Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Prawda, co to takiego ? Dowodzenie twierdzeń na lekcjach matematyki. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Prawda, co to takiego ? Dowodzenie twierdzeń na lekcjach matematyki. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1."— Zapis prezentacji:

1

2 Prawda, co to takiego ? Dowodzenie twierdzeń na lekcjach matematyki. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1

3 W pierwszej prezentacji z logiki definiując zdanie logiczne, stwierdziliśmy, że ma ono mieć ocenę prawdy lub fałszu. Ale co to jest prawda ? Problem zdefiniowania prawdy trapił filozofów od starożytności. Arystoteles, tak próbował przybliżać powiedzieć, że istnieje, jest fałszem. Powiedzieć o tym, Prawda – według Platona – jest ideą, świat idei i świat rzeczy. warstwy rzeczywistości : czyli jest bytem absolutnym. I jako taka należy do pierwszego świata Platon wprowadza dwie strefy, Przez całe wieki filozofowie nie potrafili znaleźć byłaby formalnie poprawna ( nie prowadziłaby do sprzeczności ), czyli bliska nieścisłemu, potocznemu rozumieniu słowa prawda. definicji prawdy, a z drugiej adekwatna która z jednej strony że jest, istotę prawdy. jest prawdą, nie ma co jest, o czymś, czego 2

4 bo miało to miejsce w rzeczywistości. Jedna z takich prób została przedstawiona w XX w. przez polskiego logika Alfreda Tarskiego, i praktyczne konsekwencje nie były przedmiotem zdania prawdziwego dla języka potocznego. Tarski jest autorem dwóch teorii prawdy: syntaktycznej i semantycznej. Teoria syntaktyczna jest mniej znana i jej rozwój Semantyczna teoria prawdy Tarskiego często bywa opisywana jako wersja klasycznej definicji prawdy. Główną tezą, którą uzasadnia i rozwija tam polski logik, jest stwierdzenie, że nie da się zbudować poprawnej definicji zainteresowania wielu badaczy. Prawda – według klasycznej definicji właściwość sądów polegająca na ich zgodności z faktycznym stanem rzeczy, których dotyczą. W potocznym rozumieniu jest to stwierdzenie w formie zdania oznajmującego, wyrażone o określonym fakcie, tak jest, 3

5 Przykładami takich antynomii są np. zdania oznajmujące : chcąc tym samym powiedzieć, że on ( Kreteńczyk ) Jednym z problemów z jakimi są tzw. antynomie ( sprzeczności ). „ Ja teraz kłamię. ”,„ To zdanie nie istnieje ”. Rozszerzoną i najlepiej znaną wersją antynomii jest wypowiedź Kreteńczyka, który mówi, że „ wszyscy Kreteńczycy kłamią ”, Ta wypowiedź Kreteńczyka ma nazwę pieniaczenia, Prawdy nie zna, więc nie kłamie, choć jest Kreteńczykiem. wszak tego nie może wiedzieć skoro nie sprawdził. nie radzi sobie, Zostawmy filozofię na przyszłość i zajmijmy się matematyką. Trzeba zdawać sobie sprawę, że w matematyce nie operujemy językiem potocznym, tylko matematycznym, który podlega ścisłym rygorom logicznym. Stąd aby podkreślić, że coś jest niepodważalne, mówimy, ze to jest tak pewne, jak nie = 4. „ zgodność myśli z rzeczywistością ” 4

