Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

równoważne Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. Równania Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań i nierówności Ze względów dydaktycznych,

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "równoważne Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. Równania Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań i nierówności Ze względów dydaktycznych,"— Zapis prezentacji:

1

2 równoważne Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. Równania Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań i nierówności Ze względów dydaktycznych, powtórzymy pojęcia poznane we wprowadzeniu do logiki. wymiernych. 1

3 Czy uczyła(e)ś się logiki ? Maturzysto, naucz się tabliczki mnożenia ! Dzisiaj jest dobry dzień. Ewa jest fajną kumpelką.W 2020 r. będę na Księżycu. Dwie proste na płaszczyźnie, przetną się. Które z powyższych zdań ( w sensie gramatycznym ), jest zdaniem logicznym ? żadne. 5 dzieli n. Jak wszyscy wiedzą, Wypowiedź ( wyrażenie ) ocenę prawdy ( 1 ), albo ocenę fałszu ( 0 ) któremu jednoznacznie przypiszemy nazywamy zdaniem logicznym. Jest oczywiste, że żadne zdanie pytające, Prawdziwa czy fałszywa, może być odpowiedź na pytanie, czyli zdanie orzekające. nie jest prawdziwe, żadne zdanie wykrzyknikowe, Czy zdanie orzekające musi być prawdziwe bądź fałszywe ? ani nie jest fałszywe. Nie, przecież zaznaczone wypowiedzi są typu orzekającego. 2

4 Wprawdzie żadne z powyższych wyrażeń, nie ma oceny ale trzy zaznaczone wypowiedzi, gdyż występują w nich zmienne : Po podstawieniu w miejsce zmiennych wartości ( liczby, okręgi ), otrzymujemy zdanie logiczne ( prawdę lub fałsz ). Wyrażenie, które nie ma oceny prawdy ani fałszu nazywamy funkcją ( formą ) zdaniową. prawdy ani fałszu, są inne od pozostałych, Dzisiaj jest fatalny dzień. Ewa jest wysoką blondynką.W 2020 r. będę w Kosmosie. Dwa okręgi na płaszczyźnie, są styczne. 7 dzieli n. Znajdę lekarstwo na raka. Jestem genialny. Polecę na Marsa. Warto zwrócić uwagę na intrygującą wypowiedź : W 2020 r. będę w Kosmosie. Intrygująca dlatego, bo jest inna od pozostałych. Ta wypowiedź, dla nas, Dociekliwym podpowiem, że istnieje logika stworzona przez polskiego logika J. Łukasiewicza. wielowartościowa, nie ma oceny logicznej, ale.. n, x, okręgi ( jakieś ). i zawiera zmienną, teraz, 3

5 p ( n ) : 5 dzieli n Wróćmy do funkcji zdaniowej fałsz prawda > > > > >.. tej funkcji zdaniowej. N Za zmienną n podstawiamy liczby naturalne N – nazywamy dziedziną ( przestrzenią ) Interesujący jest zbiór elementów, dla których funkcja zdaniowa zamienia się który nazywamy zbiorem spełniania i oznaczamy ( czyt. zbiór liczb naturalnych n, takich, że zachodzi p ( n ) ). Wypiszmy kilka elementów zbioru spełniania omawianej funkcji zdaniowej p ( n ). Weźmy jest wielokrotnością 5 jest liczbą, która w zapisie dziesiątkowym. Mam nadzieję, że wszyscy już widzą, że zbiory spełniania funkcji zdaniowych p ( n ). q ( n ), r ( n ) są identyczne. na zdanie prawdziwe, ma cyfrę jedności jest 0 lub 5. 4

6 Funkcje ( formy ) zdaniowe, które mają identyczne równoważnymi co zapisujemy : gdzie - wartość logiczna zbiory spełniania, nazywamy Skąd wiemy, że funkcje zdaniowe : spełniają dokładnie te same liczby ? jest wielokrotnością 5 jest liczbą, której cyfrą jedności jest 0 lub 5. Wynika to z definicji wielokrotności liczby, o dzieleniu iloczynu spójników ( funktorów zdaniotwórczych ) : Tak jak z pojedynczych zdań logicznych, za pomocą konstruujemy schematy funkcji zdaniowych. zdaniowych, tworzyliśmy zdania złożone, i ( ), lub ( ), jeżeli …. to …. ( ), …. wtedy i tylko wtedy …. ( ) tak samo z pojedynczych form Zbiory spełniania podstawowych schematów funkcji i cechy podzielności liczb przez 5. twierdzenia zdaniowych wyznaczaliśmy już w innych prezentacjach 5

