Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

hiperzespolone : Dziwne, nieznane liczby kwaterniony,kokwaterniony,tessariny, oktoniony,bikwaterniony,Sedeniony. nadrzeczywiste, hiprrzeczywiste, zespolone.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "hiperzespolone : Dziwne, nieznane liczby kwaterniony,kokwaterniony,tessariny, oktoniony,bikwaterniony,Sedeniony. nadrzeczywiste, hiprrzeczywiste, zespolone."— Zapis prezentacji:

1

2 hiperzespolone : Dziwne, nieznane liczby kwaterniony,kokwaterniony,tessariny, oktoniony,bikwaterniony,Sedeniony. nadrzeczywiste, hiprrzeczywiste, zespolone : dualne, podwójne Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1

3 Ale podczas szkolnej edukacji matematycznej, poznaliśmy te podstawowe zbiory liczbowe, W prezentacjach Co to jest liczba ? Zbiór Zbiór liczb Czy są liczby inne niż rzeczywiste dowiedzieliśmy się o matematycznej konstrukcji wymienionych zbiorów. krocząc inną drogą, drogą praktyki ( odcinać - odejmowanie, przetłumaczoną na język matematyki, i wyrażoną za pomocą równań. W zbiorze liczb naturalnych, równanie x + 3 = 0 nie ma rozwiązania. Aby równanie to miało rozwiązanie, trzeba zdefiniować zbiór liczb całkowitych C ( Z ) ; wykonywanie działań na tej samej liczbie – 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2 3 ; potęgowanie ) = 3 ∙ 2 ; mnożenie, Znając tylko liczby całkowite, nie potrafimy rozwiązać równania x ∙ 3 = 1 x = -3 podział – dzielenie, 2

4 Aby równanie x ∙ 3 = 1 miało rozwiązanie, trzeba określić zbiór liczb wymiernych W ( Q ) ; W podstawówce znając tylko liczby wymierne, nie potrafiliście rozwiązać równania x 2 = 2. Jak wiemy, pierwiastkami tego równania są liczby niewymierne, które poznaliście w gimnazjum. W NW = R x 2 = 2 x = ± √ 2, 2 x = 2 x = log 2 2 Wiemy, że zbiory liczb : W ( Q uotient ),C ( Z ahlen ),R ( R eal ) można definiować na kilka sposobów, co zasygnalizowaliśmy w poprzednich prezentacjach. W pewnych zagadnieniach matematycznych wygodnie jest rozważać rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych. Z tymi problemami spotykają się licealiści, którzy poznali ciągi zbieżne do nieskończoności. a w liceum x = 1 / 3 3

5 lub afinicznym liczb rzeczywistych ( prostej rzeczywistej ) Aby wykonać działania na ciągach zbieżnych, dwa „ elementy nieskończone ” : do zbioru liczb rzeczywistych dołączamy i oznaczamy Zbiór ten nazywamy rozszerzeniem dwupunktowym Ci, którzy umieją obliczać granice ciągów, znają działania arytmetyczne w zbiorze Prawdziwe pozostają prawa działań arytmetycznych, pod warunkiem jednak, że wszystkie występujące w nich wyrażenia są określone. 4

6 przyjmuje wartości według definicji : nie jest ciałem, To ostatnie zastrzeżenie sprawia, że zbiór ani nawet pierścieniem. Na zbiór można rozszerzyć wiele funkcji. Przykładem może być funkcja potęgowa dla rozpatrywania rozszerzeń zbioru liczb rzeczywistych. W podobny okresla się wiele innych funkcji, np. funkcję wykładniczą, czy tangens, itp. Co więcej wspomniane funkcje są ciągłe na całym zbiorze co upraszcza dowody wielu twierdzeń i stanowi główną motywację logarytmiczną, znane jako twierdzenia o granicach funkcji. która dla szczególnych argumentów 5

