Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Zagadnienia AI wykład 2. Przykłady funkcji przynależności Funkcja Gaussowska gdzie jest środkiem, a  określa szerokość krzywej. Funkcja typu dzwonowego.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Zagadnienia AI wykład 2. Przykłady funkcji przynależności Funkcja Gaussowska gdzie jest środkiem, a  określa szerokość krzywej. Funkcja typu dzwonowego."— Zapis prezentacji:

1 Zagadnienia AI wykład 2

2 Przykłady funkcji przynależności Funkcja Gaussowska gdzie jest środkiem, a  określa szerokość krzywej. Funkcja typu dzwonowego gdzie parametr a określa szerokość, b określa nachylenie, natomiast c określa środek.

3 Przykłady funkcji przynależności Funkcja klasy t Funkcja klasy L

4 Przykłady funkcji przynależności Funkcja klasy s Funkcja radialna

5 Funkcja klasy  Przykłady funkcji przynależności Funkcja singleton Do zbioru rozmytego A należy tylko.

6 Przykład Niech X= [0, zł] Funkcję przynależności zbioru rozmytego „dużo pieniędzy” określamy jako funkcję klasy s

7 Możliwość vs prawdopodobieństwo Rozważmy zdanie: Marek zjada x kanapek na śniadanie gdzie x  X={1,2,…,8} Załóżmy, że w okresie 100 dni obserwowaliśmy co Marek je na śniadanie. Wyniki obserwacji możemy zapisać w postaci następującego rozkładu prawdopodobieństwa p: X=[ ] p=[ ] Zdefiniujmy teraz zbiór rozmyty wyrażający „stopień swobody” z jaką Marek może zjeść x kanapek (tzw. rozkład możliwości  ). X=[ ]  =[ ]

8 Za pomocą rachunku prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć np. prawdopodobieństwo tego, że w wyniku rzutu kostką dostaniemy 4 oczka. Za pomocą zbiorów rozmytych możemy opisać nieprecyzyjne stwierdzenie „wyrzucenie dużej liczby oczek”. Możliwość vs prawdopodobieństwo Jedyne podobieństwo między teorią zbiorów rozmytych i teorią rachunku prawdopodobieństwa to fakt, że funkcja przynależności i prawdopodobieństwo przyjmują wartości z przedziału [0, 1].

9 Definicja Zbiór elementów przestrzeni X dla których  A (x)>0 nazywamy nośnikiem zbioru rozmytego A. Wprowadzamy oznaczenie: supp A:={ x  X:  A (x)>0 } Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8} oraz wówczas supp A={1, 2, 5, 7}

10 Definicja Wysokość zbioru rozmytego A oznaczamy przez h(A) i określamy jako: Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} oraz wówczas h(A) = 0,6

11 Definicja Zbiór rozmyty A nazywamy normalnym wtedy i tylko wtedy gdy h(A)=1. Zbiór, który nie jest normalny można znormalizować rozważając funkcję przynależności: Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} oraz wówczas h(A) = 0,5 oraz

12 Definicja Mówimy, że zbiór rozmyty A jest pusty (ozn. A=ø) wtedy i tylko wtedy supp A:= ø Definicja Mówimy, że zbiór rozmyty A zawiera się w zbiorze B (ozn. A  B) wtedy i tylko wtedy dla każdego Przykład A B

13 Definicja  -Przekrojem zbioru rozmytego A  X oznaczanym A  nazywamy następujący zbiór nierozmyty Innymi słowy jest to zbiór określony przez funkcję charakterystyczną Z powyższej definicji widać, że zachodzi następująca implikacja:

14 Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} oraz Przykład Wówczas:

15 Definicja Mówimy, że zbiór rozmyty A  R jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x 1, x 2  R i [0,1] zachodzi Przykład Poniższy zbiór nie jest wypukły

16 Operacje na zbiorach rozmytych Definicja Przecięciem zbiorów rozmytych A,B  X jest zbiór rozmyty A  B o funkcji przynależności W przypadku wielu zbiorów A 1, A 2,…,A n przecięcie określone jest następującą funkcją przynależności A B ABAB

17 Definicja Sumą zbiorów rozmytych A,B  X jest zbiór rozmyty A  B o funkcji przynależności W przypadku wielu zbiorów A 1, A 2,…,A n przecięcie określone jest następującą funkcją przynależności A B ABAB

18 Definicja Iloczynem algebraicznym zbiorów rozmytych A,B  X jest zbiór rozmyty A  B o funkcji przynależności Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5,6,7,8} oraz wówczas

19 Definicja Dopełnieniem zbioru rozmytego A  X jest zbiór rozmyty o funkcji przynależności gdzie x  X. Przykład Jeżeli X={1,2,3,4} oraz wówczas

20 Można łatwo pokazać (ćwiczenia!), że przypadku zbiorów rozmytych nie są spełnione prawa dopełnienia tzn: Zachodzą natomiast prawa de Morgana oraz absorbcji (ćwiczenia!). Ponadto w przypadku operacji na zbiorach rozmytych zachodzą własności przemienności, łączności oraz rozdzielności. Przykład Jeżeli X={1,2,3} oraz wówczas

21 Definicja Iloczynem kartezjańskim zbiorów rozmytych A  X i B  Y nazywamy zbiór rozmyty A  B funkcji przynależności gdzie x  X i y  Y. Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5} oraz wówczas

22 Definicja Koncentrację zbioru rozmytego A  X oznaczamy przez CON(A) i definiujemy jako gdzie x  X. Definicja Rozcieńczenie zbioru rozmytego A  X oznaczamy przez DIL(A) i definiujemy jako gdzie x  X. Przykład Jeżeli X={1,2,3,4,5} oraz Wówczas

23 Zmienna lingwistyczna Zmienną lingwistyczną nazywamy zmienną, której wartościami są słowa lub zdania w języku naturalnym lub sztucznym. Powyższe słowa lub zdania nazywamy wartościami lingwistycznymi zmiennej lingwistycznej. Przykład Niech x będzie zmienną lingwistyczną oznaczającą wiek. Wartości zmiennej lingwistycznej x należą do zbioru T={ stary, bardzo stary, nie tak stary, zupełnie młody, młody, bardzo młody } Do każdego z elementów zbioru T można przyporządkować odpowiedni zbiór rozmyty.