7 Przypomnijmy te podstawowe. Niech BA Łatwo wykazać, że..... X Ważne dla szkolnej edukacji zależności między zbiorami jak z funkcji zdaniowej uzyskać zdanie logiczne ? Zdefiniowaliśmy pojęcia zdania logicznego i formy zdaniowej. Warto postawić pytanie, W tejże prezentacji omawialiśmy niektóre zagadnienia z logiki i teorii zbiorów.. 6

8 Jeden sposób zawarty jest w definicji formy zdaniowej. W miejsce zmiennej funkcji zdaniowej z jej przestrzeni ( dziedziny ). Z codziennej praktyki i logiki znamy drugi sposób. „Uczeń naszej szkoły, jest laureatem Olimpiady Matematycznej” Każdy, czytając to zdanie, szuka nazwiska tego ucznia. Powyższa wypowiedź, jest formą zdaniową, a dziedziną zbiór uczniów naszej szkoły. gdzie uczeń jest zmienną, Ale gdy ktokolwiek usłyszy wiadomość : naszej szkoły, jest laureatem Olimpiady Matematycznej, każdy uczeń powie to bzdura. Kto zna osiągnięcia szkoły ( gdy nie, niech skorzysta z internetu ) i choć nie zna nazwiska olimpijczyka, wiadomość „ istnieje uczeń naszej szkoły, który jest laureatem Olimpiady Matematycznej ” stwierdzi, że to prawda Te przykłady świadczą, że poprzedzając funkcję zdaniową słowami : zamienia ją na zdanie logiczne. istnieje,każdy, lub to fałsz. Terminy : każdy,istnieje, nazywamy kwantyfikatorami podstawić element 7

9 Kwantyfikatory oznaczamy i nazywamy : każdy : istnieje : < < nowa wersja -- duży ( ogólny ) kwantyfikator -- mały ( szczególny ) kwantyfikator - ” - Przypomnijmy jeszcze podstawowe twierdzenia ( współczesna ) ( prawa rachunku funkcyjnego ) : o kwantyfikatorach i ich negacji Te wstępne informacje, podpowiadają niespodziewaną diagnozę ; na lekcjach matematyki, najczęściej posługujemy się wyrażeniami, które nie mają oceny prawdy ani fałszu ; gdyż od początkowych klas rozwiązujemy równania. Przypomnijmy definicję równania. funkcjami zdaniowymi, 8

10 Nawet przedszkolak z zerówki wie, że gdy w wyrażeniu to otrzymamy prawdę, fałsz. „ za Pana Iksa ” podstawimy 2, Co to jest ? Funkcja liniowa. A to ? Liczba, ale można to uznać za funkcję stałą. Chyba mamy już definicję równania. Równanie Co to takiego ? a w każdym innym przypadku Czyli mamy szczególną funkcję ( formę ) zdaniową. Jakiego rodzaju, postaci jest ta funkcja ? Równaniem nazywamy funkcje zdaniową postaci : gdzie są funkcjami zmiennej x. Kto jeszcze nie wie dlaczego napisałem „ chyba ”, niech przypomni sobie definicję funkcji. Zapomnieliśmy o dziedzinach funkcji. Równaniem nazywamy funkcje zdaniową postaci : gdzie są funkcjami zmiennej x, i dziedziną równania jest iloczyn dziedzin tych funkcji. Czego zabrakło ? 9

