Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Czy są liczby inne niż rzeczywiste ? Są, zespolone, kwaterniony i dalsze. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Czy są liczby inne niż rzeczywiste ? Są, zespolone, kwaterniony i dalsze. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1."— Zapis prezentacji:

1

2 Czy są liczby inne niż rzeczywiste ? Są, zespolone, kwaterniony i dalsze. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1

3 Liczba - Polskie Towarzystwo Tomasza z Akwinu Liczba – jedno z podstawowych pojęć ludzkiego poznania oraz religia ( symbolika religijna ). jak matematyka, fizyka, filozofia występujące już w czasach prehistorycznych, Jest to wstęp z prezentacji : Historia kształtowania się liczby jest pasjonująca, czasem wręcz tragiczna ( jak głoszą legendy ). Stworzenie matematyki, jako nauki teoretycznej przypisuje się Pitagorasowi i jego uczniom, ale odkrycia archeologiczne dowodzą, że twierdzenie Pitagorasa Babilończycy znali je XV wieków wcześniej. Dla pitagorejczyków matematyka była nie tylko metodą naukową, lecz także narzędziem pomocnym w rozumieniu przyrody i drogą do doskonałości. ptta.pl/pef/pdf/l/liczba.pdf rozwinięte w takich dziedzinach, ( logika, epistomologia ) sposobem objaśnienia świata, 2

4 Połączenie religii z racjonalna myślą, zapoczątkowane przez pitagorejska doktrynę, dało początek aż po Kartezjusza, i św. Tomasza z Akwinu teologii świata zachodniego, od Zostawmy na boku, historię, filozofię i religię, a zajmijmy się liczbami. rozwiązywania zadań związanych z liczeniem i mierzeniem. Człowiek wymyślił liczby jako narzędzie Najpierw były liczby naturalne : 1, 2, 3, 4, …., służące do liczenia i porządkowania. Potem w wyniku podziału danej wielkości na równe części pojawiły się ułamki : 3 / 4, 1 / 2, 5 / 8 …… i Leibniza. Spinozę Platona a wpływ takiego myślenia możemy obserwować Łączenie matematyki i teologii, zapoczątkowane przez Pitagorasa, to charakterystyczny rys filozofii starożytnej Grecji i Średniowiecza nawet w naszych czasach. przez św. Augustyna 3

5 postanowili trzymać w tajemnicy. Odkrycie liczb niewymiernych, wcześniej przez Greków nieznanych, początkowo mocno zachwiało głoszoną pełen proporcji, mierzalny za pomocą liczb i dający się opisać za pomocą figur geometrycznych do tego stopnia, że najpierw fakt odkrycia przez pitagorejczyków wiarą w świat harmonijny, liczb niewymiernych, Wielkim szokiem dla pitagorejczyków, było dowiedzenie, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1, nie da się wyrazić za pomocą ułamka. Tą liczbą okazała się liczba niewymierna Wydawało się, że każdą wielkość można zmierzyć za pomocą liczb naturalnych oraz ułamków. Liczbami naturalnymi operowaliśmy już Przypomnijmy niektóre wiadomości o liczbach, poznane podczas szkolnej edukacji. w okresie przedszkolnym. 4

6 Pokażmy Interpretację geometryczną liczb naturalnych, W zbiorze liczb całkowitych mamy porządek liniowy Idąc naprzód, Cofając się, t worząc „ poprzedniki ” ( nazwa zgodna z tym co widzimy na osi ). otrzymujemy liczby naturalne Rozpoczynamy od 0, potem krok ( długości 1 ) po kroku, NC - = C ( „ następniki ” i zasada indukcji ) Zbiór liczb naturalnych jest dobrze uporządkowany ( niepuste podzbiory mają element najmniejszy ). ( wsteczna indukcja ) skonstruowaliśmy liczby całkowite ujemne. stworzyliśmy liczby wymierne całkowitych, wymiernych i rzeczywistych na osi liczbowej. Następnie dzieląc dwie liczby całkowite 5