6 Często przy definiowaniu pewnych pojęć na poziomie liceum, podkreślam, ze mieliśmy z nimi do czynienia już w szkole podstawowej ( relacja, funkcja nawet dwu zmiennych, Pisząc, „ zawsze = 4 ”, przypomniałem sobie, że zaoponowaliby uczniowie II – giej klasy szkoły podstawowej sprzed pół wieku temu uczniowie klas informatycznych. i powinni to samo uczynić Dlaczego ? O tym pod koniec prezentacji. Ponieważ język matematyki jest sformalizowany, wypowiedzi na lekcji matematyki na poziomie liceum, lekcji języka polskiego muszą różnić się od zdań wypowiadanych ( na dziwaczne pytanie : „ co autor miał na myśli ”, ale by się od nich odżegnywał ). można puszczać wodze fantazji i mówić o rzeczach, ciąg liczbowy, a w gimnazjum również macierz, itd. ). ( gdy do polskiej szkoły z inicjatywy prof. Z. Krygowskiej wdrażano tzw. nową matematykę ) o których autor, nie tylko nie myślał 5

7 że na lekcji matematyki trzeba być odpowiedzialny każde pojęcie, które wypowiadamy jednoznacznie określone. Nauczyciel matematyki winien systematycznie, uświadamiać, za każde wypowiedziane słowo. na lekcji matematyki a szczególnie w liceum, musi być jednoznacznie zrozumiałe, Warto by uczniowie wiedzieli, że rola miejsca postawienia przecinka w zdaniu kodeksu karnego, jest na tyle ważna, że „ przecinek trafił ” do Trybunału Konstytucyjnego ( źle to świadczy o tych, którzy ustanawiają prawo ). Innym razem społeczeństwo bulwersowała afera polityczna ufundowana przez Sejm, który uchwalił Ustawę w której nieprawidłowo użyto spójnika „ lub ”. Wróćmy do codziennych szkolnych lekcji matematyki, podczas których, formułujemy i wypowiadamy definicje, powołujemy się na twierdzenia i rozwiązujemy równania. Definicja -- umowa -- określenie W matematyce szkolnej. definicja, to zrozumiałe objaśnienie znaczenia określonego terminu, Każde słowo,każdy termin, pojęcia. 6

8 analityczne ( sprawozdawcze ), Aby definicja, umowa była poprawna, użyte w nim słowa muszą być zrozumiałe dla uczniów, wyjaśnione „ prawie precyzyjne ”. W matematyce rozpatrujemy różne typy definicji, np. Najprostsze szkolne definicje łatwo rozpoznać po tym, „ nazywamy ” lub choć w szkolnej matematyce niektóre z nich występują. regulujące ( modyfikujące, uściślające ). nie będziemy omawiać tych rodzajów definicji, że na ogół występują w nich słowa : syntetyczne ( projektujące ), indukcyjne ( rekurencyjne ), operacyjne ( czynnościowe ). aksjomatyczne ( podanie postulatów ) i inne. Ponieważ nas interesuje nie teoria, lecz dydaktyczne i praktyczne definiowania pojęć matematycznych, Zwroty „ zrozumiałe dla uczniów ”, jest zależna od tego, na jakim poziomie edukacji dane pojęcie omawiamy. są istotne, gdyż realizacja tych postulatów „ to znaczy ”,„ jest to ” lub itp. „ prawie precyzyjne ”, 7

9 dzielenie liczb, Co to znaczy podzielić jedna liczbę przez druga ? Ucznia szkoły podstawowej a nawet gimnazjum uznałbym za orientującego się arytmetyce, gdyby odpowiedział : „ znaleźć liczbę, która pomnożona przez drugą da na wynik pierwszą ”. Niestety, bywa, że licealista nawet tej odpowiedzi nie udzieli, a gdy „ zmuszony ” do wyjaśnienia, dlaczego 12 : 4 = 3 wypowie co wyżej, Pomimo, że w liceum na pierwszych lekcjach matematyki uczył się logiki i o roli kwantyfikatorów ( istnienie elementu ) mimo, że od przedszkola wie, że = tylko i wyłącznie 4 ( jednoznaczność operacji ), źle. i dziwi się, gdy usłyszy, Omówmy trzy przykłady definicji : te elementy muszą być wyartykułowane. licealista nie jest świadom, że w definicjach, Czy taki licealista wie, co to znaczy podzielić funkcje, itd..wektor przez liczbę, wielomiany, funkcji.prostopadłość prostych, 8

