Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wspomaganie Decyzji IV Roman Słowiński Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania Decyzji Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej  Roman Słowiński.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wspomaganie Decyzji IV Roman Słowiński Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania Decyzji Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej  Roman Słowiński."— Zapis prezentacji:

1 Wspomaganie Decyzji IV Roman Słowiński Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania Decyzji Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej  Roman Słowiński

2 2 Wieloatrybutowa teoria użyteczności (J.von Neumann, O.Morgenstern 1954) Założenie 1: preferencje decydenta są spójne z pewną nieznaną funkcją, która nadaje każdemu wariantowi aA wartość zwaną użytecznością: U[g 1 (a),…,g n (a)] = U(a) Założenie 2: na każdym kryterium g i typu „zysk”, dla dowolnej pary wariantów a,bA zachodzi jedna z dwóch relacji (i=1,…,n) g i (a) > g i (b)  a  i b (preferencja) g i (a) = g i (b)  a  i b (nierozróżnialność) Założenie 3: dla dowolnej pary wariantów a,bA, zależnie od wartości U(a) i U(b), zachodzi jedna z dwóch relacji globalnych: U(a) > U(b)  a  b (preferencja) U(a) = U(b)  a  b (nierozróżnialność) Relacja  jest asymetryczna i przechodnia, a relacja  jest symetryczna, zwrotna i przechodnia

3 3 Postać addytywna: Postać multiplikatywna: gdzie u i [g i (a)] nazywa się użytecznością cząstkową Postać Keeneya-Raiffy: gdzie K jest współczynnikiem skalującym, normującym U do [0,1], k i jest wagą kryterium g i zawartą w [0,1] Założenie 4: u i [g i ] = 0, u i [g i  ] = 1, gdzie g i jest najmniej pożądaną wartością, a g i  najbardziej pożądaną wartością na skali g i Wieloatrybutowa teoria użyteczności – formy funkcji użyteczności

4 4 Wieloatrybutowa teoria użyteczności – spodziewana użyteczność Loteria = rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze zdarzeń x (możliwych ocen wariantu) – odpowiada mu rozkład użyteczności W przypadku deterministycznym, rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze zdarzeń x redukuje się do zdarzenia x’ z użytecznoścą U(x’) W praktyce, loteria = zdarzenie losowe, którego konsekwencją jest zdarzenie x 1 z prawdopodobieństwem p lub zdarzenie x 2 z prawdopodobieństwem (1-p). Oznaczamy ją L(x 1,p,x 2 ) L p 1-p x2x2 x1x1 np. p=0.8 x 1 = 4.000$ x 2 = 0

5 5 Wieloatrybutowa teoria użyteczności – spodziewana użyteczność

6 6 Własność substytucji (substitution property or common ratio) Jeśli loteria L A  L B, to jeśli dołączyć do nich dowolną loterię L Z, p L A + (1-p) L Z  p L B + (1-p) L Z dla każdego p[0,1] Własność rzeczy pewnych (sure thing principle) Jeśli L D = p L A + (1-p) L Z  L E = p L B + (1-p) L Z to L D’ = p L A + (1-p) L Z’  L E = p L B + (1-p) L Z’ Własność liniowości prawdopodobieństw (linear expected utility) Spodziewana użyteczność loterii jest zależna liniowo od prawdopodobieństwa : U[p L A + (1-p) L B ] = p U(L A ) + (1-p) U(L B ) Równoważnik pewności = zdarzenie pewne x 3, które jest uznawane przez decydenta za równoważne loterii L(x 1,p,x 2 ), co zapisujemy x 3 ~ L(x 1,p,x 2 ) Stąd na mocy własności liniowości : U(x 3 ) = p U(x 1 ) + (1-p) U(x 2 )