7 Wykazaliśmy, że między każdymi liczbami wymiernymi jest nieskończenie wiele liczb wymiernych ( np. ich średnie arytmetyczne, geometryczne, itd. ). Pomiędzy każde kolejne liczby całkowite „ wkładamy ” liczb wymiernych. nieskończenie wiele Nanieśmy liczby wymierne na oś liczbową ……………………………………………………………………………. ( czerwone punkty ). ……………………………………………………………………………. CW C W Niewiarygodne, ale prawdziwe, na pierwszej osi, czerwonych punktów ( liczb naturalnych ), jest tyle samo, co na drugiej ( liczb wymiernych ). Zbiór liczb wymiernych jest gęsto uporządkowany ( między każdymi liczbami istnieje inny ) Wykazaliśmy, że 6

8 ……………………………………………………………………………. W Niewiarygodne, niewyobrażalne „ dziur ” jest „ więcej ” W poprzedniej prezentacji wskazaliśmy, że „ dziur ” Czy cała oś będzie czerwona ? Czy na osi są „ dziury ” ? Jeżeli są, jak jest ich dużo ? jest nieskończenie wiele,są to „ miejsca ”, w których powinny pojawić się liczby niewymierne. niż czerwonych punktów ( choć między każdymi punktami jest nieskończenie wiele Innych punktów, to jeszcze są „ luki ” między nimi i tych „ luk ”, jest „ więcej ” niż punktów ). ( alef 1 ) ……………………………………………………………………………. W Jeżeli na osi do zbioru liczb wymiernych „ dorzucimy ” liczby niewymierne, „ wypełnimy luki ” zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany ciągle ( zbiory ograniczone z góry, mają górne kresy. ) 7

9 Na podstawowe zbiory liczbowe popatrzyliśmy geometrycznie. Wróćmy do teorii liczb i spójrzmy na te zbiory jako na struktury algebraiczne. Matematycy długo mieli problemy ze zdefiniowaniem liczb naturalnych. Zagadnienia te zasygnalizowaliśmy w Co to jest liczba Dla celów dydaktycznych, przypomnijmy pewne konstrukcje zbiorów liczb całkowitych i wymiernych. Bierzemy zbiór między parami liczb naturalnych określamy relację „ ~ ” Między elementami tego zbioru, czyli Szkic konstrukcji zbioru liczb całkowitych jako par liczb naturalnych. C ( Z ahl ) : 8

10 zwrotna,symetryczna i przechodnia Relacja ta jest czyli relacja „ ~ ” jest i dzieli zbiór na klasy abstrakcji ( warstwy ), które zapisujemy Zauważmy, że Ponadto oznaczmy gdzie element neutralny element przeciwny Własności dodawania : Teraz w zbiorze klas [ ( n, m ) ] definiujemy działania jest przemienne, łączne, równoważnościowa 9

11 i zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania. element neutralny Własności mnożenia : jest przemienne, łączne, Wykażcie, że nie istnieje element odwrotny nazywamy zbiorem liczb całkowitych. Zbiór Zbiór C ( tych nowych ) liczb całkowitych z dodawaniem i mnożeniem tworzy strukturę pierścienia. która ten zbiór porządkuje liniowo. możemy zdefiniować relację „ ≤ ” Korzystając z naszych oznaczeń, gdzie Podstawowe zbiory liczbowe Interpretowaliśmy, geometryczni e na osi liczbowej, 10

12 [(0,2)] [(0,1)] [(0,3)] [(0,4)] [(0,0)] [(1,0)][(2,0)] [(3,0)] [(4,0)] [(5,0)] [(6,0)] [(7,0)] [(8,0)] C N0N0 N0N Liczba 3, to klasa abstrakcji - zbiór par liczb naturalnych to punkty kratowe prostej y = x – 3 w I ćw iartce układu współrzędnych. Liczba - 2 : to punkty kratowe ( I ćw. układu ) prostej y = x + 2 Wyznaczmy klasę abstrakcji liczby y = x–3 y = x+2 Są to współrzędne punktów kratowych prostej y = x - 2 i tak dalej … ale poznaliśmy ciekawą interpretację liczby całkowitej jako klasę abstrakcji pewnych par liczb naturalnych. 6 y = x–2 11