10 Zatem podzielić jedną liczbę przez drugą, tzn. „ znaleźć liczbę, która pomnożona przez drugą,da na wynik pierwszą ”. o ile istnieje ( 2 : 0 brak liczby, nie istnieje ) i tylko jedna ( 0 : 0 każda liczba mogłaby być wynikiem ), Wniosek z definicji : dzielenie przez zero jest „ niewykonalne ”. Czy tej wiedzy nie powinien posiąść licealista ? Jakie proste nazywamy prostopadłymi ? Gdy uczeń szkoły podstawowej odpowie : są to proste, które tworzą kąt prosty ( ? ), odpowiedź jest satysfakcjonująca. Uczeń ma prawo powołać się na kąt w ekierce prostokątnej, Gdy taką samą odpowiedź wypowie licealista, musi być przygotowany na pytanie „ a jaki kąt jest prosty ? ” Niestety, najczęstszą odpowiedzią jest : a na pytanie : „ jaki kąt ma 90° ?” odpowiedź jest typu „ masło maślane ” ; kąt prostokąta, itd. „ taki, który ma 90 ° ”, jest to kąt prosty. 9

11 pomimo, że już gimnazjalista zna prostą definicję : Na tym kończy się wiedza wielu licealistów, nawet klasy matematycznej, proste są prostopadłe, gdy tworzą równe kąty przyległe ( kąty przyległe przy tych prostych są przystające ) Ci, którzy znają moje prezentacje wiedzą, że niekiedy i definicja kątów przyległych, nie zawsze jest poprawna. są przyległe mają jedno ramię wspólne, dwa pozostałe nawzajem przedłużają się Niestety, ta umowa jest zła. Te kąty nie chcemy nazwać przyległymi. Powinniśmy dołożyć jakiś warunek : np. są wypukłe. ramię wspólne def. W liceum, nauczyciele winni mocno uświadomić uczniom, matematyka na funkcji stoi, że zgodnie z często powtarzaniem moim porzekadłem ; a geometria na przekształceniach. 10

12 Ks. prof. M. Heller, filozof przyrody ( tarnowianin ) świat współczesnej fizyki w pracy „ Szczęście w przestrzeniach Banacha ” Stąd również proste prostopadłe, warto zdefiniować za pomocą przekształcenia ( funkcji ). Prostymi prostopadłymi nazywamy takie różne proste, gdy jedna z nich jest osią symetrii drugiej. ( czy tu musi być tam słowo różne ? ) na str. 86 pisze ; to świat funkcji. Niedawno gdy w zeszycie ucznia klasy matematycznej zobaczyłem temat „ Przekształcenia wykresu funkcji ”, postawiłem mu trzy pytania : Co to jest przekształcenie ? Co to jest funkcja ?Co to jest wykres funkcji ? Na żadne nie uzyskałem odpowiedzi. Czy ten uczeń, wie jaka funkcja jest malejąca, okresowa, kiedy funkcję można odwrócić, Itd. parzysta, ograniczona, 11

13 O fundamentalnej roli pojęcia funkcji głoszę ciągle powtarzając, że „ matematyka na funkcji stoi ”. Co to jest funkcja ? W żadnym podręczniku matematyki, nie spotkałem tak przekonującego wprowadzenia tego pojęcia, jaką podał ks. prof. M. Haller „ Szczęście w przestrzeniach Banacha ”. Gimnazjalistów zapraszam do mojej Wprowadzenie pojęcia Przypominając z tej prezentacji definicję funkcji Stefan Banach (1892 – 1942 ) Funkcją nazywamy przyporządkowanie według którego, każdemu elementowi pierwszego zbioru dokładnie jeden element przyporządkowany jest drugiego zbioru. podkreślę, że tą definicję powinien znać już gimnazjalista, w wspomnianej pozycji 12