7 definiując zbiór liczb hiperrzeczywistych Abraham Robinson ( 1918 w Wałbrzychu – 1974 ) najbardziej znany jako autor bo do systemu liczb rzeczywistych włączył wartości nieskończenie duże i nieskończenie małe, która w danym przejściu granicznym dąży do zera. jest równa 0 : Nieskończenie małe ( infinitezymalne ) – określenie wielkości, Niech x 0 oznacza liczbę rzeczywistą lub ± ∞. Funkcję f (x) nazywamy nieskończenie małą poszedł dalej w rozszerzaniu zbioru liczb, przy x dążącym do x0 x0 jeżeli jej granica Aby te pojęcia zrozumieć, trzeba znać przynajmniej podstawowe pojęcia z analizy matematycznej ( które niegdyś uczono w liceum ). Zasygnalizujmy niektóre z tych pojęć, nie wdając się w precyzyjne rozważania. analizy niestandardowej, 6

8 nieskończenie małe w punkcie 0, Dwie nieskończenie małe f (x) i g(x) są równoważne Relacja „ równoważności " nieskończenie małych jest rzeczywiście relacją równoważnościową. sin x jest nieskończenie małą w punkcie 0 bo Równość ta oznacza jednocześnie, że Aksjomatykę i konstrukcję liczb hiperrzeczywistych jeżeli poznają na studiach tylko ci, którzy będą potrzebowali je do rozważania pewnych szczególnych zagadnień. Ale warto wiedzieć, że własności zbioru liczb Liczby hiperrzeczywiste można porównywać, rozpoznawać liczby nieujemne ( jako kwadraty ). do własności zbioru liczb rzeczywistych. są równoważne. sin x i x hiperrzeczywistych,są analogiczne 7

9 Można mówić o ich dzielnikach, o liczbach pierwszych Niektóre z liczb hiperrzeczywistych utożsamiamy z liczbami hipercałkowitymi. i tak dalej. w tej czy innej wersji, będzie analizą przyszłości. ” analizy niestandardowej, która jest bardzo młodą dziedziną matematyki i jej najlepsze czasy są przed nami. Każda ( y ) z was może się do tego przyczynić ! Jeden z najwybitniejszych logików matematycznych Kurt Gödel powiedział : „ Są powody wierzyć, że analiza niestandardowa Pamiętajmy nazwisko A. Robinsona jako autora w wielu gałęziach matematyki. Ważne jest, że analiza niestandardowa pozwala i twierdzenia, jak również uzyskać nowe wyniki bardziej intuicyjnie formułować znane pojęcia 8

10 mechanice Newtona skończonych układów materialnych, Analizę niestandardową wykorzystuje się w badaniach, dobrze opisuje znane z fizyki ruchy Browna, itd. np. w teorii równań różniczkowych hydrodynamiki, Gwoli ścisłości należy nadmienić, że nowej raptownie rozwijającej się dziedziny matematyki. że analiza niestandardowa nie otworzyła Skoro są liczby hiperrzeczywiste pojawili się matematycy, jak Ebbinghaus, Hermes, Hirzebruch, określili nowe liczby, nadrzeczywiste. Liczby nadrzeczywiste – klasa obiektów, spełniająca aksjomaty ciała, która zawiera w sobie zarówno liczby rzeczywiste, hiperrzeczywiste jak i porządkowe. a w internecie znalazłem uwagę, literatura z analizy niestandardowej nie jest popularna 9

11 liczb nadrzeczywistych musi obejmować Konstrukcja liczb nadrzeczywistych oparta jest Przykład liczby nadrzeczywistej utożsamioną z rzeczywistej : liczby nadrzeczywistej, utożsamioną z hiperrzeczywistą Ponieważ zbiór liczb nadrzeczywistych jest sumą trzech poprzednich zbiorów, zatem aksjomatyka trzy poprzednie i nie jest prosta. Tymi liczbami zajmą się na studiach ci, którym będą one potrzebne do rozwiązywania zagadnień w danej interesującej ich dziedzinie. przy konstrukcji liczb rzeczywistych. na uogólnieniu idei przekrojów Dedekinda zastosowanej ( nieskończenie małą - infinitezymalnej ) : 10