13 Szkic konstrukcji zbioru liczb wymiernych jako par liczb całkowitych. Bierzemy W tym zbiorze definiujemy relację „ ≈ ” między parami liczb całkowitych i nazywamy liczbami wymiernymi, Wygodnie jest, zamiast rozpatrywać zbiór par, gdzie drugim elementem jest liczba naturalna. rozważyć zwrotna,symetryczna i przechodnia Relacja ta jest czyli relacja „ ~ ” jest równoważnościowa. i dzieli zbiór na klasy abstrakcji ( warstwy ), które zapisujemy W ( Q uotient ) : Stąd 12

14 Teraz kolej na badanie własności dodawania i mnożenia. na których zdefiniowaliśmy działania : to liczby wymierne, element neutralny element przeciwny Własności dodawania : jest przemienne, łączne, i zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania. element neutralny Własności mnożenia : jest przemienne, łączne, element odwrotny nazywamy zbiorem liczb wymiernych. Zbiór Zbiór W ( tych nowych ) liczb wymiernych z dodawaniem i mnożeniem tworzy strukturę pierścienia. 13

15 x W 1/21/2 -3 5/25/2 Zaznaczmy punkty należące do klasy abstrakcji - ⅔ Są to punkty kratowe tej prostej - ⅔ ( oprócz początku układu ) / 2 mamy oś Wyznaczmy geometrycznie, klasę abstrakcji liczby 5/2 5/2. Są to punkty kratowe prostej Punkty te znajdziemy, wykonując operacje odwrotne. Kreślimy prostą y = 2 / 5 x ciekawą interpretację liczby wymiernej jako klasę abstrakcji pewnych par liczb całkowitych. Przypomnijmy znaną, Są to punkty kratowe prostej Są to punkty kratowe prostej 14

16 Dzięki tej relacji mniejszości, w zbiorze liczb wymiernych, Relacja „ < ” ma następujące własności : Dla dowolnych zachodzi zbiór ten jest uporządkowany gęsto. Zainteresowanych własnościami relacji ( które są równoważnościowe, porządkujące ) zapraszam do sygnalizowanej już prezentacji Relacje, ich własności, typy trichotomia,przechodniość monotonia dodawania,monotonia mnożenia. np. Aksjomatyka zbioru liczb wymiernych : 1. ( W, +, ∙, 0, 1 ) jest ciałem prostym 2. Ciało liczb wymiernych W nie jest izomorficzne z ciałem reszt Z p dla żadnego p. Określenie krótkie, ale występują pojęcia nieznane licealiście. 15

17 Szkic konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych Czy określimy ten zbiór jako zbiór par liczb wymiernych ? R ( R eal ) W Konstrukcja zbioru liczb przestrzegałem „ nie idźcie ta drogą ”. Mam nadzieję, że zdołałem do tego wszystkich przekonać. Ale nie wmawiałem, że należy z tej drogi zrezygnować raz na zawsze. Jak wiemy z wymienionej wyżej prezentacji zbiór liczb rzeczywistych można skonstruować aksjomatycznie bądź za pomocą przekrojów Dedekinda, ( aksjomat ciągłości ) lub korzystając z ciągów Cauche’go. Zainteresowanych zapraszam do wymienionej prezentacji, w której kreślimy wskazane konstrukcje zbioru Użyłem słowa „ kreślimy ”, bo wiele pojęć potrzebnych liczb rzeczywistych. do konstruowania zbioru, nie ma w obowiązującym programie licealnym, stąd omawiane konstrukcje są tylko zasygnalizowane i daleko im od precyzyjnych sformułowań. 16