14 , staraliśmy się by uczeń poprawnie Nic nie stoi na przeszkodzie, by gimnazjalista, a tym bardziej licealista, miał mocne przekonanie że w matematyce mało nas interesują przyporządkowania Wprawdzie wprowadzając do definicji funkcji słowo Przypomniana definicja jest poprawna dla przeciętnych uczniów, bo dociekliwi ( a chcielibyśmy takich uczyć ) zgodnie z tym co zażądaliśmy od definicji zapytają, a co to jest przyporządkowanie ? jako, że nie jest termin matematyczny. przyporządkowany typu a ważne są takie jednoznaczne oraz każdemu.. > a b >. c.. > a b > > > > > > > nawet takie grzeczne, miłe dla oka nie interesują nas tylko takie. tylko jeden ? go rozumiał, przedstawiając za pomocą grafu 13

15 takimi synonimami jak ; przypisany,odpowiadający, ( jak wcześniej pokazano )i zastępując ten termin przynależny, itd. Zatem, rzeczywiście pojęcie „ przyporządkowany ”, nie jest określone matematycznie i na poziomie liceum, a szczególnie w klasie matematycznej, ponieważ znamy już wszystkie można je zdefiniować, pojęcia do tego potrzebne, jak : iloczyn kartezjański zbiorów, relacja i własności relacji. dla argumentu x i oznaczamy y = f ( x ). Niech f ⊆ X × Y Mówimy, że f jest funkcją X w Y i piszemy f : X → Y, gdy dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden y ∈ Y taki, że x f y. Ten jedyny element y nazywamy wartością funkcji f 14

16 Symbole Warunek jednoznaczności zapisać następująco są różnymi zapisami tego samego faktu. W matematyce często termin funkcja zastępujemy słowem Zatrzymałem się przy tych trzech definicjach by pokazać, że przy prawie każdej tworzonej definicji – umowie, warto i należy wręcz podyskutować, aby trakcie rozpatrywania różnych pomysłów, wybrać najlepszy Uczniowie, niedostatecznie mobilizowani przez nauczycieli, często, nie uważają za konieczne uczyć się definicji. Niedawno w rozmowie z panią informatyk, kiedy mówiła że jest na studiach doktoranckich, w szkole nie uczyłam się definicji. wypowiedziała zdanie ; i że jest on zależny od poziomu edukacji. odwzorowanie. 15

17 Czy można uznać za prawnika osobę, Retoryczne pytania. Matematyk tez musi znać definicje. Diabeł tkwi w definicjach i założeniach. Wtedy tego nie skomentowałem, choć jestem zdania, że uczono jej rachunków, mówiąc językiem informatyki algorytmów ( zrób to i to ), za medyka, skoro nie zna jednostek chorobowych ? która nie zna kodeksu cywilnego i karnego, ( chociaż przykładów jest niemało ) na której nie padają dlaczego ? W tym momencie, należy powołać się na twierdzenia. które winniśmy wypowiadać w postaci : jeżeli ………………………, założenie teza Nie mogę wyobrazić sobie lekcji matematyki, na jakiej podstawie ? wypowiadamy w skrótowej postaci, np. W praktyce szkolnej, twierdzenia bardzo często to …..…………………... a nie matematyki. ( wniosek ) pytania : 16

18 iloczyn pierwiastków jest równy nie dbając o założenia, granica sumy ciągów jest równa Taka forma wypowiedzi twierdzeń jest wygodna gdy stosujący to twierdzenie, potrafi podać jego założenie. i dopuszczalna wtedy, W matematyce zdanie wyrażone w postaci : jeżeli ………………………, to …..…………………... jest twierdzeniem, gdy go zgodnie z regułami logiki. Oczywiście, tak jak jest kilka rodzajów definicji, również i sposobów dowodzenia jest niemało. Teorię dowodzenia pozostawmy nielicznym, którzy na studiach, będą tymi problemami zajmować się, a w tej prezentacji przybliżmy te z którymi spotykamy się na lekcjach matematyki w szkole średniej. W praktyce szkolnej, dowodziliśmy twierdzenia kilkoma sposobami. udowodnimy, pierwiastkowi z iloczynu sumie ich granic 17

