Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej wykład 1.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej wykład 1."— Zapis prezentacji:

1 Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej wykład 1

2 Literatura  Emil Slavicek, Technika obliczeniowa dla chemików, WNT Warszawa 1991  Anthony Ralston, Wstęp do analizy numerycznej  Karol Machej, Elementy programowania w języku BASIC i Pascal, skrypt 1833  William Volk, Statystyka stosowana dla inżynierów WNT Warszawa 1965

3 Czym są metody numeryczne?  Dział matematyki zajmujący się rozwiązywaniem problemów matematycznych za pomocą operacji ARYTMETYCZNYCH.  Wykorzystuje się przybliżenia wielkości niearytmetycznych arytmetycznymi i badanie błędów tego przybliżenia.

4 Błąd - definicja  Wartość dokładna=wartość przybliżona+Błąd  Błąd względny=błąd/wartość dokładna

5 BŁĘDY OBLICZENIOWE 1.Błąd zaokrąglenia 2.Błąd metody 3.Błąd obcięcia 4.Inne błędy

6 1. Błąd zaokrąglenia Dokładnie można przedstawić tylko liczby całkowite i wymierne. Liczby niewymierne zawsze zapisujemy z błędem bo używamy skończonej ilości cyfr. Wymierne często też skracamy Przykład Używając 5 miejsc znaczących Popełniamy błąd zaokrąglenia

7 Błąd - definicja  Przedstawiając 1/3 w zapisie dziesiętnym jako 0,333

8 Cyfry znaczące  d= pozycja cyfry w liczbie  Błąd zaokrąglenia d-tej cyfry d ,157663

9 Cyfry znaczące  Cyfrę na pozycji k-tej nazywamy znaczącą jeżeli dla przybliżenia y dokładnej liczby x  Dla poprawnych zaokrągleń znaczące są wszystkie cyfry zaokrąglenia k ,50,05,0050,00050,00005

10 Cyfry znaczące  x=1,  y=1,2646  k ,50,05,0050,00050,000050,000005

11 Cyfry znaczące  Ilość cyfr znaczących n jest miarą błędu względnego  Istotny jest wzrost błędu względnego przy odejmowaniu liczb podobnych

12 2. Błąd metody Jego przyczyna leży w niedoskonałości metod obliczeniowych, Zastosowania skończonych przyrostów w miejsce nieskończenie małych. Zastosowanie funkcji przybliżających w miejsce rzeczywistych

13 2. Błąd metody przykład  Obliczyć pochodną w punkcie x = 0,4 ixixi yiyi 10,10,01 20,20,04 30,30,09 40,40,16 50,50,25 60,60,36 70,70,49 80,80,64  Wynik dokładny to 0,8  Błąd wynosi 0,1 =  x, metoda jest I-go rzędu

14 3. Błąd obcięcia  Dotyczy: iteracyjnych metod obliczeniowych (w których do rozwiązania zbliżamy się powtarzając obliczenia) usunięcia mniej znaczących wyrazów (np. w rozwinięciu w szereg)  Do wyniku dokładnego: w metodach iteracyjnych dochodzi się po nieskończonej ilości powtórzeń a praktycznie obliczenia trzeba w pewnym momencie zakończyć Stosując nieskończoną ilość wyrazów

15 3. Błąd obcięcia Przykład: znaleźć pierwiastek równania i = i +1 x wynik

16 3. Błąd obcięcia Rozwinięcie w szereg Taylora w przedstawionej wcześniej metodzie ograniczono się do k=1 n = 1, h =  x, x = x i, x+nh = x i+1

17 3. Błąd obcięcia Dokładniejszy wzór uzyskamy stosując 3 wyrazy w rozwinięciu w szereg Taylora (k=2)

18 3. Błąd obcięcia Stosując zapis skrócony: Stosując powyższy wzór do przykładu

19  Związany jest z niedokładnymi wskazaniami przyrządów pomiarowych  Każdy przyrząd pomiarowy ma określoną dokładność nazwaną klasą dokładności.  Błąd E wskazań przyrządu oblicza się mnożąc skalę S przez klasę K i dzieląc przez Inne błędy - błąd systematyczny

20 Przykład: manometr ma zakres 250bar i klasę 2,5. W jakich granicach mieści się zmierzone za jego pomocą ciśnienie Oznacza to, że jeżeli manometr wskazał ciśnienie 100bar to rzeczywiste ciśnienie mieści się w przedziale