11 Mówimy wtedy, że liczba 2 „ spełnia ” równanie, Dla ciekawości pokażę, jak przed pół wieku temu rozwiązywal i równanie uczniowie 2 – giej kl. szk. podst. nazywamy rozwiązaniem Co powiemy o tych równaniach ? lub pierwiastkiem równania. Obecnie wszyscy równanie rozwiążą tak od obu stron odejmujemy 1 obie strony dzielimy przez 2 Liczbę 2, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej zamienia funkcję zdaniową na zdanie prawdziwe Czy są takie same ? nie. ale mają wspólną własność. 2 Jest pierwiastkiem każdego równania czyli te równania ( funkcje zdaniowe ) Te uwagi podpowiadają, że równania będziemy rozwiązywać przekształcając je na równania równoważne. > > > > ∙ 2 : =.. ? lub 2 jest rozwiązaniem równania. Oczywiście, że To czemu zajmujemy się innymi równaniami ? Jaką ? Są inne, Teraz wykonujemy operacje odwrotne. Kreślimy graf równania ( łatwo sprawdzić ), są równoważne. 10

12 Rozwiążmy równanie : 2. od obu stron dodajemy x 3. obie strony dzielimy przez 7 1. wymnażamy Tym razem wprawdzie nie od razu widać, że - 1 jest pierwiastkiem każdego równania, ale łatwo to sprawdzić. Podejrzewamy, że wykonując wskazane czynności 1, 2, 3 otrzymujemy równania równoważne. Oczywiście, trzeba to udowodnić. Sformułujmy twierdzenia. Weźmy dowolny pierwiastek x 0 równania Wtedy Ponieważ więc Zatem, każdy pierwiastek równania jest pierwiastkiem równania i odwrotnie, czyli te równania są równoważne. i redukujemy 11

13 Sformułujmy to twierdzenie słownie : Jeżeli w równaniu, jakieś wyrażenie ( funkcję ) zastąpimy wyrażeniem ( funkcją ) równym mu tożsamościowo, to otrzymamy równanie równoważne danemu. Najczęstszymi tożsamościami stosowanymi w szkolnej matematyce, są tożsamości ( prawa ) znane z arytmetyki i algebry, np. itd…. rozdzielność „ ∙ ” w/g „ + ” łączność „ ∙ ” Rozwiążmy równanie : 1. Tw. 1 Tw. 2, 1 Tw. 3 (?) do obu stron dodajemy obie strony dzielimy przez 19 Jedynym pierwiastkiem równania jest ( a, b, c dowolne liczby lub wyrażenia algebraiczne ) wykonujemy działania redukujemy 12

14 Określmy dalsze twierdzenia o równaniach równoważnych. Jeżeli do obu stron równania, dodamy to same wyrażenie to otrzymamy równanie równoważne danemu. ( funkcję ), Sformułowaliśmy twierdzenie zgodnie z tym, co wykonywaliśmy w przytoczonych przykładach. Ale doświadczenie uczy nas, by na wyższych etapach matematycznej edukacji, dociekliwiej przyglądać się dotychczasowym i nowym definicjom, założeniom twierdzeń. W liceum poznaliśmy funkcje, nieznane w gimnazjum ( funkcje wymierne, niewymierne, wykładnicze, logarytmiczne ), stąd powyższe twierdzenie, być może trzeba zweryfikować. Weźmy banalne równanie : do obu stron równania dodajemy Czy te równania są równoważne ? Nie. Pierwiastkiem pierwszego równania jest - 2, a drugie nie ma pierwiastka ( równania mają różne dziedziny ). 13

15 Jeżeli do obu stron równania, dodamy tą samą funkcję, to otrzymane równanie jest równoważne danemu. 2. w dziedzinie której zawiera się dziedzina równania, pierw. - 2 pierw. brak Poprawmy twierdzenie, dokładając warunek Jeżeli obie strony równania, pomnożymy tą samą funkcję, to otrzymamy równanie równoważne danemu. 3. w dziedzinie której zawiera się dziedzina równania i która przyjmuje wartości różne od zera, Sformułujmy twierdzenie słownie. W przykładach, obie strony równania dzieliliśmy ( mnożyliśmy ) przez liczbę. Niestety, jest to fałsz. Kto zna definicję dzielenia, ten wie dlaczego. równania nie są równoważne 14

16 Rozwiąż równania : Tw. 3 Tw. 1 Równania rozwiązujemy metodą równań równoważnych. Tw. 2,1 Tw. 3 Pierwiastkiem równania jest a ) b ) c ) ad a ) ad b ) Do rozwiązania równania, należy przypomnieć sobie definicję i własności wartości bezwzględnej. Warto mieć banalną wiedzę ( z gimnazjum ): może być ujemne lub dodatnie stosując odpowiednie twierdzenia. Warto mieć wartość bezwzględną po jednej stronie. 15