19 wprostnie wprost ( apagogiczny ), konstruktywny ( niekonstruktywny ), indukcyjny ( wykorzystujący zasadę indukcji matematycznej ) ( dedukcyjny ), kąty wierzchołkowe automatyczny,geometryczny, analityczny ( metoda geometrii analitycznej ). redukcyjny, Wypisując te sposoby, zdziwiłem się, że. jest ich tyle Możemy wyróżnić dowody : ** 1. Twierdzenie : Takie uzasadnienie nazywamy Wiedząc, ze wszystkie założenia - czyli poprzednik implikacji - rozumujemy do momentu gdy stwierdzimy, że teza - następnik ma ocenę prawdy. w praktyce szkolnej, a w teorii jest ich więcej. Przypomnijmy znane dowody kilku twierdzeń. dowodem wprost ( dedukcyjnym ). Kąty wierzchołkowe są równe. jest prawdziwy 18

20 jak i prawo odrywania prawo przechodniości implikacji W dowodzie wprost często wykorzystujemy, m. in 2. Twierdzenie : Jeśli liczba parzysta k dzieli się przez 3, to liczba k dzieli się przez /2m3/2m 3/23/2 3/m3/m 6/k6/k Dowód : Sposób uzasadnienia jak poprzedni, choć 3. Twierdzenie : Wykazać, że są liczbami niewymiernymi. bardziej rozbudowany. 19

21 Dowód nie wprost sprowadzenie do niedorzeczności. Polega on na rozumowaniu przez sprzeczność, tzn. do prawdziwych założeń dołączamy zaprzeczenie tezy, co doprowadza do sprzeczności z założeniem lub jakimś twierdzeniem. ** W życiu codziennym, stosujemy rozważania Na lekcji matematyki postępujemy w ten sposób, gdy przeprowadzamy dowód typu „ co by było gdyby ”. metodą „ nie wprost ”. Mam nadzieję, że gimnazjaliści dowodzili, że a licealiści, że są liczbami niewymiernymi. Hipoteza ( przypuszczenie ) : jest liczbą wymierną, czyli Wykorzystując twierdzenia arytmetyki dochodzimy do wniosku, że ułamek da się skrócić przez 2, co jest sprzeczne z hipotezą. ( łac. reductio ad absurdum ) 20

22 Metodę dowodu „ nie wprost ” w prostym przypadku uzasadnia tautologia rachunku zdań, zwana prawem kontrapozycji zaś w ogólniejszych przypadkach należałoby, powołać się na tautologię jako część metody sokratycznej. do przeprowadzenia niż dowód wprost. ( wyprowadzający tezę z założeń ) ; dowodzenia nie wprost. Dowód nie wprost chętnie stosował już Sokrates, Ponieważ dowód nie wprost jest często łatwiejszy stąd praktyczna rada, że gdy danego twierdzenia, warto spróbować W literaturze matematycznej klasycznym przykładem na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych. dowodu nie wprost, jest dowód Euklidesa ( IV w.p.n.e. ) nie wiemy jak dowieść 21

23 Hipoteza : liczb pierwszych jest skończona ilość ( tj. takich liczb, które mają dokładnie dwa podzielniki : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,,...,, k. Niech k będzie największą liczbą pierwszą. Tworzymy iloczyn : m = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 ·... · k wszystkich liczb pierwszych. Liczba m + 1 nie dzieli się bez reszty przez żadną z liczb pierwszych 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,,..., k. Nadto, m + 1 jest większa od k. Czy m + 1 jest liczbą pierwszą ? Przypomnijmy ten dowód dlatego, że niestety bywa czasem podawany z błędem. W wielu internetowych dowodach odpowiedź jest twierdząca, choć wprawdzie = = jest liczba pierwszą, ale, np. nie. Stąd, gdy m + 1 jest liczbą pierwszą, liczbę pierwszą, która nie należy do określonego zbioru. to znaleźliśmy = 22

