Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych przy zadanym zagadnieniu brzegowym.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych przy zadanym zagadnieniu brzegowym."— Zapis prezentacji:

1 Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych przy zadanym zagadnieniu brzegowym

2 Dane jest r.r. II-go rzędu Poszukiwane jest rozwiązanie szczególne spełniające określone warunki na granicach przedziałów. Np.: dla oraz ab A B

3 dla Inne warunki brzegowe: dla oraz ab A

4 Inne warunki brzegowe: dla oraz ab Takie warunki brzegowe nie są jednoznaczne

5 Ogólnie warunki brzegowe dla r.r. drugiego rzędu można zapisać w formie układu równań: Obliczenia można rozpocząć tylko od jednego końca przedziału zatem jeżeli brakuje jednej z wartości trzeba ją założyć (!), wykonać obliczenia i sprawdzić, czy warunek brzegowy na drugim końcu przedziału jest spełniony METODA STRZAŁÓW

6 Rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych II-go rzędu metodą różnicową Z warunkami brzegowymi: Gdzie a i b to granice przedziału. Przedział podzielmy na n części i oznaczmy:

7 Z podzielania przedziału otrzymujemy regularną siatkę liniową 12inn+1 Dla wewnętrznych węzłów siatki można napisać równania na pochodne obliczane centralnie z O(h 2 ) Oznaczmy: n = 5  10

8 Po podstawieniu do równanie różniczkowego Po uporządkowaniu wg y

9 Otrzymujemy n-1 równań opisujących funkcję w wewnętrznych węzłach siatki od i=2 do i=n Ilość niewiadomych wynosi n+1 (od y 1 do y n+1 ), brakuje dwóch równań.

10 Dla skrajnych węzłów trzeba skorzystać z równań niesymetrycznych (w przód i w tył) O(h) Wykorzystać należy równania warunków brzegowych:

11 Dla węzła 1 Po uporządkowaniu: podstawmy

12 Dla węzła n+1 Po uporządkowaniu: podstawmy

13 Ostatecznie otrzymamy układ równań

14 W zapisie macierzowym Takie wyrażenie (trój-diagonalną macierzą współczynników) można rozwiązać za pomocą metody Thomasa (przegnania)

15 Przekształcamy do postaci Gdzie:, przy czym: Rozwiązanie:

16 Ekstrapolacja Richardsona Opiera się na metodzie różnicowej Polega na policzeniu wartości funkcji przy kroku h i kroku o połowę krótszym: h/2 Korzysta z założenia, że błąd O(h 2 )~Ah 2 Skorygowana wartość funkcji w węzłach:

17 Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej INTERPOLACJA

18 Interpolacja Liniowa Założenie: Związek między zmienną niezależną i zależną pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami w tabeli jest liniowy xixi x i+1 yiyi y i+1 x y

19 Algorytm obliczania wartości funkcji za pomocą interpolacji liniowej 1. Wczytać uporządkowaną rosnąco tabelę w formacie zmiennych indeksowanych x i i y i o indeksach i od 1 do n 2. Wczytać wartość zmiennej niezależnej x 3. Przyjąć i =0 4. Zwiększyć i o 1 5. Sprawdzić czy x i+1 > x, jeżeli nie to powrót do p.4 6. Obliczyć y=y i +(y i+1 - y i )/(x i+1 - x i )(x i+1 - x) 7. Wydrukować y

20 Interpolacja liniowa daje duże błędy przy rzadkich tabelach i silnie krzywoliniowych zależnościach yy x

21 Interpolacje nieliniowe Twierdzenie o interpolacji: –Istnieje jeden wielomian interpolujący W n (x) stopnia co najwyżej n, taki że dla każdego i W n (x i )=y i, W n (x i )=y i, gdzie: i = 0, 1,...., n, x i, y i to współrzędne punktów interpolowanych

22 Wzór interpolacyjny Newtona Gdzie: Iloraz różnicowy I-go rzędu Iloraz różnicowy II-go rzędu

23 Przykład obliczeń ilorazów różnicowych Iloraz różnicowy I-go rzędu Iloraz różnicowy II-go rzędu Iloraz różnicowy III-go rzędu ixixi f(x i ) f(x i+1 ;x i )f(x i+2 ; x i+1 ;x i )f(x i+3 ; x i+2 ; x i+1 ;x i ) 000 (8-0)/(2-0)=4 128 (19-4)/(3-0)=5 (27-8)/(3-2)=19(10-5)/(5-0)= (49-19)/(5-2)=10 (125-27)/(5-3)=

24 w i (x): Jest to wielomian dany równaniem: np.

25 Przykład: napisać wzór interpolacyjny dla funkcji danej tabelą: ixixi f(x i ) n = 3: wielomian stopnia 3-go

26 Uproszczenie obliczeń w przypadku stałych przyrostów argumentu funkcji

27 Dla dowolnego k  :

28 Uproszczenie obliczeń w przypadku stałych przyrostów argumentu funkcji Wprowadźmy zmienną: Otrzymamy:

29 Uproszczenie obliczeń w przypadku stałych przyrostów argumentu funkcji Po podstawieniu do wielomianu: Zalety przekształcenia: 1.Brak konieczności obliczania ilorazów różnicowych 2.Zmienna x jest wprowadzana tylko raz przy obliczeniu q

30 Przykład obliczeń  n y 0 ixixi yiyi yy 2y2y 3y3y = =6 8-1=712-6= = =

31 Przykład: napisać wzór interpolacyjny dla funkcji danej tabelą: ixixi yiyi h=1


Pobierz ppt "Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych przy zadanym zagadnieniu brzegowym."

Podobne prezentacje


Reklamy Google