12 Czy każde równanie wymienionej wyżej postaci potrafimy rozwiązać ? Sądzę, że wszyscy wskażą przykład takiego równania. x 2 = - 1. I znowu nie ma liczby rzeczywistej, której kwadrat wynosi W zbiorze liczb nadrzeczywistych, który na ogół oznaczamy symbolem F, określamy działania podobnie jak na przekrojach Dedekinda. Ale jak już wspomniałem, tymi problemami zajmą się na studiach tylko nieliczni. Porzućmy liczby hiper oraz nad i powróćmy do „ starych ”, znanych nam liczb z edukacji szkolnej, a raczej do szkolnego sposobu konstruowania nowych liczb, który wynikał z naturalnej chęci rozwiązania podstawowych równań z którymi na lekcji matematyki spotykaliśmy się prawie na każdym kroku. 11

13 x 2 = - 1 Skoro nie ma liczby rzeczywistej, której kwadrat wynosi - 1, wiemy już co zrobić. a wcześniej operował nimi G. Cardano, imaginarius - liczby wyimaginowane, urojone Jeśli chcemy, by powyższe równanie miało rozwiązanie, której kwadrat byłby równy - 1. Czy taka liczba „ realnie ” istnieje ? Ma sens pod warunkiem, że ich pojawienie się nie zagrozi działaniom na liczbach już istniejących. Takie liczby zostały wprowadzone w XVII w. przez Kartezjusza W 1777 r. L. Euler w miejsce, wprowadził symbol i. Tak powstały nowe obiekty – liczby : Czy ma jakieś zastosowanie ?Czy ma ona sens ? przy rozwiązywaniu równań wyższych stopni. które nazwano i zapisujemy je w postaci trzeba wykreować, stworzyć nową liczbę, 12

14 przynajmniej jedno możemy zauważyć Ponadto już gimnazjaliści patrząc na zapis liczby zespolonej np. rozwiązując proste równanie Wprawdzie dotychczas „ praktycznego ” zastosowania takich liczb nie znamy, ale teoretyczne, automatycznie kojarzą z liczbamina których potrafimy wykonywać działania : dodawania, mnożenia, potęgowania. Stąd dość zaskakujący tytuł mojej Czy gimnazjalista potrafi wykonywać działania na liczbach zespolonych Nie muszę dodawać, że odpowiedź na powyższe pytanie jest pozytywna. W zasadzie, pomimo, że niewiele powiedzieliśmy o liczbach zespolonych, dosyć dużo operacji potrafimy na nich wykonywać. Zainteresowanych zapraszam do Liczby zespolone Liczby zespolone a algebraiczne, 13

15 Przypomnijmy teoretyczną konstrukcję zbioru liczb zespolonych i zasygnalizujmy problemy związane z teorią tych liczb. Wróćmy do geometrycznej interpretacji podstawowych zbiorów liczbowych poznanych w szkole. Mamy zbiór liczb rzeczywistych R. W tym zbiorze określamy działania : „ + ”, „ ∙ ” ciało liczb zespolonych. Z espolone Bierzemy to gdzie, gdy Uzasadnienie wzorów działań, uzyska każdy kto wykona operacjegdy Łatwo wykazać, że te działania spełniają własności, pozwalają stwierdzić, że jest ciałem. zwaną konstrukcją Cayleya-Dicksona. 14

16 ……………………………………………………………………………….……….……………………………………………………………………………………..….……………………………………………………………………………….……… N C WR Jak już wiemy, w/g konstrukcji Cayleya-Dicksona R Od izolowanych, kolejno równoodległych punktów przez wszystkie punkty na prostej ( współrzędne punktów są liczbami naturalnymi ), ( współrzędne punktów są liczbami rzeczywistymi ), przechodzimy do punktów ( współrzędne punktów to pary liczb rzeczywistych ). X... a b = ( a, b ) Płaszczyzna płaszczyzna zbiór liczb zespolonych Z to właśnie czyli mamy geometryczną interpretację zbioru liczb zespolonych. możemy przedstawiać w różnych postaciach Dzięki tej interpretacji liczby zespolone o których była mowa w wymienionych prezentacjach. Przypomnijmy te postacie liczby zespolonej. całej płaszczyzny 15