18 I znowu powróćmy do geometrycznej interpretacji zbiorów liczbowych. R Ale w gimnazjum poznaliśmy układ osi liczbowych, zwany prostokątnym układem współrzędnych, R. X b a w którym punktowi X przyporządkujemy parę liczb Czy macie jakieś skojarzenia, sugestie ?.. Skoro liczba całkowita to para liczb naturalnych liczba wymierna to para liczb całkowitych, dlaczego nie utworzyć liczby, która byłaby parą liczb rzeczywistych. Interpretacje geometryczną już mamy wyżej. Pytanie „ czy jest sens taką ( niby ) liczbę rozpatrywać ? ”. Zanim odpowiemy na to pytanie, zauważmy, że możemy wskazać inne interpretacje tej proponowanej „ nowe j ” liczby, którą oznaczmy symbolem z. 17

19 ... a b x y z O A B. r Pokażmy narzucające się interpretacje liczby z Te nowe liczby, nazywamy liczbami ( dawniej, nosiły nazwę urojonymi ; ciekawe, dlaczego ). współrzędne punktu,wektor ( współrzędne ) para liczb wyrażonych trygonometrycznie. Mamy liczby zespolone Czy potrafimy zdefiniować ich dodawanie ? Czy można dodawać punkty ? Trudno mieć jakieś pomysły, ale jak odwołamy się do interpretacji wektorowej. Pomysł wydaje się prosty, wręcz oczywisty. Dodawanie liczb zespolonych ( punktów ) powiązać z dodawaniem wektorów. zespolonymi... a b x y O..... c d z1z1 z2z2 z = ( a, b ) = ( c, d ) 18

20 ... a b x y O..... c d z1z1 z2z2 z = ( a, b ) = ( c, d ) Teraz pozostaje ten pomysł zrealizować. a zainteresowanych mnożeniem zapraszam do prezentacji Czy gimnazjalista potrafi wykonywać działania na liczbach zespolonych Kto umie dodawać wektory ( pary liczb ) dodawania liczb zespolonych na liczbach zespolonych, i dalszymi operacjami Dodawanie liczb zespolonych ( punktów ) powiążmy z dodawaniem Liczby zespolone Liczby zespolone a poda definicję = ( a + c, b + d ) 19

21 Przypomnijmy różne postacie liczby zespolonej... a b x y O. r z = ( a, b ) = | z | Niech bo właśnie liczby zespolone są wygodnym narzędziem do określenia i badania przekształceń i ich własności. „ Matematyka na funkcji stoi, a geometria na przekształceniach wspiera się ”, Nie bez przyczyny przypomnę moje porzekadła. Na płaszczyźnie zespolonej wzory na przekształcenia są proste,punktu np. translacja o wektor wyraża się wzorem poznane w wymienionych prezentacjach : 20

22 O roli liczb zespolonych w wielu dyscyplinach nauki, uczniowie technikum elektronicznego poznawali ( przed zmianami programu matematyki w liceum ) świadczy fakt, że jeszcze kilkanaście lat temu liczby zespolone potrzebne, do matematycznej Interpretacji zagadnień elektronicznych. a obrót wokół początku układu współrzędnych o kąt Pokazaliśmy, że liczby zespolone są wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny Analizą euklidesowej przestrzeni rzeczywistej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa zaś analizą przestrzeni zespolonej analiza zespolona. Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w w wyznaczaniu pierwiastków równań kwadratowych, których wyróżnik jest mniejszy od zera, teorii fraktali,analizie grafów, i przekształceń płaszczyzny. 21

