Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni R 3 dr Małgorzata Pelczar.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni R 3 dr Małgorzata Pelczar."— Zapis prezentacji:

1 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni R 3 dr Małgorzata Pelczar

2 2 Plan wykładu Układ współrzędnych biegunowych Wektory Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Iloczyn mieszany Równanie prostej Równanie płaszczyzny Wzajemne położenie punktów, prostych i płaszczyzn

3 3 Układ współrzędnych biegunowych Na płaszczyźnie dana jest półprosta OS - zwana osią biegunową, punkt 0 nazywa się biegunem, wektor nazywa się wektorem wodzącym punktu P. 0 P=(x,y) P=(r,  ) oś biegunowa x y 1 S Y 

4 4 Układ współrzędnych biegunowych Każdemu punktowi poza biegunem można przyporządkować jednoznacznie uporządkowaną parę r, , gdzie r - jest długością wektora, a  miarą kąta skierowanego od osi biegunowej do wektora wodzącego. Uporządkowaną parę (r,  ) nazywa się współrzędnymi biegunowymi punktu P, r jest to współrzędna radialna, a  jest to amplituda punktu P. Biegun 0 ma współrzędną r=0, a amplitudę  <0,2  ).

5 5 Układ współrzędnych biegunowych Jeżeli punkt P  0 ma w kartezjańskim układzie współrzędnych współrzędne (x,y), a w układzie współrzędnych biegunowych współrzędne (r,  ) to przy założeniu, że oś biegunowa pokrywa się z nieujemną półosią OX zachodzą następujące zależności:

6 6 Wektory Wektorem w przestrzeni R 3 nazywamy odcinek, który ma określoną długość i kierunek w przestrzeni trójwymiarowej. Wektor, który ma początek w punkcie A=(x A,y A,z A ) oraz koniec w punkcie B=(x B,y B,z B ) nazywamy wektorem AB i oznaczamy.

7 7 Wektory Współrzędne wektora wyznaczamy ze wzoru: Wektory oznacza się również małymi literami ze strzałką nad literą, czyli, wtedy współrzędne wektorów oznacza się następująco:

8 8 Algebra wektorów w R 3 Dane są wektory: Długość wektora a oznaczamy |a| i obliczamy ją ze wzoru: Cosinusy kierunkowe wektora a wynoszą gdzie  x,  y,  z oznaczają odpowiednio miary kątów wektora a z osiami układu współrzędnych.

9 9 Algebra wektorów w R 3 Iloczyn skalarny wektorów a i b jest to liczba postaci gdzie  jest kątem pomiędzy wektorami a i b. Mając dane współrzędne wektorów iloczyn skalarny wyznacza się ze wzoru

10 10 Algebra wektorów w R 3 Warunek prostopadłości (ortogonalności) wektorów a i b: Warunek równoległości wektorów a i b:

11 11 Algebra wektorów w R 3 Iloczynem wektorowym nierównoległych wektorów a i b nazywamy wektor spełniający warunki: Współrzędne iloczynu wektorowego wyznacza się ze wzoru Iloczyn wektorowy wektorów równoległych wynosi 0.

12 12 Algebra wektorów w R 3 Iloczynem mieszanym wektorów a, b i c nazywamy liczbę: która jest objętością równoległościanu rozpiętego na tych wektorach, a obliczamy ją ze wzoru Wektory równoległe do jednej płaszczyzny nazywamy komplanarnymi i spełniają one warunek:

13 13 Równanie płaszczyzny Równanie ogólne płaszczyzny  w R 3 : Ax+By+Cz+D=0, przy warunku A 2 +B 2 +C 2 >0 Równanie odcinkowe płaszczyzny  w R 3 :

14 14 Równanie płaszczyzny Równanie płaszczyzny  przechodzącej przez punkt P 0 =(x 0,y 0,z 0 ) i prostopadłej do wektora [A,B,C] ma postać: A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty płaszczyzny P 1 =(x 1,y 1,z 1 ), P 2 =(x 2,y 2,z 2 ), P 3 =(x 3,y 3,z 3 ) nie leżące na jednej prostej wyznacza się z równania:

15 15 Płaszczyzny w przestrzeni R 3 Warunek prostopadłości dwóch płaszczyzn: Warunek równoległości dwóch płaszczyzn:

16 16 Płaszczyzna i punkt w przestrzeni R 3 Odległość d punktu P 0 =(x 0,y 0,z 0 ) od płaszczyzny  : Ax+By+Cz+D=0 wyznacza się ze wzoru:

17 17 Równanie prostej Niech dany będzie punkt P 0 =(x 0,y 0,z 0 ) należący do prostej l oraz niezerowy wektor kierunkowy prostej l (równoległy do prostej l)wtedy równania prostej l mają postać: 1. parametryczne dla t  R: 2. kanoniczne:

18 18 Równanie prostej Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty płaszczyzny P 1 =(x 1,y 1,z 1 ), P 2 =(x 2,y 2,z 2 ) wyznacza się z równania:

19 19 Proste w przestrzeni R 3 Dwie proste l 1 i l 2 leżą w jednej płaszczyźnie (są komplanarne), jeżeli spełniony jest warunek: gdzie P 1 =(x 1,y 1,z 1 )  l 1, P 2 =(x 2,y 2,z 2 )  l 2, wektory a i b są wektorami kierunkowymi prostych l 1 i l 2.

20 20 Proste w przestrzeni R 3 Odległość d dwóch prostych skośnych l 1 i l 2 wyznacza się ze wzoru: gdzie P 1 =(x 1,y 1,z 1 )  l 1, P 2 =(x 2,y 2,z 2 )  l 2, wektory a i b są wektorami kierunkowymi prostych l 1 i l 2.

21 21 Proste w przestrzeni R 3 Odległość d punktu P 1 =(x 1,y 1,z 1 ) od prostej l wyznacza się ze wzoru: gdzie P 0 =(x 0,y 0,z 0 )  l, wektor a jest wektorem kierunkowym prostej l.

22 22 Prosta i płaszczyzna w przestrzeni R 3 Prosta l przechodząca przez P 0 o wektorze kierunkowym jest do płaszczyzny  o równaniu Ax+By+Cz+D=0  prostopadła, gdy  równoległa, gdy

23 23 Prosta i płaszczyzna w przestrzeni R 3 Punkt przebicia P p płaszczyzny  przez prostą l wyznacza się ze wzoru: gdzie parametr t wyznacza się z równania: A(x 0 +ta x )+B(y 0 +ta y )+C(z 0 +ta z )+D=0.

24 Dziękuję za uwagę


Pobierz ppt "Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni R 3 dr Małgorzata Pelczar."

Podobne prezentacje


Reklamy Google