17 Prawa strona może być ujemna lub dodatnia Równanie nie ma rozwiązania. Kto widzi wykresy funkcji wie, że równanie nie ma rozwiązania..... ad c ) To równanie jest zdecydowanie inne od poprzednich, w których występowały tylko funkcje liniowe. W tym równaniu, pojawiła się funkcja niewymierna, której dziedziną nie jest R. Wyznaczmy dziedzinę równania. 16

18 Jak rozwiązać to równanie niewymierne ? Wszyscy zgodnym chórem, odpowiedzą ; I znowu, wszyscy stwierdzą ;Jak ? Zawsze dopytuję ; co podnieść do kwadratu. I tym razem dopowiedzenie jest oczywiste : obie strony równania. Jakie pytania teraz powinny paść ? Czy wolno ? Jeżeli tak, to na jakiej podstawie ( twierdzenia ) ? Zanim odpowiemy na te pytania, wykonajmy tą czynność. Za często pojawia się równanie : Na komentarz ; źle, Gdy słyszą „ jeszcze gorzej ”, Dopiero, gdy zmuszeni do nazwania wyrażenia Niestety uczniowie nie zmuszani do uzasadniania swoich kroków, stosują „ swoje ” niby matematyczne reguły ( bo mnie się tak wydaje ). uświadamiają sobie, że należy różnicę podnieść do kwadratu, co nie znaczy, że wykonają to poprawnie. Ostatecznie otrzymamy : pozbyć się pierwiastka. podnieść do kwadratu. najczęstsza reakcja, to zmiana znaku. uczniowie są skołowani. 17

19 Czy warto było obie strony równania podnosić do kwadratu ? Nie tylko, nie uwolniliśmy się od pierwiastka, ale otrzymaliśmy równanie bardziej skomplikowane. Czy zrezygnować z naszego pomysłu ? Mam nadzieję, że wszyscy powiedzą, Przekształćmy równanie, Ponieważ pierwiastkiem jest 5. Czy nasz wniosek jest poprawny ? Nie, bo … Nie wiemy, czy podnosząc obie strony równania do kwadratu, otrzymamy równanie równoważne danemu. Kto ma dobrą intuicję ( bardzo się przydaje ) lub doświadczenie, kto przypuszcza, że nie, szuka kto, że tak, musi kontrprzykładu, udowodnić. Jak to równanie mógłby rozwiązać gimnazjalista ? nie. izolując pierwiastek. 18

20 Czy Jak zwykle, by móc przypuszczać jaka jest odpowiedzieć, warto sprawdzić na prostych, wręcz banalnych przykładach. obie strony równania podnosimy do kwadratu Czy Nie, bo ….. Niestety, na podstawie naszych dotychczasowych nie mamy prawa twierdzić, że 5 jest pierwiastkiem równania. Kiedy będziemy tego pewni ? Jak zwykle, są co najmniej dwa wyjścia. Jedno, sprawdzić.Drugie, poprawić twierdzenie. Czy pierwsza droga, niektórym, przypomina coś ? Kto nie słyszał o metodzie analizy starożytnych, niech zapozna się z prezentacją ?????? Aby sformułować odpowiednie twierdzenie, przypomnijmy odpowiednie własności dla liczb. Czydla dowolnych liczb a, b ? uzasadnień, 19

21 Czy Sformułujcie analogiczne twierdzenia ( tw. 4a, 4b ) O tym, że jest to fałsz, wiedzą uczniowie V – tej kl. szk. podst. ( np. a = 2, b = - 2 ). Jakie warunki, byłyby równoważne ? Są dwie możliwości. dotyczące równań równoważnych. Równanie rozwiążemy metodą równań równoważnych, stosując odpowiednie twierdzenia. obie strony równania dodatnie tw. 4a tw. 2 Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej liczby Znajdź pierwiastki równania 20