23 oraz rozwiązywaniu wielu problemów różniczkowych, zagadnień całkowych, przy użyciu transformacji Fouriera, Zatem każdy kto na studiach będzie mieć zajęcia z matematyki, będzie musiał uczyć się działań na liczbach zespolonych. w mechanice kwantowej, analizie obwodów elektrycznych prądu przemiennego, Jeszcze raz popatrzmy na konstrukcje zbiorów zaprezentowanych w tej prezentacji : Mamy dany zbiór liczb naturalnych N. Bierzemy zbiór i relację „ ~ ” równoważnościową W zbiorze klas abstrakcji określamy działania : „ + ”, „ ∙ ” oraz relację „ ≤ ”. Pierścień liczb całkowitych uporządkowany liniowo. C ałkowite 22

24 Mamy zbiór liczb całkowitych C. Bierzemy zbiór i relację „ ≈ ” równoważnościową W zbiorze klas abstrakcjiokreślamy działania : „ + ”, „ ∙ ” oraz relację „ ≤ ”. ciało liczb wymiernych uporządkowany gęsto. W ymierne Mamy zbiór liczb rzeczywistych R. W tym zbiorze określamy działania : „ + ”, „ ∙ ” ciało liczb zespolonych. Z espolone Bierzemy Jak wiemy zbiór liczb rzeczywistych w prezentowany sposób Jeżeli tak, to dlaczego nie było takiej konstrukcji W × W ? R zeczywiste Przy tym przeglądzie nasuwają się pytania : Czy takie konstrukcje można dalej budować ? nie można zbudować. 23

25 analizując konstrukcje, zauważmy różnice między nimi. budując zbiór liczb całkowitych oraz wymiernych, tworzyliśmy zbiory klasy abstrakcji na tle pewnych relacji. Zanim spróbujemy na te pytania odpowiedzieć, W dwu pierwszych przypadkach, W trzecim przypadku, już pojedyncze pary liczb rzeczywistych są liczbami zespolonymi. W tym zbiorze nie określiliśmy relacji porządkującej, bo takowej nie można wprowadzić. W tym momencie warto przypomnieć, że w Czy = 3 rozpatrywaliśmy zbiór liczb tygodniowych, który z dodawaniem i mnożeniem, ma strukturę ciała. Wykazaliśmy, że tego ciała liczb tygodniowych Czy ciało liczb zespolonych można uporządkować ? Spróbujmy to zbadać. nie można uporządkować. 24

26 W zbiorze liczb zespolonych można zdefiniować Ale kwadratami 1 i i są Gdyby istniała relacja „ ≤ ” taka, że to spełniałaby następujące warunki : więc dla każdego a, mamy Zatem w C nie można określić relacji „ ≤ ”. jest ciałem uporządkowanym Ponieważ „ ≤ ” jest porządkiem liniowym, W obu przypadkach co jest niemożliwe, bo Fakt, że Z nie można uporządkować przez relacje „ ≤ ”, nie oznacza, że nie da się wprowadzić porządek leksykograficzny. innego porządku. 1 i -1, czyli 25

27 Spróbujmy.Weźmy ( pary liczb zespolonych ). para liczb zespolonych dwie pary liczb rzeczywistych czwórka liczb rzeczywistych є Służyły mu one do opisu mechaniki Takie obiekty w 1843 r. wprowadził W. Hamilton. w przestrzeni trójwymiarowej. Obiekty te ( czwórki liczb rzeczywistych ) lub krócej nazywamy liczbami hiperzespolonymi Najprostszą postacią liczby zespolonej jest zapis Wygodna postać, bo dodawać, mnożyć, potęgować liczby zespolone tej postaci potrafią gimnazjaliści ( co uzasadniłem w prezentacji Czy gimnazjalista potrafi wykonywać działania na liczbach zespolonych ) Czy według omawianego przepisu można konstruować dalsze zbiory liczbowe ? kwaternionami. 26

28 Z powyższych warunków natychmiast wynika, że mnożenie kwaternionów nie jest przemienne. Żmudnie obliczając, można wykazać, że mnożenie jest łączne i zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania. Wykonywanie dodawanie, mnożenie kwaternionów podobne do działań na liczbach zespolonych. Niech Wtedy Również kwaterniony można przedstawić w różnych postaciach, z których najprostszą jest 27