24 Przykład Niech X={0, 20, 40, 60, 80} oraz Zbiór rozmyty A odpowiada określeniu „młody”. Wówczas możemy interpretować jako „bardzo młody”. Natomiast możemy interpretować jako „bardzo, bardzo młody”.

25 Przykład 4-osobowa rodzina chce kupić mieszkanie. Komfort mieszkania związany jest z ilością sypialni. Opisujemy go zbiorem rozmytym Wielkość mieszkania opisujemy zbiorem rozmytym Mieszkanie komfortowe i jednocześnie duże opisywane jest zbiorem rozmytym

26 Przecięcie zbiorów rozmytych A,B  X określiliśmy jako zbiór rozmyty A  B o funkcji przynależności Zamiast funkcji min możemy użyć dowolnej t-normy, tzn. funkcji T takiej, że: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)) (łączność) T(a, b) = T(b, a) (przemienność) T(a, b)  T(d, c) dla a  d, b  c (monotoniczność) T(a, 1) = a (warunek brzegowy) Wprowadźmy oznaczenie t -normy

27 Operatory t -normy

28 Sumę zbiorów rozmytych A,B  X określiliśmy jako zbiór rozmyty A  B o funkcji przynależności Zamiast funkcji max można wziąć dowolna s-normę, tzn. dowolna funkcje spełniająca warunki: S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c)) (łaczność) S(a, b) = S(b, a) (przemienność) S(a, b)  S(d, c) dla a  d, b  c (monotoniczność) S(a, 0) = a (warunek brzegowy) Wprowadźmy oznaczenie s -normy

29 Operatory s -normy

30 Relacje rozmyte Zajmiemy się teraz relacjami rozmytymi. Relacje takie pozwalają sprecyzować nieprecyzyjne sformułowania np. x jest znacznie mniejsze od y zdarzenie x miało miejsce dużo wcześniej niż zdarzenie y Zbiory rozmyte pozwalają nam operować nieprecyzyjnym sformułowaniami temperatura wody odpowiednia do kąpieli szybki samochód

31 Definicja Relacją rozmytą R między dwoma niepustymi zbiorami (nierozmytymi) X i Y nazywamy zbiór rozmyty określony na iloczynie kartezjańskim X  Y tzn: gdzie jest funkcją przynależności. Oznaczenia

32 Relację tą możemy interpretować jako reprezentację zdania „x jest mniej więcej równe y”. Przykład Niech X={3,4,5} i Y={4,5}. Zdefiniujmy następującą relację Funkcja przynależności dla tej relacji

33 Przykład (cd) Relację możemy zapisać za pomocą macierzy gdzie x 1 =3, x 2 =4, x 3 =5 oraz y 1 =4, y 2 =5.

34 Przykład Przyjmijmy, że X=Y=[40,300] będzie przedziałem prędkości osiąganych przez samochody. Rozważmy relację R o następującej funkcji przynależności Relację tą możemy interpretować jako reprezentację zdania „samochód osiągający prędkość maksymalną x jest dużo szybszy od samochodu osiągającego prędkość maksymalną y”.

35 Złożenie relacji Niech X, Y i Z będą zbiorami nierozmytymi. Rozważmy dwie relacje rozmyte R  X  Y z funkcją przynależności S  Y  Z z funkcją przynależności Definicja Złożeniem typu sup-T relacji rozmytych R i S nazywamy relację rozmytą R  S  X  Z określoną następującą funkcją przynależności gdzie T jest operatorem t –normy.

36 Przykład Jeżeli T(a, b)=min{a, b} wówczas otrzymujemy (tzw. złożenie typu sup-min) Jeżeli zbiór Y ma skończoną liczbę elementów wówczas (tzw. złożenie typu max-min)

37 Przykład Rozważmy dwie relacje rozmyte gdzie X={x 1, x 2 }, Y={y 1, y 2 }, Z={z 1, z 2, z 3 } Złożenie typu max-min relacji R i S ma postać

38 Przykład (cd) Znajdujemy wartości a ij Korzystając ze wzoru

39 Ostatecznie Przykład (cd)

40 Złożenie relacji - własności

41 Przykład Rozważmy relacje rozmyte R  X  Y, I  Y  Z, O  Y  Z gdzie X={x 1, x 2 }, Y={y 1, y 2 }, Z={z 1, z 2 } Złożenie typu max-min relacji R i I ma postać

42 Przykład (cd) czyli Złożenie typu max-min relacji R i O ma postać

43 Koniec wykładu 2


Pobierz ppt "Zagadnienia AI wykład 2. Przykłady funkcji przynależności Funkcja Gaussowska gdzie jest środkiem, a  określa szerokość krzywej. Funkcja typu dzwonowego."

Podobne prezentacje


Reklamy Google