Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metody numeryczne szukanie pierwiastka metodą bisekcji Dawid Rasała.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metody numeryczne szukanie pierwiastka metodą bisekcji Dawid Rasała."— Zapis prezentacji:

1 Metody numeryczne szukanie pierwiastka metodą bisekcji Dawid Rasała

2 Pierwiastki równania f(x) = 0 na ogół nie wyrażają się zamkniętymi wzorami, dlatego rozwiązując równania nieliniowe stosujemy na ogół metody przybliżone, opierające się zazwyczaj na kolejnych przybliżeniach pierwiastka. Są to metody iteracyjne, co oznacza, że startując od jednego lub kilku przybliżeń początkowych pierwiastka, metody te dają ciąg x 0, x 1, x 2, … kolejnych przybliżeń pierwiastka. Rozwiązywanie równań Metody numeryczne Dawid Rasała

3 Metoda równego podziału (metoda połowienia, metoda bisekcji, metoda połowienia przedziału) - jedna z metod rozwiązywania równań nieliniowych. Opiera się ona na następującym twierdzeniu: Metoda bisekcji Jeżeli funkcja ciągła f(x) ma na końcach przedziału domkniętego wartości różnych znaków, to wewnątrz tego przedziału, istnieje co najmniej jeden pierwiastek równania f(x) = 0. Metody numeryczne Dawid Rasała

4 Mamy daną funkcję f(x) oraz przedział, w którym będziemy poszukiwali miejsca zerowego. Aby można było zastosować algorytm połowienia muszą być spełnione poniższe warunki: 1. Funkcja f(x) jest określona w każdym punkcie przedziału. Określoność funkcji oznacza, iż dla każdej wartości argumentu x z przedziału potrafimy policzyć wartość funkcji. Dla przykładu rozważmy prostą funkcję: W punkcie x = 1 tak podana funkcja ma nieokreśloną wartość. Musimy dzielić przez 0, a jak wiadomo jest to zadanie niewykonalne. Metoda bisekcji Metody numeryczne Dawid Rasała

5 2. Funkcja f(x) jest ciągła. Ciągłość funkcji oznacza z kolei, iż jej wartości nie "wykonują" nagłych skoków, nie istnieją przerwy w kolejnych wartościach funkcji. Dla przykładu rozważmy taką oto funkcję: Nieciągłość występuje w punkcie x = 0, czyli w miejscu zmiany przepisu funkcji. Metoda bisekcji Metody numeryczne Dawid Rasała

6 3. Funkcja f(x) na krańcach przedziału przyjmuje różne znaki. Ponieważ funkcja, zgodnie z poprzednim wymogiem, jest ciągła, to przyjmuje w przedziale wszystkie wartości pośrednie pomiędzy f(a) i f(b). Wartości te mają różne znaki (czyli leżą po różnych stronach osi OX), zatem musi być taki punkt x o w przedziale, dla którego funkcja przyjmuje wartość pośrednią. Metoda bisekcji Metody numeryczne Dawid Rasała

7 Gdy funkcja f(x) spełnia powyższe trzy warunki, to w przedziale zagwarantowane jest istnienie pierwiastka i możemy go wyszukać algorytmem połowienia. Zasada jest następująca: Kroki algorytmu 1. Wyznaczamy punkt x o jako środek przedziału. 2. Obliczamy wartość funkcji w punkcie x o. Sprawdzamy, czy f(x o ) znajduje się dostatecznie blisko 0: Metody numeryczne Dawid Rasała

8 3. Jeśli nierówność jest spełniona, to x o jest poszukiwaną wartością pierwiastka. Zwracamy wynik i kończymy algorytm. W przeciwnym razie za nowy przedział poszukiwań pierwiastka przyjmujemy tą połówkę lub, w której funkcja zmienia znak na krańcach i przechodzimy ponownie do punktu 1. Kroki algorytmu Metody numeryczne Dawid Rasała

9 Algorytm powtarzamy od początku dotąd, aż: 1.znajdziemy pierwiastek, czyli spełniona będzie nierówność 2.przedział osiągnie założoną długość (może to być również epsilon) 3.wykonamy określoną ilości iteracji. Warunki zakończenia obliczeń Metody numeryczne Dawid Rasała

10 Wyznaczyć pierwiastek równania x 3 − x + 1 = 0 w przedziale [ − 2;0]. Przykład Metody numeryczne Dawid Rasała

11 1.Wszystkie poniższe równania maja pierwiastek w przedziale (0, 1.6). Wyznaczyć te pierwiastki metodą bisekcji z błędem mniejszym od 0,02: a)x * cos(x) = - ln(x); b)2 x + e -x = 0. 2.Napisać w dowolnym języku program, który realizuje metodę bisekcji dla zadanej funkcji. Zadania Metody numeryczne Dawid Rasała


Pobierz ppt "Metody numeryczne szukanie pierwiastka metodą bisekcji Dawid Rasała."

Podobne prezentacje


Reklamy Google