24 lub iloczynem liczb pierwszych nie istnieje największa liczba pierwsza, Zatem, musimy odrzucić przypuszczenie, iż liczb pierwszych jest skończona ilość. oraz liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Gdy m + 1 nie jest liczbą pierwszą, i dzielnik liczby m + 1, to z Podstawowego Twierdzenia Arytmetyki Każda liczba naturalna większa od 1, jest liczbą pierwszą który jest liczba pierwszą, większą od k, nie należy do określonego na wstępie zbioru, co jest sprzeczne z założeniem, że w tym zbiorze były wszystkie liczby pierwsze. W konsekwencji, Na lekcjach fizyki, chemii, gdy jest potrzeba wykonywania różnych pomiarów, np. wyznaczania długości, ważenia ciała. itd. spotykaliśmy się ze średnią arytmetyczną. 23

25 Rozumowania dedukcyjne ( w którym kierunek rozumowania 4. Twierdzenie : Na lekcji matematyki poznaliśmy średnią geometryczną Przypomnijmy, że średnia arytmetyczną dwu liczb a, b nazywamy liczbę Porównując średnie dla liczb, np. 2, 8 lub 3,12 Jak to wykazać ? jest zgodny z kierunkiem wynikania ), chyba odpada ( nie widać zależności wynikania ). Spróbujmy więc dowodu nie wprost. Hipoteza : Mamy punkt zaczepienia. fałsz Hipoteza fałszywa, Twierdzenie zachodzi. podejrzewamy, że zachodzi 24

26 Udowodniliśmy twierdzenie, mamy satysfakcję, ale może mamy jakąś refleksję i pomysł na inny sposób dowodu. czy nie za szybko zrezygnowaliśmy z dedukcji ? Patrząc na dowód, można zapytać Spójrzmy na implikacje prawda Czy udowodniliśmy twierdzenie ? Zwróćmy uwagę, że jest prawdziwe. Niestety, w wielu zeszytach dowód jest zakończony. Ale sądzę, że wielu uczniów czuje pewne niedomówienie, ze czegoś tu brakuje. Brakuje uzasadnienia logicznego. implikacja jest prawdziwa następnik jest prawdziwy Z oceny logicznej implikacji, poprzednik musi być prawdziwy. nie wiedzieliśmy czy założenie 25

27 ** Dowód redukcyjny ma postać: Jeżeli prawdziwe że prawdziwe następstwo prowadzi do fałszywej racji Takie uzasadnianie zwane rozumowaniem redukcyjnym ( wnioskowaniem w tył ) zostało wyróżnione przez Jana Łukasiewicza. Jan Łukasiewicz ( 1878 – 1956 ) i prawdziwe to p prawdziwe W przeciwieństwie do rozumowania dedukcyjnego sposób dowodzenia redukcyjnego może być zawodne, możliwa jest bowiem sytuacja, ( implikacja ; z fałszu wynika fałsz, jest prawdziwa ). jest podstawą empirycznych nauk przyrodniczych uprawdopodobniającym daną tezę, pełni doniosłą rolę w procesie stawiania hipotez, Wnioskowanie redukcyjne jest wnioskowaniem czy nauk historycznych. 26