7 7 Wieloatrybutowa teoria użyteczności – spodziewana użyteczność Własność ciągłości (continuity property) Dla dowolnego kryterium g i i dowolnych zdarzeń (ocen wariantów) x 1 = g i (a), x 2 = g i (b), x 3 = g i (c) (a,b,cA) takich, że x 1 > x 3 > x 2, istnieje takie prawdopodobieństwo p, dla którego x 3 ~ L(x 1, p, x 2 ) g i =x  jest najmniej pożądaną wartością, g i  =x  jest najbardziej pożądaną wartością na skali g i, u i [x  ] = 0, u i [x  ] = 1 L p 1-p x2x2 x1x1 np. p=0.8 x 1 = 4000$ x 2 = 0 x 3 =2500$ 

8 8 Metoda ASSESS Konstrukcja funkcji użyteczności Etap 1: Konstrukcja cząstkowych funkcji użyteczności u i (x i ) dla każdego kryterium g i, i ocen g i (a)= x i, i=1,…,n, gdzie aA Etap 2: Wyznaczanie wag kryteriów k i i współczynnika skalującego K W systemie ASSESS zaimplementowano cztery sposoby konstrukcji cząstkowych funkcji użyteczności : a)poszukiwanie równoważnika pewności ze stałym prawdopodobieństwem b)poszukiwanie równoważnika pewności ze zmiennym prawdopodobieństwem c)porównywanie loterii d)porównywanie prawdopodobieństw

9 9 Podstawą wszystkich sposobów, z wyjątkiem porównywania loterii, jest dialog, w którym decydent porównuje sytuację pewnego otrzymania określonej wartości kryterium z loterią, w której może otrzymać korzystniejszą wartość danego kryterium z prawdopodobieństwem p bądź mniej korzystną z prawdopodobieństwem (1-p) Dialog prowadzi do określenia przez decydenta równoważnika pewności dla danej loterii, tj. takiej wartości kryterium, dla której jest mu obojętne czy ją otrzyma na pewno, czy też będzie brał udział w loterii Wartości równoważnika pewności dla danej loterii poszukuje się iteracyjnie zmieniając propozycje x 1, x 2, x 3 i p stosownie do udzielanych odpowiedzi Zmiany te są analogiczne do poszukiwania miejsc zerowych funkcji metodą połowienia przedziału Cały taki dialog powtarza się kilka razy w celu znalezienia większej liczby punktów cząstkowej funkcji użyteczności Metoda ASSESS

10 10 Poszukiwanie równoważnika pewności ze stałym prawdopodobieństwem L p 1-p xx xx p=0.5 x  = 4000$ x  = 0 x 1 =3000$  u i (x 1 ) = p u i (x  ) + (1-p) u i (x  ) u i (3000$) = 0.5   0 = $ 4000$ 1 uiui x 3000$ 0.5 Decydent skłonny do ryzyka

11 11 Poszukiwanie równoważnika pewności ze stałym prawdopodobieństwem L p 1-p xx xx p=0.5 x  = 4000$ x  = 0 x 1 =1000$  u i (x 1 ) = p u i (x  ) + (1-p) u i (x  ) u i (1000$) = 0.5   0 = $ 4000$ 1 uiui x 1000$ 0.5 Decydent unikający ryzyka

12 12 Poszukiwanie równoważnika pewności ze stałym prawdopodobieństwem L p 1-p x1x1 xx p=0.5 x  = 4000$ x 1 = 1000$ x 2 =2000$  u i (x 2 ) = p u i (x  ) + (1-p) u i (x 1 ) u i (2000$) = 0.5 0.5 = 0.75 Decydent unikający ryzyka 0 0$ 4000$ 1 uiui x 1000$ $

13 13 Poszukiwanie równoważnika pewności ze zmiennym prawdopodobieństwem Prawdopodobieństwo p jest zadane ale zmieniane w każdej iteracji, szukany jest równoważnik pewności x, a zdarzenia x , x  są stałe L(x ,p 1,x  )  x 1  u i (x 1 ) = p 1 u i (x  ) + (1-p 1 ) u i (x  ) (np. p 1 =0.5) u i (x 1 ) = 0.5 0 = 0.5 L(x ,p 2,x  )  x 2  u i (x 2 ) = p 2 u i (x  ) + (1-p 2 ) u i (x  ) (np. p 2 =0.75) u i (x 2 ) = 0.75 0 = 0.75 L(x ,p 3,x  )  x 3  u i (x 3 ) = p 3 u i (x  ) + (1-p 3 ) u i (x  ) (np. p 3 =0.25) u i (x 3 ) = 0.25 0 = 0.25