17 ... a b x y O. r z = ( a, b ) = | z | Niech liczby zespolone są wygodnym narzędziem do określenia i badania przekształceń i ich własności.. Na płaszczyźnie zespolonej wzory na przekształcenia są proste,punktu np. translacja o wektor wyraża się wzorem Wspominałem już, że między innymi a obrót wokół początku układu współrzędnych o kąt Niektóre dziedziny nauki w których zastosowanie mają liczby zespolone, wymieniałem w poprzedniej prezentacji. 16

18 Ponieważ liczbom zespolonym poświęciliśmy które polecam zainteresowanym, proponuję teraz zająć się budowaniem dalszych nowych zbiorów liczbowych. Liczby zespolone to obiekty postaci kilka wspomnianych wcześniej prezentacji, Liczba dualna ( w algebrze ) to wyrażenie postaci Konstrukcja liczby i, której kwadrat wynosi -1, była konsekwencją dążenia, by równanie x = 0 miało rozwiązanie. Ale po zbudowaniu teorii liczb zespolonych, dociekliwi być może zastanawiali się, co by było gdyby zmienić warunek. ( częste rozumowanie w matematyce ) Zdefiniujmy wiec nową liczbę ( obiekt, wyrażenie ) ( jest nilpotentem ). gdzieoraz i 2 = 0 lub i 2 = 1. i 2 = -1 na np 17

19 elementem neutralnym mnożenia Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych z następującymi dwoma działaniami : oraz Łatwo wykazać, że zbiór liczb dualnych Para jest elementem neutralnym dodawania przemiennym z jedynką z tymi działaniami jest pierścieniem i dzielnikami zera. ( d - dzielnik zera, gdy istnieje ostatni związek podpowiada aby przyjąć, że oraz skąd wzięła się definicja mnożenia. następującą postać kanoniczną : Analogicznie do liczb zespolonych można otrzymać Ponieważ stąd 18

20 ( rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika ) Dla liczby dualnej nie będącej dzielnikiem zera tj. istnieje odwrotność. Znajdujemy ją analogicznie do czynności przy obliczaniu odwrotności liczby zespolonej Sądzę, że jesteśmy chyba zaskoczeni, iż nasz pomysł przyniósł takie rezultaty. par dualnych ( dwoistych ) jest konstrukcja przekształceń dualnych. Warto wiedzieć, że konsekwencją naszej definicji ( związana z iloczynem skalarnym wektorów ), modułu dualnego, Dzielniki zera mają postać bowiem Jak widać pomysł utworzenia takich liczb znaną nam strukturę, okazał się ciekawy, bo otrzymaliśmy przestrzeni dualnej pierścień z dzielnikami zera. 19

21 w szczególności między liczbami dualnymi a macierzami 2 – go st. Tym, którzy znają pojęcie macierzy, podpowiem, że istnieje odpowiedniość ( izomorfizm ), Po tym niewątpliwym sukcesie, idźmy za ciosem. Co się stanie, gdy warunek i 2 = -1 zmienimy np. na i 2 =1. Ale przecież ten warunek oznacza, że i =1 lub i =-1 i nic nowego nie otrzymamy. przecież i, to nie liczba, Liczba podwójną ( w algebrze ) to wyrażenie postaci Zdefiniujmy więc nową liczbę ( obiekt, wyrażenie ) gdzieoraz ( zainteresowani macierzami, podstawowe pojęcia znajdą w Definicja macierzy, ) tylko para liczbHola, hola, 20

22 elementem neutralnym mnożenia Liczby podwójne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych z następującymi dwoma działaniami : oraz Para jest elementem neutralnym dodawania Łatwo wykazać, że zbiór liczb dualnych przemiennym z jedynką z tymi działaniami jest i dzielnikami zera. ( d - dzielnik zera, gdy istnieje ostatni związek podpowiada aby przyjąć, że oraz skąd wzięła się definicja mnożenia. następującą postać kanoniczną : Analogicznie do liczb zespolonych można otrzymać Ponieważ stąd pierścieniem 21

