Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych."— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych

2 Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Układ nazwiemy nieswobodnym, jeżeli wystąpią jakiekolwiek ograniczenia ruchów. Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór punktów w sensie geometrycznym, którym przypisane są pewne masy. Układ nazwiemy swobodnym, gdy nie istnieją żadne ograniczenia, które krępowałyby ruchy punktów.

3 Szczególnym modelem układu nieswobodnego punktów materialnych jest ciało sztywne (bryła materialna), którego więzy polegają na tym, że wzajemne odległości dwu dowolnych punktów bryły nie ulegają zmianie w czasie ruchu. Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Więzy ograniczające swobodę ruchów poszczególnych punktów Układ nieswobodny

4 Siły działające na układ (rys. 1) dzielimy na: zewnętrzne, wewnętrzne. Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Rys. 1 Siłami wewnętrznymi nazywamy wzajemne oddziaływania poszczególnych punktów układu na siebie. Siłami zewnętrznymi nazywamy siły pochodzące od działania innych ciał, nie wchodzących w skład badanego układu. Jedna konkretna siła może być zewnętrzna dla jednego, wewnętrzna zaś dla drugiego układu. Na przykład siła ciężkości jest dla punktu materialnego siłą zewnętrzną, natomiast będzie ona siłą wewnętrzną dla układu złożonego z Ziemi i danego punktu. Uwaga!

5 – wektor przyspieszenia masy m i – wypadkowa z sił zewnętrznych, działających na punkt – masa punktu Dynamiczne równanie ruchu i-tego PUNKTU pod działaniem wypadkowej sił zewnętrznych działających na badany punkt oraz sił wewnętrznych układu ma postać: (1) gdzie: – siła wewnętrzna oddziaływania masy m k na masę m i, przy czym k = 1,...,n. Układ równań (1) w postaci wektorowej można przedstawić w równoważnej postaci analitycznej np. we współrzędnych kartezjańskich (2)

6 W przypadku występowania więzów ograniczających ruch układu, obok wzajemnego oddziaływania punktów materialnych na siebie, należałoby wprowadzić po prawej stronie siły reakcji więzów. Równania (1) możemy zapisać w postaci Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych (3) przedstawiającej zasadę bezwładności d'Alemberta w odniesieniu do układu punktów materialnych.

7 Wektory nazywamy siłami bezwładności lub siłami d'Alemberta punktów materialnych o masach Siły działające na poszczególne punkty materialne poruszającego się układu równoważą się w każdej chwili z „pomyślanymi” siłami bezwładności. Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych

8 Współrzędne środka masy układu punktów materialnych: Ruch środka masy układu punktów materialnych a) w postaci wektorowej (4) gdzie – masa całkowita b) w postaci analitycznej (np. w układzie kartezjańskim) (5) gdzie – współrzędne środka masy układu punktów materialnych

9 Różniczkując równanie (4) względem czasu otrzymujemy (6) gdzie wektor przedstawia pęd masy punktu – wektor pędu ogólnego układu punktów materialnych. Pęd ogólny układu punktów materialnych równa się pędowi całej masy układu, skupionej w jego środku masy. Ruch środka masy układu punktów materialnych

10 Różniczkując po raz drugi równanie (4) napiszemy (7) lub (8) Suma sił bezwładności punktów materialnych równa się sile bezwładności masy całkowitej, skupionej w środku masy tego układu. Ruch środka masy układu punktów materialnych Wstawiając wzór do równania (8) otrzymujemy (9)

11 Zauważmy jednak, że wektor główny sił wewnętrznych układu, występujących tzw. dwójkami zerowymi, jest równy zeru, czyli (10) a więc (11) Ruch środka masy układu punktów materialnych Zasada ruchu środka masy układu punktów materialnych Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak samo jak punkt, w którym skupiona jest cala masa układu i na który działa suma wszystkich sił zewnętrznych.