21 Inne błędy  Błąd przypadkowy  Błąd gruby

22 ALGORYTM  Algorytm jest to jednoznaczny przepis pozwalający na wykonanie postawionego zadania. Ma następujące cechy: 1. Określoność 1. Określoność – nie ma w nim dowolności, czyli przypadkowego postępowania 2. Ogólność 2. Ogólność – pozwala rozwiązać klasę zadań a nie tylko jedno szczególne zadanie. Np. za algorytm można uznać przepis na sumowanie dwóch liczb a nie taki, który dodaje 2 i Efektywność 3. Efektywność – oznacza, że po wykonaniu skończonej i możliwie najmniejszej ilości operacji otrzymuje się poprawny wynik DEFINICJA

23 Schemat blokowy  Schemat blokowy to graficzny obraz struktury algorytmu. Składa się z określonych (znormalizowanych) znaków i symboli graficznych (tzw. bloków) połączonych liniami. Kolejność wykonywania określają linie łączące bloki, od góry na dół i od lewej do prawej, chyba że strzałki stanowią inaczej. Pierwszym elementem jest zawsze blok START, a ostatnim KONIEC. Operacje wykonywane w danym elemencie wpisuje się wewnątrz bloku. DEFINICJA

24 Podstawowe elementy Schematów Blokowych Początek, koniec schematu Przetwarzanie danych Operacje wejścia, wyjścia (np. druk) Blok decyzyjny. Wybór jednej z dróg w zależności od spełnienia warunku Łączniki: stronicowy i międzystronicowy Proces uprzednio zdefiniowany, podprogram

25 Zadanie przykładowe: obliczanie wartości dowolnej funkcji liniowej dla różnych wartości zmiennej niezależnej 1.Wprowadzić współczynniki a i b równania liniowego 2.Wprowadzić wartość zmiennej niezależnej x 3.Obliczyć y = ax+b 4.Wydrukować y 5.Zapytać czy kontynuować obliczenia dla nowych x 6.Jeżeli odpowiedź to „tak” wtedy powrót do punktu 2 7.Koniec

26 Czytaj: a, b y = ax + b Drukuj: y Drukuj: czy liczyć dalej?(t/n) Czytaj: O O = „t” tak Czytaj: x start koniec

27 Program w BASICu 10 INPUT a, b 20 INPUT x 30 y = a*x+b 40 PRINT y 50 PRINT "Czy liczyć dla nowego x (t/n)" 60 INPUT O$ 70 IF O$ = "t" THEN GOTO PRINT "Czy liczyć dla nowych parametrów a,b (t/n)„ 90 INPUT O1$ 100 IF O1$ = "t" THEN GOTO END

28 Wykorzystanie Visual Basica z Excela  Wprowadzenie danych: Z komórek arkusza zmienna=ActiveCell.Value Zmienna=Range(”AdresKomórki”) Z okienka wprowadzania danych Zmienna=InputBox(”opis okienka”)

29 Wykorzystanie Visual Basica  Wyprowadzanie wyników Do komórki arkusza ActiveCell.Value= zmienna Range(”AdresKomórki”)= Zmienna W okienku wiadomości MsgBox(Zmienna)

30 Wykorzystanie Visual Basica  Dodatkowe możliwości funkcji MsgBox MsgBox(prompt[, buttons] [, title] [, helpfile, context])

31 Wykorzystanie Visual Basica 5 a = InputBox("podaj a") b = InputBox("podaj b") 10 x = InputBox("podaj x") y = a * x + b odp = MsgBox(y, 5, "wynik") If odp = 4 Then GoTo 10 odp1 = MsgBox("czy liczyć dla nowych parametrów?", 1, "pytanie:") If odp1 = 1 Then GoTo 5

32 Wykorzystanie Visual Basica  Zmienne Oznaczenia Litery (A, B itp.) Wyrazy (ilosc, masa itp.) Kombinacje liter i cyfr (A1, c3 itp.) Kilka wyrazów połączonych (NazwaZbioru, srednica_wew itp.)

33 Wykorzystanie Visual Basica  Zmienne Typy Single, E-45 do E38 (+/-) 32bity Double, E-324 do E308 (64 bity) Boolean, false, true Byte, 0 to 255 Integer, -32,768 to 32,767 Long -2,147,483,648 to 2,147,483,647

34 Wykorzystanie Visual Basica  Zmienne Definiowanie  Dim NazwaZmiennej As TypZmiennej  Dim NazwaZmiennej(il_w, il_kol) As TypZmiennej

35 Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej Algorytmy iteracyjne

36 Algorytmy iteracyjne - definicja Jest to klasa algorytmów, w których występuje powtarzanie pewnych kroków obliczeń w wyniku czego otrzymuje się rozwiązanie z dokładnością rosnącą wraz z liczbą powtórzeń. Całkowicie dokładny wynik uzyskuje się po nieskończonej liczbie powtórzeń (iteracji).

