Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Szeregi funkcyjne dr Małgorzata Pelczar. 2 Szereg funkcyjny - definicje Szereg, w którym wyrazy szeregu są funkcjami zmiennej x (a n =f n (x)), czyli.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Szeregi funkcyjne dr Małgorzata Pelczar. 2 Szereg funkcyjny - definicje Szereg, w którym wyrazy szeregu są funkcjami zmiennej x (a n =f n (x)), czyli."— Zapis prezentacji:

1 Szeregi funkcyjne dr Małgorzata Pelczar

2 2 Szereg funkcyjny - definicje Szereg, w którym wyrazy szeregu są funkcjami zmiennej x (a n =f n (x)), czyli szereg postaci nazywamy szeregiem funkcyjnym. Funkcje f 1 (x), f 2 (x),…,f n (x),… nazywamy wyrazami szeregu funkcyjnego.

3 3 Szereg funkcyjny - definicje Sumą częściową S n (x) szeregu funkcyjnego nazywamy sumę n-początkowych wyrazów szeregu funkcyjnego

4 4 Szereg funkcyjny - definicje Obszar zbieżności szeregu funkcyjnego jest to zbiór złożony z elementów x=a, które należą do wspólnej dziedziny wszystkich funkcji f n (x) i dla których szereg liczbowy jest zbieżny, tzn. istnieje granica sum częściowych S n (a):

5 5 Szereg funkcyjny - definicje Funkcję S(x) nazywamy sumą szeregu funkcyjnego i mówimy, że szereg ten zbiega do funkcji S(x). Resztą R n (x) szeregu funkcyjnego nazywamy różnicę między sumą S(x) szeregu zbieżnego i jego sumą częściową S n (x):

6 6 Szereg funkcyjny - przykład Określić sumę częściową i obszar zbieżności szeregu funkcyjnego:

7 7 Zbieżność jednostajna i punktowa Szereg funkcyjny jest w danym obszarze X zbieżny, jeśli dla dowolnej liczby  >0 istnieje liczba naturalna N taka, że nierówność  S(x)-S n (x)  N. Dla szeregów funkcyjnych możemy wyróżnić dwa przypadki:  szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny, jeżeli dla wszystkich wartości x z obszaru zbieżności istnieje jedna liczba naturalna N;  szereg funkcyjny jest punktowo zbieżny, jeżeli dla każdego x istnieje w ogólności inna liczba naturalna N.

8 8 Kryterium Weierstrassa Szereg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w pewnym obszarze X, jeżeli istnieje zbieżny szereg liczbowy taki, że dla wszystkich x  X spełniona jest nierówność  f n (x)  a n. Szereg liczbowy nazywamy majorantą szeregu funkcyjnego.

9 9 Różniczkowanie jednostajnie zbieżnych szeregów funkcyjnych Jeżeli wyrazy zbieżnego szeregu w przedziale [a,b] mają ciągłe pochodne f’ n (x) oraz szeregjest jednostajnie zbieżny w przedziale [a,b], to

10 10 Całkowanie jednostajnie zbieżnych szeregów funkcyjnych Jeżeli szereg o wyrazach ciągłych w przedziale [a,b] jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny, to

11 11 Szeregi potęgowe Szeregiem potęgowym nazywamy szereg postaci gdzie współczynniki a n i x 0 są ustalonymi liczbami. Szereg potęgowy jest ustalony gdy dana jest liczba x 0 oraz ciąg (a n ) jego współczynników. Dla x 0 =0 szereg potęgowy ma postać:

12 12 Szereg Taylora dla funkcji jednej zmiennej Ciągłą funkcję f(x) mającą w x=a pochodne wszystkich rzędów możemy przedstawić jako sumę szeregów potęgowych:

13 13 Szereg Taylora dla funkcji jednej zmiennej Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji f(x) w otoczeniu punktu a, natomiast przedstawienie funkcji f(x) nazywamy rozwinięciem funkcji f(x) w otoczeniu punktu a. Rozwinięcie w szereg potęgowy jest poprawne, jeżeli ciąg reszt jest zbieżny do zera dla n .

14 14 Szereg Maclaurina Szereg Maclaurina otrzymujemy, rozwijając funkcję f(x) w szereg Taylora względem x w otoczeniu punktu dziedziny a=0. Wtedy a reszta wyraża się wzorem:

15 Zawężając dziedzinę wielu funkcji do małego otoczenia pewnego punktu, posługując się wzorem Taylora, można wyprowadzić użyteczne rozwinięcia wielomianowe tych funkcji i tak dla x  (-1,1) mamy: 15 Wzory przybliżone dla pewnych funkcji

16 Przykłady Obliczyć korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora następujące wartości: sin(-0,5) cos 0,5 e -0,3 ln 1,1 16

17 Dziękuję za uwagę


Pobierz ppt "Szeregi funkcyjne dr Małgorzata Pelczar. 2 Szereg funkcyjny - definicje Szereg, w którym wyrazy szeregu są funkcjami zmiennej x (a n =f n (x)), czyli."

Podobne prezentacje


Reklamy Google