28 Udowodniliśmy to twierdzenie, na dwa sposoby. gdybyście mieli propozycję zaprezentowania dowodu na lekcji. Jak wykazalibyście tą nierówność, Warto jeszcze raz prześledziić te dowody. Wskazówka : iść inną drogą. Oczywiste jest, że to jest prawdą. Stąd Prawda, że proste, dedukcyjne uzasadnienie. O co pytaliby koledzy śledzący ten dowód ? Skąd wiedziałeś, że należy wyjść od nierówności Nie warto wciskać kolegom ; „ bo jestem taki mądry ”, tylko zdradzić, „ trochę pogłówkowałem ”. 27

29 To doświadczenie jest również ciekawe dlatego, że studiując dowody, uzasadnień odkryć naukowych, chyba każdy zastanawia się, takie genialne pomysły. Odpowiedź jest prozaiczna ; znamy tylko efekt długiej, mozolnej, i czasem szczęścia. skąd oni mieli często tytanicznej pracy Zasygnalizujmy jeszcze krótko następne sposoby dowodzenia z jakimi spotkaliśmy się, lub spotkamy w nauce szkolnej. Dowód indukcyjny. Aby udowodnić, że zdanie p ( n ) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n, gdzie n ≥ n0n0 wystarczy pokazać, że ( i ) zdanie p ( n 0 ) jest prawdziwe, ( ii ) dla każdego k ≥ n 0, p ( k ) ⇒ p ( k + 1 ), tzn. zdanie p ( k+1 k+1 ) jest prawdziwe 28

30 dowodzili ich własności korzystając Mam nadzieję, że ci, którzy uczyli się o ciągu, arytmetycznym, geometrycznym, Fibonacciego w innych dziedzinach matematyki. Zwykle dowody indukcyjne stosowane są w dziedzinach blisko związanych z teorią liczb naturalnych, nie brak jednak dowodów indukcyjnych W szkolnym programie okazji do dowodów tego typu, z zasady indukcji matematycznej. jest kilka, np. przy uzasadnieniu wzorów nierówności cech podzielności itd. W tej prezentacji powoływałem się na tautologię Jak ją dowodziliśmy ? 29

31 Jak ją dowodziliśmy ? Automatycznie, za pomocą matrycy, metodą zero – jedynkową. Rachunek zdań jest rozstrzygalny, więc teoretycznie istnieje algorytm pozwalający dla dowolnej formuły rachunku zdań w skończonej liczbie kroków rozstrzygnąć Schemat jest tautologią Zawsze prawda w których zostały sformułowane. czy jest ona twierdzeniem tego rachunku. Automatyczne dowodzenie twierdzeń której celem jest umożliwiających dowodzenie twierdzeń w teoriach, jest dziedziną wiedzy, ** konstruowanie programów komputerowych 30

32 Gdy uczeń zobaczy to nawet gdy nie ma żadnego komentarza, wie, że to równanie należy rozwiązać. Na ogół licealista wie co ma zrobić. Indagowany, „ co robi ? ” odpowiada ; Wtedy pytam ; co pomyślisz o mechaniku samochodowym, gdy na pytanie, jak naprawi samochód ? ; powie ; podnośnik. Tak jak dla mechanika, podnośnik jest narzędziem, przy pomocy którego zdiagnozuje usterkę, nie maja pojęcia. tak tabelka Hornera jest narzędziem pozwalającym obliczyć wartość wielomianu ( i nie tylko ), o czym maturzyści, tabelkę Hornera. Wróćmy do równania Wykaż, że powyższe równanie ma pierwiastek wymierny. Możemy postawić zadanie : Mam nadzieję, że każdy licealista wskaże liczbę Zadanie sformułowałem tak, by uświadomić, że mamy udowodnić twierdzenie. 31