23 ( rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika ) Dla liczby podwójnej nie będącej dzielnikiem zera tj. istnieje odwrotność. Umiemy ją znaleźć Tym razem jesteśmy może mniej zaskoczeni niż poprzednio, iż nasz pomysł przyniósł takie rezultaty. Dzielniki zera mają postać bowiem Czyli jest dzielnikiem zera gdy Zatem, znowu sukces ! w szczególności między liczbami podwójnymi a macierzami 2 – go st. I nadal istnieje odpowiedniość ( izomorfizm ), 22

24 Skoro z sukcesem wykonywaliśmy taką konstrukcję definiując liczby całkowite, wykonajmy ją jeszcze raz. zespolone, wymierne, czterokrotnie, Bierzemy ( pary liczb zespolonych ). para liczb zespolonych dwie pary liczb rzeczywistych czwórka liczb rzeczywistych є Takie czwórki liczb rzeczywistych Obiekty te nazywamy lub krócej liczbami hiperzespolonymi Najprostszą postacią liczby zespolonej jest zapis kwaternionami. wprowadził W. Hamilton Ponieważ wyczerpaliśmy przypadki ingerujące w warunki jednostki urojonej i liczby zespolonej, dalsze jakiejś konstrukcje należy poszukiwać rozbudowując, podwajając liczbę zespoloną. 23

25 Również kwaterniony można przedstawić w różnych postaciach, z których najprostszą jest Sądzę, że każdy patrząc na te warunki pyta, skąd one się wzięły ? Wydaje mi się, że odpowiedź jest prozaiczna. by otrzymać zadowalający efekt. Nam, wykorzystując pomysł konstrukcji tych liczb Hamilton, podobnie jak inni uczeni ( np. Mendelejew budując swoje tablice – okresowy układ pierwiastków chemicznych ) niemało i długo trudzili się ( kombinowali ) pozostaje problem, jak te warunki zapamiętać. Każdy skuteczny pomysł jest dobry. Te warunki są oczywiste. Tuzauważamy cykliczność ( zgodny z alfabetem ) 24

26 . Tutaj cykl odwrotny zaś widać Ponieważ kwaterniony znalazły zastosowanie w grafice w przestrzeni trójwymiarowej, komputerowej do wykonywania obrotów ci którzy znają iloczyn wektorowy zauważą, że gdy są wersorami ( wektorami długości 1 i parami prostopadłymi ) to są spełnione warunki podobnie jak działania na liczbach zespolonych, Dodawanie i mnożenie kwaternionów, z wyjątkiem przemienności mnożenia. zbiór kwaternionów z działaniami „ + ” i „ ∙ ” ma strukturę pierścienia nieprzemiennego. Co więcej : w zbiorze kwaternionów z działaniami spełnione są w nim wszystkie aksjomaty ciała jest proste lecz czasochłonne, ale łatwo wykazać, że ( niezgodny z alfabetem ) 25

27 W poprzedniej prezentacji pokazaliśmy, że pewne podzbiory kwaternionów zbiorem liczb rzeczywistych, oraz z ciałem liczb zespolonych. można utożsamiać ze Tam też, podałem kilka zastosowań kwaternionów w różnych działach matematyki. Skoro Hamilton skonstruował dziwne liczby, kwaterniony, spełniając e określone warunki, inni matematycy, zaczęli rozważać możliwości zmiany tych założeń. tessariny a w rok później kokwaterniony. W 1848 r. J. Cockle, wprowadził z czego wynika, że Tessariny ( liczby dwuzespolone ) to liczby postaci : 26

28 Kokwaterniony ( kwaterniony rozdzielne ) to liczby postaci kokwaterniony kształtują czterowymiarową a z dodawaniem i mnożeniem tworzy strukturę Podobnie jak kwaterniony Hamiltona z mnożeniem, rzeczywistą przestrzeń wektorową, pierścienia ( nieprzemiennego ). i łatwo wykazać własności działań. Dodawania, mnożenia kokwaternionów jest oczywiste Jest oczywiste ( co słychać w nazwie liczb – hiperzespolone ), że liczby zespolone są szczególnymi przypadkami liczb, kwaternionów,kokwaternionów.tessaryn, Postawmy podobne pytanie : czy liczby dualne, podwojone, są tez szczególnymi przypadkami liczb hiperzespolonych ? 27