37 Przykład – algorytm obliczania pierwiastka liczby N>0

38 Wzór iteracyjny: Obliczyć pierwiastek z 9. Jako pierwsze przybliżenie przyjąć x 0 = 6.

39

40

41 Podstawy teoretyczne procesów iteracyjnych Rozważmy zadanie typu: Pierwszy krok to przekształcenie do postaci Z której wynika: Od kolejnych wartości x k oczekuje się, by spełniały warunek: rozwiązanie dokładne

42 Podstawy teoretyczne procesów iteracyjnych Inaczej można to wyrazić wzorem: Aby algorytm można uznać za algorytm iteracyjny to przekształcenie Musi dawać zbieżny ciąg wartości x k.

43 Podstawy teoretyczne procesów iteracyjnych Warunek zbieżności wyrażony za pomocą błędu k-tego kroku

44 Szybkość zbieżności procesu iteracyjnego Rozwijając funkcję F(x) w szereg Taylora wokół punktu x k na promieniu h = e k można wyprowadzić zależność na zmianę błędu w kolejnym kroku. Z definicji błędu: Związek miedzy e k+1 i e k

45 Szybkość zbieżności procesu iteracyjnego Z definicji przekształcenia iteracyjnego: Podstawiając do rozwinięcia w szereg:

46 Szybkość zbieżności procesu iteracyjnego Wprowadzając oznaczenie: Zakładając, że e k jest bardzo małe, znaczenie ma ten wyraz, dla którego parametr b jest różny od 0 przy najmniejszej potędze e k Z praktycznego punktu widzenia rozpatruje się tylko potęgi od 1 - 3

47 Szybkość zbieżności procesu iteracyjnego 1. Jeżeli b 1  0, błędy w dwu kolejnych krokach wiąże zależność liniowa: Iteracja pierwszego rzędu 2. Jeżeli b 1 = 0 i b 2  0, błędy w dwu kolejnych krokach wiąże zależność paraboliczna: Iteracja drugiego rzędu

48 Szybkość zbieżności procesu iteracyjnego 3. Jeżeli b 1 = 0 i b 2 = 0 a b 3  0, błędy w dwu kolejnych krokach wiąże zależność:Iteracja trzeciego rzędu Ponieważ e k <1 to im większy rząd metody tym jest ona szybciej zbieżna

49 Warunki zbieżności procesu iteracyjnego w zależności od jego rzędu Aby proces iteracyjny był zbieżny dla dowolnego kroku k większego od pewnego kroku p musi być spełniony warunek: 1.Proces pierwszego rzędu lub

50 Warunki zbieżności procesu iteracyjnego W przypadku metod rzędu I-go jedynym warunkiem zbieżność jest by moduł pochodnej F’(x) w punkcie startowym był mniejszy od 1.

51 Warunki zbieżności procesu iteracyjnego 2. Proces drugiego rzędu obliczenia mogą nie być zbieżne! W warunku zbieżności występuje wartość błędu. Ponieważ jest ona nieznana nie dla wszystkich punktów startowych będzie on mniejszy od granicznego e p dlatego obliczenia mogą nie być zbieżne! lub

52 Warunki zbieżności procesu iteracyjnego 3. Proces iteracyjny trzeciego rzędu Podobnie jak w przypadku II-go rzędu osiągnięcie zbieżności zależy od przyjętego punktu startowego

53 Praktyczny warunek zakończenia obliczeń Ponieważ rzeczywista wartość błędu jest nieznana jako warunek kończący obliczenia przyjmuje się zależność opartą o różnicę rozwiązania obliczonego w dwóch kolejnych krokach  - założona wartość określająca dokładność obliczeń Wykorzystuje się ją w algorytmie, do sformułowania warunku kończącego pętlę iteracyjną

54 Schemat blokowy algorytmu obliczania pierwiastka kwadratowego liczby. start x 0 = x 1 Czytaj N, x 0 |x1-x0||x1-x0| Drukuj x 0 koniec

55 Związek między  i e. Ile wynosi błąd w momencie zakończenia obliczeń iteracyjnych? Iteracja pierwszego rzędu:

56 Związek między  i e. Jeżeli b 1 jest bliskie 1 to błąd jest znacząco większy . Np. dla b 1 = 0,9

57 Związek między  i e. Iteracje wyższych rzędów Z warunku zbieżności: Można zaniedbać w różnicy

58 Związek między  i e. Dla iteracji wyższych błędów rzeczywisty błąd obliczeń e k jest zwykle co najmniej o rząd wielkości mniejszy od parametru  decydującego o zakończeniu obliczeń.


Pobierz ppt "Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej wykład 1."

Podobne prezentacje


Reklamy Google