33 o którego istnieniu mówi dane twierdzenie. Dowód konstruktywny Dowód twierdzenia o istnieniu obiektu określa się jako konstruktywny,jeżeli podaje on gotowy algorytm do wyznaczenia poszukiwanego obiektu, Wykazać, że powyższe równanie ma pierwiastek wymierny. Chyba każdy licealista wskaże liczbę Czy powyższy schemat jest dowodem konstruktywnym ? Powyższy zapis przypomina mi, występ magika, który robi „ hokus pokus ” i wyciąga królika z kapelusza. Pokazane „ rozwiązanie ”, byłoby dowodem konstruktywnym, gdyby licealista,choć słownie, potrafiłby skomentować, jakie twierdzenia wykorzystał. Pierwiastkiem równania jest Dla mnie, nauczyciela matematyki, nie. 32

34 Tenże sam maturzysta, nie umie uzasadnić, że Niestety, wielu maturzystów, nie zna twierdzeń o pierwiastku całkowitym, wymiernym wielomianu, a do czego służy tabelka Hornera, Licealista, który rozwiąże omawiane równanie, dziwi się gdy słyszy, że to równanie potrafi rozwiązać gimnazjalista ma pierwiastek niewymierny i jest zdziwiony, że nie potrafi go znaleźć. W szkolnej edukacji, sytuacji, gdzie należy zastosować dowodów konstruktywnych jest nie mało, np. przy rozwiązywaniu układów równań liniowych. W praktyce szkolnej, pod koniec działu o rozwiązywaniu układu równań, profesor(ka) oznajmia uczniom, że jest prostszy sposób rozwiązywania układu równań i jak magik pokazuje sztuczkę. równanie nie ma pojęcia. 33

35 ** Niestety, tak wygląda rzeczywista nauka matematyki, która z matematyką nie ma nic wspólnego. Gdy na koniec wspomnę, że są dowody geometryczne, nikogo to nie zdziwi. Dowód geometryczny polega na wykorzystaniu metod geometrii, takich jak i podobieństwo figur. przystawanie Wszyscy widzieliśmy przynajmniej kilka geometrycznych dowodów twierdzenia Pitagorasa ( jest ich kilkadziesiąt, oto jeden z nich ). Ale dowody geometryczne mogą być wykorzystywane poza geometrią. Prostymi dowodami geometrycznymi są znane z algebry wzory skróconego mnożenia, np. 34

36 W tej prezentacji mówiliśmy o dowodzeniu nie wprost, faktu, że jest liczbą niewymierną. Zainteresowanym polecam zapoznanie się z geometrycznym dowodem niewymierności zapytajmy o zależnościach między niektórymi z nich. Na koniec prezentacji o twierdzeniach Z implikacji przestawiając poprzednik z następnikiem otrzymamy dalsze implikacje, np. i dalsze. i negując, 35

37 Szukając dalszych zależności stwierdzimy, że tylko niektóre w pewnej konfiguracji ( jakiej ? ): Gdy przyjrzymy się tym implikacjom, to mam nadzieję, że zobaczycie znaną zależność ( przypomnianą w tej prezentacji ) nazwaną prawem transpozycji. z tych implikacji są na tyle ciekawe, by je uwzględnić Kwadrat logiczny Znamy już implikacje równoważne  ============  Pozostałe pary implikacji warto jakoś nazwać odwrotne przeciwne przeciwstawne Implikacje przeciwstawne są równoważne. 36

38 Opr. WWW ęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji by po korekcie, Z góry dziękuję. można było ją uznać za poprawną. i przekazanie uwag, Koniec prezentacji Zapraszam op.pl tel czy zawsze = 4. uczniowie II – giej kl. ćwierć wieku temu A uczniowie klas informatycznych, powinni wiedzieć, że Winien jestem odpowiedzi na pytanie, Tak jak wspomniałem, szkoły podstawowej podaliby wynik 11, bo znali system trójkowy = 10 w systemie czwórkowym. Zainteresowanych zapraszam do prezentacji Czy = Kiedy = 11, 5 ∙ 5 = 35 37


Pobierz ppt "Prawda, co to takiego ? Dowodzenie twierdzeń na lekcjach matematyki. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1."

Podobne prezentacje


Reklamy Google