29 W tej prezentacji parokrotnie wykonaliśmy pewną konstrukcję dzięki której zbudowaliśmy zbiory liczb całkowitych, wymiernych, zespolonych i kwaternionów. Liczba podwójna gdzie że liczby podwójne są szczególnymi przypadkami Liczba dualna gdzie Przypomnijmy określenia tych liczb Porównując warunki tych liczb z definicjami ale nie kwaternionów i kokwaternionów Liczby dualne nie są szczególnymi liczb hiperzespolonych. liczb hiperzespolonych, łatwo zauważyć, tessarinów Powtórzmy konstrukcję tworzenia par liczb, tym razem kwaternionów. 28

30 Weźmy ( pary kwaternionów ) para kwaternionów dwie czwórki liczb rzeczywistych ósemka liczb rzeczywistych є Takie obiekty w 1845 r. wprowadził A. Cayley. Liczby te nazywamy oktawami Cayleya oktoniami Podobnie do zapisu liczby i kwaternionu możemy przedstawić oktoniany. Ponieważ w zapisie występuje 15 liter, jest on kłopotliwy. Ale kto ma doświadczenie, choćby z wielomianami, ma propozycję, by litery od a do h, oraz od i, j, k, …. zastąpić dwiema literami ze wskaźnikami ( numerami, indeksami, ). lub krótko ( łac. octo - osiem ). zespolonej 29

31 ·1e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 11e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 e1e1 e1e1 e4e4 e7e7 -e 2 e6e6 -e 5 -e 3 e2e2 e2e2 -e 4 e5e5 e1e1 -e 3 e7e7 -e 6 e3e3 e3e3 -e 7 -e 5 e6e6 e2e2 -e 4 e1e1 e4e4 e4e4 e2e2 -e 1 -e 6 e7e7 e3e3 -e 5 e5e5 e5e5 -e 6 e3e3 -e 2 -e 7 e1e1 e4e4 e6e6 e6e6 e5e5 -e 7 e4e4 -e 3 -e 1 e2e2 e7e7 e7e7 e3e3 e6e6 -e 1 e5e5 -e 4 -e 2 a działanie mnożenia definiuje poniższa tabela : Kolejność w mnożeniu O ktoniony ( oktawy Cayleya ) Stąd też : kolumny ( e j ). to wiersze ( e i ) Łatwo ( choć żmudnie ) wykazuje się, że mnożenie oktonionów Jest ono rozdzielne względem dodawania. nie jest przemienne, ani nie jest łączne. 30

32 Zbiór oktonionów z dodawaniem i mnożeniem, tworzą strukturę pierścienia nieprzemiennego i niełącznego z dzieleniem ( każdy element niezerowy ma element odwrotny ). Oktoniony ( oktawy Cayleya ) są trzecią z kolei do liczb rzeczywistych. powstałą przez zastosowanie konstrukcji Cayleya- Dicksona po liczbach zespolonych i kwaternionach algebrą Chyba wszyscy już podejrzewają, że wykonamy tą konstrukcję jeszcze raz. Oktoniony są dziwniejsze od kwaternionów, jak przeczytaliśmy wyżej, bo mnożenie, nie tylko nie jest przemienne, ale naruszone jest prawo łączności. Nabierzmy do tych liczb respektu, bo aby zobaczyć do czego one mogą się przydać, potrzebna jest wiedza ze współczesnej fizyki cząstek elementarnych, szczególnie teorii strun. 31