12 Zasadę ruchu środka masy układu punktów materialnych, przedstawioną w postaci wektorowej wzorem (11), możemy też opisać analitycznie (12) Ruch środka masy układu punktów materialnych

13 Uwzględniając wzory oraz możemy napisać: Zasada pędu układu punktów materialnych lub też zgodnie z oznaczeniem pędu: (13) (14) Pęd układu punktów materialnych wynosi: (15)

14 Zauważmy, że w przypadku gdy wektor główny sił zewnętrznych będzie równy zeru, wówczas pęd układu będzie wektorem stałym (co do modułu i co do kierunku). Jest to tzw. zasada zachowania pędu układu punktów materialnych. Pochodna względem czasu wektora ogólnego pędu układu punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych, działających na dany układ. Wzór (16) możemy przedstawić za pomocą równoważnych trzech równań analitycznych

15 Jeżeli część układu punktów materialnych zmienia w pewnej chwili swój pęd pod wpływem tylko sił wewnętrznych, wówczas pęd pozostałej części układu ulega odpowiedniej zmianie, zgodnie z warunkami gdyż Zasada pędu układu punktów materialnych

16 Całkując równanie w przedziale czasu od lub Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów materialnych do, otrzymamy (18) (17) Jak już wiemy z dynamiki punktu, wektor przedstawia elementarny impuls siły w czasie a więc równanie (19)

17 (20) Przyrost wektora pędu układu punktów materialnych w określonym przedziale czasu jest równy sumie impulsów sił zewnętrznych, działających na ten układ. Zasada równoważności pędu i impulsu układu punktów materialnych możemy przedstawić również w postaci:

18 Kręt ogólny układu punktów materialnych Kręty (momenty wektorów pędów) poszczególnych punktów materialnych układu względem bieguna O wynoszą:

19 Krętem ogólnym układu punktów materialnych względem przyjętego bieguna nazywamy sumę wektorów krętów poszczególnych punktów materialnych. Kręt ogólny układu punktów materialnych ZASADA KRĘTU Pochodna wektora krętu ogólnego układu po czasie względem dowolnego bieguna jest równa wektorowi momentu głównego sił zewnętrznych, działających na ten układ względem tego samego bieguna.

20 Postać analityczna tej zasady w układzie współrzędnych x, y, z: (21) Kręt ogólny układu punktów materialnych W przypadku gdy suma momentów sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, czyli kręt ogólny jest wektorem stałym natomiast Jest to tzw. zasada zachowania krętu układu punktów materialnych. Warto podkreślić, że ani siły wewnętrzne, ani ich momenty nie mogą zmienić krętu ogólnego układu.

21 - kręt układu, umieszczonego w początku A ruchomego układu odniesienia ξ, η, ζ względem punktu A – kręt obrotu układu ξ, η, ζ względem punktu A – kręt ruchu względnego układu punktów materialnych w środku masy, poruszającej się z prędkością środka układu ruchomego, względem tego środka. – kręt całej masy układu, skupionej Kręt ogólny układu punktów materialnych

22 Omówimy tu dwa charakterystyczne przypadki: a) Środek układu ruchomego pokrywa się ze środkiem masy układu punktów materialnych; układ ruchomy wykonuje ruch postępowy. Kręt ogólny układu punktów materialnych – moment względem bieguna stałego O pędu ogólnego, skupionego w środku masy układu (tu założono w środku układu ruchomego); – kręt ogólny względem środka masy układu w wyniku ruchu względnego punktów materialnych.

23 b) Środek układu ruchomego jest ustalony i pokrywa się ze środkiem układu stałego czyli oraz wówczas wzór sprowadza się do postaci I w tym przypadku kręt ogólny jest sumą dwu krętów: - ruchu obrotowego układ ruchomego - ruchu względnego układu punktów materialnych. Kręt ogólny układu punktów materialnych

24 Zakładając w szczególnym przypadku, że punkty materialne połączone są sztywno z układem ruchomym, czyli otrzymamy Jest to kręt ciała sztywnego. Kręt ogólny układu punktów materialnych

25 Druga zasada dynamiki Newtona dla układu materialnych – zasada pędu: Ruch układu o zmiennej masie

26 Zakładając, że od układu odrywa się z prędkością bezwzględną masa, określimy elementarną zmianę wektora pędu układu przy czym – wektor pędu układu przed oderwaniem się masy – pęd układu po oderwaniu się masy Ruch układu o zmiennej masie

27 Uwzględniając wzór napiszemy, po pominięciu iloczynu różniczek, gdzie nazywamy siłą reakcji cząstki oddzielającej się. Ruch układu o zmiennej masie

28 W przypadku gdy równocześnie oddziela się lub przyczepia więcej mas, równanie napiszemy w ogólniejszej postaci gdzie zaś – wektor prędkości względnej oddzielającej się lub dołączającej się masy (22) Wzór (30) przedstawia tzw. równanie Mieszczerskiego, charakteryzujące ruch układu o zmiennej masie. Ruch układu o zmiennej masie


Pobierz ppt "MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych."

Podobne prezentacje


Reklamy Google