29 z wyjątkiem przemienności mnożenia. Zbiór kwaternionów z dodawaniem tworzy grupę a ponieważ mnożenie jest łączne rozdzielność ( obustronna ) mnożenia względem dodawania to zbiór kwaternionów działaniami „ + ” i „ ∙ ” ma strukturę pierścienia nieprzemiennego. Co więcej : w zbiorze kwaternionów z działaniami spełnione są w nim wszystkie aksjomaty ciała i zachodzi Zwróćmy uwagę, że kwaterniony postaci liczbami rzeczywistymi, zaś zbiory kwaternionów możemy utożsamiać z ciałem liczb zespolonych. można utożsamiać z Kwaterniony znalazły zastosowanie w grafice komputerowej do wykonywania obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. 28

30 Kwaterniony służą programistom Doskonałym przykładem wykorzystania m.in. do kamer third person A oto zbiór Julii z przestrzeni R 4, jest obraz wirującej Merkaby. kwaternionów w grafice komputerowej wygenerowany dzięki kwaternionom : i orientacji w przestrzeni 3D gier do generowania obrotów w Tomb Raiderze I, II ). Zastosowania w matematyce są jednak o wiele szersze. Sam Hamilton używał kwaternionów do linearyzacji równań różniczkowych m.in. w mechanice nieba. ( aproksymacja, przybliżone rozwiązanie ) ( stosowane już 29

31 ( co przydaje się w równaniach różniczkowych cząstkowych ). Kwaternionów Hamiltona używa się do konstrukcji w geometrii różniczkowej. Użyto ich też w teorii liczb do badania jako sumy czterech kwadratów liczb całkowitych geometrii algebraicznej ( stożkowe jako rozmaitości Severi ), pojawiają się w teorii kohomologii Galois. wiązek wektorowych liczby przedstawień liczby naturalnej Analizując warunki przy określeniu kwaternionów być może niektórym przyjdzie do głowy pytanie : czy tych warunków nie można zmienić ? Oczywiście nie byle jak, ograniczymy się tylko do znaków. Pomysł jest trafiony ! 30

32 z czego wynika, że Tessaryny ( liczby dwuzespolone ) to liczby postaci : Tessaryny w 1848 r. i kokwaterniony w 1849 r. z szeregu wykładniczego. szereg cosinusa hiperbolicznego i sinusa hiperbolicznego wprowadził J. Cockle, by wyizolować Najbardziej znane są tessaryny postaci użytecznymi w geometrii hiperboli. nazwane liczbami podwójnymi, Kokwaterniony ( kwaterniony rozdzielne ) to liczby postaci 31

33 kokwaterniony kształtują czterowymiarową Kokwaterniony a z dodawaniem i mnożeniem tworzy strukturę Podobnie jak kwaterniony Hamiltona z mnożeniem, rzeczywistą przestrzeń wektorową,. pierścienia ( nieprzemiennego ). i łatwo wykazać własności działań. Dodawania, mnożenia kokwaternionów jest oczywiste W tej prezentacji czterokrotnie wykonaliśmy pewną konstrukcję dzięki której zbudowaliśmy zbiory liczb całkowitych, wymiernych, zespolonych i kwaternionów. 32

34 Liczby otrzymane z liczb zespolonych za pomocą nazywamy liczbami hiperzespolonymi. Opr. WWW ęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji by po korekcie, Z góry dziękuję. można było ją uznać za poprawną. i przekazanie uwag, Koniec prezentacji Zapraszam op.pl tel tej konstrukcji zwaną konstrukcją Cayleya-Dicksona W tej prezentacji poznaliśmy liczby hiperzespolone. Czy są jeszcze inne liczby ? Są. Poznamy je następnej prezentacji. 33


Pobierz ppt "Czy są liczby inne niż rzeczywiste ? Są, zespolone, kwaterniony i dalsze. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym. 1."

Podobne prezentacje


Reklamy Google