22 Nawet licealistom, którzy rozwiązywaliby te równania za pomocą delty, proponuję wyznaczyć pierwiastki równania, stosując grupowanie wyrazów. Pierwiastkami równania są liczby Warto podkreślić, że w zasadzie do rozwiązywania równań z którymi spotykamy się w szkolnej edukacji wystarczają poznane twierdzenia. A jak rozwiązujemy nierówności ? Już w szkole podstawowej znaliśmy odpowiedź, prawie tak samo. Różnica dotyczy tylko wtedy, gdy mnożymy obie strony nierównośc i, co wynika z monotonii mnożenia liczb. 21

23 Prawa monotonii mnożenia : dowolne liczby rzeczywiste Sformułujcie odpowiednie twierdzenia : tw. 3a, 3b o nierównościach równoważnych. Przystępując do rozwiązywania nierówności, należy zauważyć, że definicja nierówności i pojęcia z nią związane są analogiczne do definicji i pojęć, Z rozwiązaniem nierówności omawianych w teorii równań. nie powinien mieć kłopotu gimnazjalista, A jak rozwiązać taką nierówność Odpowiedź jest prosta. Tak samo. Oczywiście, są pewne dodatkowe elementy. 22

24 Należy wyznaczyć dziedzinę nierówności. Teraz byłoby fajnie pozbyć się ułamków, mnożąc obie strony nierówności np. przez Czy rozwiązując równanie obie jego strony mnożyliśmy przez Wygodniej ( mniej liczenia ) pomnożyć przez NWW ( 2, 4, 8 )= 8 Ponieważ więc obie strony nierówności pomnożyć przez Czy rzeczywiście możemy tak uczynić ? Zatem, aby pozbyć się ułamków, wystarczy dla pewnych x jest ujemne, Kto zaaprobuje, ten nie zna praw monotonii mnożenia ( przypomnianych w poprzednim slajdzie ). Możemy mnożyć przez wyrażenie, które jest zawsze dodatnie, lub stale ujemne, a wyrażenie dla innych dodatnie. 2 ∙ 4 ∙ 8 ? 23

25 Jak zatem rozwiązać nierówność Są, jak zwykle, co najmniej dwa wyjścia. Jedno ; nie mnożyć. Wykonujmy to, co można, Po obu stronach wykonajmy odejmowanie. co potrafimy wykonać. Co dalej ? Klasa V – ta. Kiedy iloraz jest dodatni ? Tą nierówność drugoklasista z liceum potrafi rozwiązać gimnazjalista może rozwiązać a tą nierówność 24

26 Wprawdzie nierówności nie rozwiązaliśmy, ale warto byłoby prześledzić tą drogę i zastanowić się czy nie można jej usprawnić, skrócić. Wróćcie do poprzedniego slajdu. Przeanalizujcie czynności. Macie pomysł ? Dodawaliśmy ułamki po jednej stronie nierówności, potem po drugiej, by po przeniesieniu ułamka na lewą stronę, dodawać po raz trzeci. Efektywniej byłoby dodać tylko raz. Jakim cudem ? Przenieść wszystkie wyrażenia na jedną stronę i dodać. Mamy wytyczoną jedną drogę rozwiązywania nierówności wymiernych ( z ułamkami algebraicznymi ). Rozwiązując nierówność 3 –go stopnia, należy powołać się na twierdzenie o pierwiastkach wielomianów i uzasadnić sposób rozwiązywania nierówności iloczynowej. 25

27 Wykorzystując doświadczenie, rozwiążmy nierówność 1. Wyznaczamy dziedzinę nierówności. Aby podać dziedzinę, wygodnie jest rozłożyć mianowniki na czynniki pierwsze. NWW mianowników : 2. Przenosimy wyrazy na jedna stronę i dodajemy. Kolejne składniki rozszerzam y przez czynniki dopełniające ( te czynniki, których nie ma w mianowniku, a są w NWW ) Nierówność rozwiązujemy metodą nierówności równoważnych, stosując odpowiednie twierdzenia. Sposób rozwiązywania, mniej więcej znamy, a teraz kolejne kroki wypunktujemy. tw. 2 26

28 NWW mianowników : 3. Wykonujemy zaznaczone działania. Kolejne składniki rozszerzamy przez czynniki dopełniające tw. 1 tw. 3a Na każdym etapie rozwiązywania, warto przyjrzeć się postaci wyrażeń ( czy widać zastosowanie wzorów ). Wyrażenia więc z arytmetyki tw. 1 Nierówność powinien rozwiązać każdy gimnazjalista są zawsze nieujemne, 27