33 Wykonujemy konstrukcję Cayleya. Bierzemy ( pary oktonionów ) para oktonionów dwie ósemki liczb rzeczywistych є ciąg szesnastu liczb rzeczywistych Ten obiekt – liczbę nazywamy sedenionem. Każdy sedenion można przedstawić a mnożenie można zdefiniować tabelką, którą łatwo znaleźć w podręczniku. Tak jak w przypadku oktonionów, mnożenie sedenionów Jest ono rozdzielne względem dodawania. ani nie jest łączne. nie jest przemienne, Zbiór sedenionów z dodawaniem i mnożeniem, tworzą strukturę pierścienia nieprzemiennego i niełącznego ( każdy element niezerowy ma element odwrotny ). 32

34 oraz 16 w przypadku sedenionów ). Podczas gdy liczby zespolone możemy utożsamiać z punktami na płaszczyźnie, liczbom hiperzespolonym można przyporządkować jako punkty w pewnej przestrzeni euklidesowej o większej liczbie wymiarów ( 4 w przypadku kwaternionów, tessarinów i kokwaternionów, 8 w przypadku oktonionów i bikwaternionów Liczby hiperzespolone uzyskaliśmy wykonując na zbiorze liczb rzeczywistych czterokrotnie konstrukcję Cayleya. Mimo wszystko liczby te znajdują swoje zastosowania. Wykonując kolejne konstrukcje, otrzymane zbiory mają jednak coraz gorsze właściwości algebraiczne: kwaterniony nie tworzą już ciała, ponieważ mnożenie przestaje być przemienne, a w oktawach mnożenie przestaje być nawet łączne. 33

35 Czy budować tą konstrukcję jeszcze raz ? Teoretycznie można, ale nowy otrzymany zbiór obiektów będzie miał jeszcze mniej własności ( będzie gorszy ) i najprawdopodobniej, nie będzie miał praktycznego zastosowania. Zatem może warto popatrzeć na to co już mamy : tessaryny liczby zespolone kwaterniony kokwaterniony sedeniony oktoniony 34

36 Uogólniając te liczby i definiując na nich działania. Pozwalając na odmienne definicje iloczynów e i ∙ e j przy czym w niezdegenerowanych algebrach Clifforda do konstrukcji liczb przyjmuje się zawsze : lub Chyba wszyscy zauważyli, że liczby zespolone, kwaterniony, oktoniony i sedeniony, można przedstawić w postaci : to różnego rodzaju jednostki urojone Działania na liczbach są całkowicie określone przez ustalenie iloczynów e i ∙ e j jednostek urojonych. Clifford utworzył strukturę zwaną algebrą Clifforda. 35

37 ( z dokładnością do izomorfizmu ) całą wygenerowaną Na elementach ( bazy przestrzeni ) definiujemy mnożenie. Ilość elementów, których kwadraty są równe +1, oznaczmy symbolem p, wynosi - 1, przez q. Liczby p, q określają jednoznacznie odpowiadające sobie w ten sposób algebrę. Jest ona wówczas oznaczana Czy wszystkie rozważane przez nas zbiory liczb są algebrami Clifforda ? a ilość tych, których kwadrat Liczby zespolone Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy odwołać się do definicji tych zbiorów. Cℓ0,1(R)Cℓ0,1(R) Cℓ1,0(R)Cℓ1,0(R) tworzą algebrę Clifforda typu zaś zbiór liczb podwójnych gdzie jest algebrą 36

38 nie tworzą algebry Clifforda. Opr. WWW ęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji by po korekcie, Z góry dziękuję. można było ją uznać za poprawną. i przekazanie uwag, Koniec prezentacji Zapraszam op.pl tel do następnej prezentacji. Zbiór kwaternionów Cℓ0,3(R)Cℓ0,3(R) jest algebrą Jeszcze raz podkreślmy, że informacje w tej prezentacji to tylko zasygnalizowanie licealistom ciekawej wiedzy, Liczby dualne gdzie z którą nie spotkają się w szkole, a precyzyjne definicje tych pojęć, być może z działniami poznają na studiach. 37


Pobierz ppt "hiperzespolone : Dziwne, nieznane liczby kwaterniony,kokwaterniony,tessariny, oktoniony,bikwaterniony,Sedeniony. nadrzeczywiste, hiprrzeczywiste, zespolone."

Podobne prezentacje


Reklamy Google