne w równaniu 2. Przekształceni e równania funkcyjnego poprzez 1. Wnioskowanie pewnych informacji o funkcji to możemy je związać Wszyscy wiemy z dotychczasowej praktyki, że sposób rozwiązywania równania, zależy od postaci równania ( wymierne, niewymierne, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, itd. ). Warto i tu podkreślić, że potrafimy rozwiązać tylko szczególne wyżej wymienione równania. Już w tej prezentacji poznaliśmy różne sposoby rozwiązywania równań funkcyjnych. np. 0, 1,, np. w = - x, w = x + 1, itd …. funkcyjnym x ; y, np. x = - y, x = 2 y, itd ….

35 Opr. WWW ęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji by po korekcie, Z góry dziękuję. można było ją uznać za poprawną. i przekazanie uwag, Koniec prezentacji Zapraszam op.pl tel do następnej Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań Oczywiście istnieje wiele innych sposobów rozwiązywania specjalnych równań funkcyjnych, które niektórzy poznają na specjalistycznych kierunkach studiów. Warto również widzieć, że być może już przyszli maturzyści, po poznaniu pojęcia pochodnej funkcji i całki funkcji, będą mogli rozwiązywać równania różniczkowe i równania całkowe.


Pobierz ppt "Równania funkcyjne Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. Przykładowe rozwiązywanie równań funkcyjnych."

Podobne prezentacje


Reklamy Google