29 Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba z przedziału ( -1, 1 ). Ta nierówność rozwiążmy idąc inną drogą, mnożąc obie strony nierówności przez wyrażenie ( funkcję ). Ale mnożyć możemy wtedy, gdy wyrażenie czyli trzeba rozpatrzyć przypadki. NWW mianowników : Widać, że musi mieć stały znak, Zbadać kiedypotrafi gimnazjalista ( niejeden zdziwi się, że ma taką wiedzę ). Teraz możemy przystąpić do mnożenia nierówności ( ? ). NWW ujemne NWW dodatnie zwrot nierówności zmieniony zwrot nierówności ten sam 28

30 NWW mianowników : Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba ze zbioru ( -4, 10 ] \ { 4 }. Który z tych sposobów rozwiązywania nierówności jest efektywniejszy ? Teraz nikt się nie zdziwi, że drugą drogę nie wybierzemy. patrz wyżej 29

31 Bywają uczniowie, którzy pokazują inną drogę. To jak rozwiązują ? Odpowiadają ; tak pokazał profesor(ka ). Przełykają gorzką pigułkę, gdy pada komentarz ; wykonujesz rozkazy „ jak biedny baranek ( owieczka ) ”. NWW mianowników : który przyjmuje wartości dodatnie, oraz ujemne. Kilka slajdów wcześniej, sugerowałem, że może jest trzecia droga rozwiązywania nierówności. Jak jeszcze inaczej rozwiązać nierówność ? Aby uwolnić się od ułamków, obie strony nierówności mnożyliśmy przez iloczyn Co zrobić, by z wyrażenia zawsze dodatnie ? otrzymać wyrażenie Ależ to proste ! Podnieść do kwadratu. 30

32 Równanie rozwiązujemy metodą nierówności równoważnych, stosując odpowiednie twierdzenia. Ponieważ, już uczniowie V – kl. szk. podst. wiedzą, kiedy iloczyn trzech liczb jest ujemny,to gimnazjaliści potrafią ta nierówność. Licealiście rozwiążą po swojemu najczęściej nie wiedząc, dlaczego to robią. Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba ze zbioru Ponieważ nie mnożyliśmy przez najmniejszy mianownik, warto przekształcać tak, by skrócić obliczenia. Widać wspólny czynnik ( ale nie dzielimy ! (?) ). tw. 4a tw. 1 tw. 2,1 tw. 1 31

33 ale gdybyśmy nierównośćTrochę namęczyliśmy się. przekształcali bezrefleksyjnie wymnażając iloczyny, otrzymalibyśmy sumę dwudziestu kilku składników. Mamy więc, jeszcze jedno doświadczenie, że nie warto mechanicznie, bezmyślnie wykonywać zaznaczone operacje, ale uważnie obserwować, czy nie można uprościć,ułatwić sobie rozwiązanie zadania. Rozwiązywaliśmy nierówności trzema sposobami. Który z nich jest efektywniejszy ? Sądzę, że mając trochę doświadczenia, znacie odpowiedź. To zależy od postaci nierówności. Rozwiązując nierówność : wykorzystamy pierwszy sposób ( przenosimy na jedną stronę ), ale nierówność wygodniej rozwiązać mnożąc obie strony nierówności przez Mnożenie, pisanie, redukowanie, zajęłoby trochę czasu. 32

34 Opr. WWW ęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji by po korekcie, Z góry dziękuję. można było ją uznać za poprawną. i przekazanie uwag, Koniec prezentacji Zapraszam op.pl tel Na koniec prezentacji podkreślmy, że termin „ metoda rozwiązywania równań ( nierówności ) równoważnych ” mówi o logicznym uzasadnieniu rozwiązywania nierówności, zaś sposób rozwiązywania wskazania kroków do znalezienia pierwiastków nierówności. dotyczy drogi, Dalsze sposoby rozwiązywania równań i nierówności od typów funkcji, które w nich występują. do dalszych prezentacji o funkcjach i rozwiązywaniu równań. 33

35 za wszystko odpowiadał nasz mózg. 34


Pobierz ppt "równoważne Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. Równania Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań i nierówności Ze względów dydaktycznych,"

Podobne prezentacje


Reklamy Google