14 14 Porównywanie loterii Decydent porównuje dwie loterie L(x 1,p,x  ) i L(x ,p’,x  ), gdzie na początku x 1 = (x  + x  )/2, p jest zadane, a p’ jest szukane p’ u i (x  ) + (1-p’) u i (x  ) = p u i (x 1 ) + (1-p) u i (x  ) p’1 + 0 = p u i (x 1 ) + 0 u i (x 1 ) = p’/p, czyli p’ < p W następnych krokach powtarza się tę procedurę dla punktów środkowych kolejno otrzymanych przedziałów x 2 = (x 1 + x  )/2  L(x 2,p,x  ) i L(x ,p’,x  ) x 3 = (x  + x 1 )/2  L(x 3,p,x  ) i L(x ,p’,x  ) ………………………

15 15 Porównywanie prawdopodobieństw Procedura jest podobna jak przy poszukiwaniu równoważnika pewności ze stałym prawdopodobieństwem Różnica polega na tym, że dla zadanego równoważnika pewności x danej loterii poszukuje się równoważącej wartości prawdopodobieństwa p L(x ,p 1,x  )  x 1  u i (x 1 ) = p 1 u i (x  ) + (1-p 1 ) u i (x  ) (np. x 1 = (x  + x  )/2, p 1 =0.4) u i (x 1 ) = 0.4 0 = 0.4 L(x 1,p 2,x  )  x 2  u i (x 2 ) = p 2 u i (x 1 ) + (1-p 2 ) u i (x  ) (np. x 2 = (x 1 + x  )/2, p 2 =0.3) u i (x 2 ) = 0.3 0 = 0.12 L(x ,p 3,x 1 )  x 3  u i (x 3 ) = p 3 u i (x  ) + (1-p 3 ) u i (x 1 ) (np. x 3 = (x  + x 1 )/2, p 3 =0.45) u i (x 3 ) = 0.45 0.4 = 0.67

16 16 Wyznaczanie wag kryteriów Dla każdego kryterium g i z osobna, przedstawia się decydentowi loterię, w której zdarzenie najbardziej korzystne x  składa się z najlepszych wartości na wszystkich kryteriach, a zdarzenie najmniej korzystne x  składa się z najgorszych wartości na wszystkich kryteriach Równoważnik pewności x składa się z najlepszej wartości na kryterium g i =x i  i z najgorszych wartości na kryteriach g j =x j, j  i Szuka się wartości prawdopodobieństwa p równoważącego x i loterię W wyniku: ki = pki = p

17 17 Wyznaczanie wag kryteriów Po stronie równoważnika pewności: u j (x j ) = 0 dla każdego j  i stąd K U(x 1,…,x n ) + 1 = K k i u i (x i  ) +1 U(x 1,…,x n ) = k i u i (x i  ) = k i Po stronie loterii: U(x 1,…,x n ) = p U(x 1 ,…,x n  ) + (1-p) U(x 1,…,x n ) = p Ponieważ równoważnik pewności jest nierozróżnialny z loterią, ich użyteczności są równe, zatem : k i = p 10 1

18 18 Wyznaczanie współczynnika skalującego Współczynnik K oblicza się po podstawieniu do wzoru na użyteczność najbardziej korzystnych wartości na wszystkich kryteriach K 1 1

19 19 Przykład

20 20

21 21

22 22

23 23 u C (2)=0.5

24 24 u C (2)=0.5

25 25

26 26 u C (1.25)=0.25

27 27 u C (1.25)=0.25

28 28

29 29

30 30 najlepszy COMFORT najgorsze oceny wariant idealny wariant antyidealny

31 31

32 32


Pobierz ppt "Wspomaganie Decyzji IV Roman Słowiński Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania Decyzji Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej  Roman Słowiński."

Podobne prezentacje


Reklamy Google